高一数学竞赛辅导三角函数王洪涛
刍议高中数学课堂中三角函数的教学实例
好家长 / 实践前沿刍议高中数学课堂中三角函数的教学实例河南省商丘市宁陵县第一高级中学/张世伟在高中数学课堂中，三角函数是比较困难的知识点，学生学习的过程中不仅会感到较大的压力，教师在进行教学的过程中也会面临非常大的压力。
在高中数学课堂教学的过程中，为了让学生更好的学习课堂教学的内容和知识点，以及完成教师安排的任务，并提升自身的成绩，教师必须对高中数学的教学实例进行合理的设计。
一、采用代入法快速解答问题在高中数学课堂教学中，采用代入法来解答三角函数对于高中生来说应该很熟悉，因此在高中数学教学的过程中，教师需要将代入法有针对性的引入三角函数问题的解答过程中，这样就能抛砖引玉的将学生们的学习兴趣以及积极性充分的激发出来，从而使得学生能够更好的学习三角函数，并达到提高三角函数阶梯技能的目的。
在高中几何解析的过程中，灵活运用相关的知识来进行代入法解题，并将高中数学与初中数学巧妙的结合在一起，让学生们意识到初中数学中的二次函数与高中数学的三角函数之间存在一定的联系，这样学生在学习高中数学的过程中就会感到难度有所降低。
同时教师课堂教学的过程中还能够举一反三，并运用代入法来指导学生们进行自主解题，从而达到触类旁通、抛砖引玉的教学效果。
二、转化思维，巧妙解题高中数学具有非常强的灵活性，且在数学的领域中，从小学直至大学，都展示出了数学的灵活性以及巧妙性。
解答数学的方法变化万千，因此教师在进行教学的过程中，一定要向学生展示出真正的魅力，并且要用灵活的数学思维来帮助学生们武装自己的大。
在高中数学课堂中，教师要采取有效的措施引导学生转化思维，巧妙解题。
例如：三角函数的图像以及直线y=2组成一个完全封闭的平面图形，问题：求解它的面积。
分析：如图1所示，当时，y=2sin x的图像具有一定的对称性，采用割补法计算面积即可。
在高中数学中，每一个知识环节都具有一定的内在联系，上述整个例题的题目的设置以及解答的过程中，其包含了图像位移、图形面积、图形对称以及定义域等多个方面的知识，因而存在非常大的跨度，且各个知识点之间具有非常强的联系性。
江苏省丹阳高级中学高二数学竞赛培训讲义：三角函数(一 )——三角变换 Word版缺答案
三角函数（一）——三角恒等变换一、常用的三角恒等式1、2222sin()sin()sin sin cos cos αβαβαββα+-=-=-； 2222cos()cos()cos cos sin sin αβαβαββα+-=-=-2、300sin 33sin 4sin 4sin(60)sin sin(60)αααααα=-=-+；300cos 34cos 3cos 4cos(60)cos cos(60)αααααα=-=-+3、333223sin sin ()sin ()sin 3334a ααππα+++-=-； 333223cos cos ()cos ()cos3334a ααππα+++-=4、sin sin sin sin()4sin sin sin 222αββγγααβγαβγ+++++-++=； cos cos cos cos()4cos cos cos 222αββγγααβγαβγ++++++++=5、tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-++=---6、11sin cos()22cos cos()cos(2)cos()sin 2n d x nd x x d x d x nd d +++++++++=L ； 11sin sin()22sin sin()sin(2)sin()sin 2n d x nd x x d x d x nd d +++++++++=L7、tan tan tan 2tan 2tan 3tan(1)tan tan n n na n ααααααα+++-=-L8、2211tan 2tan 22tan 22tan 2cot 2cot 2n n n n a ααααα--++++=-L9、在△ABC 中，（1）C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++；（2）2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotnC nB nA nC nB nA =++（n 为奇数）； 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++nA nC nC nB nB nA （n 为偶数） （3）2cos 2cos 2cos 2sin 4sin sin sin nC nB nA n nC nB nA π=++（n 为奇数）2sin 2sin 2sin 2cos4nC nB nA n π=（n 为偶数）； 2sin 2sin 2sin 2sin 41cos cos cos nC nB nA n nC nB nA π+=++（n 为奇数）； 2cos 2cos 2cos 2cos41nC nB nA n π+-=（n 为偶数） （4）4sin 4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C c B A C B A ---+=++πππ； 4cos 4cos 4cos 42cos 2cos 2cos C B A C B A ---=++πππ （5）)cos cos cos 1(2sin sin sin 222C B A C B A +=++；C B A C B s A cos cos cos 21cos co cos 222-=++；众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。
高一数学三角函数综合提升讲义
P xy AOM T 高一数学三角函数综合提升讲义一．重难点整合：1.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z2.已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 3.弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．4.若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．5.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．6.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．7.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．7.同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222si n 1c o s ,c o sαααα=-=-； ()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．