三角函数(自主招生辅导)

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第十三讲三角综合提高自主招生

第十三讲三角综合提高【考点说明】三角是一个极其强大且非常重要的内容，在代数与几何中都占据着非常重要的地位，有着十分丰富的应用。

在自主招生中，三角的热点问题是：三角函数的化简与求职，解三角形，三角函数的而图形与性质。

不过难度并不大，主要以基础内容为主。

【知识引入】一．两角和、差的三角公式：1.正弦：sin()sin cos cos sin A B A B A B ±=±2.余弦：cos()cos cos sin sin A B A B A B ±=3.正切：tan tan tan()1tan tan A BA B A B±±=二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

212(1)sin ,sin()2(1)cos ,n n n n n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数， 212(1)cos ,cos()2(1)sin ,n n n n n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数三．二倍角公式：1.余弦：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 2.正弦：sin 22sin cos ααα=、（3）正切：22tan tan 21tan ααα=-四．辅助角公式：sin cos )(tan )ba b aαααϕϕ+=+=►注意：sin cos A x B x C +=有实数解222A B C ⇔+≥ 五．半角公式（万能公式）：sin cos 221cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos αααααααααααα==-===++===- 六．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== （R 为三角形外接圆的半径）七．余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-八．三角形面积公式：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===【知识拓展】三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：一．三倍角公式：3s i n 33s i n 4s i n ααα=-，2c o s 34c o s 3c o s ααα=-001sin sin(60)sin(60)sin 34αααα+-=001cos cos(60)cos(60)cos34αααα+-=，00tan tan(60)tan(60)ααα+⋅-t a n 3α=。

自主招生试题三角函数

自主招生试题三角函数
以下是一些关于三角函数的自主招生试题示例：
1. 计算题：已知角A的正弦值sin(A) = 0.6，且A是锐角，求cos(A)的值。

2. 应用题：一座塔高100米，在塔底处以30°的仰角朝塔顶方向观察，观察者的眼睛距离地面1.5米。

求观察者到塔顶的距离。

3. 推导题：推导sin(A + B)的公式。

4. 几何题：在直角三角形ABC中，角A = 30°，边AB = 5，边AC = 10，求边BC的长度。

5. 反函数题：已知函数y = sin(x)在区间[-π/2, π/2]上是严格递增函数，求函数y = sin^(-1)(x)的定义域和值域。

6. 实际问题题：一艘船从一个岛屿出发，以恒定速度航行，航行方向与岛屿的正北方向夹角为θ。

船航行了3000米后，测得船离岛屿的直线距离为2000米，求θ的值。

这些题目涉及了三角函数的基本概念、性质和应用，考察了对三角函数的计算、推导和几何解题能力。

希望这些题目能帮助你进行自主招生的准备。

请注意，这仅是示例题目，实际的自主招生试题可能会根据不同学校和年份有所不同。

建议你参考学校招生手册和相关资料，了解具体的考试要求和内容。

我的高三数学家教辅导资料——三角函数

[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4. (2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是 3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小．【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12. 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32. 再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22. 由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22. 由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12. 设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解答】由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45° ＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C 2. (1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c. 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k . 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B. 所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. (2)由正弦定理及sin C sin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值； (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p ＞0，所以62＜p ＜ 2.[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. (2)由sin C sin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B <π. 所以sin B ＝154. 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.[2011·重庆卷] 设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)．求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．【解答】f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin2x －cos2x . 由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时 ,2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.。

2019年高校自主招生考试数学真题分类Word版含解析精心整理(打包9套真题)

2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。

1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。

C.-错误!未找到引用源。

D.-错误!未找到引用源。

3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。

称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。

高三数学自主招生辅导课件第二讲_三角函数

≠
即-2<a<-
或
－ <a<2时，sint= 有相异两根t1、t2，原方程有相异两根α、β，并且。当-2<a<- 时，t1+t2=(α＋）+（β+ )=π，α+β= 当<a<2时，t1+t2=(α+ )+(β+ )=3π，α+β=
【例11】求cos420°+cos440°+cos480°的值。
商丘市一高奥赛+自主招生+保送生培训专题
第二部分三角函数
cherdy
主要内容提炼
同角三角函数的基本关系诱导公式定义单位圆与三角函数线图象性质
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asinα+bcosα的最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式和差化积公式
正弦定理、余弦定理、面积公式
想两边平方或和差化积 8、见a sinα +b cosα ，想化为
a 2 b 2 sin( α φ )形式
9、见cosα ²cosβ ²cosθ ²²²²，先 sin2α 若不行，则化和差运用cosα
10、见cosα +cos(α +β )
2 sin α
+cos(α +2 β )²²²²，
【例10】方程 sinx+ cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、 β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。
解：∵
t∈(
sinx+cosx+a=0，∴sin (x+
)=-
。令t= x+

