1.3.1算法案例(第一课时)ppt
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1.3.1 进位制 公开课一等奖课件
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数. 30241(5)=3×54+2×52+4×5+1= 1946.
7 7
7 7 1946 278 39 5 0 余数 0
5
4 5
30241(5)=5450(7)
例4 已知10b1(2)=a02(3),求数字a，b的值. 10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9. a02(3)=a×32+2=9a+2. 所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1.
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二 进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？ 思考3:在十进制中10表示十，在二进制中 10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数， 则以k为基数的k进制数可以表示为一串数 字连写在一起的形式：anan-1…a1a0(k). 其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1， a0的取值范围如何？
1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制 数是什么数？十进制数89化为二进制 数是什么数？ 101101(2)=25+23+22+1=45.
89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21 +1×20=1011001(2).
思考4:十进制数4528表示的数可以写成 4×103+5×102+2×101+8×100，依此类 比，二进制数110011(2),八进制数7342(8) 分别可以写成什么式子？
辗转相除法算法课课件
教法选择： 本节课主要以小组合作、上机操作模式 下的问题教学和引导探究为主进行教学。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教法、学法分析
学法指导：
在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用； 让学生大胆猜想—自主探究—动手操作确认 。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教学程序及设想
一：创设情境，铺垫导入 二：合作学习，探索新知 三：鼓励拓展，飞跃点睛 四：课堂练习，反馈回授 五：归纳总结，强化认识 六：分层作业，发展深化
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
算法案例(二)--------秦九韶算法
程序四：课堂练习， 反馈回授
练习：
求最大公约数（1）228 ，1995 （2） 276，636 设计意图 （3）1140 ，1995
（1）巩固新知识
（2）若数据是偶数，或5的倍数，则可先除以2或5， 让学生灵活运用辗转相除法。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教学目标
（一）知识与技能 （二）过程与方法 （三）情感与价值 让学生体会从具体到抽象，再从抽象到具体的辨证 唯物主义思想；发展学生解决问题的思维习惯；通过阶 梯形问题、动手实践活动，让学生体验成功的喜悦。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教法、学法分析
问题三：求8251与6105 的最大公约数
答：8251 mod 6105=2146 ,6105 mod 2146=1813 2146 mod 1813=333 , 1813 mod 333 =148 333 mod 148 =37 , 148 mod 37 =0
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教法、学法分析
学法指导：
在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用； 让学生大胆猜想—自主探究—动手操作确认 。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教学程序及设想
一：创设情境，铺垫导入 二：合作学习，探索新知 三：鼓励拓展，飞跃点睛 四：课堂练习，反馈回授 五：归纳总结，强化认识 六：分层作业，发展深化
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
算法案例(二)--------秦九韶算法
程序四：课堂练习， 反馈回授
练习：
求最大公约数（1）228 ，1995 （2） 276，636 设计意图 （3）1140 ，1995
（1）巩固新知识
（2）若数据是偶数，或5的倍数，则可先除以2或5， 让学生灵活运用辗转相除法。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教学目标
（一）知识与技能 （二）过程与方法 （三）情感与价值 让学生体会从具体到抽象，再从抽象到具体的辨证 唯物主义思想；发展学生解决问题的思维习惯；通过阶 梯形问题、动手实践活动，让学生体验成功的喜悦。
教材分析
目标分析
过程分析
教法分析
评价分析
教法、学法分析
问题三：求8251与6105 的最大公约数
答：8251 mod 6105=2146 ,6105 mod 2146=1813 2146 mod 1813=333 , 1813 mod 333 =148 333 mod 148 =37 , 148 mod 37 =0
1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(共32张PPT)
1.3
算法案例
第一课时 辗转相除法 与更相减损术、秦九韶算法
知识能力目标引航 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解其执行过程,并会求最 大公约数. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它提高计算效率的实质,并会求 多项式的值. 3.进一步体会算法的基本思想.
1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则返回第二步. ②程序框图如图所示.
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以 用更相减损术.用辗转相除法,即根据 a=nb+r 这个式子,反复相除,直 到 r=0 为止;用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个式子,反复相减,直到 r=0 为止.
题型二 求多项式的值 【例题 2】 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x 的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7 分别是多少,再针对这些式子进行计算.