8.三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．9.函数sin y x =的图象上所有点向左平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．10.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数 性质对称轴()x k k π=∈Z二．典例精析 基础题：1.若角α与β终边相同，则一定有（ ）．A ．180αβ+=B ．0αβ+=C ．360,k k Z αβ-=⋅∈D ．360,k k Z αβ+=⋅∈2.设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．(360,0)- ∵αβ<，∴0αβ-< ，又180180α-<< ，180180β-<-< ，∴360360αβ-<-<．综上可知αβ-的范围是3600αβ-<-<． 3.若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin α2，cos α2中必定为正值的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角，sin2α>0，cos2α符号不确定，α2为第一或三象限角，sin α2，cos α2的符号均不确定．故选B. 答案：B4.解答下列问题：(1)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)若tan(cos θ)·tan(sin θ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围．解：(1)∵θ在第四象限， ∴0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，∴sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， ∴sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧ tan(cos θ)>0，tan(sin θ)>0或⎩⎪⎨⎪⎧tan(cos θ)<0，tan(sin θ)<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<cos θ<1，0<sin θ<1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<cos θ<0，－1<sin θ<0，即θ在第一或第三象限； 若θ在第一象限，则θ2的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则θ2的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．5.已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++．解：由已知，得1tan 2α=，则（1）sin 3cos sin cos αααα-+13tan 3521tan 1312αα--===-++； （2）2sin sin cos 2ααα++222sin sin cos 2(sin cos )ααααα=+++22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα++=+ 223tan tan 2tan 1ααα++=+ 22113213225112⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 6.已知1sin cos 5αα+=，(0π)θ∈，，求下列各式的值． （1）tan θ； （2）sin cos θθ-； （3）33sin cos θθ+．解：（1）1sin cos 5θθ+=∵，((0π))θ∈，， 21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+=∴·． 12sin cos 025θθ=-<∴·．sin 0θ>∴，cos 0θ<．联合221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，整理可得225sin 5sin 120θθ--=．解得4sin 5θ=，或3sin 5θ=-（舍去）．4sin 5θ=∴，3cos 5θ=-．4tan 3θ=-∴． （2）2247sin cos (sin cos )12sin cos 1255θθθθθθ-=-=-=+=∵·． （3）3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )θθθθθθθθ+=++-· 11213771525525125⎛⎫=+=⨯=⎪⎝⎭． 7.化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．8.已知1cos(75)3α+=°，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-°°的值 ．解：cos(15)sin(75)αα-=+°°，又α是第三象限角，sin(75)0α+<∴°． 22sin(75)3α+=-∴°． 而1sin(15)cos(75)3αα-=-+=-°°．∴原式221221333+=--=-9.已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 【解】∵43tan -==x y α∴ 43tan cos sin sin sin )29sin()211cos()sin()2cos(-==⋅-⋅-=+---+ααααααπαπαπαπ已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．10.是否存在一个实数k ，使方程286210x kx k +++=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？解：设直角三角形两个锐角为αβ，，则sin sin αβ，是方程286210x kx k +++=的两个根． 90αβ+=∵°，sin cos βα=∴．由根与系数的关系，得3sin cos 421sin cos 8k k αααα⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩①· ②2-⨯2①②，整理得298200k k --=，解得121029k k ==-，． 当2k =时，原方程变为281250x x ++=， 1441600∆=-<，∴原方程无解，2k =舍去． 将109k =-代入②，得11sin cos sin sin 72αααβ==-··， sin sin αβ，∴异号，应有sin 0α<或sin 0β<，实际上sin 0α>，sin 0β>， 109k =-∴不满足题意，k ∴值不存在．