九年级数学辅导： 三角函数的综合计算
九年级数学三角函数的计算
A，都不变 B，都扩大2倍 C，都缩小2倍 D，不确定。
2，在△ABC中，若 sinA=√22 , 3, 在Rt△ABC中∠, C=90°, AC=
tanB=√3，则∠C=
√3,
AB=2,tan
B 2
75° √3
3
4，如果α 和β 都是锐角，且sinα = cosβ ，
则α 与β 的关系 是（B ）
D
C
解 （１）
在Rt △ABD和△ ACD中，tanB= AD ，cos∠DAC ＝AD
BD
AC
因为tanB=cos∠DAC，所以 AD ＝ AD
故 BD=AC
BD AC
例题赏析
例5 如图，在△ ABC中，AD是BC边上的高， A
若tanB=cos∠DAC，
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝
5403154.8
得 54 03155
例２:如图，一段公路弯道Ａ⌒Ｂ两端的距离为200m, ⌒ AB的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ａ
课内练习:
1．在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝Ｒt∠，根据下列
条件求各个锐角（精确到 1）：
（１）ＡＢ＝３，ＡＣ＝１；
（２）ＡＣ＝4，ＢＣ＝5．
）
5，A已，知相在等Rt△BA，BC中互,余∠C=C9，0°互，补sinDA，= 不12 ,确则定co。sB=( A )
A1 2
B，√22
C，√23
D，√3
当例堂题训赏练析二
（1）计算： sin60°·tan60°+cos ² 45°= 2
（2）如果tanA·tan30°=1,∠A=___6_0_°____。
1.3三角函数的计算- 九年级数学下册课件(北师大版)
∴sin∠EBP＝
PE BP
＝sin
40°，sin
∠FBP＝
PF BP
＝sin
20°.
又∵sin 40°＞sin 20°，∴
PE BP
PF BP
.
∴PE＞PF.
(2)∵α，β 都是锐角，且α＞β，
∴sin α＞sin β.
又∵sin∠EBP＝ PE ＝sin α，sin∠FBP＝ PF ＝sin β，
例1 用计算器计算：(结果精确到万分位) (1)sin 26°≈ 0.4384 ； (2) sin82°48′15″≈___0_._9_9__2_1__．
导引：已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏 幕显示的结果按要求取近似值即可．
总结
(1)依次按sin2 6＝键，得到数据再精确到万分位即可； (2)依次按sin8 2 °’ ” 48°’ ”15°’ ”＝键，得到数据再
(2)先按 SHIFT cos 0.2187＝键，显示：77.367 310 78，再
按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.
(3)先按 SHIFT tan 3.527＝键，显示：74.170 530 81，再
按°’”键,显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.
端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成锐角的度数.
解：设梯子与地面所成的锐角为∠α，
则cos α＝2.5 ＝ 5 ＝0.625. 48
∴∠α≈51°19′4″. 所以，梯子与地面所成的锐角的度数约为51°19′4″.
3 已知sin α＝ 1 ，求α，若用科学计算器计算且结果以
2 “度、分、秒”为单位，最后按键( D )
∴
PE PB
九年级数学上册综合算式如何运用三角函数解题
九年级数学上册综合算式如何运用三角函数解题随着学生对数学的学习逐渐深入，九年级数学上册引入了综合算式的概念，作为数学知识的进一步扩展和应用。
而在解决这些综合算式问题时，我们可以运用三角函数的知识，以便更好地解决问题。
数学中的综合算式涉及多个未知数之间的关系，其中可能包含角度的度量、边长的长度以及比值等。
而三角函数则是研究角度和边长之间的关系的一种工具。
通过正确运用三角函数，我们可以构建方程组，从而解决综合算式问题。
在运用三角函数解决综合算式问题时，以下是一些具体步骤和技巧：第一步，明确问题所给条件。
仔细阅读问题，了解所给的角度和边长关系。
通常情况下，我们可以根据问题中的描述来确定所涉及的三角函数。
第二步，建立适当的方程组。
根据问题中给出的条件，可使用三角函数的定义和性质建立方程组。
根据题目要求，我们可以选择正弦函数、余弦函数或者正切函数等。
第三步，化简方程组。
对于方程组中的各个方程，我们可以借助三角函数的恒等关系或者几何图形之间的关系进行化简，从而使方程组更易解。
第四步，解方程组。
利用数学上的方法和技巧，我们可以解得方程组中各个未知数的值。
在解方程的过程中，注意求解角度时使用正确的单位，并注意舍入误差。
