应用随机过程02
合集下载
2016应用随机过程讲义第三篇
2
【伊藤等距（Ito isometry） 】 为方便计，令 D j W t j 1 W t j , j 0,1,
k 1 j 0
k
2 t u dW u E t 2 u du E I t E 0 0 2
.
k
, k 1, Dk W t W tk ，于
j 0
是， I t t j W t W tk t j D j ，从 W t j 1 W t j tk
j 0
n 1
t j 1
j
2 u du 2 u du 。
0
t
【注1】1） 一个过程的二次变差与方差的不同之处在于：
j l 1
k 1
k 1
E E t j W t j 1 W t j Ft j Fs j l 1
j l 1
E t E W t F
k 1 j j 1
tj
0 ；4） E tk W t W tk Fs Fs Ftk E E W t W tk Ftk tk Fs
W t , t 0 下，从事资产交易的收益。由于鞅既没有上升又没
有下降趋势，故可以预期作为积分上限 t 的过程 I t 也没有上 升和下降的趋势，即：Ito 积分 0 u dW u 是一个鞅： 给定 0 s t T ，假定 s, t 分别位于分划 的不同的子区间（位 于同一子区间的情形类似） ，即存在分点 tl 和 tk tl tk ，使得 s tl , tl 1 且 t tk , tk 1 ；从而，
【伊藤等距（Ito isometry） 】 为方便计，令 D j W t j 1 W t j , j 0,1,
k 1 j 0
k
2 t u dW u E t 2 u du E I t E 0 0 2
.
k
, k 1, Dk W t W tk ，于
j 0
是， I t t j W t W tk t j D j ，从 W t j 1 W t j tk
j 0
n 1
t j 1
j
2 u du 2 u du 。
0
t
【注1】1） 一个过程的二次变差与方差的不同之处在于：
j l 1
k 1
k 1
E E t j W t j 1 W t j Ft j Fs j l 1
j l 1
E t E W t F
k 1 j j 1
tj
0 ；4） E tk W t W tk Fs Fs Ftk E E W t W tk Ftk tk Fs
W t , t 0 下，从事资产交易的收益。由于鞅既没有上升又没
有下降趋势，故可以预期作为积分上限 t 的过程 I t 也没有上 升和下降的趋势，即：Ito 积分 0 u dW u 是一个鞅： 给定 0 s t T ，假定 s, t 分别位于分划 的不同的子区间（位 于同一子区间的情形类似） ，即存在分点 tl 和 tk tl tk ，使得 s tl , tl 1 且 t tk , tk 1 ；从而，
应用随机过程(第二章)
2 E X0 t1VX 0 t2VX 0 t1t2V 2
1 t1t2
随机过程的基本类型
平稳过程：如果随机过程 X t , t T 对任意 的 t1 , t2 ,tn T 和任意的h t1 h, t2 h,tn h T 有 X t1 h, X t2 h, X tn h
1 2T lim T 0 T
1 B
1
2T 1
2
d 1 0
其中：
B1 E X t 1 X t 1 X t X t
例2.3.3
• 设
X t a cost , ~ U 0,2
定义2.3.3
• 如果
t
1 T lim 2T T T
X t X t dt t
N
• 或者
1 t lim 2 N 1 X k X k T k N
例2.3.1 平稳白噪声序列
• 设 X n , n 1,2,3, 为一列两两互不相关的 随机变量序列，满足：
E X n 0 , n 1,2,3,
0 E X n X m 2 mn mn
• 则 X n , n 1,2,3, 是平稳序列。
例2.3.2 滑动平均序列
平稳增量过程
• 如果对于任意的 t1 , t2 有
X t1 h X t1
d
X t2 h X t2
则称 X t , t T 是平稳增量过程。
平稳独立增量过程。
基本概念
• 连续参数随机过程 T R T R T a, b 离散参数随机过程
1 t1t2
随机过程的基本类型
平稳过程：如果随机过程 X t , t T 对任意 的 t1 , t2 ,tn T 和任意的h t1 h, t2 h,tn h T 有 X t1 h, X t2 h, X tn h
1 2T lim T 0 T
1 B
1
2T 1
2
d 1 0
其中：
B1 E X t 1 X t 1 X t X t
例2.3.3
• 设
X t a cost , ~ U 0,2
定义2.3.3
• 如果
t
1 T lim 2T T T
X t X t dt t
N
• 或者
1 t lim 2 N 1 X k X k T k N