11.已知函数f (x )＝21log (sin x －cos x )（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.【解】 （1）由题意得sin x －cos x ＞0，即 2 sin(x －π4)＞0从而得2kπ＜x －π4 ＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋π4 ，2kπ＋5π4 ）(k ∈Z )∵0＜sin(x －π4 )≤1，∴0＜sin x －cos x ≤ 2即有21log (sin x －cos x )≥21log 2 ＝－12 .故函数的值域是［－12，+∞).（2）∵sin x －cos x ＝ 2 sin （x －π4 )在f (x )的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π4 ）(k ∈Z )，函数f (x )的递减区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π4）(k ∈Z ). (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， ∴函数f (x ）是非奇非偶函数.（4）f (x ＋2π)＝21log ［sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)］＝21log （sin x －cos x )＝f (x ).∴函数f (x )是周期函数，2π是它的一个周期.12.如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式【解】（1）由图可知，从4～12的的图像是函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 的三分之二个周期的图像，所以1)24(213)24(21=-==+=c A ，故函数的最大值为3，最小值为－3∵8232=⋅ωπ∴ 6πω=∴ 12=T 把x=12,y=4代入上式，得2πϕ=所以，函数的解析式为：16cos3+=x y π（2）设所求函数的图像上任一点（x,y)关于直线2=x 的对称点为（y x '',），则y y x x ='-=',4代入16cos3+=x y π中得1)632cos(3+-=xy ππ ∴ 与函数16c o s 3+=x y π的图像关于直线2=x 对称的函数解析式为：1)632cos(3+-=xy ππ13.已知函数x x y 21cos 321sin +=，求：（1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间 【解】∵ )321sin(2π+=x y （1）∴ 函数y 的最大值为2，最小值为－2，最小正周期πωπ42==T（2）由Z k k x k ∈+≤+≤-,2232122πππππ，得函数y 的单调递增区间为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,34,354ππππ提高题：解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0由单位圆，如图2-12所示k∈Z}(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k既不是奇函数，也不是偶函数．【例6】求下列函数的最小正周期：(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期．(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤1【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合物线的图象如图2-14所示两种可能．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．y单调递增故递增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Zy单调递减故递减区间为[16k+2，16k+10]，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故选A．解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通过观察和度量得MP＜OM＜BS 从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴应选A∴cosθ＞sinθ从而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A．∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象．∴选D再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3 D．4在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ又设矩形EFGH的面积为S，那么又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°设矩形的面积为S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1。
高中数学复习专题讲座(第17讲)三角函数式在解三角形中的应用
题目 高中数学复习专题讲座三角函数式在解三角形中的应用高考要求三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧重难点归纳(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘典型题例示范讲解例1在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图 本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力知识依托 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系错解分析 考生对方位角识别不准，计算易出错技巧与方法 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题解 (1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)在Rt △PAC 中，∠APC =30°，∴AC =33 (千米)在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴ABACBC(2)∠DAC =90°－60°=30°sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°=2010)133()10103(121232-=-⋅-在△ACD 中，据正弦定理得CDA AC DCAAD sin sin =，∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDADCA AC AD答 此时船距岛A 为1339+千米例2已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2C A -，f (x )=cos B (CAcos 1cos 1+)(1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域命题意图 本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力知识依托 主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题错解分析 考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题技巧与方法 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意|2C A -|的范围解 (1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°2coscos1cos cos 22()2cos cos cos()cos()A CA CA C f x A C A C A C +-+=⋅=⋅++-222,143212x x x x ==--+-∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］(2)设x 1＜x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x =)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞04x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)例3已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2BBCAcos 2cos 1cos 1-=+，求cos2C A -的值解法一 由题设条件知B =60°，A +C =120°设α=2C A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α，1111cos cos cos(60)cos(60)ACαα+=+︒+︒-所以2222=+222cos cos ,133cos sin cos 444ααααα==--依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα.2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0 从而得cos2=-C A解法二 由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①， 把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+ ③， 将cos2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得)cos(2222cosC A CA --=-④将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④42cos 2(2C A -)+2cos2C A -－32=0，(*)，(2cos 3)0,22A C A C ---+=30,2cos0,22A C A C --+=∴-=:cos22A C -=从而得学生巩固练习1 给出四个命题 (1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形 以上正确命题的个数是( )A 1B 2C 3D 42 在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan32tan2tanC A C A ++的值为__________3 在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________4 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积5 如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？6 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，cos22sin 42=-+A C B(1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值7 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值8 在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值参考答案1 解析 其中(3）(4）正确答案 B2 解析 ∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan2tan32tan2tan)2tan2tan1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴C A C A C A C A C A C A 故π答案 33 解析 ∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C 3∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B 4故cos B 3即sin(A+C )=54，cos(A +C )=∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－答案6255274 解 如图 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C∵A+C =180°，∴sin A =sin C 故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ， ∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=85 解 R =r cos θ，由此得20,cos 1π<θ<θ=Rr，22222sin sin cos (sin