第五步，验证和解释。
在得到方程组的解之后，应该将解代入原问题中进行验证。
如果解能够满足问题中给出的条件，则说明我们的解是正确的。
同时，应该对解的含义进行解释，解释解所对应的实际情境。
通过以上步骤和技巧，我们可以灵活运用三角函数解决九年级数学上册中的综合算式问题。
在解题过程中，需要对所涉及的三角函数有深入的理解和掌握，同时要善于应用数学知识和技巧。
需要注意的是，在解决综合算式问题时，我们应该保持思维的灵活性，善于运用数学的抽象思维能力。
此外，对于一些复杂的综合算式问题，我们可以借助图形的绘制和分析，以便更好地理解和解决问题。
总之，通过合理运用三角函数的知识，我们能够更好地解决九年级数学上册中的综合算式问题。
三角函数与几何综合(解析版)-九年级数学下册
专题09三角函数与几何综合类型一、网格问题A．12B．22【答案】C【分析】作CE AB⊥于E，由BD 作CE AB⊥于E，BD AC∥，,PBD PAC PDB PCA ∴∠=∠∠=∠PBD PAC∴∽，1PD BD∴==，【答案】2 2 .(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，tan【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）根据圆的性质得（2）连接BE，由圆的相关性质可证的直径，AB是O∴∠=︒，90AEB∵，∠=︒AGO90OD BE∴，//∴，∠=∠GDF EBF的半径为5，tan A= O∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∴1802BAC ABC ∠=︒-∠．的直径，∵AB是OA ．12B ．【答案】C【分析】点A ，B 落在函数意义，可得直角三角形的面积；∵点A 在反比例函数y =又∵∠AOB ＝90°,∠ADO=∠OBE+∠BOE ＝90°，∴∠AOD=∠OBE,∴△AOD 21()AOD S AO ==△【答案】45CF BE CD AB⊥⊥ ，，ECF ACD∴∠=∠，BE是直径，CF⊥BE，90BCE EBC ∴∠=︒∠=，sin sinEBC ACD ∴∠=∠=2CE【答案】257/437【分析】设ED=x的面积，再配方可求出面积的最大值．【详解】解：设在Rt △ECD 中，∵∵∠FEH +∠CED ∴HE =y ×sin ∠EFH 【答案】1【分析】取格点D ，连接AD CD =，得到tan CAB ∠【详解】解：如图所示，取格点∵2222420CD =+=，AD 222AD CD AC ∴+=，【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数等，股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形，7．如图，在正方形ABCD于点G．（1）求证：2AF DG+=AF=（2）若4AE=，3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，矩形的性质，三角函数公。
北师大版九年级数学下册第一章3三角函数的计算
OP
∴AB=OB-OA=OP(tan β-tan α). ∵OP=a m,∴AB=a(tan β-tan α)m.
正解 ∵PC∥OA,∴∠PAO=∠APC=∠α.
在Rt△AOP中, OP =tan∠PAO,∴OA= OP .
知识点二 已知三角函数值,用计算器求锐角
5.(独家原创试题)世界上有一条被载入吉尼斯世界纪录的斜坡路.在这条
路上,上坡犹如登山一般难走,有时候人们上坡甚至要靠爬.它就是位于新
西兰的达尼丁的鲍德温街,鲍德温街是一条短而直的街道,总长约350米,街
道开端的海拔约为30米,而街道终端的海拔为100米.图1-3-2②是鲍德温街
知识点一 利用计算器求任意锐角的三角函数值
1.(2017山东威海中考)为了方便行人推车过某天桥,市政府在10 m高的天 桥一侧修建了40 m长的斜道(如图1-3-1所示),我们可以借助科学计算器求 这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是 ( )
A.2ndF sin 0 ·2 5 =
B.sin 2ndF 0 ·2 5 =
初中数学（北师大版）
九年级 下册
第一章 直角三角形的边角关系
知识点一 利用计算器求任意锐角的三角函数值 1.求整数度数的锐角三角函数值 操作流程如下: 使计算器面板出现DEG→按sincostan这三个键之一→输入整数度数→按键=. 2.求非整数度数的锐角三角函数值 (1)求以“度”为单位的锐角的三角函数值 可直接按键求出,例如:求tan 16.52°的值可按如下操作: 按键tan→依次按16·52→按键=. (2)求用“度、分、秒”表示的锐角的三角函数值 操作流程如下: 按sincostan这三个键之一→度D°M'S分D°M'S秒D°M'S→按键=.