自主招生竞赛三角函数【讲师版】

三角函数知识定位三角函数的知识无论是在高考，自招还是竞赛中都是必考知识。

有时三角函数会以单独题目出现，如解三角形，证明三角恒等式、不等式等，也有时是解决其他问题的必经之路或是辅助工具，如数列问题，平面几何问题，复数问题等等。

本节将介绍三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

（注：本章中A ，B ，C 同时出现即默认为三角形ABC 的三个内角）知识梳理三倍角公式)3tan()3tan(tan tan 31tan tan 33tan )3cos()3cos(cos 4cos 3cos 43cos )3sin()3sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333απαπααααααπαπαααααπαπαααα-+=--=-+=-=-+=-=教学提示：在这里可以向学生指出，对αn sin 和αn cos 而言，它们分别是αsin 和αcos 的n 次多项式，这一点可以通过数学归纳法结合两角和公式来证明。

三个公式的后半部分有时可以处理一些三角函数的连乘问题。

三角形的一些简单的恒等式1cos cos cos 22cos 2cos 2cos 2sin2sin 2sin 41cos cos cos 2cos2cos 2cos 4sin sin sin 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan sin sin sin 42sin 2sin 2sin 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot1cot cot cot cot cot cot tan tan tan tan tan tan =++++=++=++=++=++=++=++=++C B A C B A CB AC B A CB AC B A AC C B B A CB AC B A C B A C B A A C C B B A C B A C B A教学提示：在这里可以向学生指出，如第一，二，三，五，八个恒等式常可以用来做三角代换，即在一些给定条件如xyz z y x =++的代数问题中可以作代换A x tan =，B y tan =，C z tan =进而使用三角函数知识以及条件π=++C B A 解决问题。

非学科数学学培训三角函数综合复习(资料附答案)

