集合的基本运算 补集及综合应用 课件
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集合的基本运算课件(共11张PPT)
解析： M={x|-1≤x≤3},M∩N={1,3}，有2个.
3：（必修1第一章复习参考题B组练习1） 学校举办运动会时，高一（1）班有28名同学参 加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比 赛,14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的 有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人 同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的 有_____人？ 解析：设同时参加田径和球 类比赛的有x人,则 9+3+3+(8-3-x)+x+(14-3-x)=28
二：以点集为背景的集合运算：
例1：（必修1习题1.1B组练习2）在平面直角坐标系中，
集合 C ( x, y ) y x表示直线 y
x, 从这个角度看，集合
2 x y 1 D ( x, y ) ,表示什么？集合C , D之间有什么关系? x 4 y 5
(1) A B A, A B B; A A B, B A B
A (CU A) , A (CU A) U
( 2) A B A A B;
A B B A B
(3)德摩根定律： CU ( A B ) (CU A) (CU B ) CU ( A B ) (CU A) (CU B )
【解题回顾】将两集合之间的关系转化为两曲线之 间的位置关系，然后用数形结合的思想求出 的范围 (准确作出集合对应的图形是解答本题的关键).
a
课堂总结：
1、集合的基本运算：
2、集合的运算性质：
3、注重数形结合思想的应用：
（1）韦恩(Venn)图 （2）连续的数集——数轴 （3）点集的运算——曲线位置关系
游泳 田径
课件集合的基本运算_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
(3)(∁SA)∪(∁SB)；
6
解析：
• 【解析】(1)由并集的概念可知A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；
•
(2)借助数轴(如图)
•
•
∴M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
• 【答案】(1){1,2,3,4,5,6} (2)A
7
方法归纳：
• 并集的运算技巧： • (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的
互异性． • (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但是要注意含“＝”
用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
8
探究一 并集的运算
9
解析：
10
探究二 交集的运算
• 【例】(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则A∩B＝________.
•
(2)已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝
________.
•
11
解析：
• 【解析】(1)A＝{x|x＝1或x＝－2}，B＝{x|x＝－2或x＝3}，
•
∴A∩B＝{－2}．
•
(2)结合数轴：
•
•
由图可知m＝6.
• 【答案】(1){－2} (2)6
是否存在？若存在，求出x；
∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
(3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1＜x＜3，或5≤x≤7}；
高中数学人教版必修一《1.3.2补集及综合应用》课件
(2)已知全集 U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝
xx≤0，或x≥25
，求
A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．
【解析】 (1)因为 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以
∁UB＝{2,5,8}．又 A＝{2,3,5,6}，所以 A∩(∁UB)＝{2,5}． (2)将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示．
x1－1＋x2－1>0， x1－1x2－1>0，
而不是x1＋x2>2， x1x2>1.
④由于 A∩B≠∅，故方程 x2－4x＋2m＋6＝0 一定有解，故我
们还可以设全集 U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤
－1}关于 U 的补集也是{m|m<－3}，结果相同．
方法归纳
(1)运用补集思想求参数范围的方法： ①否定已知条件，考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范围； ③将反面问题对应参数的范围取补集． (2)补集思想适用的情况： 从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补 集思想．
解析：把全集 U 和集合 A，B 在数轴上表示如下：
由图可知，∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2 或 x＝3}． 借助数轴求出∁UA，∁UB 再运算．
类型三 补集思想的应用 例 3 已知集合 A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若 A∩B≠∅，求实数 m 的取值范围．
跟踪训练 3 设全集 U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}， ∁UA＝{5}，求实数 m.
补集及综合应用课件
1．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM 等于 ( C )
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} 解析 利用集合的补集运算求解． ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁UM＝{3,5,6}．
2．已知全集 U＝R，集合 M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM 等于( C )
B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析 由 M∩(∁UN)＝{2,4}可得集合 N 中不含有元素 2,4，集合 M 中含有元素 2,4，故 N＝{1,3,5}．
如 A＝x1x
<0，∁RA≠x1x
≥0＝{x|x>0}．
应先求出 A＝{x|x<0}，再求∁RA＝{x|x≥0}．
例 3 已知集合 A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，若 A∪(∁RB)＝R， 求实数 a 的取值范围． 解 ∵B＝{x|1<x<3}，∴∁RB＝{x|x≤1 或 x≥3}， 因而要使 A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，
探究点二 全集、补集的性质 问题 1 借助 Venn 图，你能化简∁U(∁UA)，∁UU，∁U∅吗？
答 ∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U. 问题 2 借助 Venn 图，你能分析出集合 A 与∁UA 之间有什么关
系吗？ 答 A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
例 2 已知集合 S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁SA)∪(∁SB)；(4)∁S(A∩B)． 解 如图所示，可得
跟踪训练 1 已知 A＝{0,2,4,6}，∁SA＝{－1，－3,1,3}，∁SB＝{－1,0,2}， 用列举法写出集合 B. 解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁SA＝{－1，－3,1,3}， ∴S＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}． 而∁SB＝{－1,0,2}，∴B＝∁S(∁SB)＝{－3,1,3,4,6}．
集合的基本运算-补集 课件
题型一 补集的简单运算 【例 1】 已知全集为 U，集合 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB ＝{1,4,6}，求集合 B. [思路探索] 先结合条件，利用补集性质求出全集 U，再由补集 定义求集合 B.
