人教版初三数学图形的旋转专题训练

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人教版九年级数学上册23.1.1《图形的旋转》试题及答案

23.1图形的旋转附答案班级姓名座号月日主要内容 : 旋转及对应点的相关观点及其应用一、讲堂练习:1. 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做, 点O叫做,转动的角叫做.2. 如图 ,OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转获得OEF ,在这个旋转过程中:(1) 旋转中心是点；旋转角是；(2) 经过旋转 , 点 A、 B 分别挪动到点的地点；(3) 对应线段 : 线段 OF 与线段, 线段 OE 与线段,线段 EF 与线段；(4) 对应角 :∠EOF 与,∠E与,∠F与.3.( 课本 63 页 ) 时钟的时针在不断地旋转, 从上午 6 时到上午9 时, 时针旋转的旋转角是多少度 ?从上午 9 时到上午 10 时呢 ?4.( 课本 63 页 ) 如图 , 杠杆绕支点转动撬起重物, 杠杆的旋转中心在哪里?旋转角是哪个角?二、课后作业 :1.在以下现象中 , 不属于旋转现象的是 ()A. 方向盘的转动B.水龙头开关的转动C. 电梯的上下挪动D. 钟摆的运动2.如图 , 将正方形图案绕点O旋转 180 后 , 获得的图案是 ()A B C D3. 钟表分针从 2 点 15 分到 2 点 20 分, 旋转的度数为 ()A. 20B. 26C. 30D. 364. 如图 , 在Rt ABC中 , ACB 90 , A 40 , 以直角极点C为旋转中心 , 将旋转到AB C的地点,此中A,B分别是A,B的对应点,且点 B 在斜边 A B CA 交 AB于D,则旋转角等于()A. 70B. 80C. 60D. 50第 4 题ABC 逆时针上, 直角边15. 如图 ,ABC 与ADE 都是等腰直角三角形, C 和AED 都是直角,点 E 在 AB 上,假如ABC 经逆时针旋转后能与ADE 重合,那么旋转中心是点；旋转的度数是.6. 如图 ,ABC 为等边三角形, D 为ABC 内一点,ABD 经过旋转后抵达ACP 的地点,则(1) 旋转中心是点；(2)旋转角度是；(3)ADP 是三角形.第5题第6题7.( 课本 66 页 ) 如图 , 说出压水机压水时的旋转中心和旋转角.8.( 课本 66 页 ) 如图 , 吃米的小鸡是站立的小鸡经过旋转获得的, 旋转中心是O .从图上量一量旋转角是多少度.三、新课预习 :1.对应点到旋转中心的距离；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于；旋转前、后的图形.2.如图 , OAB绕O点按顺时针方向旋转获得OEF ,在这个旋转过程中,找出图中相等的角和相等的线段 .3. 如图 , E 是正方形ABCD 中, CD 边上随意一点,以点 B 为中心,把 EBC 逆时针旋转90 ,画出旋转后的图形 .2参照答案一、讲堂练习:1. 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转, 点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2. 如图 ,OAB 绕点 O 按顺时针方向旋转获得OEF ,在这个旋转过程中:(1) 旋转中心是点O；旋转角是∠ AOE、∠ BOF；(2) 经过旋转 , 点 A、 B 分别挪动到点E、F的地点；(3) 对应线段 : 线段 OF 与线段OB, 线段 OE 与线段OA,线段 EF 与线段AB；(4) 对应角 :∠EOF 与∠AOB,∠E与∠A,∠F 与∠B.3.( 课本 63 页 ) 时钟的时针在不断地旋转, 从上午 6 时到上午9 时, 时针旋转的旋转角是多少度 ?从上午 9 时到上午 10 时呢 ?解:时针1小时转30 ,从上午6时到9时,时针要旋转30 3 90 ；从 9时到 10时,时针要旋转 30 .4.( 课本 63 页 ) 如图 , 杠杆绕支点转动撬起重物, 杠杆的旋转中心在哪里?旋转角是哪个角?解 : 杠杆的旋转中心在点O,旋转角是∠ AOA .二、课后作业:1.在以下现象中 , 不属于旋转现象的是 ( C )A. 方向盘的转动B.水龙头开关的转动C.电梯的上下挪动D.钟摆的运动2. 如图 , 将正方形图案绕点O旋转 180 后, 获得的图案是( D )A B C D3.钟表分针从 2 点 15分到 2点 20分, 旋转的度数为 ( C )第 4 题A. 20B. 26C. 30D. 364. 如图 , 在Rt ABC中 ,ACB90, A 40, 以直角极点C为旋转中心 , 将ABC逆时针旋转到ABC的地点,此中A,B分别是 A,B 的对应点 , 且点B在斜边A B上, 直角边CA 交 AB于D ,则旋转角等于( B )A. 70B. 80C. 60D. 505.如图,ABC 与ADE 都是等腰直角三角形, C和AED都是直角 ,点E在 AB上,假如ABC 经逆时针旋转后能与ADE 重合,那么旋转中心是点A；旋转的度数是45°.6. 如图,ABC 为等边三角形, D 为ABC 内一点, ABD 经过旋转后抵达ACP 的地点,则(1) 旋转中心是点A； (2)旋转角度是60°；(3)ADP是等边三角形 .第5题第6题37.( 课本 66 页 ) 如图 , 说出压水机压水时的旋转中心和旋转角.解 : 压水机的旋转中心为把手柄与机体的连结点, 旋转角为把手柄旋转的角度 .8.( 课本 66 页 ) 如图 , 吃米的小鸡是站立的小鸡经过旋转获得的, 旋转中心是O .从图上量一量旋转角是多少度.解 : 经丈量旋转角AOA 约等于85.三、新课预习 :1.对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等 .2.如图 , OAB绕O点按顺时针方向旋转获得OEF ,在这个旋转过程中, 找出图中相等的角和相等的线段 .答 : 相等的角是 :A E , B F ,AOBEOF ,AOE BOF .相等的线段是 : AB EF ,OA OE,OB OF .3.如图 , E 是正方形ABCD中 , CD边上随意一点 , 以点B为中心 , 把 EBC 逆时针旋转 90 , 画出旋转后的图形 .答 : E BA是由EBC逆时针旋转90后获得的 .4。

