沪科版九年级数学下册正多边形的性质PPT精品课件
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沪科版九年级数学下册第二十四章《正多边形的性质》优课件
360° 等于__ n __．
3．正多边形都是__轴对称__图形，一个正 n 边形一共 有__n__条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心．
正多边形的有关概念
1．(4 分)如果一个正多边形的每个外角都等于 36°，那么这个正多边形的中心角等于( A )
A．36° B．18° C．72° D．54° 2．(4 分)圆内接正六边形的边长、半径及边心距 的比为__2∶2∶ 3__．
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分) 10．如图，正六边形 ABCDEF 中，AB＝2，点 P 是 ED 的中点， 连接 AP，则 AP 的长为( C ) A．2 3 B．4 C. 13 D. 11
,第 10 题图)
,第 11 题图)
11．如图，有一圆内接正八边形 ABCDEFGH，若△ADE 的面积
为 10，则正八边形 ABCDEFGH 的面积为( A )
A．40 B．50 C．60 D．80
12．已知⊙O 的面积为 2π，则其内接正三角形的面积为( C )
A．3 3
B．3 6
3 C.2 3
3 D.2 6
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 13．(2015·宁夏)如图，将正六边形放在直角坐标系中， 中心与坐标原点重合，若 A 点的坐标为(－1，0)，则点 C 的 坐标为__(12，－ 23)__．
7．(4 分)已知正六边形的边心距为 3，则它的周 长是( B )
A．6 B．12 C．6 3 D．12 3 8．(4 分)(2015·广州)已知圆的半径是 2 3，则该 圆的内接正六边形的面积是( C ) A．3 3 B．9 3 C．18 3 D．36 3
9．(8 分)如图所示，⊙O1 和⊙O2 相交于点 A，B，在 ⊙O1 中 ABCD 为正方形，在⊙O2 中△ABE 是正三角形．若 ⊙O1 的半径为 2，求⊙O2 的半径．
3．正多边形都是__轴对称__图形，一个正 n 边形一共 有__n__条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心．
正多边形的有关概念
1．(4 分)如果一个正多边形的每个外角都等于 36°，那么这个正多边形的中心角等于( A )
A．36° B．18° C．72° D．54° 2．(4 分)圆内接正六边形的边长、半径及边心距 的比为__2∶2∶ 3__．
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分) 10．如图，正六边形 ABCDEF 中，AB＝2，点 P 是 ED 的中点， 连接 AP，则 AP 的长为( C ) A．2 3 B．4 C. 13 D. 11
,第 10 题图)
,第 11 题图)
11．如图，有一圆内接正八边形 ABCDEFGH，若△ADE 的面积
为 10，则正八边形 ABCDEFGH 的面积为( A )
A．40 B．50 C．60 D．80
12．已知⊙O 的面积为 2π，则其内接正三角形的面积为( C )
A．3 3
B．3 6
3 C.2 3
3 D.2 6
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 13．(2015·宁夏)如图，将正六边形放在直角坐标系中， 中心与坐标原点重合，若 A 点的坐标为(－1，0)，则点 C 的 坐标为__(12，－ 23)__．
7．(4 分)已知正六边形的边心距为 3，则它的周 长是( B )
A．6 B．12 C．6 3 D．12 3 8．(4 分)(2015·广州)已知圆的半径是 2 3，则该 圆的内接正六边形的面积是( C ) A．3 3 B．9 3 C．18 3 D．36 3
9．(8 分)如图所示，⊙O1 和⊙O2 相交于点 A，B，在 ⊙O1 中 ABCD 为正方形，在⊙O2 中△ABE 是正三角形．若 ⊙O1 的半径为 2，求⊙O2 的半径．
沪科版九年级数学下册第二十四章《正多边形与圆》课件
8.下列说法中正确的是( D ) A.平行四边形是正多边形 B. 矩形是正四边
形
C. 菱形是正四边形 D. 正方形A是正四边形
9. 下列命题中,真命题的个数是(
)
①各边都相等的多边形是正多边形; ②各角
都相等的多边形是正多边形; ③正多边形一
定是中心对称图形; ④边数相同的正多边形
一定相似.
A.1 B.2 C. 3 D. 4
2
一个内角是1_2_0_°___． 4、正n边形的一个外角度数与它
的_中_心____角的度数相等．
5.正多边形一定是--轴--------对称图形,一个正 n边形共有----n--------条对称轴,每条对称轴 都称通图过形-,n--中一--心-定---是-;如--偶-果--数-一---个-. 正n边形是中心对 6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要 旋转-7--2----度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12 和18,则它们的周长之比为-2--﹕---3-,面积之比 为----4--﹕--9----.
点所得的多边形是这个圆的内 接正多边形. ⑵这个圆是这个正多边形的外 接圆.正多边形的外接圆的圆心 叫做正多边形的中心
正多边形是否是轴对 称或中心对称图形？ 正多边形的性质: 1.正多边形的各边相等,各角相等.