解 法一 ∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 法二 借助 Venn 图，如图所示，
2．补集的性质 利用补集的定义可知，补集仍是一个集合，具有如下性质： (1)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (2)A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅； (3)∁U(∁UA)＝A. 拓展 补集除具有以上较为明显的性质外，还有如下两个性质： ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
题型三 补集的综合应用 【例 3】 (12 分)已知集合 A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}， 且 A ∁RB，求 a 的取值范围． 审题指导 先求∁RB → 分情况讨论 → 由A ∁RB，求a
[规范解答] ∁RB＝{x|x≤1 或 x≥2}≠∅，(2 分) ∵A ∁RB， ∴分 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论．(4 分) (1)若 A＝∅，此时有 2a－2≥a， ∴a≥2.(7 分) (2)若 A≠∅， 则有2aa≤－12<a， 或22aa－－22<≥a2，. ∴a≤1.(11 分) 综上所述，a≤1 或 a≥2.(12 分)
【题后反思】 解答本题的关键是利用 A ∁RB，对 A＝∅与 A≠∅ 进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域 端点的问题．
误区警示 考虑问题不全面，等价变换时易出错 【示例】 已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2＋px＋4＝0}，求 ∁UA. [错解] 由已知得 A⊆U，设方程 x2＋px＋4＝0 的两根为 x1，x2， 所以 x1x2＝4. 当 A＝{1,4}时，p＝－5，∁UA＝{2,3,5}． 当 A＝{2}时，p＝－4，∁UA＝{1,3,4,5}．
补集及综合应用课件
举例
求函数y = x^2在[-1, 2]上的值域。通过求补集的方式， 可以得出该函数的值域为[0, 4]（全集[0, +∞） - 不在该 区间内的元素[-∞, -1]）。
利用补集解决离散数学问题
离散数学的补集
在离散数学中，补集用于描述一个集合中所有不属于某个子集的元素组成的集合。
利用补集解决离散数学问题
补集在集合的运算中的应用
在集合运算中，补集起到了重要的角色，尤其在集合的交、并、差等基本运算中。
例如，集合A与集合B的差集A - B，表示属于A但不属于B的所有元素，通过补集可 以方便地计算出差集。
以上内容仅供参考，建议查阅数学专业书籍或文献，获取更全面和准确的信息。
04 补集在数学分析中的应用
个数。通过补集的方式，可以得出女生的人数为30（全集） - 10（男
生集合的元素个数）= 20。
利用补集解决数学分析问题
数学分析中的补集
在数学分析中，补集常用于解决实数轴上的区间问题，通 过补集可以确定一个集合在全集中的位置和范围。
利用补集解决数学分析问题
通过补集，可以解决一些涉及连续和离散函数的问题，例 如求函数的值域、定义域等。
通过补集，可以解决一些涉及集合运算、图论和逻辑推理的问题。
举例
在一个有向图中，求从一个特定节点出发不能到达的所有节点。通过求补集的方式，可以 得出从该节点出发不能到达的节点组成的集合。
感谢您的观看
THANKS
补集在函数定义域和值域中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
补集在确定函数定义域和值域 中起到关键作用。
在数学分析中，函数的定义域 和值域的确定是重要的基础概 念。通过补集，我们可以更准 确地确定函数定义域和值域的 边界，从而更好地理解函数的 性质和行为。
求函数y = x^2在[-1, 2]上的值域。通过求补集的方式， 可以得出该函数的值域为[0, 4]（全集[0, +∞） - 不在该 区间内的元素[-∞, -1]）。
利用补集解决离散数学问题
离散数学的补集
在离散数学中，补集用于描述一个集合中所有不属于某个子集的元素组成的集合。
利用补集解决离散数学问题
补集在集合的运算中的应用
在集合运算中，补集起到了重要的角色，尤其在集合的交、并、差等基本运算中。
例如，集合A与集合B的差集A - B，表示属于A但不属于B的所有元素，通过补集可 以方便地计算出差集。
以上内容仅供参考，建议查阅数学专业书籍或文献，获取更全面和准确的信息。
04 补集在数学分析中的应用
个数。通过补集的方式，可以得出女生的人数为30（全集） - 10（男
生集合的元素个数）= 20。
利用补集解决数学分析问题
数学分析中的补集
在数学分析中，补集常用于解决实数轴上的区间问题，通 过补集可以确定一个集合在全集中的位置和范围。
利用补集解决数学分析问题
通过补集，可以解决一些涉及连续和离散函数的问题，例 如求函数的值域、定义域等。
通过补集，可以解决一些涉及集合运算、图论和逻辑推理的问题。
举例
在一个有向图中，求从一个特定节点出发不能到达的所有节点。通过求补集的方式，可以 得出从该节点出发不能到达的节点组成的集合。