例2.3.1 平稳白噪声序列
• 设 X n , n 1,2,3, 为一列两两互不相关的 随机变量序列，满足：
E X n 0 , n 1,2,3,
0 E X n X m 2 mn mn
• 则 X n , n 1,2,3, 是平稳序列。
例2.3.2 滑动平均序列
平稳增量过程
• 如果对于任意的 t1 , t2 有
X t1 h X t1
d
X t2 h X t2
则称 X t , t T 是平稳增量过程。
平稳独立增量过程。
基本概念
• 连续参数随机过程 T R T R T a, b 离散参数随机过程
应用随机过程PPT模板
机过程的基本概念
§2.4更新过程
01 § 2 . 4 . 1 引言
03 § 2 . 4 . 3 极限定理与
停时
05 § 2 . 4 . 5 延迟更新过
程
02 § 2 . 4 . 2 N （t ） 的分
布与更新函数
04 § 2 . 4 . 4 更新定理及
其应用
06 § 2 . 4 . 6 有酬更新过
§5.2平稳过程和相关函数的谱分 解
§5.2.2平稳 过程的谱分 解
§5.2.1相关 函数的谱分 解
§5.2.3平稳 过程的线性 运算
第五章平稳过程
§5.3均方遍历性
0 1 §5.3.1平稳过程均方遍历性的基本概 念
0 2 §5.3.2平稳过程的遍历性定理
第五章平稳过程
§5.4线性系统中的平稳过程
§5.4.1线性时不变 系统
§5.4.2输入为平稳 过程的情形
§5.4.3平稳相关过 程和互谱函数
第五章平 稳过程
§5.5平稳过程的采样定 理
§5.5.1采样 定理
1
§5.5.2白噪 声
2
07 参考文献
参考文献
感谢聆听
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.1二阶矩过程和二阶矩随机变 量空间H
§4.1.2二阶 矩随机变量 空间H
§4.1.1二阶 矩过程
§4.1.3均方 极限的性质
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.2二阶矩过程的均方微积 分
§4.2.1均方连 续性
01
§4.2.3均方积 分
03
§4.2.5均方导 数与均方积分 的分布
§1.3随机 变量的数
字特征
§1.4概率 论中常用 的几个变
§2.4更新过程
01 § 2 . 4 . 1 引言
03 § 2 . 4 . 3 极限定理与
停时
05 § 2 . 4 . 5 延迟更新过
程
02 § 2 . 4 . 2 N （t ） 的分
布与更新函数
04 § 2 . 4 . 4 更新定理及
其应用
06 § 2 . 4 . 6 有酬更新过
§5.2平稳过程和相关函数的谱分 解
§5.2.2平稳 过程的谱分 解
§5.2.1相关 函数的谱分 解
§5.2.3平稳 过程的线性 运算
第五章平稳过程
§5.3均方遍历性
0 1 §5.3.1平稳过程均方遍历性的基本概 念
0 2 §5.3.2平稳过程的遍历性定理
第五章平稳过程
§5.4线性系统中的平稳过程
§5.4.1线性时不变 系统
§5.4.2输入为平稳 过程的情形
§5.4.3平稳相关过 程和互谱函数
第五章平 稳过程
§5.5平稳过程的采样定 理
§5.5.1采样 定理
1
§5.5.2白噪 声
2
07 参考文献
参考文献
感谢聆听
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.1二阶矩过程和二阶矩随机变 量空间H
§4.1.2二阶 矩随机变量 空间H
§4.1.1二阶 矩过程
§4.1.3均方 极限的性质
第四章随机分析 与随机微分方程
§4.2二阶矩过程的均方微积 分
§4.2.1均方连 续性
01
§4.2.3均方积 分
03
§4.2.5均方导 数与均方积分 的分布
§1.3随机 变量的数
字特征
§1.4概率 论中常用 的几个变
[应用随机过程][习题][02]
![[应用随机过程][习题][02]](https://img.taocdn.com/s3/m/a36e9684b9d528ea81c77920.png)
上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
G X (ω ) = ∫ 2e e
∞ ∞ ∞ ∞ τ j (ω +π )τ
dτ + ∫ 2e e j (ω π )τ dτ
∞
∞
τ
+ ∫ (cos 2πτ )e jωτ dτ 4 4 = + + π [δ (ω 2π ) + δ (ω + 2π )] 2 2 1 + (ω + π ) 1 + (ω π )
2 Aα ( Ae 2 ) 2 α +ω ( cos ω 0 t π [δ (ω + ω 0 ) + δ (ω ω 0 )] )
α t
