4.5反函数的概念(练习题)

§4.5反函数的概念
练习题：
例1． 求下列函数的反函数：
（1）
31y x =-（)x R ∈； （2）1(0)y x =
≥； 解：（1）由31y x =-，解得1
3y x +=，
所以，函数31y x =-（)x R ∈的反函数是31()3x y x R +=∈；
（2）由函数
1(0)y x =≥，解得2(1)x y =-， 所以，函数
1(0)y x =+≥的反函数是2(1)y x =- (1)x ≥。

说明：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：
（1）反解，由()y f x =解出1()x f y -=，写出y 的取值范围；
（2）互换,x y ，得1()y f x -=；
（3）写出完整结论（一定要有反函数的定义域）。

例2． 判断下列函数是否有反函数。

如有反函数，则求出它的
反函数。

2()42()f x x x x R =-+∈； 解：
2x =
对于每一个确定的y 的值，都有两个x 与之对应因而它没有反函数。

问：加一个什么条件能使这个函数有反函数呢？
答：2()42(2)f x x x x =-+≤
由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2(2)2x y -=+
∵
2x ≤，∴ 22x x -==，
互换
,x y 得2y =-
又由2()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞ 所以，反函数为
1()2f x x -=-∈[2,)-+∞．
例3. 求下列函数的反函数
1. 5,03y x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
2. 2213,(,1]x x y x ++=∈-∞-
3. 332232x y x x x +⎛⎫=≥-≠- ⎪+⎝⎭
且
例4．已知函数65()(,1x f x x R x +=
∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，求
1(7)f -的值。

例5．（1）求函数32()y x x R =-∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。

（2）求函数3()y x x R =∈的反函数，并且画出原函数与它的反函数的图象。

解：（1）从32,y x =-解得23
y x +=，因此函数32()y x x R =-∈的反函数是2()3
x y x R +=∈． 函数32()y x x R =-∈和它的反函数2()3x y x R +=∈的图象如图所示（图略）。

（2）从函数
3()y x x R =∈，解得x ．因此3()y x x R =∈的反函数是
)y x R =∈
3()y x x R =∈和它的反函数)y x R =∈的图象如图所示（图略）。

由这两组图象，我们可以观察出互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称。

说明：（1）如果(,)a b 是()y f x =上的点，那么(,)b a 是1()y f x -=上的点，而(,)a b 与(,)b a 是关于直线y x =对称的，所以互为相反数的两个函数的图象关于直线y x =对称的；
（2）1()()b f a a f b -=⇔=，从而，有11(()),(())f f a a f f b b --==。

例6．设23()1
x f x x +=-，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，求(3)g ．
解（法一）：函数23()1
x f x x +=-的值域为{|2}y y ≠
∵231
x y x +=
-，即23,(2)3yx y x y x y -=+-=+， ∴32y x y +=-， ∴}{13(),|22
x f x x x x x -+=∈≠-， 即}{3(),|22x g x x x x x +=∈≠-， ∴33(3)632g +==-． （法二）因为1()()g x f x -=，
∴1(3)(3)g f -=，即有2331x x +=-，得6x =， 所以，(3)6g =．
例7．已知5()2x f x x m -=
+的图象关于直线y x =对称，则求m 的值。

解：∵5()2x f x x m
-=+的图象关于直线y x =对称 ∴5()2x f x x m
-=+的反函数是本身。

故有25xy my x +=-，∴521
my x y --=- ∴155()212my y f x y y m ----==-+，所以，1m =-．
例8．已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>， 求：（1）1()f x -及其1(1)f x -+；
（2）求(1)y f x =+的反函数。

解：（1）∵22(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，
∴2()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >， 又由
21(1)y x x +=> 得x =， ∴
1()0)f x x -=> 所以，
1(1)1)f x x -+=>-．
（2）由
2()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =>-
∴
(1)y f x =+的反函数为1y =(1)x >-． 说明：1(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的
反函数。

题中有1(1)y f x -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．
例9．已知函数()f x ax k =+的图象经过(1,3)，其反函数图象经过点(2,0)，则求()f x 的表达式。

解：因为反函数图象经过点(2,0)，所以原函数必过点(0,2)， 又原函数图象过点(1,3)，由此可得 023
a k a k ⋅+=⎧⎨+=⎩ 解得1,2a k ==，所以()2f x x =+．
例10． 求函数1(0)1(0)x x y x x +>⎧=⎨-<⎩的反函数。

解：由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->， 又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．
综上可得所求的反函数为1(1)1(1)x x y x x ->⎧=⎨+<-⎩．
例11．已知函数(),,y f x x A y C =∈∈存在反函数1()y f x -=，
（1）若()y f x =是奇函数，讨论1()y f x -=的奇偶性；
（2）若()y f x =在定义域上是增函数，讨论1()y f x -=的单调性。

证明：（1）()y f x =是奇函数，定义域关于原点对称， ∴()y f x =的值域也关于原点对称。

∴()y f x =的定义域关于原点对称， 设x C ∈，存在t A ∈使()f t x =，∴1()f x t -=， ()y f x =是奇函数，∴()f t x -=-， ∴1()f x t --=-，∴11()()f x t f x ---=-=-， 所以1()y f x -=是奇函数。

（2）设12,x x C ∈，且12x x <，存在12,t t A ∈，使11()f t x =，22()f t x =， 又∵()y f x =在定义域上是增函数， ∴12t t <，即1112()()f x f x --<，
所以，1()y f x -=在定义域上是单调增的。

例12．若函数()y f x =的图象过点(1,4)，
（1）求(2)f x +的反函数的图象必经过的一个定点的坐标；
（2）若函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，求函数1(1)y f x -=+和
函数1()1y f x -=+必经过的定点。

解：（1）()y f x =的图象经过点(1,4)， ∴()2y f x =+的图象经过点(1,4)-， 所以，()2y f x =+的反函数的图象经过点(4,1)-．
（2）()y f x =的图象经过点(1,4)，
∴()1y f x -=的图象经过点(4,1)， 故函数1(1)y f x -=+的图象经过点(3,1)，
函数
1()1y f x -=+必经过的定点(4,2)．
练习：
1．已知(1)3),f x x +=≤-求1()f x -．
2． 如果1()()f x f x ax b -==+，求,a b 满足的条件。

（答案：1a b R =-⎧⎨∈⎩或10a b =⎧⎨=⎩
） 3.若函数()y f x =的图象经过点()0,1-，求函数(4)y f x =
+的反函数的图象经过的定点的坐标。

4．已知()
f x =求113f -⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 5．已知函数()y f x =在定义域(],0-∞上存在反函数，且
()212f x x x -=-，求112f -⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 6． 求函数21(0)21(0)
x x y x x ⎧-≥=⎨-<⎩的反函数。