人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题(附答案)

人教版九年级上册数学第二十三章《旋转》练习题一、单选题1.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（）A. ①B. ②C. ③D. ④7.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.8.下列图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转46°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C 上，则∠ACB的大小为（）A. 23°B. 44°C. 46°D. 54°10.下列图形，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.11.将△ABC绕原点旋转180°得到△A′B′C′，设点A的坐标为(a,b)，则点A′的坐标为（）A. (−a,−b)B. (a,−b)C. (−a,b)D. (a,b)12.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. 平行四边形B. 线段C. 等边三角形D. 抛物线13.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.14.道路千万条，安全第一条，下列交通标志是中心对称图形的为（）A. B. C. D.15.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.二、填空题16.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为________.17.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．将△ABC绕点B逆时针旋转60°，得到△A1BC1，则AC边的中点D与其对应点D1的距离是________．18.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为________．19.已知点A（﹣2，3）与A1关于点P（0，2）成中心对称，A1的坐标是________ ．20.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为________度．21.一个长方形绕它的一条边旋转一周形成的几何体为________，将一个直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的几何体为________．22.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中̂，则图中阴影部分的面积为________．点C的运动路径为CC′23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，将△ABC绕着点C逆时针旋转后得到的△A′B′C的斜边A′B′经过点A，那么∠ACA'的度数是________ 度．24.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．25.如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC的长为________．26.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC.点D是△ABC内的一点，将△ACD以点C为中心顺时针旋转90°得到△BCE，若点A、D、E共线，则∠AEB的度数为________.27.如图，如果边长为1的等边△PQR沿着边长为1的正方形ABCD的外部的边如图位置开始顺时针连续滚动，当它滚动4次时，点P所经过的路程是________．28.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．29.点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为________．30.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45后，得到△COD，如果∠AOB=15，则∠AOD的度数是________.三、解答题31.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是点E、F．（1）若点B的坐标是（﹣4，0），请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标．（2）当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．∠ABC(0°＜∠CBE＜32.(1)如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝121∠ABC)，以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转，得到△BE′A(点C与点A重合，点E到点E′处)连接2DE′.求证：DE′＝DE.∠ABC(0°＜∠CBE (2)如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝12＜∠45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.33.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．①若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；②若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；③将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．34.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（﹣3，5），C（﹣4，1）．①把△ABC向右平移2个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；②把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．35.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．36.如图，按要求涂阴影：（1）将图形①平移到图形②；（2）将图形②沿图中虚线翻折到图形③；（3）将图形③绕其右下方的顶点旋转180°得到图形④．37.以给出的图形“○,○,△,△, =”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件,各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形.举例:如图,左框中是符合要求的一个图形.你还能构思出其他的图形吗?请在右框中画出与之不同的图形.38.在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标是A（-7,1）、B（1,1）、C（1,7），线段DE的端点坐标是D（7，-1）、E（-1，-7）（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合将线段AC先向______（上，下）平移_______个单位，再向_______（左，右）平移_______个单位；（2）将∆ABC绕坐标原点逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；（3）画出（2）中的∆DEF，并和∆ABC 同时绕坐标原点O逆时针旋转90o，画出旋转后的图形.39.如图，已知反比例函数y=m（m是常数，m≠0），一次函数y＝ax＋b（a、b为常数，a≠0），其中一x次函数与x轴，y轴的交点分别是A（－4，0），B（0，2）．（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：①PA⊥x轴；②PO＝√17（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上．40.已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．四、综合题41.在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．（1）试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2、C2两点的坐标．42.将□OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点C（-6，0），点A在第一象限，OA=2，∠A=60°，AB 与y轴交于点N.（1）如图①，求点A的坐标：（2）如图②，将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转得到平行四边形OA'B'C'，当点A的对应点A'落在y 轴正半轴上时，求旋转角及点B的对应点B'的坐标：（3）将平行四边形OABC绕点A旋转得到平行四边形DAEF，使点B的对应点E落在直线OA上，请在图③中画出旋转后的图形，并直接写出OE、AB、BC之间的关系.43.在数学课上，老师要求学生探究如下问题：（1）如图1，在等边三角形ABC内有一点P，PA＝2，PB＝√3，PC＝1，试求∠BPC的度数．李明同学一时没有思路，当他认真分析题目信息后，发现以PA、PB、PC的长为边的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A．连接PP'，易得△P′PB 是正三角形，△P′PA是直角三角形，则得∠BPC＝________；（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，PA＝√5，PB＝√2，PC＝1，试求∠BPC的度数．（3）在图3中，若在正方形ABCD内有另一点Q，QA＝a，QB＝b，QC＝c（a＞b，a＞c），试猜想当a，b，c满足什么条件时，∠BQC的度数与第（2）问中∠BPC的度数相等，请直接写出结论．44.如图1，四边形ABCD是边长为3√2的正方形，矩形AEFG中AE=4，∠AFE=30°。