秦九韶算法的关键在于把 n 次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
题型三
易错辨析
【例题 3】已知 f(x)=3x4+2x2+4x+2,利用秦九韶算法求 f(-2)的值. 错解:f(x)=((3x2+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50. 错因分析:所求 f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶 算法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有 x 的一次 项. 正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50.
算法案例
第一课时 辗转相除法 与更相减损术、秦九韶算法
知识能力目标引航 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解其执行过程,并会求最 大公约数. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它提高计算效率的实质,并会求 多项式的值. 3.进一步体会算法的基本思想.
1.辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法. ①算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则返回第二步. ②程序框图如图所示.
求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法,也可以 用更相减损术.用辗转相除法,即根据 a=nb+r 这个式子,反复相除,直 到 r=0 为止;用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个式子,反复相减,直到 r=0 为止.
题型二 求多项式的值 【例题 2】 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x 的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7 分别是多少,再针对这些式子进行计算.
秦九韶算法的关键在于把 n 次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
题型三
易错辨析
【例题 3】已知 f(x)=3x4+2x2+4x+2,利用秦九韶算法求 f(-2)的值. 错解:f(x)=((3x2+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50. 错因分析:所求 f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶 算法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有 x 的一次 项. 正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2, v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50. 故 f(-2)=50.
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )
第四步：重复二、三步， 直到余数为0.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约 数等于_m_；否则，返回第二步.
算法的思想
辗转相除法
问题4. 辗转相除法的算法有什么特点？ 需要使用哪种基本逻辑结构？
• 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停 止的步骤，可以使用循环结构来构造算法。
回顾：构造循环结构应确定哪几部分内容？ ①初始化变量 ②确定循环体 ③设定循环控制条件
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )【精品】
更相减损术
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
翻译： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
结论：8251和6105的最大公约数就是6105和2146的最大公 约数.
第二步： 6105 = 2146 ×2 + 1813
结论：6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公 …… 约数.
最后一步： 148 = 37 ×4 + 0.
余数为0
最终结论：8251和6105的最大公约数也是148和37的最大 公约数，即37.
否
WHILE 条件 循环体
WEND
知问
回顾：
1.编程解决问题需经过哪些步骤？ 算法分析、程序框图、程序
2.循环结构的程序框图和语句？ 3.求两个正整数最大公约数的方法？ 短除法：先用两个数的公约数连续去除，一直除到 所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起 来即为最大公约数。
1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(共32张PPT)
（2）算法步骤
第一步,输入两个正整数a,b(a>b);
第二步,若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步,把a-b的差赋予r; 第四步,如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a， 执行第二步； 第五步,输出最大公约数b.
（3）程序框图
开始 输入a，b
a=r
否
a≠b？ 是 r=a-b
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534 v5=v4x+7=534×5+7=2 677 所以,当x=5时,多项式的值是2 677.
1.比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除
法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除
49 7
63 9
所以，25和35的最大公 约数为5.
所以，49和63的最大公
约数为7.
辗转相除法 （欧几里得算法）
为什么？
思考：算出8 251和6 105的最大公约数. 第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余 数8 251=6 105×1+2 146. 结论：8 251和6 105的公约数就是6 105和2 146的公 约数，求8 251和6 105的最大公约数，只要求出6 105 和2 146的最大公约数就可以了.
1.3 算法案例
第1课时 辗转相除法与更相减损 术、秦九韶算法
1.通过辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的学习,进
一步体会算法思想;
2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损 术、秦九韶算法的含义;(重点)
3.了解其计算过程;(重点)
(最新整理)《1.3算法案例》ppt课件
2021/7/26
29
例2 已知一个五次多项式为
f( x ) 5 x 5 2 x 4 3 .5 x 3 2 .6 x 2 1 .7 x 0 .8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解：将多项式变形：
f ( x ) (5 x ( 2 ) ( x 3 . ( 5 ) x 2 . 6 ) x 1 . 7 ) x 0 . 8
二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 11001 区分的写法：11001（2）或者 (1 11001 ( 1)2 2 1 0 )2 4 0 1 2 3 1 0 2 2 0 2 1 1 2 0
的最大公约数 2021/7/26
7
1、辗转相除法（欧几里得算法）
（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定 的两个数，用较大的数除以较小的数。若余 数不为零，则将余数和较小的数构成新的一 对数，继续上面的除法，直到大数被小数除 尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大 公约数。
2021/7/26
8
辗转相除法是一个反复执行直到余数等
2021/7/26
12
2、更相减损术
（1）算理：所谓更相减损术，就是对于 给定的两个数，用较大的数减去较小的数， 然后将差和较小的数构成新的一对数，再 用较大的数减去较小的数，反复执行此步 骤直到差数和较小的数相等，此时相等的 两数便为原来两个数的最大公约数。
2021/7/26
13
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
2021/7/26所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
30
程序框图：
开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
输入x0
v v0 k a vk n1xank(k1,2, ,n)
高一数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修2
§1.3 算法案例
第一课时 辗转相除法与更相减损术､秦九韶算法
自学导引 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解执行过程. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它在数学计算中的应用. 3.进一步体会算法的基本思想.