九年级数学上册 第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练(附答案)
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练（附答案）1．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行若干千米，到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．（1）若BD＝30km，问E处距离港口A有多远？（2）若DE＝8km，问E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C 的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）3．如图，一次军事演习中，蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．（1）求点C到公路的距离；（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）4．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C 作CH⊥AB于H．（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．5．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）6．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求出A与C间的距离AC；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中触暗礁危险．（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：）7．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．8．如图，港口B在港口A的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C处，同时快艇到达D处，测得D处在C处的北偏东60°的方向上，且C、D两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，，）9．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝70°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝km．（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）10．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．12．如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B 处西北方向的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）13．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）14．一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．15．如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B 到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）16．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）17．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）19．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B 看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A 到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．（1）求港口C与小岛P之间的距离；（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（≈2.646，结果精确到十分位）．20．如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A 的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）灯塔B与小岛C之间的距离．21．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD＝37°，港口A和小岛C的距离是23km．（参考数据：sin38°≈，tan22°≈，tan37°≈）（1）求BC的距离．（2）求CD的距离．参考答案1．解：（1）作CF⊥AD于F，由题意得，∠D＝90°，∴FC∥BD，又AC＝CB，∴FC＝BD＝15，∵∠EFC＝90°，∠FEC＝45°，∴EF＝FC＝15，在Rt△AFC中，AF＝≈＝20，∴AE＝AF+FE＝35（km），答：BD＝30km，E处距离港口A约为35km；（2）设FC＝xkm，则EF＝FC＝x，AF≈＝x，由（1）得，AF＝FD，即x＝x+8，解得，x＝24，则x＝32，∴AE＝AF+FE＝32+24＝56，答：DE＝8km，E处距离港口A约为56km．2．解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．3．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D 作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，（1）点C到公路的距离就是BE的长，在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴BE＝BC•cos60°＝2000×＝1000米．答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．（2）红蓝双方相距AB＝DF+CE．在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝2000×＝1000米．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，CD＝2000米，∠DCF＝45°，∴DF＝CD•sin45°＝2000×＝1000米，∴AB＝DF+CE＝（1000+500）米．答：红蓝双方最初相距（1000+1000）米．4．解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH＝30°，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝x，在Rt△BCH中，tan30°＝＝，∴BH＝x，∵AH+HB＝AB＝40，∴x+x＝40，解得x＝20﹣20，∴CB＝2CH＝40﹣40．答：牧民区C到B地的距离为（40﹣40）千米；（2）∵C、D两地距离是B、C两地距离的倍，CH＝BC，∴sin∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝60°．在Rt△CHD中，DH＝CH•cot∠CDH＝CH，∵BH＝CH，CH＝20﹣20，∴BD＝BH﹣DH＝CH﹣CH＝（20﹣20）＝40﹣．答：BD之间的距离为40﹣千米．5．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝＝x，∵BG﹣BC＝CG，∴x﹣x＝8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．6．解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．则AE+BE＝x+x＝100（+1），解得：x＝100．AC＝2x＝200．答：A与C之间的距离AC为200海里．（2）过点D作DF⊥AC于点F，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得：y＝100（﹣1），∴AD＝2y＝200（﹣1），∴DF＝AF＝×100（﹣1）≈127海里，∵127＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．故答案为：无．7．解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，BD＝100米，∴AB＝＝200米，AD＝BD•tan60°＝100米．∵在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，BD＝100米，∴DC＝BD＝100米，BC＝BD＝100米，∴AC＝AD+DC＝（100+100）米；（2）作EF⊥AB于F，∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，∴EF＝ED．