人教版九年级数学上册旋转专题检测卷(有答案)

人教版九年级数学上册旋转专题检测卷(有答案)一、单选题（共12题；共24分）1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为（）．A. B. C. D.3.右图可以看作是由一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的, 则每次旋转的度数至少是（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°4.单词N、A、M、E的四个字母中，是中心对称图形的是( )。

A. NB. AC. MD. E5.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.6.（2014•北海）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（）A. 45°B. 30°C. 25°D. 15°8.（2015•枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A. B. C. D.9.如图，原有一大长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若原来该大长方形的周长是120，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③10.如图甲，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…如图乙，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A. 0.6B. 0.8C. 1.1D. 1.411.如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转60°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转60°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…则P32的坐标为（）A. （﹣231，231）B. （231，231）C. （﹣232，232）D. （232，232）12.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是点（）A. A点B. B点C. C点D. D点二、填空题（共8题；共26分）13.图（1）按________方向旋转________度可与本身重合．图（2）按________方向旋转________度可与本身重合．14.把一块学生使用的三角板以一条直角边为轴旋转成的形状是________体。

图形的旋转(中考专题提升)2022—2023学年人教版数九年级学上册

图形的旋转（中考专题提升）一、单选题1．有一个正n边形旋转90后与自身重合，则n为（）A．6 B．9 C．12 D．152.如图所示的运动员只经过旋转不能得到的是( )3．如图，OAB绕点O逆时针旋转80到OCD的位置，已知45∠等于（）AOB∠=，则AODA．55B．45C．40D．35△，点B'恰好落在CA的延长线上，4．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到AB C''B C，则BAC'∠为（），∠=︒∠=︒3090A．90︒B．60︒C．45︒D．305.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转55°,得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为( )A.65°B.70°C.75°D.80°6．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°7．将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360αα︒<<︒，得到矩形AEFG ．当GC GB =时，下列针对α值的说法正确的是（）A ．60︒或300︒B ．60︒或330︒C ．30D ．60︒8.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=3,将一个无限大的直角尺MON 的直角顶点O 与BC 边上的中点D 重合并绕点D 旋转,分别交AB 、AC 所在的直线于点E 、F,连接EF,若BE=1,则EF 的长度为( )A.B. C.或 D.无法确定9．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6 B．3 C．2 D．1.510．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE 绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°二、填空题11.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(4,0),连接AB,若将△ABO绕点B顺时针旋转90°,得到△A'BO',则点A'的坐标为.12．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转到正方形AB ' C ' D ' ，旋转角为α（ 0︒＜α＜ 180︒），连接B ' D 、C ' D ，若B ' D =C ' D ，则∠α =____．13．如图，AB=BC=CD，AB⊥BC，∠BCD=30°，则∠BAD=________°．14.如图,点E 在正方形ABCD 的边CB 上,将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°到△DAF 的位置,连接EF,过点D 作EF 的垂线,垂足为点H,与AB 交于点G,若AG=4,BG=3,则BE 的长为 .15．如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN 的取值范围是______．16．如图，在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 为ABC 内一点，则PA PB PC ++的最小值为__________．三、解答题17.如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出旋转后的图形(不用写作法).18．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且3PA =，4PB =，5PC =，求∠APB 的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造AP C '△，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题．