课前热身
欧几里得算法
两个正整数的最大公约数
1.辗转相除法是用于求
_____________________的一种方 较大的数
解:解法1(辗转相除法):先求175与100的最大公约数: 175=100×1+75, 100=75×1+25, 75=25×3. ∴175与100的最大公约数是25. 以下再求25与75的最大公约数: 75=25×3 ∴25和75的最大公约数是25.
故25是75和25的最大公约数,也就是175､100､75的最大公约数.
Hale Waihona Puke (3)任何两个数,用辗转相除法求其最大公约数的程序框图. 由于辗转相除法总是用较大的数去除以较小的数,所以首先要对一 开始给定的两数的大小进行判断,并将大数赋给m,小数赋给n,然 后再执行下面的过程.程序框图如下图所示:
(4)辗转相除法求两个数的最大公约数的程序设计.
INPUT “a,b”;a,b IF a<b THEN t=a a=b b=t END IF r=a MOD b WHILE r<>0 a=b b=r r=a MOD b WEND PRINT b END
解:(1)98和63 辗转相除法 S1 98=63 ×1+35, S2 63=35 ×1+28, S3 35=28×1+7, S4 28=4 ×7, 最大公约数为7.
更相减损术 S1 98-63=35, S2 63-35=28, S3 35-28=7, S4 28-7=21, S5 21-7=14, S6 14-7=7, 故98和63的最大公约数为7.
第一课时 辗转相除法与更相减损术､秦九韶算法
自学导引 1.理解辗转相除法与更相减损术的含义,了解执行过程. 2.掌握秦九韶算法的计算过程,了解它在数学计算中的应用. 3.进一步体会算法的基本思想.
课前热身
欧几里得算法
两个正整数的最大公约数
1.辗转相除法是用于求
_____________________的一种方 较大的数
解:解法1(辗转相除法):先求175与100的最大公约数: 175=100×1+75, 100=75×1+25, 75=25×3. ∴175与100的最大公约数是25. 以下再求25与75的最大公约数: 75=25×3 ∴25和75的最大公约数是25.
故25是75和25的最大公约数,也就是175､100､75的最大公约数.
Hale Waihona Puke (3)任何两个数,用辗转相除法求其最大公约数的程序框图. 由于辗转相除法总是用较大的数去除以较小的数,所以首先要对一 开始给定的两数的大小进行判断,并将大数赋给m,小数赋给n,然 后再执行下面的过程.程序框图如下图所示:
(4)辗转相除法求两个数的最大公约数的程序设计.
INPUT “a,b”;a,b IF a<b THEN t=a a=b b=t END IF r=a MOD b WHILE r<>0 a=b b=r r=a MOD b WEND PRINT b END
解:(1)98和63 辗转相除法 S1 98=63 ×1+35, S2 63=35 ×1+28, S3 35=28×1+7, S4 28=4 ×7, 最大公约数为7.
更相减损术 S1 98-63=35, S2 63-35=28, S3 35-28=7, S4 28-7=21, S5 21-7=14, S6 14-7=7, 故98和63的最大公约数为7.
1.3(1)辗转相除法ppt课件
开始 输入m，n
n=r m=n
r>0？ 否
输出m
求m除以n的余数r 是
INPUT m，n WHILE r>0
r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END
结束
14
练习1：利用辗转除法求两数4081与20723的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有 的除数连乘起来即为最大公约数.
3
思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约 数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与 2146的公约数有什么关系？
4
思考3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等. 重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？
8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 2146=1813×1+333， 1813=333×5+148， 333=148×2+37， 148=37×4+0.