Page 5
上海理工大学
2010-7-30
第四章习题
补充:设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳,其
互相关函数为
9e 3τ , τ ≥ 0 R XY (τ ) = τ <0 0, 求互谱密度 GXY (ω ) 和 GYX (ω )
Page 10 上海理工大学 2010-7-30
第五章习题
5.10设表5.1中系统一栏的第二行所示的线性电
路,输入X(t)为白噪声,其功率谱密为 N 0 2 求输出Y(t)的功率谱密度及自相关函数 解: H (ω ) = jωRC
1 + jωRC
功率谱密度
N 0ω 2 R 2 C 2 GY (ω ) = G X (ω ) H (ω ) = 2(1 + ω 2 R 2 C 2 )
t3 t 2 RC
t t
t 3 > t1
t 2 t1 RC
RY (t3 t 2 ) RY (t 2 t1 ) N = 0 e 4 RC RY (0)
2016应用随机过程讲义第二篇
1 2 n 1 2 n
合分布函数全体，即：Ft ,t ,
1 2
, tn
x1 , x2 ,
, xn , t1 , t2 ,
, tn T , n 1
，称为
随机过程的有限维分布族；它具有如下性质： （ⅰ）对称性：对 12 n 的任一排列 i1i2 in ，有 Ft ,t , ,t xi , xi , , xi Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xn ；
1 2 m 1 2 m m1 n
2t , 掷出反面；
2
求： X t 的一维分布函数 F1 x , F1 x 和二维分布函数 F1 ,1 x1 , x2 ； 【例 2.1.2】 设有随机过程 X t A Bt ， 其中 A, B 独立同 N 0,12 分 布，试求 X os t , t R ， A 是随机变量，且
1
1
1
仅描述随机过程在任一时刻取值的统计特性，而不能反映随 机过程各个时刻状态之间的联系； （b） t1 , t2 T , X t , X t 是二维随机向量，其联合分布函数为
Ft1 ,t2 x1 , x2 P X t1 x1 , X t2 x2
1
2
，称为随机过程的二维分布函数；
i1 i2 in 1 2 n 1 2 n
（ⅱ）相容性： m n ，有： Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xm Ft ,t , ,t ,t , ,t x1 , x2 , , xm , , , 。 【例 2.1.1】利用重复掷硬币的试验可定义一个随机过程 cos t , 掷出正面； 1 X t , t ；已知 P 掷出正(反)面 ，试
合分布函数全体，即：Ft ,t ,
1 2
, tn
x1 , x2 ,
, xn , t1 , t2 ,
, tn T , n 1
，称为
随机过程的有限维分布族；它具有如下性质： （ⅰ）对称性：对 12 n 的任一排列 i1i2 in ，有 Ft ,t , ,t xi , xi , , xi Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xn ；
1 2 m 1 2 m m1 n
2t , 掷出反面；
2
求： X t 的一维分布函数 F1 x , F1 x 和二维分布函数 F1 ,1 x1 , x2 ； 【例 2.1.2】 设有随机过程 X t A Bt ， 其中 A, B 独立同 N 0,12 分 布，试求 X os t , t R ， A 是随机变量，且
1
1
1
仅描述随机过程在任一时刻取值的统计特性，而不能反映随 机过程各个时刻状态之间的联系； （b） t1 , t2 T , X t , X t 是二维随机向量，其联合分布函数为
Ft1 ,t2 x1 , x2 P X t1 x1 , X t2 x2
1
2
，称为随机过程的二维分布函数；
i1 i2 in 1 2 n 1 2 n
（ⅱ）相容性： m n ，有： Ft ,t , ,t x1 , x2 , , xm Ft ,t , ,t ,t , ,t x1 , x2 , , xm , , , 。 【例 2.1.1】利用重复掷硬币的试验可定义一个随机过程 cos t , 掷出正面； 1 X t , t ；已知 P 掷出正(反)面 ，试
应用随机过程概率模型导论第十版课程设计 (2)
应用随机过程概率模型导论第十版课程设计本文为应用随机过程概率模型导论第十版课程设计的文档，主要包括以下内容：•课程设计目的•课程设计内容及分析•课程设计过程•课程设计总结课程设计目的应用随机过程概率模型导论是概率论中的一门重要课程，主要探讨随机过程的基本概念和相关理论知识，旨在让学生了解随机过程的特点和应用，具备设计和解决基本随机过程问题的能力。
