人教版九年级上册(新)第23章《旋转》教材分析 (文字稿)

第二十三章 《旋转》教材分析一、本章知识的地位与作用“图形与变换”是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个重要内容，在教材中占有重要的地位.和平移、轴对称一样，旋转也是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简洁形式之一.旋转是工具性的知识. 学习旋转的基本性质, 欣赏并体验旋转在现实生活中的广泛应用, 不仅是初中学习的重要目标之一, 也是密切数学与现实之间联系的重要桥梁之一.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用, 特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时, 更是经常用到的思维方法. 此前, 学生已学习了平移、轴对称两种图形变换, 对图形变换已具有一定的认识, 通过本章的学习, 学生对图形变换的认识会更完整, 同时, 也能对平移、轴对称有更深的认识. 进一步建立的几何变换的意识可帮助我们用运动的观点认识图形，从而使解决问题的思路更加简明、清晰.二、主要内容三、课程学习目标（一）课标要求1. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转, 探索旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点与旋转中心连线所成的角相等.2. 能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形, 欣赏旋转在现实生活中的应用.3. 通过具体实例认识中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 了解线段、平行四边形是中心对称图形.，认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.4. 探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，会运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计.旋转及其性质 中心对称 关于原点对称的点的坐标图案设计中心对称图形旋转的基本知识特殊的旋转 －－中心对称 平移、旋转、轴对称的综合运用平移及其性质 轴对称及其性（二）实际教学要求1．基本要求：①了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成角彼此相等（等于旋转角）的性质；——什么是旋转？旋转的三要素是什么？旋转前、后图形之间对应元素具有哪些性质？②通过具体实例认识旋转, 能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角及旋转前后的对应点；——怎样确定旋转中心与旋转角？③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，利用旋转进行简单的图案设计；④通过具体实例认识中心对称，掌握作与已知图形中心对称的图形的方法，并能指出图形的对称中心；⑤了解中心对称图形的概念，能识别中心对称图形．了解线段、平行四边形是中心对称图形，了解中心对称与中心对称图形的区别.——旋转与中心对称之间具有怎样的联系？中心对称与中心对称图形之间具有怎样的关系？⑥了解关于原点对称的点的坐标之间的关系.2．略高要求：①探索它们的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质，旋转前、后的图形全等；②探索中心对称的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质；③能运用旋转的知识解决简单的计算问题．3．较高要求：①能运用旋转的知识进行图案设计；②能综合运用平移、对称、旋转等变换解决相对复杂的问题．（三）2015中考说明中对旋转的要求基本要求：认识平面图形关于旋转中心的旋转；理解旋转的基本性质；了解中心对称、中心对称图形的概念；理解中心对称的基本性质.略高要求：能画出平面图形关于给定旋转中心的旋转图形；探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；能利用旋转的性质解决有关简单问题.较高要求：运用旋转的有关内容解决有关问题.四、课时安排本章教学时间约需9课时, 具体分配如下（仅供参考）：23.1图形的旋转2课时23.2中心对称2课时23.3课题学习图案设计1课时（补充）旋转的应用(计算与证明) 2- 3课时数学活动、小结1课时五、教学重点难点重点：1. 图形旋转的基本性质.2. 中心对称的基本性质.3. 两个点关于原点对称时, 它们坐标之间的关系.难点：1. 图形旋转的基本性质的归纳与运用.2. 中心对称的基本性质的归纳与运用.六、教学建议：1、注重与学生已学的图形变换的经验联系，类比学习.在本章学习前，学生已经学习了平移、轴对称，对图形变换已经有所认识，一般地，学习一种图形变换大致包括以下内容⑴通过具体实例认识图形变换; ⑵探索图形变换的性质;⑶作出一个图形变换后的图形⑷利用图形的变换进行图案设计;⑸用坐标表示图形变换.本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的. 关于⑸，本章正文中只涉及一些特殊旋转用坐标表示的问题，如以原点为对称中心的中心对称的坐标表示，在数学活动和习题中则涉及用坐标表示以原点为旋转中心，旋转角为直角的旋转.2、注意揭示旋转概念的实际背景与广泛应用旋转与现实生活联系紧密, 为此, 在教学中应列举大量实例来使学生认识和感受它们, 增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题既可以进一步促进学生对知识的理解，又加强了图形变换与现实生活的联系.3、注意培养动手操作的意识教材在探索旋转的性质、中心对称的性质以及如何设计图案最美观等问题时, 安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题的一种方法, 应给学生操作的时间和体验，加强学生主动进行动手操作的意识.4、注意安排对重要结论的探究教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中，教科书注意安排画图、分析、归纳等探究活动.