cos )k I k k rRRθθθθθ⋅=⋅=⋅=⋅⋅222222322222()2sin (1sin )(1sin )()()3sin ,tan 32k kI RR k I h R RRθθθθθ=⋅⋅--≤⋅≤===由此得等号在成立此时.1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc ac b bcac b A bc ac b A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解7 解 由a 、b 、3c 成等比数列，得 b 2=3ac∴sin 2B =3sinC ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］∵B =π－(A+C ) ∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=1∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π 又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C π8 解 按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DPA =θ，∠BDP =2θ， 再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x 在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知BAPBP sin =∴BP =)120sin(sin θθ-︒a在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDPBP DBPDP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°， ∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3课前后备注。
部编人教高中数学必修4《三角函数1.武术运动》王聚法教案PPT课件 一等奖新名师优质课比赛教学设计
五步拳教学设计一、内容提要: 1. 指导思想与理论依据 2. 教学背景分析 3. 教学目标设计 4. 教学过程与教学资源设计 5. 学习效果评价设计二、指导思想与理论依据: 1. 坚持“健康第一”的指导思想 2. 确立学生主体地位，发挥教师主导作用。
3. 以激发兴趣为前提，提高身体、心理素质 4. 重视培养学生合作学习、探究学习的能力 5. 注重个体差异、分层教学 6. 充分发挥班集体和体育骨干的作用 7. 掌握运动专长及养成终生体育锻炼的习惯三、教学背景分析: 1. 教材内容分析：本课教材内容：五步拳1—4式五步拳是武术中步型组合的一种基本训练方法，是学习其他武术技术的基础和前提保障，该技术作为模块教学中的重点技术。
本节课是“五步拳”单元教学中第一次课。
2. 学情分析: 授课班级：新郑市第三中学一十班，男29人女生11人该教学班学生活泼好动，乐于表现，勇于挑战，富于想象，模仿能力强，他们武术运动有较强的好奇心和学习意愿，但基本没有从事过武术运动，基本功较差。
四、教材内容: 五步拳一至四式预备姿势，并步抱拳, 拗弓步冲拳，弹踢冲拳，马步架打，歇步盖打。
|五、教学目标设计: 1 、认知技能目标：通过本次课学习使学生体会五步拳动作要领，培养学生正确的五步拳技术动作，学生基本掌握技术动作要领。
2、身体目标：发展学生协调、灵敏、柔韧和力量素质； 3、感情目标：培养学生团结协作，互相学习的精神，勤奋、刻苦的意志品质；六、教学重难点教学重点：武术基本手型步型教学难点：手型步型配合、动作流畅连贯七、场地、器材准备：黑板4块，挂图4幅，篮球场一块。
八、教学过程：开始部分(8分钟) 1. 课堂常规：体育委员委整队集合、师生问好、教师宣布本课任务、检查着装、安排见习学生; 组织队形：四列横队;要求站队“快、静、齐”; 队伍整齐，精神饱满。
2. 准备活动 A. 圆形跑动，B. 游戏喊数抱团组织：学生绕圆跑动首位相接，跑动完成后组织喊数抱团游戏。
高中数学竞赛辅导讲座-数列(二)
高中数学竞赛辅导讲座—数列（二）【基础知识】1、概念：①、递归式：一个数列{a n }中的第n 项a n 与它前面若干项a n-1,a n-2…a n-k ，（k<n ）的关系式称为递归式。
②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。
2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法，不动点法，归纳猜想等。
3、思想策略：构造新数列的思想。
4、常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n 解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。
类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =A αn +B βn ，代入初始值求得B A ,。
类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。
解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。
5、与递归数列有关的综合问题，一般可先求其通项公式，利用通项公式，结合多方面的知识和各种数学方法加以解决。
如与不等式结合的综合题，就利用比较法、放缩法等。
若给出的数列难于求通项，可借助与构造法、数学归纳法、函数与方程的知识等加以解决。
【例题选讲】1、已知a 1=2，a n=1n 2a 2-+，求数列{a n }的通项公式。
解：由数学归纳法，不难证明0< a n <2(n=1,2,….),故可设a n =2cos θn （0<θn <2π）,于是2cos θn =1n 2a 2-+=2cos 21n -θ故θn =21θn-1 ，由a 1=2，得θ1=4π因此，θn =θ1（21）n-1=12+n π，所以a n =2cos 12+n π 2、正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇因子（例如g （3）=3，g （20）=5），求g （1）+ g （2）+ g （3）+……..+ g （2n ）(其中n ∈N*)解：设S n = g （1）+ g （2）+ g （3）+ ……. g （2n ）,则易知S 1= g （1）+ g （2）=2 由g （k ）定义知：当k 为奇数时，g （k ）=k ；当k 为偶数，即k=2m （m ∈N*）时，g （k ）=g （m ）。
探讨三角函数解题思路与方法