在Rt△AEF与Rt△AED中，，∴△AEF≌△AED（HL），∴AF＝AD＝100米，∴BF＝AB﹣AF＝（200﹣100）米．∵在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2BF＝（400﹣200）米．8．解：分别过点B、D作AC的垂线，交AC的延长线于点E、F，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，则DF＝CD＝40海里，CF＝CD cos∠DCF＝40海里，故可得AF＝AC+CF＝16×2+40＝32+40海里，∵DF⊥AF，BE⊥AF，BE⊥BD，∴四边形BEFD是矩形．∴BE＝DF＝40海里，在Rt△BAE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝BE＝40海里，∴EF＝AF﹣AE＝32+40﹣40＝（40﹣8）海里，∴BD＝EF＝40﹣8（海里），故可求得快艇的速度＝（40﹣8）÷2＝20﹣4≈30.6（海里/小时）．答：快艇的速度约为30.6海里/时．9．解：（1）相等．∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝∠BEQ＝30°，∴EF＝BF，又∵∠AFP＝60°，∴∠BF A＝60°．在△AEF与△ABF中，∵，∴△AEF≌△ABF（SAS），∴AB＝AE；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．设AE＝xkm，则AH＝x sin70°km，HE＝x cos70°km，∴HF＝HE+EF＝x cos70°+4﹣5（km），Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，∴x sin70°＝（x cos70°+4﹣5）•tan60°，即：x＝（x+4﹣5）×，解得：x≈13，即AB＝AE＝13km．答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．10．解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG＝EF＝10米．∵∠FGN＝∠α＝36°．∴∠GFN＝∠β﹣∠FGN＝72°﹣36°＝36°．∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50﹣10＝40（米）．在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝40×sin72°＝40×0.95≈38（米）．答：河宽FR约为38米．11．解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°．∴∠DAB＝∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD＝AB＝2．即BD之间的距离为2km．（4分）（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BO tan30°＝，∴CD＝DO﹣CO＝（km）．即C，D之间的距离km．（8分）12．解：如图，过C作CH⊥AB于H，由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，设BH＝x，则CH＝AH＝x，BC＝2x，∵AB＝60，∴x+x＝60，解得x＝30（﹣1），∴AH＝30（3﹣），∴Rt△ACH中，AC＝AH＝×30（3﹣）＝30（3﹣），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（﹣1），∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3﹣）÷20≈2.7小时，不明船只到达C岛的时间为60（﹣1）÷15≈2.8小时，∴巡逻艇先到达C岛．13．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得：AC＝40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x+x＝40，∴解得：x＝60﹣20（，答：此时“中国海监50”的航行距离为（60﹣20）海里．14．解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，∴∠C＝23°+22°＝45°．过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．∵BC＝10海里，∴CD＝BC•cos45°＝10×≈7.0（海里），∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9（海里）．∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19（海里）．答：小船到码头的距离约为19海里．15．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC＝GB，GD＝BC＝11．∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．在Rt△DGH中，DH＝DG•sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG•cos37°≈11×0.80≈8.80．在Rt△ADH中，AD＝DH≈1.41×6.60≈9.31．AH＝DH≈6.60．∴AD+DG﹣AG＝（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．16．解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β，∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC，∴AB：GC＝BH：HG，∴30：GC＝60：140，解得GC＝70（米），∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．17．解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：从A地跑到D地的路程约为47km．18．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5海里，∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴COS∠DCF＝，∴CD＝＝＝10海里．答：CD两点的距离是10；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t海里，DE＝1.5×2×t＝3t海里，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝ED sin53°＝3t×＝t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝．答：sin∠ECD＝．19．解：（1）由题意得，BC＝30×＝20海里，∠ABP＝60°，∠ACP＝30°，∴∠BPC＝30°，∴BP＝BC＝20海里，∴AP＝BP•sin∠ABP＝20×＝10，∵∠ACP＝30°，∴PC＝2AP＝20海里，答：港口C与小岛P之间的距离为20海里；（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，∴∠PCQ＝90°，又CQ＝30×＝40海里，由勾股定理得，PQ＝＝20≈52.9海里，答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．20．解：（1）∵∠EAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，AC＝60÷Cos30°＝40海里，CD＝AC＝20海里．故港口A与小岛C之间的距离是40海里；（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，∵∠BAD＝60°，∴∠BDA＝30°，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形，∴AB＝30海里；在Rt△ABE中，AE＝15海里，BE＝15海里，∴BF＝60﹣15＝45海里，CF＝20﹣15＝5海里，在Rt△BCF中，BC＝＝10海里．即灯塔B与小岛C之间的距离是10海里．21．解：（1）作CE⊥AB于E，由题意得，∠CAE＝45°，∠CBE＝30°，∴AE＝CE＝AC•sin∠CAE＝23×＝23km，∴BC＝2CE＝46km，答：BC的距离为46km；（2）作DF⊥BC于F，设DF＝xkm，∴CF＝＝x，BF＝＝x，则x+x＝46，解得，x＝12，∴DF＝12，CF＝16，由勾股定理得，CD＝＝20km．答：CD的距离约为20km．。
三角函数的计算 北师大版九年级数学下册
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=
，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α= 16°，那么缆车垂
直上升的距离 是多少？（结果精确到0.01 m)
新知讲解
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=ABsin16°
.