基于此，本次课程设计旨在：1.帮助学生进一步巩固和掌握随机过程的基本概念和理论知识；2.培养学生分析和解决基本随机过程问题的能力；3.培养学生基于随机模型进行数据分析和应用的能力；4.提升学生在应用随机过程领域中的创新和综合运用能力。
课程设计内容及分析本次课程设计主要包括三个部分，分别是理论分析、应用案例分析和编程实现。
具体内容如下：理论分析在理论分析部分，学生需要选择其中一种随机过程进行深度分析和研究，包括但不限于：•马尔可夫过程•泊松过程•布朗运动•马尔可夫链学生需要对所选随机过程的特点、定义、性质和应用进行详细分析和解释，并结合相应的案例加以说明。
同时，学生还需要尝试解决一些相关的实际问题，例如：•某电商平台的用户购买行为是否符合马尔可夫过程？•某公共场所的人流量受到什么因素的影响？•股票价格的变化是否符合布朗运动？应用案例分析在应用案例分析部分，学生需要选择一个基于随机过程的实际应用案例进行深度分析和研究，包括但不限于：•股票价格预测•热点事件预测•电商平台的用户行为分析学生需要对所选案例的背景、问题、数据、模型和解决方案进行详细分析和解释，并结合相应的数据建模工具进行实际操作和分析。
编程实现在编程实现部分，学生需要选择一种随机过程或应用案例进行编程实现，同时需要结合学过的编程语言（例如Python或MATLAB）进行相关的代码实现，并对结果进行分析和评估。
课程设计过程本课程设计时间为五周，学生按照以下时间节点进行任务的分配和完成。
第一周学生选择随机过程或应用案例进行分析，并对所选的问题进行详细梳理和整理。
应用随机过程 林元烈 第二章答案
+ X N = ∑ X i , 求 ξ 的分布， Eξ 和 Dξ .
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]
随机过程及应用教学设计 (2)
随机过程及应用教学设计1. 引言随机过程（Random Process）是时间的函数，其取值是随机变量。
随机过程被广泛运用于信号与系统、通信、自动控制、金融等领域。
因此，本文将讨论如何在教学中设计随机过程相关课程，以便更好地帮助学生理解随机过程的相关概念与应用。
2. 课程设计2.1 课程目标本门课程的目标在于：1.理解随机过程的基本概念与性质。
2.掌握随机过程相关的数学工具，如概率论、统计学和线性代数。
3.进一步了解随机过程的应用场景。
2.2 课程内容2.2.1 随机变量的概率与分布首先，学生需要理解随机变量的概念，并掌握离散型随机变量、连续型随机变量以及联合分布。
通过实际的示例，可以说明这些概念是怎样在现实生活中应用的。
2.2.2 离散时间随机过程在这一章节，学生将学习如何给出随机过程的定义与相关概念，如平稳性和相关函数。
在此基础之上，我们可以向学生展示一些知名的离散时间随机过程，如泊松过程或Markov链。
2.2.3 连续时间随机过程学生将进一步学习如何对连续型随机过程建模，并学习如何计算其相关性质。
同样地，我们可以向学生展示关于维纳过程和布朗运动的一些经典应用案例。
2.2.4 随机过程的应用在最后一章节，我们将向学生介绍如何将随机过程应用到金融领域、自动化控制等热门领域中。
我们将讨论一些实际案例，以便学生可以更好理解随机过程的实际应用。
2.3 教学方法为了使学生更好地掌握课程内容，我们建议采用下列教学方法：1.给学生提供大量的实例，并要求其独立思考答案。
2.让学生通过课堂小组讨论的方式来学习随机过程的应用。
3.强调计算方法，让学生更好地了解如何计算随机过程的相关概念与性质。
4.利用MATLAB等计算机软件来展示随机过程相关的数学工具的使用。
3. 教学评估在教学结束之后，我们将对学生进行评估。
评估内容包括：1.期末考试。
2.日常作业与小组讨论表现。
3.最终的毕业项目，学生将在此项目中展示随机过程相关应用的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
33
n
∑ xi I Ji (U )
i=1
就是一个ξ 随机数（它的意思是：如果U 落入 J i ，就取ξ = xi ）．
在统计再抽样中的应用 在样本组中再抽样，或者由样本作的参数估计代替分布中的未知参数后，所得到的分布 的随机取样，统一称为 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ 方法．具体地说有如下两种方法
（１）非参数 Bootstrap 方法．设自一个未知方差的分布取样 X1,L, X n （不是计算
否则就舍弃ηi 。
由命题 2.８, 所有这样保留下来的那些ηi 们就成为一系列独立的 p( x) 随机数(当然个数会
比 n 小很多). 这种取舍方法称为 Von Neuman 取舍原则.