(1)请你计算图1中∠APB 的度数．(2)如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且2PA =，1PB =，3PD =，求∠APB 的度数．19．已知ABC 是等边三角形，点B ，D 关于直线AC 对称，连接AD ，CD ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)在线段AC 上任取一点Р（端点除外），连接PD ．将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处．请探究：当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ 与CP 之间的数量关系，并加以证明．20.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(4,1),C(4,3).(1)画出将△ABC 向左平移5个单位长度得到的△A 1B 1C 1;(2)画出将△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2.21．已知：如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边三角形BCD ∆，把ABD ∆绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD ∆，若3AB =，2AC =，求BAD ∠的度数与AD 的长.22．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF．(1)如图1，求证：ADE≌CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM AGBN CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；⊥于点M，⊥②如图3，连接BG，若4DE=，直接写出在DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．AB=，2参考答案1--10CCBBD AACCA11.812．60°13.15 14.15．22≤MN ≤5216．1917.解析如图所示,△A'B'C'即为所求.18．(1)150APB ∠=︒(2)135APB ∠=︒19．（1）连接BD ，ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，点B ，D 关于直线AC 对称，∴AC 垂直平分BD ，,DC BC AD AB ∴==，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形；（2）当点Р在线段AC 上的位置发生变化时，DPQ ∠的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：将线段PD 绕点Р逆时针旋转，使点D 落在BA 延长线上的点Q 处，PQ PD ∴=， ABC 是等边三角形，,60AB BC AC BAC ABC ACB ∴==∠=∠=∠=︒，连接PB ，过点P 作PE CB ∥交AB 于点E ，PF ⊥AB 于点F ，则60,60APE ACB AEP ABC ∠=∠=︒∠=∠=︒，60APE BAC AEP ∴∠=∠=︒=∠，APE ∴是等边三角形，AP EP AE ∴==，PF AB ⊥，APF EPF ∴∠=∠，点B ，D 关于直线AC 对称，点P 在线段AC 上，∴PB = PD ，∠DPA =∠BPA ，∴PQ = PD ，PF AB ⊥，QPF BPF ∴∠=∠，∴∠QPF -∠APF =∠BPF -∠EPF ，即∠QPA = ∠BPE ，∴∠DPQ =∠DPA - ∠QPA =∠BPA -∠BPE = ∠APE = 60°；（3）AQ = CP ，证明如下：AC = AB ，AP = AE ，∴AC - AP = AB – AE ，即CP = BE ，AP = EP ，PF ⊥AB ，∴AF = FE ，PQ = PD ，PF ⊥AB ，∴QF = BF ，∴ QF - AF = BF – EF ，即AQ = BE ，∴AQ = CP ．20. (1)如图所示,△A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示,△A 2B 2C 2即为所求.21．60BAD ∠=︒，AD=5【解析】只要证明A 、B 、D 、C 四点共圆，即可推出∠BAD=∠BCD =60°，然后证明A 、C 、E 三点共线，根据旋转的性质，推出AD=AE=AC+CE=AC+AB=2+3=5．解：∵ABC ∆的120BAC ∠=︒，以BC 为边向形外作等边BCD ∆，∴12060180BAC BDC ∠+∠=︒+︒=︒.∴A ，B ，D ，C 四点共圆，∴60BAD BCD ∠=∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒，又∵ABD ECD ∠=∠，∴180ACD ECD ∠+∠=︒，∴180ACE ∠=︒，即A ，C ，E 共线.∵把ABD ∆绕D 点按顺时针方向旋转60︒到ECD ∆位置且3AB =，∴3AB CE ==，∴235AD AE AC AB ==+=+=.本题考查旋转变换、等边三角形的性质、四边形内角和定理等知识，解题的关键是充分利用旋转不变性解决问题，本题的突破点是证明A 、C 、E 共线，△AED 是等边三角形即可． 22（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF =，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF ，在ADE 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ．90ADP ∠=︒，90DAP DPA ∴∠+∠=︒． ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠=，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒，AMB ∴≌CNB △．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB ∠=∠=︒∠=︒-∠=∠= ∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =-，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．23BM AH ∴==最小值最小值由()2①可知，BGM 是等腰直角三角形，226BG BM ∴=最小值。