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补集在函数定义域和值域中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
补集在确定函数定义域和值域 中起到关键作用。
在数学分析中，函数的定义域 和值域的确定是重要的基础概 念。通过补集，我们可以更准 确地确定函数定义域和值域的 边界，从而更好地理解函数的 性质和行为。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 全集、补集及综合应用课件 新
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0<x<1}
(2)设集合 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{3，4，
5}，C＝{3，4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝_{_2_，__5_}__．
解析：(1)因为 A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，所以 A∪B＝{x|x≤0 或 x≥1}，在数轴上表示如图．
(1)数集问题的全集一定是 R.(× )
(2)集合∁BC 与∁AC 相等．( × )
(3)A∩∁UA＝∅.( √ )
2．若合集 M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4}，则∁MN＝( B )
A．∅
B．{1，3，5}
C．{2，4}
D．{1，2，3，4，5}
3．已知全集 U＝R，集合 P＝{x|－1≤x≤1}，那么∁UP＝( D ) A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1 或 x＞1} 解析：因为 P＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以∁UP＝∁RP＝{x|x ＜－1 或 x＞1}．
2．补集 对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A
文字 的__所__有__元__素____组成的集合称为集合 A 相对
语言 于全集 U 的补集，记作___∁_U_A__
符号 语言
∁UA＝___{_x_|x_∈__U__，__且__x_∉_A_}__
图形 语言
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－
3≤x≤2}，求 A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
[解] (1)因为∁UA＝{2，4，6，7，9}，∁UB＝{0，1，3，7， 9}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{7，9}．
补集及综合应用课件
04
补集在数学分析中的应 用
补集在极限理论中的应用
补集在确定函数极限中的应用
通过利用补集的性质，可以更准确地确定函数的极限值。
补集在证明极限定理中的应用
在证明一些重要的极限定理时，补集的概念和性质发挥了关 键作用。
补集在连续函数中的应用
补集在研究连续函数的性质中的应用
补集的概念可以帮助我们更好地理解连续函数的性质，例如单调性、可积性等。
补集在解决连续函数问题中的应用
在一些复杂的连续函数问题中，利用补集的性质可以简化问题的解决过程。
补集在实数理论中的应用
补集在实数域的完备性证明中的应用
补集的概念在证明实数域的完备性中起到了重要作用。
补集在实数连续性的理解中的应用
通过补集，我们可以更深入地理解实数的连续性。
05
补集在实际问题中的应 用
补集的表示方法
通常用大括号{}、小写字母a、A等 来表示集合，用尖括号<>、小写字 母b、B等来表示补集。
补集的性质
01
02
03
无穷性
对于任意一个集合，其补 集都是无穷的，因为全集 中除了该集合的元素外， 还有无限多的其他元素。
对偶性
对于任意两个集合A和B， 如果A是B的补集，那么B 就是A的补集。
互补性
对于任意一个集合A，其 补集和A的并集等于全集 ，即A∪A' = S。
补集的表示方法
文字描述法
通过文字描述来表达补集，例如“不 属于集合A的所有元素组成的集合” 。
符号法
数轴法
对于实数集R中的集合，可以通过数 轴来表示补集，例如集合A表示为数 轴上的一个区间，那么其补集就是除 了该区间外的所有实数。
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∁UA= {x|x≤－2或x≥1}
思考交流 补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合
在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个 全集中的补集也不同．
另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集 合时，在记号∁UA中的U要相应变换．
从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下 面我们逐一探求.