自学资料一、解直角三角形综合复习【知识探索】1．三角函数：（1）特殊角的三角函数值的计算；（2）仰俯角的定义；（3）影子问题。

【错题精练】例1．如图1，为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm．长度均为20cm的连杆BC，CD与AB 始终在同一水平面上．（1）旋转连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC=150∘，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD绕点C逆时针旋转，使∠BCD=165∘，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）第1页共30页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【解答】（1）过点B作BO⊥DE，垂足为O，如图2，则四边形ABOE是矩形，∠OBD=150∘−90∘=60∘，∴DO=BO⋅sin60∘=40×sin60∘=20√3，∴DE=DO+OE=DO+AB=20√3+5≈39.6cm．（2）下降了．如图3，过点D作DF⊥l于点F，过点C作CP⊥DF于点P，过点B作BG⊥DF于点G，过点C作CH⊥BG于点H，则四边形PCHG为矩形，∵∠CBH=60∘，∴∠BCH=30∘，又∵∠BCD=165∘，∴∠DCP=45∘，∴CH=BCsin60∘=10√3，DP=CDsin45∗=10√2，∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=10√2+10√3+5．∴下降高度：DE−DF=20√3+5−10√2−10√3−5=10√3−10√2≈3.2cm．【答案】（1）DE≈39.6cm；（2）下降了，约3.2cm．例2．如图，在⊙O中，AB=AC，弦AB⊥CD于点E，BF⊥AB交AD的延长线于点F，连结BD．第2页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训（1）证明：BD=BF；，BF=5，求CF的长．（2）连结CF，若tan∠ACD=34【解答】（1）证明：连接BC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ADC，∵圆内接四边形ACBD，∴∠ACB=∠FDB，∴∠ADC=∠FDB，∵∠F+∠FAB=∠ADC+∠FAB=90∘，∴∠ADC=∠F，∴∠FDB=∠F，∴BD=BF；，BF=5，（2）解：∵∠ACD=∠ADB，tan∠ACD=34∴DE=3，BE=4，AE=6，CE=8，过F作FH垂直于CD的延长线，垂足为H，∵矩形HEBF，∴HF=EB=4，HE=FB=5，∴HC=HE+EC=5+8=13，在Rt△FHC中，CF=√132+42=√185．【答案】（1）略；（2）√185．例3．如图，汽车在一条南北走向的公路上以每小时60千米的速度匀速向北行驶，当汽车在A处时，某信号塔C在它的北偏西30°方向，汽车前行2分钟到达B处，此时信号塔C在它的北偏西45°方向．（1）求AB的距离；（2）求信号塔C到该公路的距离．（√3≈1.73，结果精确到0．1千米）．第3页共30页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】（1）解：AB=60×2=2（千米）；60（2）解：作CM⊥AB，垂足为M，设CM=x（千米），在RTΔACM中，∠CAM=30∘，∴AC=2CM=2x，在RTΔBCM中，∠CBM=45∘，∴∠CBM=45∘（千米），∵AM2+CM2=AC2，(2+x)2+x2=(2x)2，x1=1−√3（舍去）x2=1+√3，∴CM=1+√3≈2.7（千米），答：信号塔C到该公路的距离约2.7千米．【答案】（1）2；（2）2．7．例4．如图，有一个底面直径与杯高均为15㎝的杯子里面盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52∘才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面~cm．（sin52∘≈0.79，cos52∘≈0.62，tan52∘≈1.28）第4页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】21.15．例5．如图1，点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．（1）判断CN、DM的数量关系与位置关系，并说明理由；（2）如图2，设CN、DM的交点为H，连接BH，求证：BH＝BC；（3）将△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延长MA′交DC的延长线于点E，如图3，求cos∠DEM．【解答】（1）CN＝DM，CN⊥DM，∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，∴AM＝DN在△AMD和△DNC中，{AM=DN∠A=∠CDNAD=DC，∴△AMD≌△DNC（SAS），∴CN＝DM，∠CND＝∠AMD．∴∠CND+∠NDM＝∠AMD+∠NDM＝90°，∴CN⊥DM，∴CN＝DM，CN⊥DM；（2）如图，第5页共30页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第6页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训延长DM 、CB 交于点P ．∵AD ∥BC ，∴∠MPC ＝∠MDA ，∠A ＝∠MBP ，在△AMD 和△BMP 中{∠MPC =∠MDA∠A =∠MBP MA =MB∴△AMD ≌△BMP （AAS ），∴BP ＝AD ＝BC ．∵∠CHP ＝90°，∴BH ＝BC ，（3）如图，∵AB ∥DC ，∴∠EDM ＝∠AMD ＝∠DME ，∴EM ＝ED ．设AD ＝A′D ＝4k ，则A′M ＝AM ＝2k ，∴DE ＝ME ＝EA′+2k ．在Rt △DA′E 中，A′D 2+A′E 2＝DE 2，∴（4k ）2+A′E 2＝（EA′+2k ）2，解得A′E ＝3k ，∴在直角△A′DE 中，cos∠DEM =35．【答案】（1）CN ＝DM ，CN ⊥DM ；（2）见解答；（3）例6．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠DAB=60°，AE 分别交BC 、BD 于点E 、F ，CE=2，连接CF ，以下结论：（1）tan ∠DCF= ；（2）△ABF 的面积为．第7页共30页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】3√37，18√35例7．已知边长为3的正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，且BE =2CE ，连接AE 交射线DC 于点F ，若△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B 1处．