探讨三角函数解题思路与方法作者：张志刚来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期随着经济全球化的发展，人们生活水平得到了很大的提高，对教育提出了更高的要求，数学是中学教学中一个重要的科目，为了提高教学质量，学校和教师都在对教学模式进行改进，在数学教学中，三角函数是其中一个重要的内容，要全面提高学生的成绩，必须让学生切实掌握三角函数这一章节的知识内容.本文对三角函数的特点进行全面分析，并探究其解题的思路与方法，使学生容易理解，从而获取理想的教学效果.一、三角函数的特点分析三角函数知识非常重要，与立体几何、平面几何以及函数息息相关，学生只有掌握好三角函数才可开展这几个知识点的学习.三角函数主要具有以下几个特点：首先，在三角函数中，所涉及到的公式非常多，在进行教学时，要让学生完全理解公式，并加强学生对公式的记忆，进行解题时，三角函数解题方法比较多，而且变换较多；其次，具有思想方法极其集中的特点，例如，数形结合思想、函数方程思想以及化归思想，每种思想都具有其不同的特点，学生要全面掌握；再者，应用区域范围广，学科之间具有相互联系的特点，尤其是三角函数常常运用于物理的解题上，教师在进行三角函数教学时，要注意知识面的拓展，并将教学重点放在三角知识的弧度制、三角函数的图象方面、特殊角三角函数以及求最值等方面，让学生重点掌握这方面的知识点，熟悉公式，灵活运用恒等变形、公式等，来解决各种各样有关三角函数的问题.三角函数是数学学习中一个重要的内容，具有一定的难度，教师要巧妙引导学生，使学生掌握解题的思路与方法，让学生正确解题，树立其学习的信心，对教学具有积极性的作用.二、三角函数主要的解题方法三角函数的解题方法比较多，主要有平方法、角度解题法以及换元法，学生掌握这些方法之后，认真审题，分析题目，并采用相关的方法进行解题，即可在规定的的时间内完成解题任务.1.平方法的应用平方法是解决三角函数问题常用的一个方法，对题目进行分析，若是涉及到正弦、余弦方面的问题时，可以考虑是否能采用平方法进行解决.例如，已知θ∈（0，2π），cosθ、sinθ是方程x2-kx+k+1=0的两个根，求k的值.分析当遇到类似这样的问题时，学生可先从用韦达定理入手，通过韦达定理求出k的值，一般情况下，所求得的k值都有2个值，其中有一个值需要舍去.该题的正确解答步骤为：根据韦达定理可得：k2-2k-2=1，由此计算出k=-1或是k=3.由于二次方程必须要满足Δ≥0，由此可知k≥2+22，或是k≤2-22，因此，要将k=3舍去，取k=-1.在解决这一类问题时，值得注意的是，学生必须要掌握最基本的解题方法，然后再采用取倒数、取平方等方法进行解题.平方法需要建立在基础知识之上进行运用，因此，教师在进行三角函数教学时，要注重基础知识的教学，让每一个学生都掌握好基础知识.2.角度解题法从角度着手，在解决三角函数问题中常常被用到，当遇到以下类型的问题时，可从角度入手进行解决.已知5sinB=sin（2A+B），证明：tan（A+B）/tanA=3/2.遇到此类问题时，首先要对问题进行分析，从角度方面考虑分析问题，对条件和结论两者之间的联系，进行剖析.分析发现，在结论当中存在A+B以及A，而条件中存在5sinθ=sin（2A+B），这就需要用A、A+B两者来表达条件中所存在的角.具体步骤如下：证明：根据5sinB=sin（2A+B），可知5sin[（A+B）-A]=sin[（A+B）+A]，进一步展开即可.此解法充分表现出角度解题法的特点，将结论中的角，与条件中的角相互转化，使结论和条件相互统一、一致，在解决这一类问题时，还使用到另一种方法，就是弦切互化的方法，所以，教师要指导学生各种方法的巧用.3.换元法的使用另外，换元法也是一种常用的解决三角函数问题的方法，当遇到求最大值，或是最小值的问题时，可考虑采用换元法进行解决.但是，在使用换元法中，需要注意的问题是复合三角函数问题，复合三角函数是高考的热点，学生对题目进行详细分析，巧妙地采用换元的方法，将三角函数式简易化，转化为其他函数问题，便可迅速解答.除了在求最值上采用到换元的方法，在进行一些求证问题上也可使用例如：求证（1-cosA+sinA）/（1+sinA+cosA）=（1-cosA）/sinA.证明：将sinA和cosA分别设为x与y，那么就有x2+y2=1，原来的等式就为（1-y+x）/（1+y+x）=（1-y）/x，推出x2+y2=1.由于每个学生的知识接受能力各不相同，换元方法是思维的转换，学生掌握此方法具有一定难度，教师要慢慢讲解，让每一个学生都可掌握此方法，从而提高解题效率.三、结语三角函数是数学中一个重要的章节，要全面提高学生的数学成绩，必须将三角函数这部分教学任务落实到位.三角函数中的知识内容，对大部分学生来说都具有很大的难度，教师在鼓励学生的同时，还需要将解题方法简易化，让学生更好理解、掌握.。
高三数学辅导讲座函数(三)_王洪涛
2
1 1 在 ( 0 ， ]上函数①的最大值是 ， 2 4 1 在 ( 0 ， ]上，当0＜a＜1时，②的最小 2 1 值是 log a ， 2
1 在 ( 0 ， ]上，x2＜log a 2
x恒成立
1 1 log a 4 2
1 1 1 当0＜a＜1时，由 log a ，得 1 a 4 4 2 2 1 ∴ a1 16
例2 如果不等式 x2－ log a ＜ x 0
1 在区间 ( 0 ， ] 上恒成立，那么实数a 2 的取值范围是___________．
1 1 log a 2 4 0a1
【讲解】 设y＝x2
①
y＝log a x ② 1 当a＞1时，函数②在 ( 0 ， ] 上取负值，
2 m 4 0 令 ， 则m≤－2 m 0
(1) 当m＜－2 时， ① 有正实根，②有两个不等正实根． ∴ 原方程有三个实根； (2) 当m＝－2 时， ① 有正实根，②有一个正实根． ∴ 原方程有两个实根； (3) 当－2＜m＜0 时， ① 有正实根，②无实根． ∴ 原方程有一个实根；
=sinθ+cosθ
(sin cos ) 2 1 2 sin cos 1
故a<15 综合得：1<a<15
例11.已知0<a<1,x2+y=0，求证： 1 x y log a (a a ) log a 2 8 证：因为0<a<1，所以ax>0,ay>0由平均值不等式
例10.设f(x)=logax (a>0,a≠1)且
8 25 f ( ) sin , f ( ) cos 15 6
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∴原式=
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解法2：原式= ==
· ··· ·
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【例3】求cos420°E+vcaoslu44a0t°io+ncoosn4l8y0. °的值。 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
证明：∵0< < <···< < <1
∴0<sin < ， ，cos2 =1-sin2 >1- =
k=2，3，…，n。 Evaluation only.