2.正n边形是轴对称图形,有n对称轴;但 不一定是中心对称,除非n是偶数 3.边数相同的正多边形相似
有古
一人
个云
在：
路“
上读
。万
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“
沪科版九年级下数学《24.6.2正多边形的性质》课件
F A O 4m
E D
亭子地基的面积
r 1 1 S l r 24 2 3 41.6(m 2 ). B M C 2 2
例2 求边长为a的正六边形的周长和面积. 解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为 G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别 为 l和 S . ∵ 多边形ABCDEF为正六边形，
第24章
圆
第2课时 正多边形的性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概 念.（重点） 2. 掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）
导入新课
复习引入
问题1 什么是正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 问题2 如何作出正多边形？ 将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或
A M
O .
N
图①
M C B
O
M N C B
O N C
图③
D
B
图②
课堂小结
中心 正多边形 的对称性
正多边形的 有 关 概 念
半径 边心距 中心角
正多边形 的性质
正多边形的 有 关 计 算
添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
K
E
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和，均为 HK的长.
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
沪科版九年级数学下2正多边形与圆(第1课时圆与正多边形)课件
∴ ∠PAB= ∠ PBA= ∠ QBC= ∠ QCB
P
A
T
∵ A B= B C
B Q
C
E
·O
R
D S
∴ AB=BC
△ ∴ PAB≌△QBC ∴ ∠P= ∠ Q,PQ=2PA
同理∴ ∠P= ∠ Q = ∠S =∠R=∠T, PQ==QS=SR=RT=TP=2PA
∵五边形PTRSQ的各边都与⊙O相切
∴ 五边形PTRSQ是⊙O的外切正五边形,
正多边形与圆的关系定理1
把一个圆分成n等份(n≥3),
* 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
* 过等分点做圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是
这个圆的外切正n边形
例、求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形。
求证：DB=CE
A
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
F
仔细考虑如何利用 画正六边形的方法 得到正十二边形
B
·O
E
C
D
把圆六等分，取其中一段弧平 分，以此平分点再把圆六等分 ，顺次连接各点
作出正六边形后，则可作正三角形， 正十二边形，正二十四边形……
用尺规作图法画正四边形
用圆规和直尺作两条互相垂 直的直径，就可以把圆4等分， 从而作出正方形．
A
D
O·
我国民间相传有正五边形的近似画法
A
画法口诀： 九五顶五九,八五两边分
画法口诀意义：
(以边长10的正五边形为例)
5.9
B
E
8F
8
沪科版九年级下24.6正多边形和课件
D
C a B
设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.
边心距 r R2（ a） 2 ， 2
面积S 1L•边心距r（ ） 1na•边心距r（ ）
2
2
（n2）•180
正n边形的一个内角的度数是_____n_______;
中心角的和是__3_6_0_0;正多边形一个中心角是__3_60n
_
；
正N边形就有N个相等的中心角
相等
正多边形的中心角与外角的大小关系是________.
四、你知道正多边形与圆的关系吗？
E
正多边形和圆的关系非常密切, A
D
只要把一个圆分成相等的一些弧,就可
以作出这个圆的内接正多边形,这个圆
就是这个正多边形的外接圆.
B
C
弧相等
弦相等（多边形的边相等） 圆周角相等（多边形的角相等）
A
1
B2
5E
3
4
C
D
∴∠1=∠2同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
定理1：
把圆分成n(n≥3)等份： 依次连结各分点所得的 多边形是这个圆的内接 正多边形.
探究
如何画一个边长为2cm的正六边形？
1、以2cm为半径作一个⊙AO； F
的半径。
.O.O
3. OD叫作正△ABC_边__心__距_,
它是正△ABC的_内__切___ B
圆的半径。
D
C
4. ∠BOC是正△ABC的__中__心____
角∠; BOC=_1__2_0_度; ∠BOD=__6_0__度.
5、正方形ABCD的 外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的
24.6.2+正多边形的性质+课件+++2023-2024学年沪科版九年级下册数学
A.正十二边形
B.正六边形
C.正方形
D.正三角形
，则这个正多边
预习导学
3.如图，正六边形ABCDEF中，AB＝1，连接AD，则AD的长
为
2 .
合作探究
正多边形的有关命题
1.下面给出五个命题:
(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形；
(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形；
(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
合作探究
°
(5)正n边形的中心角an＝
，且与每一个外角相等.
其中真命题有 (
A.2个
B.3个
B
)
C.4个
D.5个
合作探究
圆内接正多边形的综合
3.如图，△PQR是☉O的内接正三角形，四边形ABCD是☉O
的内接正方形，BC∥QR，求∠AOQ的度数.