（1）如图1，若点E 在线段BC 上，求的长；（2）求sin∠DAB 1的值；（3）如果题设中“BE =2CE ”改为“BECE =x ”，其它条件都不变，试写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式及自变量x 的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB ∥DF ，∴AB CF =BE CE ，∵BE =2CE ，AB =3，∴3CF =2CECE， ∴CF =32；（2）解：①若点E 在线段BC 上，如图1，设直线AB 1与DC 相交于点M ，由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF，设DM=x，则CM=3−x，又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2,∴x=54，∴DM=54，AM=134,∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF，∵BE=2CE，∴BC=CE=AD，∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32，第8页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第9页共30页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训在Rt△ADN 中，AD 2+DN 2=AN 2，∴32+x 2=(x +32)2， ∴x =94，∴DN =94，AN =154，sin∠DAB 1=DN AN =35；（3）解：若点E 在线段BC 上，y =9x 2x+2，定义域为x ＞0；若点E 在边BC 的延长线上，y =9x−92x ，定义域为x ＞1．【答案】（1）32；（2）513或35；（3）．例8．如图1，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的中点，DE ⊥AB 交AC 于E ，连EB 、CD ，线段CD 与BF 交于点F ，若AC =8，tanA =12，则CF DF = ；如图2，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的一点，DE ⊥AB 交AC 于E ，连EB 、CD ，线段CD 与BF 交于点F ，若AC =8，AD DB =13，tanA =12，则CFDF = ．【答案】65；4415．例9．（1）将两块等腰直角三角板AOB 和COD 按如图①放置，其中∠AOB =∠COD =90∘，求证：AC =BD ．（2）将两块含30°的直角三角板AOB 和COD 按如图②放置，其中∠AOB =∠COD =90∘，∠OAB =∠OCD =30∘，求证：BD ⊥AC ．（3）将图②的三角板OCD 绕点O 旋转到点C ，D ，B 三点一线时如图③所示，若AB =14，CD =10，求sin∠AOC 的值．【解答】（1）解：∵两块等腰直角三角板AOB和COD，∴OA=OB，OC=OD，∵∠AOB=∠COD=90∘，∴∠AOC=∠BOD在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，∴△AOC≌△BOD∴AC=BD．（2）解：如图②，延长BD交AC于E，在Rt△AOB中，∠OAB=30∘∴AB=2OB，OA=√3OB，同理：OC=√3OD∴OCOA =√3OD√3OB=ODOB，∵∠AOB=∠COD=90∘∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD∴∠CAO=∠DBO，∴∠CAB+∠ABE=∠CAO+∠OAB+∠ABE=∠DBO+∠ABE+∠OAB=ABO+∠OAB=90∘，∴∠AEB=90∘∴BD⊥AC．（3）解：如图③，过点D作DF⊥OB于F，第10页共30页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训由（2）知，BC⊥AC，△AOC∽△BOD∴ACBD =OAOB=√31，∴AC=√3BD在Rt△ABC中，AB=14，BC=CD+BD=10+BD，根据勾股定理得，BC2+AC2=AB2，∴(10+BD)2+(√3BD)2=142，∴BD=−8（舍）或BD=3，在Rt△AOB中，AB=14，∠OAB=30∘，∴OB=7，在Rt△COD中，CD=10，∠OCD=30∘，∴OD=5，在Rt△ACF中，DF2=BD2−BF2=BD2−(OB−OF)2=9−(7−OF)2，在Rt△OCF中，DF2=OD2−OF2=25−OF2，∴9−(7−OF)2=25−OF2∴OF=6514，∴DF=15√314，∴在Rt△ODF中，sin∠AOC=sin∠DOF=DFOD =15√3145=3√314．【答案】（1）略；（2）略；（3）3√314．例10．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为4，△ABC的顶点都在格点．（1）求每个小矩形的长与宽；（2）在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E1，E2…表示）（3）求sin∠ACB的值．【解答】（1）解：设每个小矩形的长为x ，宽为y ，依题意得：{x +2y =42y =x ，解得{x =2y =1，∴每个小矩形的长为2，宽为1；（2）解：如图所示：（3）解：由图可知，S ΔABC =4，设AC 边上的高线为ℎ，可知，12AC ⋅ℎ=4．∵由图可计算AC =2√5，BC =√13， ∴ℎ=4√55，∴sin∠ACB =ℎBC=4√55√13=4√6565．【答案】（1）每个小矩形的长为2，宽为1；（2）略；（3）sin∠ACB =4√6565．例11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =60∘，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM:MB =AN:ND =1:2．则cos∠MCN = ．【答案】1314．例12．如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若tan∠BAC =13，则BD 的长是．【答案】2．例13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，AE=BC ，在AE 上截取AF=BE. （1）求证：DF ⊥AE ；（2）如果BE ：EC ＝2：1，求tan ∠CDF 的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠B=90°∴AD ＝AE ，∠DAF ＝∠AEB ，AE=BC ，AF=BE 在△ABE 和△DFA 中，{∠DAF =∠AEB∠AFD =∠EBA AD =AE ，∴△ABE ≌△DFA ， ∴∠AFD=∠EBA=90° ∴DF ⊥AE（2）∵△ABE ≌△DFA ，∴AD ＝AE ，∠DAF ＝∠AEB ，设CE ＝k ，∵BE：EC＝2：1，∴BE＝2k，∴AD＝AE＝3k，∴AB=√AE2−BE2=√5k，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，∴∠CDF＝∠AEB，∴tan∠CDF=√52【答案】（1）见解答；（2）tan∠CDF=√52．例14．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．