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【例1】（1）已知cosβ= <β<π，求sinα的值。
，sin(α+β)=
，且0<α<
（2）已知sin( -α)= ，求
的值。
提示：（1）sinαE=valuation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在 现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、 数学竞赛中的必考内容之一．
求cos(x+2y)的值。
解：原方程组化为
∵x,-2y∈[- , ]，
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∴x=-2Cy，o∴pcyorsig(xh+t22y)0=10。4-2011 Aspose Pty Ltd.
t∈( ， )，sint= - 作出函数y= sint，t∈( ， )的图象：
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由图象可以看出：当-1< - ， <1且- ≠ 即-2<a<- 或
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、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、 立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．
【例1】 求函数y=2sin( -2x)的单调增区间。
【例2】 若φ∈（0， ），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，
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解：C∵o在py（r0ig，h）t 2中0，04si-n2x0<x1<1taAnsx，po而s0e<cPotsyx<L1t<d.
∴sin(cosφ)< cosφ。∵在（0， ）中，y=cosx单调递减，
∴cosφ< cos(sinφ)。 ∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。
【例3】 已知x,y∈[- , ]，a∈R，且
【例4】 求证：在区间（0， ）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，
使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d． 证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0， ]内是
单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，
f（ ）＝cos（sin E）v－alua=tcioons 1o－nly.<0， ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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诱导公式
定义
同角三角函数的基本关系 单位圆与三角函数线 图象性质
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象
y=asinα+bcosα的 CαE±vβ aluation only. te最d值with Aspose.SSαl±idβ、eTsα±foβ r .NET 3.SC522ααC== lient
Sα/2=
PCrαo/2=file
5.2
正弦定C理op、yright积2化0和04差-2公0式11 AspoTs2eα=Pty LtTdα./2=
促进转化
活用公式，差异转化，矛盾统一
1、以变角为主线，注意配凑和转化；
2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；
3、见和差，想化积；见乘积，化和差；
4、见分式，想通分，使分母最简；
5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；
微 6、见sin2α，想拆成2sinαcosα； 观 7、见sinαE±vaclousaαtio或n only. sinα+sinβ=p ted直觉withCAo8sp、pyo见r想sigae两h.Sts边i2lin平0dα0e方4s+b-或f2oc0和ro1.s差1NαE化A，Ts积p想3o.化s5ceo为CsPαlite+ycnoLtstβPdr=.oq file 5.2
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；
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作出函数y=ctgx在（Ev0，alua）t上io的n 图on象ly，.可看出：β<α<γ。 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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【例6】 n∈N，n≥2，求证：cos ·cos ·····cos >
唯一性，知c也唯一。故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例5】α、β、γ∈（0， ），且cotα=α，sin(cotβ)=β， cot(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。
解：∵α、β、γ∈（0， )∴cotβ>0，0< sinγ<γ< ），
∴β=sin(cotβ)< cotβ，γ=cot (sinγ)> cotγ。
－ <a<2时，sint= 两根α、β，并且
有相异两根t1、t2，原方程有相异
当-2<a<- 时，t1+t2=(α＋。 ）+（β+ )=π，α+β=
当- <a<2时，t1+t2=(α+ )+(β+ )=3π，α+β=
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余弦定理、
面积公式
和差化积公式 万能公式 降幂公式
三角解题常规
分析差异 指角的、函数的、运算的差异
Evaluation only. ted路w宏观思ithCAo寻spp找yorsi联geh系.St 2li0d0e4s利-f2用o0r有1.关1N公EAT式sp，3o.建s5e立CP差lite异yn间Lt t关Pdr系.ofile 5.2
a2 b2 sin(αφ)形式
9、见cosα·cosβ·cosθ····，先
10运、见用ccoossαα+c2siosnisn2(ααα若+β不)行，则化和差2
s
in
பைடு நூலகம் 2
+cos(α+2 β )····， 想乘 2 sin
2
一、三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性
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