取舍原则可以改良为：
如果 p(x) = γ ⋅ h(x) , 只要存在 C ，使 h (x ) ≤ C ⋅ p 0 (x ) , 那么我们可以在取舍原则中
(U
)
≤
x, U
∈ (ti−1,
ti
])
n
n
∑ ∑ = P(ti−1 < U ≤ ti−1 + pi Fi ( x)) = piFi (x) ． ？
i=1
i=1
在实际计算中, 应该用伪随机数来取代均匀随机数 U , 如果取到的伪随机数落在 (t i−1, ti ]
∑ 中,
则取
Fi −1 (U
− ti−1 pi
点是简单易行, 可以适用于非常复杂的分布.
注２ 如果 p( x) 只在有限区间[a, b] 上不等于零, 而且有界, 那么 p0 (x) 就可取均匀分
布 U [a,b] ; 如果 p( x) 只在右半直线不等于零, 那么指数分布就可以是 p0 (x) 的一个选择;
如果 p( x) 在实直线上不等于零，且分布密度的尾部不大, 则正态分布就可以是 p0 (x) 的一
∧2
机模拟取样，而是人工取样）如果要作方差的区间估计，就需要知道方差估计 σ 的方差
∧2
∧2
Var(σ ) ．一般 Var(σ ) 很不好求，需要对它用再抽样进行估计．为此可将样本分布
X1 1
L L
Xn 1
作为离散随机变量的分布,
独立地取样 N 次，每次独立地取样 m 个．设从
n
1. 1 均匀随机变量的计算机模拟
定义２．１ 在[0,1]上均匀分布的随机变量的独立样本称为均匀随机数(U [0,1] 随机数).
在计算机上产生的称之为”伪随机数”的数列, 是一种具有非常长周期的, 且能通过数理 统计中的独立性与均匀性假设检验的数列. 实践证明伪随机数是均匀随机数的一种可行的
近似. 这种伪随机数虽然并不是独立同分布的U [0,1] 随机变量的样本, 而是在[0,1]中取值
函数.
证明 P(F −1(ξ ) ≤ x) = P(ξ ≤ F (x)) = F( x) . ？
命 题 ２ ．３
设随机变量 ξ 只取有限个值，其分布为
ξ
~
x1 p1
L L
xn pn
.
把[0,1]
分为 n 个不交子区间, 使第i 个区间 J i 的长度为 pi . 任取均匀随机数U , 则
命题２．４ (生成标准正态随机数的 Ｂｏｘ－Ｍｕｌｌｅｒ 方法） 取两个独立的均匀随机数
34
η1,η2 , 令
ξ1 = − 2ln η1 cos(2πη2) ,
ξ 2 = − 2 ln η1 sin( 2πη2 ) .
则ξ1,ξ 2 为相互独立的标准正态随机数.
证明 令η1,η2 ~ U[0,1] 且独立, 则1 −η1,η2 也是独立的 U [0,1] 随机变量. 于是对于分
用 h(x) 代替 p( x) ，得到 p( x) 随机数． 具体为：独立地生成 n 个独立的 p0 (x) 随机数
η1
,
L,η
n
与
n
个与之独立的独立
U
[0,1]
随机数
U1
,L
,U
n
，如果
h(ηi ) Cp0 (ηi
)
≥Ui ,
则保留ηi ,
否则舍弃ηi , 那么所有保留下的是相互独立的 p( x) 随机数.
个选择; 如果 p( x) 在实直线上不等于零，且分布密度的尾部较大（重尾分布）, 则t 分布
就可以是 p0 (x) 的一个选择; 如果 p( x) 具有多个峰, 则混合正态分布或混合指数分布就可
以是 p0 (x) 的一个选择. 可见适当精心地选取 p0 (x) 是使计算省时的关键.
注３ 原则上取舍原则也适用于离散分布和多维密度，但是在多维密度的情形， p0 (x)
态随机数.
命题２．５ （生成标准正态随机数的 Ｍａｒｓａｇｌｉａ 方法） 设( X ,Y ) 为单位圆上的均匀
随机数. 则
ηξ
∆
=
−
2 ln( X 2 + Y X 2 +Y2
2
)
X Y
~
N
00
,
1 0
10 .
（提示 将直角坐标( X ,Y ) 转换为极坐标 ( R,ϑ) ）.