探究点3 补集的运算性质（1） 若全集为U，AU，则:
CUA
图形语言
补集符号∁∪A有三层含义：
（1）A是U的一个子集，即A U；
（2）∁∪A表示一个集合，且∁∪A U；
（3）∁∪A是U中所有不属于A的元素构成的集合.
判断:(1)补集既是集合间的一种关系，同时也是集
合间的一种运算.
( √)
(2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，
集合A其实是给定的条件.
例2 已知全集U=R，集合 A {x | x 3} ， B {x | 2 x 4} , 求 ( U A) B .
解： U A x x 3练习】 设全集U＝R，在数轴上表示出集合A＝{x|－2<x<1} 的补集∁UA. 解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
3,7
【变式练习】
设全集U { x | x 7, x N }，已知
（ U A) B {1, 6}, A ( U B) {2,3}，
U ( A B) {0, 5}，求集合A,B.
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
U
0，5
2，3 4 , 7 1，6
A
B
【总结提升】 1. 要准确理解和把握它们的定义，直接通过定义的理 解来解决． 2．要使用好韦恩(Venn)图，特别是进行有限集合的这 种运算的时候，如对集合A、B而言，有下图．
所以 U A 4,5,6,7,8, U B 1,2,7,8.
（2）根据三角形的分类可知 A B , A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U (A B) ｛x∣x是直角三角形｝.
【变式练习】
已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1， 3，5，7}，N={5，6，7}， 求 U（ M∪N）. 【解析】因为M={1，3，5，7}，N={5，6， 7}， 所以M∪N={1，3，5，6，7}， 因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以 U（M∪N）={2，4，8}.
3．要使用好数轴这个工具，特别是关于数集的交、并、 补运算，利用数轴可以直观地写出解集．
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM =( C ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
S＝{高一年级的同学}
A＝{高一年级参加军训的同学}
B＝{高一年级没有参加军训的同学} 这三个集合之间有何关系？
显然，由所有属于集合S但不属于集合A的元素
组成的集合就是集合B．
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集
(complementary set)，简称为集合A的补集，记
作 UA ，
即 UA {x | x U, 且x A}
U
可用Venn图表示为
A
UA
思考交流
表示全集和补集的三种数学语言互译.
设集合U是一个集合，A是U的一个子集（A U），
由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中
子集A的补集.
文字语言
CU A {x | x U ,且x A}.
U
A
符号语言
什么？在整数范围内的解集是什么？
{x | 1 x 4} {2，3，4}
思考3：在不同范围内研究同一个问题，可能有 不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围 所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.那么全集 的含义如何呢？
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 （universe set），通常记作U.
(√)
例1 (1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}，
B={3，4，5，6}，求 U A, U B. （2）设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，
B={x|x是钝角三角形}，求 A B, U (A B) .
解：（1）根据题意可知，U 1, 2,3, 4,5,6,7,8,
特别提醒：全集是相对于所研究问题而言的一个 相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合 的全部元素.因此全集因问题而异. 思考交流 想一想：全集一定包含任何元素吗？ 【提示】全集仅包含我们研究问题所涉及的集合 的全部元素，而非任何元素.
探究点2 补集 观察下列三个集合：
如何在全集S中研究相关 集合间的关系呢？
思考2 想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如 何用描述法表示呢？
（ {x | x S且x A}）像这样的集合也正是我
们这节课所要研究的——全集与补集.
探究点1 全集 思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解 是什么？在实数范围内的解是什么？
{2}
{2, 3, 3}
思考2:不等式0<x-1≤3在实数范围内的解集是
补集及综合应用
思考1 如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选 出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确 定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻 烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名 同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的 解决方法，它可是这节内容补集的现实基础．
(1) UU (2) U U
(3) U ( U A) A
(4) A ( U A) U (5) A ( U A)
补集的运算性质（2） (1) U ( A B) ( U A) ( U B)
(2) U ( A B) ( U A) ( U B)
U
例3 已知全集U={所有不大于30的质数}，A，B
都是U的子集，若 A ( U B) 5,13, 23 ，
A ( U B) 2,3,5,7,13,17, 23, ( U A) ( U B) 3,7,
你能求出集合A，B吗？
解：A 2,5,13,17,23, B 2,11,17,19，29
A
5,13,23
U
2， B
17 11,19，29
Venn图 的灵活 运用
思考交流 补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合
在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个 全集中的补集也不同．
另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集 合时，在记号∁UA中的U要相应变换．
从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下 面我们逐一探求.