2019-2020人教版九上数学23.1图形的旋转培优专题(含答案)

2019-2020图形的旋转培优专题（含答案）一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为（）A ．12B ．6C ．62D ．632．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A.3B.23C.13D.153．如图，在ABC 中，65CAB ∠=，将ABC 在平面内绕点A 旋转到''AB C 的位置，使'//CC AB ，则旋转角的度数为（）A.35B.40C.50D.654．如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（）A.1B.2C.3D.不能确定5．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(2，0)D.(0，-2)6．点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A.3B.33C.332D.329．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．B．6 C．D．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A.AD=BDB.AC∥BDC.DF=EFD.∠CBD=∠E11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．65°12．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．17．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为23，则B′E的长为__．19．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．21．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．22．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP=EF ；②PD=EC ；③∠PFE=∠BAP ；④△APD 一定是等腰三角形；⑤AP ⊥EF ．其中正确结论的序号是_____．三、解答题23．已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ 、QC ．（1）求证：PB ＝QC ；（2）若PA ＝3，PB ＝4，∠APB ＝150°，求PC 的长度．24．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点，点D 与A ，B 不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（）求证：△ACD≌△BCE；1（）当AD BF2∠的度数．=时，求BEF25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将BCE 绕点C 顺时针方向旋转90得到DCF ，连结EF ，若30EBC ∠=，求EFD ∠的度数．30．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．31．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=；∠CON=．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．32．四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE =BF ，连接AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若BC =12，DE =5，求△AEF 的面积．33．已知正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、(DC 或它们的延长线于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时如图1)，则()1线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系是______；()2当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；()3当MAN∠绕点A旋转到（如图3)的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．34．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．35．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且，将△绕点D逆时针旋转，得到△．求证：．当时，求EF的长．参考答案1．D【解析】【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．【详解】连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C=60°，∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B=60°，∵∠CB'A'=30°，∴∠A'B'B=30°，∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=12，∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，∴B'B=63，故选D．【点睛】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．2．C【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=22223213+=+=BC CM∴FE=13.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．3．C【解析】分析：根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.详解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°故选C.点睛：本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG 与△DEF 全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF 的长，即△ADE 的高，然后得出三角形的面积．【详解】如图所示，作EF ⊥AD 交AD 延长线于F ，作DG ⊥BC ，∵CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD ，又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF ，在△DCG 与△DEF 中，90CDG EDFEFD CGD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1，故选A ．【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．5．B【解析】试题分析：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.考点：规律探究题.6．C【解析】【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，先利用AAS证明△ADP≌△PEF，根据全等三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°，∴∠ADP=∠EPF，在△APD和△FEP中∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，∴△APD≌△FEP（AAS），∴AP=EF，AD=PF，又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，∴AP=BF，∴BF=EF，又∠F=91°，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，则∠CBE=45°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．7．D【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．考点：旋转的性质．8．B【解析】分析：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，根据旋转角的定义易得：∠BAB′=30°，根据HL易得△AB′M≌△ADM，所以公共部分面积等于△ADM面积的2倍；设DM=x，在△AMD中利用勾股定理求得DM，进而解答即可.详解：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，设DM=x，根据旋转的性质以及正方形的性质可得AB′=AD，AM=AM，∠BAB′=30°，∠B′=∠D=90°.∵AB′=AD，AM=AM，∴△AB′M≌△ADM.∵∠BAB′=30°，∴∠MAD=30°，AM=2x.∵x2+1=4x2，∴x=33，∴S ADM′=1331236⨯⨯=,∴重叠部分的面积S ADMB′=326⨯=33．故选B.点睛：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30°三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AB′M≌△ADM是解答本题的关键；9．A【解析】试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CAB′=90°，∴B′C==，故选A．考点：勾股定理．10．C【解析】【分析】由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证AC∥BD得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E．【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，∴AC∥BD，∴∠CBD=∠C，∴∠CBD=∠E，则A、B、D均正确，故选C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．11．C【解析】试题解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，∴∠CAC′=∠BAB′=30°故选A．考点：旋转的性质．12．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．13．32【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴AE=22AD DE+=32，∴AB=32，故答案为：32.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.14．2 3π【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=22，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22，∴S扇形ABD =()2302223603ππ⨯=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=23π，故答案为：23π．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分=S扇形ABD是解题的关键. 15．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC-23，则tan∠BOA=33 ABOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为：（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．23 【解析】【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE 的长．【详解】由题意可得，DE=DB=CD=12AB ， ∴∠DEC=∠DCE=∠DCB ，∵DE ∥AC ，∠DCE=∠DCB ，∠ACB=90°， ∴∠DEC=∠ACE ，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°， ∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=23，∴AE=23．故答案为23．【点睛】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．234+．【解析】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴BD BEBA BC=，即456BCBC-=，解得BC=234+（负值已舍去），即BC的长为234+．故答案为：234+．点睛：本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．18．