教学中，应充分利用这些资源，进行开放式探究，重视培养学生观察、发现、比较、归纳、说理等综合能力，从而逐步提高学生的探究能力.5、注意概念之间的区别与联系⑴平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致, 主要都是研究变换过程中的不变量, 是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.⑵旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到中心对称性质⑶中心对称与轴对称教材中P74的数学活动1还从坐标的角度揭示了中心对称与轴对称的关系. 作点A关于x轴的对称点B，作点B关于y轴的对称点C，则点A与点C关于原点对称. 由此可知，将一点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点.⑷两个图形成中心对称与中心对称图形6、注意用计算机辅助教学利用几何画板的旋转功能, 可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能, 可以发现旋转变换中的不变量; 关于原点对称的点的坐标特征. 进行图案设计时, 利用计算机, 可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机, 可以直观地看到图形运动变换的过程，对图形性质的探究和发现会很有帮助.7、培养学生良好的作图习惯，加强学生对图形的认识和理解.几何作图是本章教学过程中不可缺少的重要组成部分. 通过作图可以加深学生对旋转的认识和理解. 旋转的过程中, 实际上其运动轨迹均为圆, 利用圆规构造旋转变换的图形是学生应该掌握并熟练应用的. 在教学中，教师应当指导学生利用尺规和其它工具规范作图, 培养学生良好的作图习惯.本章主要作图有：OA'①按要求作旋转后的图形;②已知旋转前后的图形,确定旋转中心、旋转角;③作一个图形关于一点成中心对称的图形;④已知成中心对称的两个图形(或已知某一图形是中心对称图形), 确定对称中心;⑤在平面直角坐标系中, 作一个图形关于原点对称的图形.上述五种作图是本章的基本技能. 在教学中一定要让学生动手完成.8、从三个层面理解借助旋转移动图形：①从旋转的角度认识静态图形，发现图形关系，实际不需要移图；②图形按指令语言（题干）要求移动，解决在图形移动过程中形成的问题；③根据题目需要和图形特征有目的的旋转图形的某一部分，形成新的图形关系，从而将分散的条件集中，使知识与知识之间形成紧密的联系，产生新的信息，有利于解决问题。

9、从变换的角度重新认识几何图形, 建立图形变换的意识.图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变. 通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化的目的. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用, 使问题解决更加简洁明确. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形.七、各节教学建议23.1 图形的旋转1、旋转的概念：（1）旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.（2）旋转的叙述：①图形；②旋转中心；③旋转方向；④旋转角度.例：△ABC绕点O顺时针旋转90°到△A’B’C’的位置.注：让学生体会把一个图形进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果.2、旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等.3、旋转的作图：（1）确定旋转中心：根据旋转的性质和线段垂直平分线的知识可知旋转中心在对应点连线的垂直平分线上.两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.（也可以确定旋转方向和旋转角）（2）旋转作图：步骤：①明确旋转中心、旋转方向、旋转角；②找出关键点；③将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此点的对应点；④按原图形顺序连结这些对应点. （3）特殊图形中应用全等的旋转作图：例（书P60）：如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，以点A 为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 解：因为点A 是旋转中心，所以它的对应点是它本身. 正方形ABCD 中，AD=AB ，∠DAB=90°,所以旋转后点 D 与点B 重合.设点E 的对应点为点E ’ .因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE=∠ADE=90°，BE ’=DE .因此，①在CB 延长线上取点E ’，使BE ’=DE ，则△ABE ’为旋转后的图形.还可以用如下方法确定点E ’: ②由∠EAE ’=90°，AE ’=AE 确定点E ’； ③由∠ABE ’=90°，AE ’=AE 可知，以点A 为圆心，AE 为半径画弧，与CB 的延长线的交点即是点E ’； ④由∠ABE ’=90°, ∠EAE ’=90°可知，过点A 与AE 垂直的直线与CB 的延长线的交点即是点E ’ .23.2 中心对称1、中心对称的概念： 定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.2、中心对称的性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；即对称中心是两个对称点所连线段的中点.（2）中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等； （3）中心对称的两个图形是全等图形.注：判断两个图形是否成中心对称的方法：连结两个图形的对应点的线段是否经过同一点，并且被该点平分.3、中心对称的作图：（1）作一个图形关于一点成中心对称的图形：①找出关键点；②连结关键点与对称中心并倍长，得到此点的对称点； ③按原图形顺序连结这些对应点.（2）确定对称中心：对称点连线的中点即是对称中心. 