你知道sin16°
等于多少吗?
我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.
怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
tan 键，然后输入三角函数值，最后按
就可求出相应角度．
= 键
课堂练习
1．如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶
点．已知坡角为°，山高 = 千米．用科学计算器计算小路
的长度，下列按键顺序正确的是(
A．
B．
C．
D．
【详解】在中， = 2 0° = ，
需要用科学计
你知道sin16°等
算器来进行计
于多少吗?
算.
用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到以下按键:
例如，求sin16°的按键顺序：
第一步：按计算器
键，
第二步：输入角度值16，再按“=”。
屏幕显示结果sin 16°= 0.2756373558
sin1
sin
0.275 637 355
8
si
九年级数学三角函数的计算
上节课 ,我们已经知道:已知任意一个 锐角,用计算器都可以求出它的函数值.
反之,已知三角函数值能否求出相应的角度?
例如，已知sinα＝０．２９７４，求锐角α．
按键顺序如下：
SHIFT sin 0 . 2 9 7 4 =
即α=17.30150783
17.30150783
例1 根据下面的条件,求锐角β的大小(精确到 1) (1)sinβ=0.4511；
２３ 所以AD=12× ３ ＝８
当堂训练一
1，在Rt△ABC中，如果各边都扩大2倍，则锐角A的正
弦值和余弦值（ A ）
A，都不变 B，都扩大2倍 C，都缩小2倍 D，不确定。
2，在△ABC中，若 sinA=√22 , 3, 在Rt△ABC中∠, C=90°, AC=
tanB=√3，则∠C=
√3,
例1 如图，在△ ABC中，AD是BC边上的高，Leabharlann A若tanB=cos∠DAC，
（１）AC与BD相等吗？说明理由；
B
（２）若sinC＝ １ １ ２３ ，BC=１２，求AD的长。
D
C
解 （１）
在Rt △ABD和△ ACD中，tanB= AD ，co s∠ D AC ＝A D
BD
AC
因为tanB=cos∠DAC，所以 A D ＝ AD
（4）如果√cosA – —12
那么△ABC是（ D
A、直角三角形
C、钝角三角形
+ | √3 tanB –3|=0
）
²
B、锐角三角形
D、等边三角形。
Ｂ
Ｏ
Ｃ
Ａ
课内练习:
1．在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝Ｒt∠，根据下列
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三角函数的综合计算
【典型例题】
例1．如图，在直角△ABC 中，AB 是斜边，点P 在中线CD 上，AC=3cm, BC=4cm.设点P 、C 的距离为xcm ，△APB 的面积为2
ycm .那么，
x y 与的函数关系式是 ，x 的取值范围是 .
例2．如图，AB 、CD 是两根竖立的电线杆，A 、C 距离地面的高度分别 是AB=6米，CD=9米，在A 、C 处分别用钢萦将这两根电线杆固定， 则钢索AD 与BC 的交点
M 距离地面的高度MH= 米.
例3．在Rt △ABC 中，n n B A C 那么,5
4
sin ,51cos ,90-==︒=∠
的值是 .
例4．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 逆时针旋转后能与△ACD ′重合，那么D AD '∠cos = .
例5．将一副三角尺如图13，摆放在一起，连结AD ， 试求∠ADB 的余切值。
例6．在△ABD 中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC 、BC 的长是 关于x 的方程06m 3mx x 2
=++-的两个实数根. （1）求m 的值；
（2）计算B A B A sin sin sin sin ⋅++.
课堂练习
（1）如图8是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的 倾斜角为45o ，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度， 使新坡面的倾斜为30o ，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角 10
1.732≈≈）
2．设直线()011=-++y k kx （k 为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形面 积为20012000321),2001,,3,2,1(S S S S S k S k +++++=ΛΛ则= .