23﹣2【解析】【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=3C′E，根据阴影部分面积为23得出12×C′E×3C′E=23，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【详解】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=3C′E，∵阴影部分面积为23，∴12×C′E×3C′E=23，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=3C′E=23，∴B′E=23-2，故答案为：23-2．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．19．【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE 上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2cm．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．20．【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，∵，∠ABG=∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴，解得，CE=，故答案为：．点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．21．1.5【解析】试题解析：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB=22OA OB=5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=12AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．故答案为：1.5．22．①③⑤【解析】【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可. 【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠P AQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ ，在△BAP 和△CAQ 中，∴△BAP ≌△CAQ （SAS ）， ∴PB=QC ；（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC ， ∴QC=4，∴△PQC 是直角三角形，∴PC===5．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP ≌△CAQ 是解（1）的关键，证明∠PQC =90°是解（2）的关键. 24．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=. 【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-，BCE DCE DCB ∠∠∠=-，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 与BCE 中，AC BCACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =， BE BF ∴=，BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．25．(1) 150°；(2)43+16【解析】试题分析：（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．试题解析：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×32=23，∴四边形ABCD的面积为：12AD•EB+12DB•CD=12×4×23+12×4×8=43+16．26．（1）45°；（2）12.5.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【详解】（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴AD AE AC AB，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=BE﹣AD．【解析】【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE ，然后根据“AAS”可判断△ADC ≌△CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，再利用等量代换得到DE=AD+BE ；（2）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；（3）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CD ﹣CE=BE ﹣AD ．【详解】(1)∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE+CD=AD+BE ；(2)与(1)一样可证明△ADC ≌△CEB ， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；(3)DE=BE﹣AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，根据实际情况选择合适的方法证明△ADC≌△CEB是解决问题的关键．28．（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．详解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，， ∴△FME ≌△BMH ， ∴HM=EM ，EF=BH ， ∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ， ∴CM=ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ， ∴∠MCF+∠MEF=135°， ∴∠CME=360°-135°-135°=90°， ∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ， ∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ， ∴GN=NC ，又MN ⊥CD ， ∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ， ∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°， ∴（1）中的结论成立．点睛：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．15° 【解析】【分析】根据旋转性质可得：BEC DFC ∠=∠，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =，由等腰直角三角形三角形性质可得45CFE FEC ∠=∠=，所以EFD DFC EFC ∠=∠-∠. 【详解】解：DCF 是BCE 旋转得到的图形，903060BEC DFC ∴∠=∠=-=，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =， 45CFE FEC ∴∠=∠=．604515EFD DFC EFC ∴∠=∠-∠=-=．【点睛】本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.30．（1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形；（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【详解】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，，∴MN最大=2+5=7∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2= ．【点睛】解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大31．25°40°25°【解析】【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MOC的度数；（2）根据OC平分∠MOB，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠MON=90°，可得∠BON的度数，继而可得∠CON的度数；（3）由∠NOC=5°，∠BOC=65°，∠MON=90°结合平角的定义即可求得.【详解】（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC=90°﹣65°=25°，故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，∴旋转角∠BON=∠MOB﹣∠MON=130°﹣90°=40°，∠CON=∠BOC﹣∠BON=65°﹣40°=25°，故答案为：40°，25°；（3）∵∠NOC=5°，∠BOC=65°，∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB=180°，∵∠MON=90°，∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON=180°﹣90°﹣70°=20°.【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的定义等，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键.32．（1）见解析；（2）84.5．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得；（2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF ，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°，而F 是CB 的延长线上的点， ∴∠ABF=90°，在△ADE 和△ABF 中，∵AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）∵BC=12，∴AD=12，在Rt △ADE 中，DE=5，AD=12， ∴AE==13，(勾股定理)∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF ，∠EAF=90°，∴△AEF 的面积=12AE 2=12×169=84.5．【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．33．（1）BM DN MN +=；（2）猜想：BM DN MN +=，详见解析；（3）DN BM MN -=，详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN．【详解】（1）如图1，连接AC，交MN于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵90B AGMBAM GAMAM AM∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案为：BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵AB ADABE DBE DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵AE ANEAM NAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．证明如下：如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．△ABM和△ADF中，∵AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠F AN=45°．在△MAN和△F AN中，∵AM AFMAN FANAN AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查了知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．34．（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，＝＝，＝∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．35．（1）证明见解析；（2）FC=3．【解析】试题分析：（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=2，且BC=6，∴BM=BC+CM=6+2=8，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，则EF=5．点睛：熟练掌握旋转的性质，正方形的四个角都是直角，四条边相等，勾股定理，全等三角形的判定(SAS)，全等三角形的性质是解答本题的关键.。