探究点3 补集的运算性质（1） 若全集为U，AU，则:
CUA
图形语言
补集符号∁∪A有三层含义：
（1）A是U的一个子集，即A U；
（2）∁∪A表示一个集合，且∁∪A U；
（3）∁∪A是U中所有不属于A的元素构成的集合.
判断:(1)补集既是集合间的一种关系，同时也是集
合间的一种运算.
( √)
(2)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，
集合A其实是给定的条件.
例2 已知全集U=R，集合 A {x | x 3} ， B {x | 2 x 4} , 求 ( U A) B .
解： U A x x 3练习】 设全集U＝R，在数轴上表示出集合A＝{x|－2<x<1} 的补集∁UA. 解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
3,7
【变式练习】
设全集U { x | x 7, x N }，已知
（ U A) B {1, 6}, A ( U B) {2,3}，
U ( A B) {0, 5}，求集合A,B.
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
U
0，5
2，3 4 , 7 1，6
A
B
【总结提升】 1. 要准确理解和把握它们的定义，直接通过定义的理 解来解决． 2．要使用好韦恩(Venn)图，特别是进行有限集合的这 种运算的时候，如对集合A、B而言，有下图．
所以 U A 4,5,6,7,8, U B 1,2,7,8.
（2）根据三角形的分类可知 A B , A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U (A B) ｛x∣x是直角三角形｝.
【变式练习】
已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1， 3，5，7}，N={5，6，7}， 求 U（ M∪N）. 【解析】因为M={1，3，5，7}，N={5，6， 7}， 所以M∪N={1，3，5，6，7}， 因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以 U（M∪N）={2，4，8}.
3．要使用好数轴这个工具，特别是关于数集的交、并、 补运算，利用数轴可以直观地写出解集．
1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则 UM =( C ) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}
S＝{高一年级的同学}
A＝{高一年级参加军训的同学}
B＝{高一年级没有参加军训的同学} 这三个集合之间有何关系？
显然，由所有属于集合S但不属于集合A的元素
组成的集合就是集合B．
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集
(complementary set)，简称为集合A的补集，记
作 UA ，
即 UA {x | x U, 且x A}
U
可用Venn图表示为
A
UA
思考交流
表示全集和补集的三种数学语言互译.
设集合U是一个集合，A是U的一个子集（A U），
由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中
子集A的补集.
文字语言
CU A {x | x U ,且x A}.
U
A
符号语言
什么？在整数范围内的解集是什么？
{x | 1 x 4} {2，3，4}
思考3：在不同范围内研究同一个问题，可能有 不同的结果.我们通常把研究问题前给定的范围 所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.那么全集 的含义如何呢？
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中 涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 （universe set），通常记作U.
(√)
例1 (1) 设U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}，
B={3，4，5，6}，求 U A, U B. （2）设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，
B={x|x是钝角三角形}，求 A B, U (A B) .
解：（1）根据题意可知，U 1, 2,3, 4,5,6,7,8,
特别提醒：全集是相对于所研究问题而言的一个 相对概念，它含有与所研究问题有关的各个集合 的全部元素.因此全集因问题而异. 思考交流 想一想：全集一定包含任何元素吗？ 【提示】全集仅包含我们研究问题所涉及的集合 的全部元素，而非任何元素.
探究点2 补集 观察下列三个集合：
如何在全集S中研究相关 集合间的关系呢？
思考2 想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如 何用描述法表示呢？
（ {x | x S且x A}）像这样的集合也正是我
们这节课所要研究的——全集与补集.
探究点1 全集 思考1:方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解 是什么？在实数范围内的解是什么？
{2}
{2, 3, 3}
思考2:不等式0<x-1≤3在实数范围内的解集是
补集及综合应用
思考1 如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选 出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确 定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻 烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名 同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的 解决方法，它可是这节内容补集的现实基础．
(1) UU (2) U U
(3) U ( U A) A
(4) A ( U A) U (5) A ( U A)
补集的运算性质（2） (1) U ( A B) ( U A) ( U B)
(2) U ( A B) ( U A) ( U B)
U
例3 已知全集U={所有不大于30的质数}，A，B
都是U的子集，若 A ( U B) 5,13, 23 ，
A ( U B) 2,3,5,7,13,17, 23, ( U A) ( U B) 3,7,
你能求出集合A，B吗？
解：A 2,5,13,17,23, B 2,11,17,19，29
A
5,13,23
U
2， B
17 11,19，29
Venn图 的灵活 运用