【备注】
A
C B
D
D
C
A B
图13
图8
大家一起行动起来：（时间为30分钟）
（1）．在ABC Rt ∆中，∠=∠Rt C ，且=
A cos 3
2
，那么=A sin ；在∆ABC 中，AB=AC=3，BC=2，则6cos B 等于
（2）．已知∠A 为锐角，且sin A 是24830x x -+=方程的一个根，
则sin A 的值为______________。
（3）在△ABC 中，∠C=90°，若∠B=2∠A ，则cot B 等于（ ）
A
C
．12
（4）tan1tan 2o o ……tan88tan89o o
的值为（ ）
A ．44
B ．45
C ．45．5
D ．1
（5）如图3，BC ⊥AC ，设,,,AD a BD b A a B β==∠=∠=，用含a 、b 、
α、β的代数式表示AC 的是（ ）
A ．sin cos a b αβ+
B ．cos sin a b αβ+
C ．cos cos a b αβ+
D ．sin sin a b αβ+
（6）如图4，在等腰三角形ABC 中，90o C ∠=，AC=6， D 为AC 上一点，1tan 5
DBA ∠=，那么AD 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D
．
（7）如图5，在四边形ABCD 中，60,o ABC A ∠=∠和∠
C
都是90o ，AD=11，CD=2，则对角线BD 的长为（ ）。
A ．13
B ．
C ．14
D ．
（8）如图6
，天空中有一个静止的广告汽球C ，从地 面A 测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得点C 的仰角 为60o ，已知AB=20m ，则气球与地面之间的距离为_____。
（9）如图9，一个小球由地面沿着坡度1:i =此时小球距离地面的高度为（ ）。
A ．5m B ． C ．D ．
10
3
m （10）．在Rt △ABC 中，90o
C ∠=，2
6,sin 3
AC B ==，那么AB 的长是（ ）。
【备注】
A
α
β
D
C
B 图3 A D C
图4 B
图5
A
D
B
C
A B C
图6
图9
A ．4
B ．9
C ．3
D ．2 （11）．如图10，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点
E 反射后照射 到B 点，若入射角α （入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足 分别为C 、D ，且11,6,3===CD BD AC ，则tan
A ．11
3
B ．311
C ．911
D ．11
9
（12）．如图11，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后， 点D 落在CB 的延长线上的D '处，那么tan BAD '∠等于（ ）。
A ．1
B
C
D ．
13．如图12，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直 距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75o ，若梯子底端距离地面的垂直距离 NB 为b 米，梯子的倾斜角为45o ，则这间房子的宽AB 一定是（ ）。
A ．
2
a b
+米 B ．2a b -米
C ．a 米
D ．b 米
14（1）(tan 60cos30)o o o +
（2）4cos60sin 45o
o
⋅
图10
图11
图12 A
M
B
75o 45o
N
【备注】
15．a 、b 、c 是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式2(2)4()()b c a c a =+-， 且有530a c -=，求sin sin sin A B C ++的值。
16．如图所示，在四边形ABCD 中，︒=∠︒=∠90,120ABC A ，AD=3，
33=BC ，BD=7，求AB 、CD 的长．
拓展练习：
1．（1）)90sin(cos )90cos(sin αααα-•+-•οο= 。
（2）已知cos30120.8643'︒=，则sin5948'︒= 。
（3）若α是锐角，且cos sin 230α-︒=，则α= 。
（4）︒⋅︒+︒⋅︒57cos 33sin 57sin 33cos = 。
（5）在锐角ABC ∆中，已知()tan 903A ︒-=，那么tan A = 。
（6）已知tan 2A =，1cot 2
B =，那么锐角A 与B 的关系是 。
（7） 若锐角A 满足tan cot 2A A -=，则22tan cot A A += 2．如图14，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，利用此图求tan15°的值 和sin15°的值。
图14
A B C
D
课后作业
课题： 姓名： 完成时间：
1．在︒30sin ，︒45cos ，4,2
-π
这四个实数中，有理数是 .
2．若a a 则,20cot tan ︒=为 .
3．计算：45sin 30cot 60sin 2+︒⋅︒= .
4．在△ABC 中，,AB CD ,90ACB ⊥︒=∠垂足为D ，AC=12，BC=5， 则CD 的长是 . 5．计算：
=︒
-
+-45tan 1
181
21 .
6．已知直角三角形的两条边长分别为63和，则斜边上的高等于 .
7．Rt △ABC 中，===︒=∠A BC AB C tan ,3,2,90则 ..
8．已知：在△ABC 中，︒=∠90ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ，若︒=∠30B ， CD=6，则AB
9．已知：在Rt △ABC 中，斜边AB=10，4
3
A tan =，则Rt △ABC 的周长
10．计算：tan30°－sin60°×cot60°＋2cos 45°=__________.
11．若tan α+cot α=3，α为锐角.则tan 2
α＋cot 2
α=__________.
12．已知：（1）,则
cos sin cos sin cos sin cos sin A A A A
A A A A
-++=+-___________。
（2）已知α是锐角，且tan α=
2，则cos α
=____________。