中考数学专题练习旋转(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PAPB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两X完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一X绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225°D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点 A 、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF= 45 度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60 度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD ．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ 逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两X完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一X绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。

人教版九年级上册数学旋转测试卷

人教版九年级上册数学旋转测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列现象中属于旋转的是（）A. 摩托车在急刹车时向前滑动。

B. 电梯的上下运动。

C. 拧开自来水龙头的过程。

D. 飞机起飞后冲向空中的过程。

2. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB = 3，则BE的长为（）A. 2.B. 3.C. 4.D. 5.（此处可插入一个简单的三角形旋转的示意图）3. 点A（-3，2）关于原点对称的点的坐标是（）A. （3， -2）B. （3，2）C. （-3， -2）D. （2， -3）4. 在平面直角坐标系中，把点P（-3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P'的坐标为（）A. （3，2）B. （2， -3）C. （3， -2）D. （-3， -2）5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 等边三角形。

B. 平行四边形。

C. 正五边形。

D. 圆。

6. 一个正六边形绕它的中心旋转n°后能与自身重合，则n的最小值是（）A. 60.B. 90.C. 120.D. 180.7. 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（）A. 顺时针旋转90°。

B. 逆时针旋转90°。

C. 顺时针旋转45°。

D. 逆时针旋转45°。

（此处可插入一个正方形网格中三角形旋转的示意图）8. 已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a + b的值为（）A. -4.B. 4.C. -6.D. 6.9. 如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A'B'C'，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'。

已知BC = 4，则E'D' =（）A. 2.B. 3.C. 4.D. 1.5.（此处可插入一个三角形旋转，包含中位线的示意图）10. 若将某图形先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的图形与将该图形先绕原点旋转180°，再向上平移3个单位得到的图形重合，则这个图形的对称中心是（）A. （- (3)/(2)，(1)/(2)）B. （- (3)/(2)， - (1)/(2)）C. （(3)/(2)， - (1)/(2)）D. （(3)/(2)，(1)/(2)）二、填空题（每题3分，共18分）11. 把一个正三角形绕着它的中心旋转______度后能与原来的图形重合。

人教版九年级数学上册第23章第1节《图形的旋转》课后练习题(附答案)

人教版九年级数学上册第23章第1节《图形的旋转》课后练习题（附答案）第1课时1.填空：如图，钟表的时针在不停地旋转，从3时到5时，时针的旋转中心是点，旋转角等于 °，点B的对应点是点 .2.填空：如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是点，旋转角是∠ ，点A 的对应点是点 .3.如图，扎西坐在旋转的秋千上，请在图中画出点A ，B ，C 的对应点A ′，B ′，C ′.第2课时（一）基本训练，巩固旧知1.填空：把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O 叫做旋转，转动的角叫做旋转 .如果图形上的点P 经过旋转变为点P ′，那么这两个点叫做旋转的 .2.填空： EDA C B(1)如图，△ABC 绕点A 旋转得到△ADE ，旋转中心是点，点B 的对应点是点，点C的对应点是点，∠ 等于于旋转角；(2)如图，△ABC 绕点O 旋转得到△DEF ，旋转中心是点，点A 的对应点是点，点B 的对应点是点，点C 的对应点是点，∠ 等于于旋转角.3.利用“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”，画出下图中的旋转角，并用量角器量出旋转角的度数.4.如图，四边形ABCD 是正方形，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°，利用图形旋转的性质，画出旋转后的图形.（先让生做4题，然后师出示旋转后的图形，并利用性质解释点D 转到了点B ，点E 转到了点F ）第3课时（一）基本训练，巩固旧知 O .F E D A B C E D CB A1.填空：图形旋转的性质是：(1)旋转前后的图形； (2)对应点到旋转中心的距离；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 .2.如图，以点O 为中心，把点P 顺时针旋转45°.3.如图，以点O 为中心，把线段AB 逆时针旋转90°.4.如图，以点O 为中心，把△ABC 顺时针旋转120°.5.如图，以点B 为中心，把△ABC 旋转180°.B AC B AC .O A B O ..O P .。