1
学习目标 1.理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的原理。 2.能写出两种求最大公约数方法的算法步骤与程序框图。 3.会求出两个数的最大公约数，进一步体会算法的基本思想以及算法在解决问题
的过程中所体现的特点。
2
知识探究（一）:辗转相除法 思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？
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第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
2、更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给 定的两个数，用较大的数减去较小的数，然 后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘 以两次约简的质因数4
例3、求324、243、135这三个数的最大 公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个 数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约 数的最大公约数即为所求。
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除
开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b a=r 否 r<b? 是 a=b b=r 否
输出b
结束
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习： 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
INPUT “m,n=“;m,n
DO r=m MOD n m=n n=r
（1） 5 25 5 35 7（2） 7Fra bibliotek49 7
63 9
所以，25和35的最大公 约数为5
所以，49和63的最大公 约数为7
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？ 算出8256和6105的最大公约数.
辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数， 求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公 约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公 约数。
开始 输入m,n
r=m MOD n
m=n n=r 否
LOOP UNTIL r=0
PRINT m END
r=0?
是 输出m 结束
《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等 数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b(a>b);
第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转 到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a，执行第二步； 第五步：输出最大公约数b.
（3）程序框图 （4）程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
例2 用辗转相除法求225和135的最大公 完整的过程 约数 225=135×1+90 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也 就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看 出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成 除数 S3：重复S1，直到余数为0
148=37×4+0
显然37是148和37的最大 公约数，也就是8251和 6105的最大公约数
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构。 m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
r=m MOD n
m=n
n=r r=0? 否
1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
是
1、辗转相除法（欧几里得算法） （1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定 的两个数，用较大的数除以较小的数。若余 数不为零，则将余数和较小的数构成新的一 对数，继续上面的除法，直到大数被小数除 尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大 公约数。
算 法 案 例
(第一课时)
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言 程序框图（三种逻辑结构）
程序语言（五种基本语句）
2. 思考： 小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除， 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来.
1、求两个正整数的最大公约数
（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数
法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数
上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字
大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到
2、更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给 定的两个数，用较大的数减去较小的数，然 后将差和较小的数构成新的一对数，再用较 大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到 差数和较小的数相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘 以两次约简的质因数4
例3、求324、243、135这三个数的最大 公约数。
思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个 数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约 数的最大公约数即为所求。
小结
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除
开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b a=r 否 r<b? 是 a=b b=r 否
输出b
结束
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 练习： 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步.
第五步：输出最大公约数m.
（3）程序框图
（4）程序
INPUT “m,n=“;m,n
DO r=m MOD n m=n n=r
（1） 5 25 5 35 7（2） 7Fra bibliotek49 7
63 9
所以，25和35的最大公 约数为5
所以，49和63的最大公 约数为7
2、除了用这种方法外还有没有其它方法？ 算出8256和6105的最大公约数.
辗转相除法（欧几里得算法） 观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数， 求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公 约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公 约数。
开始 输入m,n
r=m MOD n
m=n n=r 否
LOOP UNTIL r=0
PRINT m END
r=0?
是 输出m 结束
《九章算术》——更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等 数约之。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是 偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
（2）算法步骤
第一步：输入两个正整数a,b(a>b);
第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转 到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r;
第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a，执行第二步； 第五步：输出最大公约数b.
（3）程序框图 （4）程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
例2 用辗转相除法求225和135的最大公 完整的过程 约数 225=135×1+90 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也 就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子可以看 出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成 除数 S3：重复S1，直到余数为0
148=37×4+0
显然37是148和37的最大 公约数，也就是8251和 6105的最大公约数
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤， 这实际上是一个循环结构。 m=n×q＋r
用程序框图表示出右边的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
r=m MOD n
m=n
n=r r=0? 否
1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0
是
1、辗转相除法（欧几里得算法） （1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定 的两个数，用较大的数除以较小的数。若余 数不为零，则将余数和较小的数构成新的一 对数，继续上面的除法，直到大数被小数除 尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大 公约数。
算 法 案 例
(第一课时)
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言 程序框图（三种逻辑结构）
程序语言（五种基本语句）
2. 思考： 小学学过的求两个数最大公约数的方法？
先用两个公有的质因数连续去除， 一直除到所得的商是互质数为止，然 后把所有的除数连乘起来.
1、求两个正整数的最大公约数
（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数
法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数
上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字
大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到