【解答】（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如图，∵，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∴△ABC为等腰三角形；（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝12×12＝6，在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE=√102−62=8，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴12AE•BC＝12BD•AC，∴BD＝8×1210=485，在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝485，∴AD=√AB2−BD2=145，∴sin∠ABD=ADAB =14510=725．【答案】（1）见解答；（2）sin∠ABD=725．【举一反三】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，已知点A坐标为（8，0），点B为（0，8），点D为（0，3），tan∠DCO=34，直线AB和直线CD相交于点E．（1）求抛物线的解析式，并化成y=a(x−m)2+k的形式；（2）设抛物线的顶点为G，请在直线AB上方的抛物线上求点P的坐标，使得S△ABP=S△ABG；（3）点M为直线AB上的一点，过点M作x轴的平行线分别交直线AB，CD于点M，N，连结DM，DN是否存在点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=34，即34=3OC，∴OC=4，∴点C坐标为（-4，0），设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x−8)，把点B（0，8），代入，得：a=−14，∴y=−14(x+4)(x−8)，∴化简为y=−14(x−2)2+9；（2）解：设P（x，−14x2+x+8），过点P作PF∥y轴交直线AB于F，∵A（8，0），B（0，8），∴yAB=−x+8，∴F（x，−x+8），∴PF=−14x2+2x，过点G做GH∥y轴交直线AB于H，则G（2，9），H（2，6）∴GH=3，∵S△ABP=S△ABG，∴−14x2+2x=3，解得：x1=6，x2=2（舍去），∴点P坐标为（6，5）；（3）解：第一种情况：当DM=DN时，∵A（8，0），B（0，8），∴直线AB的解析式为y=−x+8，∵点C（－4，0），点D（0，3），∴直线CD的解析式为y=−34x+3，设点M（x，−x+8），则点N（−x，−34x+3），∴−x+8=−34x+3，解得：x=20，∴点M坐标为（20，－12）；第二种情况：当DN =MN 时， ∵A （8，0），B （0，8），∴直线AB 的解析式为y =−x +8， ∵点C （－4，0），点D （0，3）， ∴直线CD 的解析式为y =34x +3，设点M （x ，−x +8），则DP =−x +5，设PN =a ，由勾股定理，得：(−x +5)2+a 2=(x −a )2，解得：a =−25+10x2x， ∴点N 的坐标为（−25+10x 2x，−75+30x8x +3），∴−75+30x8x+3=−x +8，解得：x 1=154，x 2=−52，点M 的坐标为（154，174）或（−52，212）；第三种情况：当MN =DM 时，同理可得点M （3531，21331）．【答案】（1）y=−14(x−2)2+9；（2）（6，5）；（3）略．2．矩形ABCD中，AD=2AB=2√2，E是AD的中点，Rt∠FEG顶点与点E重合，将∠FEG绕点E旋转，角的两边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AME=α（0∘＜α＜90∘），有下列结论：①BM=CN；②M+CN=√2；③S△EMN=1sin2α，其中正确的是（）A. ①；B. ②③；C. ①③；D. ①②③．【答案】C3．如图，点D（0,3）,O（0,0）,C（4,0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A. 12B. 34C. 45D. 35【答案】D4．已知在△ABC 中，∠CAB =90∘，AC =3，sin∠B =35，AD ⊥BC 于点D ，点E 为边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），EC 与AD 交于点G ，点F 在边BC 上，EF ⊥CE ，若点E 为AB 的中点，则CGEF 的值为．【答案】32．5．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，且sinB =√22，tanA =12，AC =3√5．（1）求∠B 的度数与AB 的值；（2）求tan∠CDB ．【解答】（1）解：作CE ⊥AB 于E ，设CE =x ，在Rt△ACE 中， ∵tanA =CEAE =12， ∴AE =2x ．∴AC =√x 2+(2x )2=√5x ． ∴√5x =3√5．解得：x =3，∴CE =3，AE =6．在RtRt△BCE 中， ∵sinB =√22，∴∠B =45∘．∴△BCE 为等腰直角三角形． ∴BE =CE =3．∴AB =AE +BE =9；（2）解：∵CD 为中线， ∴BD =12AB =4.5．∴DE =BD −BE =4.5−3=1.5． ∴tan∠CDE =CEDE =31.5=2．即tan∠CDB 的值为2．【答案】（1）45°，9（2）2．6．如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于（）A. 14； B. 12； C. 817；D. 815．【答案】D7．已知：二次函数y =ax 2+2ax −4（a ≠0）的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D 在y 轴上，当以A 、O 、D 为顶点的三角形与△BOC 相似时，求点D 的坐标；（3）点D 的坐标为（−2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan∠ADP =2，求点P 的横坐标．【解答】（1）解：该二次函数的对称轴是：直线x=−2a2a=−1∵当x=0时，y=−4，∴C（0，−4），∴OC=4，连接AC，BC，∵S△ABC=12AB⋅OC=12，AB=6，∵A、B关于直线x=−1对称，∴A（−4，0），B（2，0），把B（2，0）代入y=ax2+2ax−4中得：4a+4a−4=0，a=12，∴二次函数的解析式为：y=12x2+x−4；（2）解：如图1，∵∠BOC=∠AOD=90∘，且OB=2，OC=OA=4，∴OBOC =24=12，分两种情况：①当△AOD∽△COB时，AOOD =OCOB=2，∴OD=2，即D1（0，2）或D2（0，−2）；②当△AOD∽△BOC时，AOOD =OBOC=12，∴OD=2OA=8，即D3（0，8）或D4（0，−8）；综上所述，点D的坐标为（0，2）或（0，−2）或（0，8）或（0，−8）；（3）解：如图2，过D作DF⊥x轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时，由（1）得：A（−4，0），∵D（−2，1），∴AF =2，DF =1，在Rt △ADF 中，∠AFD =90∘，得tan∠ADF =AFDF =2，延长DF 交抛物线于P 1，则P 1就是所求，∴P 1（−2，−4）；②当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G ，使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 于H ，∴△GHA ≌△P 1FA ，∴HA =AF ，GH =P 1F∵A （−4，0），P 1（−2，−4），∴G （−6，4），易得DG 的解析式为：y =−34x −12，在△ADP 1中，DA =√5，DP 1=5，AP 1=2√5，∴DA 2+AP 12=P 1D 2，∴∠DAP 1=90∘，∴DA ⊥GP 1，∴DG =DP 1，∴∠ADG =∠ADP 1，∴tan∠ADG =tan∠ADP 1=2，设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求，设P 2（x ，12x 2+x −4），代入DG 的解析式中，−34x −12=12x 2+x −4，解得x =−7±√1614， ∵P 2点在第二象限，∴P 2点的横坐标为x =−7±√1612（舍正）综上，P 点的横坐标为−2或−7−√1612．