4、中心对称图形： （1）定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.（2）常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆.（注意：三角形不是中心对称图形.）5、关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标只有符号相反，即点),(y x P 关于原点的对称点为),(y x P --.八、相关练习E'BD C EB' C1.（2014年江苏南京）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. （2014•邵阳）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，4），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至OA ′，则点A ′的坐标是 （﹣4，3） ．3. 如图, △DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的, 则这点的坐标是( B ) A . (1,1) B . (0,1) C . (−1,1) D . (2,0)4．（2014•莆田）如图，点B 在x 轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB 饶点O 按顺时针方向旋转120°得到△OA ′B ′，则点A ′的坐标是（ B ） A ． （2，22-） B ． （2，32-） C ． （22，﹣2） D ． （23，﹣2） 5．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D '的坐标是（ C ） A ．（2，10） B ．（-2，0）C ．（2，10）或（-2，0）D ．（10，2）或（-2，0）6.（2014•随州）在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ B ） A ． A E ∥BC B ． ∠ADE=∠BDC C ． △BDE 是等边三角形 D ． △ADE 的周长是97. 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90︒, ∠B = 30︒, BC = 6, 三角板绕C 逆时针旋转, 当点的对应点A' 落在边上时即停止转动, 则BM 的长为 3 . 8. Rt △ABC 中, 已知∠C =90°, ∠B =50°, 点D 在边BC 上, BD =2CD . 把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0︒<m <180︒）度后, 如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上, 那么m = _______.80︒或120︒.A AB O A B CD E Fx y 23 第3题图A 第2题图 第4题图 第5题图9.如图, 设△ABC 和△CDE 都是正三角形, 且∠EBD = 62︒, 则∠AEB 的度数 = 122︒ . 10.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF=45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．11.如图, 已知△ABC 为等边三角形, M 为三角形外任意一点.求证: AM ≤ BM + CM12.图形操作：△ABC 为等边三角形, 点O 是边AB 的延长线上一点, 以点O 为中心, 将△ABC 按顺时针方向旋转90︒角得到△A 1B 1C 1.(1) 在图1中完成作图, 请保留作图痕迹, 不要求写作法;(2) 若将△ABC 按顺时针方向旋转到△A 1B 1C 1, 旋转角度为α (0°< α < 360°). 且AC ∥B 1C 1, 直接写出旋转角度α 的值为 . 60︒或240︒.13.如图, Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, ∠BAC =30°, 分别以AB 、AC 为边作等边△ABE 和△ACD , 连结ED 交AB 于F . 求证: EF = FD .14.请阅读下列材料，然后解决问题．问题：如图1，在等边△ABC 内有一点P ，且PA =2， PB =3， PC =1．求∠BPC 度数的大小和等边△ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP ′，可得△P ′PB 是等边三角形，而△PP ′A 又是直角三角形，所以∠AP ′B =150°，而∠BPC =∠AP ′B =150°，进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．第9题图 A B CD E AC M B 第11题图 图1 CA O B图2 C AO B A B C D EF第13题图 第10题图DCBA ABC DA BCD请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =5，BP =2，PC =1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的面积．图1 图2图315.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.九、补充练习(一) 以等边三角形为背景的旋转问题例1、如图, C 为BD 上一点, 分别以BC 和CD 为边向同侧作等边△ABC , △ECD , AD 和BE 相交于点M .①探究线段BE 和AD 的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论?②当△ECD 绕点C 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE 和AD 有何关系. 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?③如图, A 、D 、E 在一直线上, △ABC 、△CDE 是等边三角形, 若BE =15cm, AE =6cm, 求CD 的长度及∠AEB 的度数。