的样本 X1,L, X n（不是计算机模拟取样，而是人工取样）得到未知参数的估计(ϑ∧１，L，ϑ∧ l )
后，对分布 p（x,ϑ∧１，L，ϑ∧ l ) 用计算机模拟取样．独立地取样 N 次，每次独立地取样 m 个．其
它与（１）相同． 注意，计算机模拟取样只能对已知的分布施行，对于含未知参数的分布，只能作普通的 人工取样．以上的两种再抽样方法，补充了人工取样采样量的限制．因为计算机模拟取样既 快速又经济．
布函数, 那么
∑ ∑ n
i=1
Fi −1 (U
− ti −1 pi
)I (ti −1,ti ] (U )
~
分布函数为
n i=1
pi Fi
的混合分布.
35
证明
∑ P(
n i=1
Fi
−1
U (
−t pi
i
−1
)I
(ti
−1
,
ti
]
(U
)
≤
x)
=
∑n
i=1
P(Fi −1 (U
− ti −1 pi
) I ( ti −1,ti ]
k =1
k =1
∆
证明 令Tk =− ln U k ~ Exp1 . 在指数流与 Poisson 过程的关系 ( 参见第 3 章) 中取参
数为 1, 取时间t 为 λ 即得.
1. 5 混合分布随机数
对于权重为 p1,L, pn (和为 1 的n 个正数) 的混合分布随机数, 我们有
命题２．７ 设U ~ U[0,1],0 = t0 < L < t n = 1,t i − ti−1 = pi (i ≤ n) , Fi ( x)(i ≤ n) 为分
n
∧2
∧2
第 k 次的 m 个样本值得到方差的估计 σ k (k ≤ N ) ，将此 N 个的平均记为 σ ，最后用
∑ ∧ 2
∧
σ
=
1
N
∧2 ∧2
∧2
(σ k − σ ) 2 估计Var(σ ) ．
N − 1 k=1
此法可以用于一般未知参数的方差估计．
（２）参数 Bootstrap 方法． 设自一个带有未知参数 (ϑ1,Lϑl ) 的分布 p( x,ϑ1,Lϑl )
∫∫ ∫∫ 左
=
P(η ≤ x, p(η) ≥ U ) Cp0 (η)
P( p(η) ≥ U ) Cp 0 (η )
=
x
P(U
−∞ ∞
P(U
−∞
≤ ≤
p( y) Cp0 ( y) ) p0 ( y)dy
p( y) Cp0 ( y) ) p0 ( y)dy
=
x1
−∞C ∞1 −∞C
p( y)dy p( y)dy
一般正态随机数的生成 若ξ 为标准正态随机数, 则显见σξ + µ 为 N (µ,σ 2 ) 随机数.
1. 4 Poisson 随机数 下述结论给出了利用伪随机数生成 Poisson 随机数的方法。
命题２．６ 设U1 ,U 2,L 是相互独立的[0,1]均匀随机数． 若
n+1
n
∏ ∏ U k < e −λ ≤ U k ， 则定义 N = n ． 那么 N ~ Poissonλ .
的周期数列, 但是由于它可以像均匀随机数一样地通过数理统计中的独立性与均匀性假设 检验, 而且它的周期非常长, 以至在计算机实际运算过程中不会出现重复, 所以在实际计算 中它能很好地替代均匀随机数.
最普遍用以产生伪随机数的方法是同余法. 典型的例子如下:
yn+1 = 513 yn (mod 236 ) , y0 = 1, xn = yn ⋅ 2 −36 (周期约为2 ⋅1010）；
那么，我们有
命题 ２． ８ 设随机变量η 具有密度 p0 (x) , 而随机变量U ~ U [0,1] 且与η 独立, 则
∫ P(η ≤ x |
p(η)
x
≥ U ) = p(v)dv .
Cp0 (η)
−∞
∫ 证明 对η 的取值用推广了的全概率公式（ P( A) = P( A | η = x) g(x)dx ），得到
1. 3 正态随机数
N (0,1) 随机数称为标准正态随机数． 生成标准正态随机数有一个比反函数的方法更为
简单的实践方法, 就是利用中心极限定理. 设η1,L,η12 为均匀随机数（它们是独立的）, 由 中心极限定理，可以认为ξ = η1 + L +η12 − 6 ≈ N(0,1) , 即用ξ = η1 + L +η12 − 6 近似地 作为标准正态随机数. 在实际计算中ηi (1 ≤ i ≤ 12) 们还应该用伪随机数代替.