【答案】（1）y =12x 2+x −4（2）（0，2）（0，−2）（0，8）（0，−8）（3）−2或−7−√16128．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，sinB =√22，tanA =12，AC =√5，（1）求∠B 的度数和AB 的长．（2）求tan∠CDB 的值．【解答】（1）解：作CE⊥AB于E，设CE=x，在Rt△ACE中，∵tanA=CEAE =12，∴AE=2x，∴AC=√x2+(2x)2=√5x，∴√5x=√5，解得x=1，∴CE=1，AE=2，在Rt△BCE中，∵sinB=√22，∴∠B=45∘，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE=CE=1，∴AB=AE+BE=3，答：∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）解：∵CD为中线，∴BD=1.2AB=1.5，∴DE=BD−BE=1.5−1=0.5，∴tan∠CDE=CEDE =10.5=2，即tan∠CDB的值为2．【答案】（1）∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）tan∠CDB的值为2．9．如图，直线y=−2x+6与x轴，y轴分别交于A、B两点，点A关于原点O的对称点是点C，动点E从点A出发以每秒1个单位的速度到点C，点D在线段OB上满足tan∠DEO=2，过点E作EF⊥AB于点F，点A 关于点F的对称点为点G，以DG为直径作圆M，设点E运动的时间为t秒．（1）当点E在线段OA上运动，t=时，△AEF与△EDO的相似比为1:√5；（2）当圆M与y轴相切时，求t的值；（3）若直线EG与圆M交于点N，是否存在t使NG=√2，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）解：由题意得：OA=3，OB=6，AB=3√5，当E在OA上时，0≤t≤3，AE=t，OE=3−t，∵△DEO∽△BAO，∴DEOE =ABOA，∴OE=√5(3−t)，当AEDE =1√5时，∴t√5(t−3)=1√5，解得：t=32，当DEAE =1√5时，∴√5(t−3)t =1√5，解得：t=154＞3（舍去），∴当t=32时，△AEF与△EDO的相似比为1:√5；（2）解：当圆M与y轴相切时，点D在圆上，∴直径DG⊥OB，△BDG∽△BDA，当E在OA上时，BDOB =BGAB，即6−2(3−t)6=3√5−2√55t3√5，解得：t=157，【解答】（1）证明：连结AE∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90∘，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）解：连结DE，AE，CD则CD⊥AB，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴BEBA =BDBC，即3BA=26，∴BA=9，∴AC=BA=9．∴AD=7，CD=√AC2−AD2=4√2∴tan∠BAC=CDAD =4√27．【答案】（1）略；（2）4√27．11．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A=36∘，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．【解答】（1）证明：点D是AB边上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36∘，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72∘．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36∘，∴∠BDC=∠B=72∘，∠ACD=∠A=36∘，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；（2）证明：直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为ℎ，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴直线CD是△ABC的黄金分割线．【答案】（1）略；（2）略．12．如图，在△ABC中，已知∠A=α，∠B=β，AC=b，AB=c，则b，c，α，β之间关系正确的是（）A. bsinα=tanα(c−b⋅cosα)；B. b⋅sinα=tanα(c−b⋅tanβ)；C. b⋅sinβ=c−b⋅cosαtanβ；D. b⋅sinα=tanβ(c−b⋅cosα)．【答案】D1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则BOAO的值为（）A. sin2αB. cos2αC. tan2αD. tan−2α【答案】C2．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=13BC，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值为．【答案】15．3．如图，在圆O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AB =CD =4，点D 在上，连接CO ，并延长CO 交线段AB 于F ，连接OA 、OB ，且tan∠C =12．（1）求证：△OFA ∽△EFC ；（2）当△AOF 是直角三角形的时候，求EF 的长；（3）记△COE ，△FOE ，△BOF 的面积为S 1，S 2，S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OF 的长．（请直接写出答案）【解答】（1）证明：连接OD ，∵AB =CD =4，又∵OA =OB =OC =OD ，∴∠OCD =∠OAB ，即∠FCE =∠FAO ，又∠CFE =∠AFO ，∴△OFA ∽△EFC ；（2）解： ①∠AFO =90∘时，∵∠FCE =∠FAO ，AB =CD =4，OA =√5，OF =1，EF =CF ⋅tan∠OBA =√5+12； ②∠AOF =90∘时，OF =12AO =√52， CF =3√52，EF =CF ⋅sin∠C =32，综上所述，EF =√5+12或32；（3）解：设弦AB ，CD 的弦心距为ℎ， S 1=CE⋅ℎ2，S 2=EF⋅ℎ2，S 1=BF⋅ℎ2，由题意可得，EC =EB ， CE EF =EF FB ，即CE EF =EFCE−EF 时，且CE EF =OA OF ，解得OF =5−√52．【答案】（1）略；（2）EF =√5+12或32；（3）..．。

