1.3 算法案例

=((11×2+0)×2+0)×2+1 ---除2取余法.
=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1
=((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1001(2).
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。
辗转相除法求最大公约数算法： • 第一步,给定两个正数m,n • 第二步,计算m除以n所得到余数r • 第三步,m=n,n=r • 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;
否则返回第二步
ELSE
m=n n=d
END IF
d=m-n
WEND
d=2 k*d
PRINT d END
辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到.
2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,
显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
1.辗转相除法:
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
解：8251＝6105×1＋2146;
6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
2 89
2 44 2 22 2 11 25
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n）
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现.
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的 一种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值转化 为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算 的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法 运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大 提高了运算效率.
1.3 算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30 3 9 15 35
∴18和30的最大公约数是2×3=6.
先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所 得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起 来.
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
变为求几个一次式的值
v5=v4x+7=534×5+7=2677 几个乘法
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 几个加法？
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一
+…+a1×k1+a0×k0 . 个n+1位数.
[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好 与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机 内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时, 先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再 把运算结果转化为十进制数输出.
i>=0?
否
输出v
结束
i=i-1
v=vx+ai 输入ai
是
案例3 进位制
[问题1]我们常见的数字都是十进制的, 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的 进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就 是十六进制;等等.
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
x2 x, (x2 x) x, ((x2 x) x) x
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 十进制数一般不标注基数.
[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多
项式的求值问题? 秦九韶《数书九章》.
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数
减小数，并辗转相减，
即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7.
所以，98与63的最大公约数是7。
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
思考 ：需不需要比较m，n的大小
不需要
程序框图
开始
输入两个正数m,n
r=m MOD n
m=n
n=r
否
r=0?
是
输出m
结束
练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723
的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0,
11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,
89=44×2+1,
可以用2连续去除89
=(22×2+0)×2+1
或所得商(一直到商为 0为止),然后取余数
算法分析：
• 第一步,输入多项式次数n、最高次项的系数an和 x的值
• 第二步,将v的值初始化为an，将i的值初始化为 n-1
• 第三步,输入i次项的系数ai • 第四步,v=vx+ai,i=i-1 • 第五步,若i>=0,则返回第三步，否则输出v