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旋转姓名
方程根与系数的关系
例1：设关于x 的方程ax 2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，
那么实数a 的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．变：设关于x 的方程ax 2+（a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜2＜x 2，
那么实数a 的取值范围是
变：关于x 的方程04
1)2(2=+-+x a ax ，有两个不相等实数根x 1、x 2，且211x x <-<，那么实数a 的取值范围
例2：已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2
﹣4=0
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值．
变：已知关于x 的方程a 2x 2+（2a ﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）求a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a 的值；
如果不存在，说明理由．
函数：
已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=x 2+bx+c 的图象与一次函数y=x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的表达式及C 点的坐标；
（2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式x 2+bx+c ＞x+1的解集为；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PC+PE 的值最小？若存在，求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
（4）求BCE ∆的面积并在抛物线上找点Q 使的BCE ∆和BCQ ∆的面积相等
旋转：
例1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置始终保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，若正方形DCEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，
则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有( )个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A ．①③
B ． ①④
C ．②③
D ．②④
4．已知：如图，F 是正方形ABCD 中BC 边上一点，延长AB 到E ，使得BE =BF ，
试用旋转的性质说明：AF =CE 且AF ⊥CE ．
5．已知：如图，E 是正方形ABCD 的边CD 上任意一点，F 是边AD 上的点，且FB 平分∠ABE ．
求证：BE =AF ＋CE ．
6．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D =180°，AB =AD ，E ，F 分别是线段BC ，CD 上的点，
且BE ＋FD =EF ．求证：.21
BAD EAF ∠=∠
7．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
(1)如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2；
(2)如果CA＜CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
旋转的综合训练
一、选择题
1．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?
甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．
以上四位同学的回答中，错误的是( )．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )．
A．等边三角形B．菱形
C．等腰梯形D．平行四边形
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，
点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是( )．
A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的 B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的4.如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( )
5.如上图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，
则图中的四边形ACED的面积为（）
A、24cm2
B、36cm2
C、48cm2
D、无法确定
6.下列命题中的真命题是 ( )
(A)全等的两个图形是中心对称图形. (B)关于中心对称的两个图形全等.
(C)中心对称图形都是轴对称图形. (D)轴对称图形都是中心对称图形.
7．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，
那么她所旋转的牌从左起是（）
A ．第一张、第二张
B ．第二张、第三张
C ．第三张、第四张
D ．第四张、第一张
（1）（2）
8、如右图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点
C 顺时针方向旋转900得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EF
D 的度数为（A 、100 B 、150 C 、200 D 、250
二、填空题
1．如下图，用等腰直角三角板画∠AOB =45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后
绕点M 按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 °．
2．如上图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形A ′B ′C ′D ′，
则它们的公共部分的面积等于______．
3．如上图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ， B ，E 在C ，D 的同侧．若,2=AB 则BE =______．
4．如上图，已知D ，E 分别是正三角形的边BC 和CA 上的点，且AE =CD ，AD 与BE 交于P ，则∠BPD =_____°．
5．在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将点P 0绕着原点O 按逆时针方向旋转60°得到P 1，
延长OP 1到点P 2，使OP 2=2OP 1，再将点P 2绕着原点O 按逆时针方向旋转60°，得点P 3，则P 3的坐标是______．
6．如下图，P 是等边△ABC 内一点，△BMC 是由△BPA 旋转所得，则∠PBM ＝_____________．
7.直线y =x +3上有一点P (m -5,2m ),则P 点关于原点的对称点P ′为
8.如下图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，
则∠A 的度数是__________。

9.如下图,边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到的正方形EFCG ,EF 交AD 于点H ,
那么DH 的长为_____ _.
10．如下图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠A=150
，
∠C=100，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC=________，旋转角度是________.
三解答题
1.四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，
求（1）指出旋转中心和旋转角度
（2）求DE的长度
（3）BE与DF的位置关系如何？
2．已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．
求证：BD2=AB2＋BC2．
3. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．
若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．
猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．。