高三三角函数一对一讲义

XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、任意角的概念与弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的图像与性质4、三角恒等变换5、课堂习题与小结~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习复习学过的角度的知识~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}(360k k ︒∈}(180k k ∈}()90180k k Z +∈}()36090360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()90360180360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()180360270360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()270360360360k k k Z α︒︒+<<+∈、区分第一象限角、锐角以及小于90的角}()36090360k k k Z α︒︒<<+∈}90 小于90的角：}90为第二象限角，那么2α为第几象限角？π+90120角030 45 60 90 120 135 150 180 2703604π 3π 2π 2 34π 5 π32πsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0, 4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）αα= cot1αcosα2sinαcosαsinααcos -，3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).5、三角函数的图像与性质表格sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，既无最大值也无最小值函数性质8. 函数的变换：（1）函数的平移变换① 将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减）② 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短，伸长）② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（伸长，缩短）（3）函数的对称变换：)0)(()(>±=→=a a x f y x f y )(x f y =x a )0()()(>±=→=b b x f y x f y )(x f y =y b )0)(()(>=→=w wx f y x f y )(x f y =w 11>w 10<<w )0)(()(>=→=A x Af y x f y )(x f y =1>A 10<<AA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（）A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、归纳总结认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2、我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、课后作业1.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x2.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，324.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-5.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数6.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．27.（08山东卷10）已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（） A ．235-B ．235C ．45-D ．458.（08陕西卷1）sin330︒等于（）A ．32-B ．12-C ．12D ．32。

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三角函数
【公式】
同角公式：平方关系 2
2
2
2
2
2
s i n c o s 1,s e c
t a n
1,c s c c o t 1
αααααα+=-=-=；
商数关系
s i n c o s t a n ,c o t
c o s
s i n
αααααα=
=；
倒数关系 t a n
c o t 1,s i n c s c
1,c o s αααααα===.
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.
加法公式：和、差、倍、半、万能公式；积化和差、和差化积公式. 还应熟悉：（1）三倍角公式
3
2
sin 33sin 4sin ,cos 34cos 3sin αααααα
=-=-，
1sin (60)sin sin (60)sin 3,co s(60)co s co s(60)
4
1co s 3.
4αααααααα-+=-+=
（2）0
211sin ()sin ()co s()sin 2
2
2
2
co s()2sin
sin
2
2
n
k n d n n x d x x d d
x kd d d =+++
--+
⋅+=
=
∑
，
211co s()co s()sin ()sin 2
2
2
2
sin ()2sin
sin
2
2
n
k n d n n x d x x d d
x kd d d =+++
--+
⋅+=
=
∑.
（3）2222
sin sin cos cos sin()sin()
αββααβαβ-=-=+-，
2
2
22
c o s s i n c o s s i n c o s (
)c o s (
)
αββααβαβ-=
-
=+-. （4）tan tan tan tan tan tan tan ()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα
++-++=
---.
（5）若0
2
πθ<<
，则sin tan θ
θθ
<<.
（6）函数sin x y
x =
在(0,)π上为减函数；函数tan x y
x
=
在(0,
)
2π上为增函数.
（7）A B C ∆中，①sin
sin sin 4co s
co s co s 222A B C A B C ++=；
②co s co s co s 14sin sin
sin
222
A B C A B C ++=+；
③tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；
④tan
tan
tan
tan
tan
tan
1222222
A B B C C A ++=；
⑤cot cot cot cot cot cot 1A B B C
C A ++=； ⑥sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C
A B C
++=.
A B C
∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
外接圆、内切圆半径分别为,R r ，半周长为2
a b c
p ++=
.
（1）正弦定理：
2sin sin sin a b c R
A
B
C
==
=.
（2）余弦定理：2
22
2
2
2
2
2
2
2cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C
=+-=+-=+-.
（3）射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+. （4）面积：2
1112sin sin sin (sin sin sin )2224A B C
a b c a b c S a h b h ch rp R A B C rR A B C R
∆==
=
=
===++
222
1(co t co t co t )
4
a A
b B
c C =++.
【例与练】 1.（12卓越）函数co s ()
2sin y
θθθ
=
∈+R 的值域是__________.
2．（12北约）求使得sin 4sin 2sin sin 3x x x x a
-=在[0,)π有唯一解的a .
3.（12北约）设,,A B C 为边长为1的正三角形三边上各一点，求22
2
A B B C
C A
++的最小值.
4.（12华约）A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin 1co s 22
A B C
+=+.
（1）求C 的大小；（2）若22
2
22c b a
=-，求cos 2cos 2A B -的值.
5.（11北约）A B C ∆的三边,,a b c 满足2a b
c
+≥.求证：60
C
≤
.
6.（11华约）已知A B C ∆不是直角三角形.
（1）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；
（2tan tan 1tan B C
C A
+-=
，且sin 2,sin 2,sin 2A B C 的倒数成等差数列，求co s
2
A C -的值.
7.（10清华）求444sin 10sin 50sin 70
++
的值.
推广：44
4
249sin sin ()sin ()33
8
ααπαπ++
++
=
24sin sin ()sin ()03
3
ααπαπ++++=
22
2
243sin sin ()sin ()3
3
2
ααπαπ++
++=
8.（11卓越）在A B C ∆中，2,A B A C A D =是A ∠的角平分线，且A D kA C
=.
（1）求k 的取值范围；（2）若1A B C
S ∆=，问k
为何值时，B C 最短？
A
B
C
D
【练习】
1.（11卓越）已知sin 2()sin 2n αγβ
+=，则
tan ()tan ()
αβγαβγ++=
-+（）
A.
11
n n -+ B.
1
n n + C.
1
n
n - D. 11
n n +-
2.（10复旦）设,[,]
22
ππαβ∈-
，且满足sin cos sin cos 1
α
ββα+=，则sin sin α
β
+的取值范围是（）
A.
[
B.
[-
C.
D.
3.（04上交）函数)
2y
x π=
+
≤≤
的值域是___________.
4．（04复旦）设12,x x 是方程233sin co s
05
5x x ππ-+=的两个实数解，那么12arctan arctan x x +=
___________.
5.（05复旦）函数1sin 2co s x
y
x +=
+的最大值是__________.
6.（04复旦）已知124sin (),sin ()13
5
αβαβ+=
-=-
，且0,0,2
πα
βαβ>>+<
,求tan 2α.
7．(05复旦)在△ABC 中，已知tan :tan :tan 1:2:3
A B C =，求
A C A B
.
8．(05复旦)已知sin cos (0a a αα+=≤≤，求sin cos n n
α
α
+关于α的表达式.
9.（06北大）解三角方程：sin ()sin 29
4
a x x π+=+，其中a 为实常数.
10.（06清华）已知sin ,sin ,cos θαθ成等差数列，sin ,sin ,cos θβθ成等比数列，求1co s 2co s 22
α
β
-
的值.
11.（06清华）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，它们所对的边分别为a 、b 、c ，求证：
2co s co s 4sin
2
a A B C
b c
++
≥+.
12.（08清华）已知sin cos θθ+=，求θ的取值范围.
13.（10五校）A B C ∆中，2
2sin co s 212
A B C +-=，三角形的外接圆半径2
R =.
（1）求C ；
（2）求A B C S ∆的最大值.。