预习导学
2.计算正n边形的周长和面积时，我们发现其周长是边长的
n
倍；当其面积没有直接的公式可求时，我们可以用转化的方法
间接求出来，即把原正多边形分割成
n 个全等的
等腰 三角形来求解.
·导学建议·
可向学生说明:在解决正多边形的相关问题时，我们不必将正
多边形的外接圆与内切圆画出来；在使用正多边形的中心O构
建直角三角形时，已经运用了正多边形有一个外接圆和一个内
切圆的相关性质.
预习导学
1.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分
别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.a＜c＜b
D.c＜b＜a
沪科版九年级数学下册正多边形和圆教学课件
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
探究2 五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由.
证明：五边形ABCDE是☉O的内接正五边形.
P AT
连接OA，OB，OC.则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
B
·O E S
Q
∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的☉O的切C线，R D
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
归纳总结 把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所
得的多边形就是这个圆的一个内接正n边形.
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
A
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
获取新知
知识点二：利用圆画正多边形
问题 如图，把☉O进行5等分,依次连接各等分点得到五边形
ABCDE .分别过点A，B，C，D，E作☉O的切线，切线交于点 P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形PQRST.五边
形ABCDE及五边形PQRST是正多边形吗？
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第1课时 正多边形和圆
n
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”．这 种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
沪科版九年级数学(下)24.6正多边形与圆课件(共20张PPT)
例：正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半径为R， 则该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图 , 设 AB 切 ⊙ O 于 M ， 连结 OA 、 OB OM , 则 OM AB 于 M , AM BM .
在 Rt AOM 中 ,
AOM 1 AOB 30 , 2
OM R ，tan 30 AM , OM
探究总结
定理：任何正多边形都有一个外接圆和 一个内切圆，并且这两个圆是同心圆。
A
B
O
E
·
C
D
中心：一个正多边形的外接圆的圆心。
正多边形的半径：外接圆的半径。
E
D
正多边形的中心角：
正多边形的每一条边所
对的圆心
C
正多边形的边心距：
心 距
中心到正多边形的一边的距离。
r
反过来，是否每一个正多边形都有一个外接 圆和内切圆呢？下面我们仍然以正五边形为例。
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连 接OA、OB、OC、OD
∵OB=OC， ∴∠1=∠2
∵∠ABC=∠BCD ∴∠3=∠4 ∵AB=DC ∴△APB≌△DOC
∴OA=OD 即点D在⊙O上，同理，点E在⊙O上。
4．已知圆内接正方形的边长为4cm，则该圆的内 接正六边形边长为________。 5．圆内接正六边形的边长是8cm，那么该正六边 形的半径为_______；边心距为________。
探究性质
正五边形
正八边形
正三边形
正多边形是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
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360
n
(2) 正n边形的边长a，半径R，边
心距r之间有什么关系？
R2
r2
a 2
2
.
(3) 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
S
1 nar 2
1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
6. 若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个 正多边形的边数是 3 .
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
正多边形 的对称性
正多边形 的性质
正多边形的 有关概念
正多边形的 有关计算
Hale Waihona Puke 中心 半径 边心距 中心角添加辅助线的方法： 连半径，作边心距
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
∵OB=OC，∴∠1=∠2， 又∵∠ABC=∠BCD，∴∠3=∠4， ∵AB=CD,∴∆OAB≌∆ODC, ∴OA=OD,
即点D在⊙O， 同理点E也在⊙O，
∴正五边形ABCDE有一个以O为圆心的外接圆
正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦 的弦心距也相等，所以以点O为圆心OH为半径 的圆与正五边形的各边都相切。
7. 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
E
O
D
B
C
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝
n
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通 过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它 的中心就是对称中心.
例题讲解 例1 求边长为a的正六边形的周长和面积.
解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G， 连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为l和S.
所以正五边形ABCDE还有一个以点O为圆心的内切圆。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆， 并且这两个圆是同心圆.
正多边形的外接圆和内切圆的公共
E A
B 圆心，叫作正多边形的中心.
R
G
O
H 外接圆的半径叫作正多边形的半径.
r
D
F C 内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形 的中心角.正多边形的每个中心角都等于 360.
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
4. 正六边形的边心距与边长之比为( B )
A. 3 ∶3
B. 3 ∶2
C．1∶2
D. 2∶2
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
5. 如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是 ☉O的内接多边形,则∠BOM= 48 °.
B．1个
C．2个
D．4个
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
3. 正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个
内角的关系为( B ) A．两角互余
B．两角互补
C．两角互余或互补 D．不能确定
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
∵ 多边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.
∴ l=6BC=6a.
在△BOC中，有 OG
3 BC 2
3 a. 2
∴ S 6 1 BC OG 3 3 a2.
2
2
FE AO D
B GC
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
(1) 正n边形的中心角怎么计算？
第24章 圆
24.6 第2课时 正多边形的性质
知识回顾
问题1 什么是正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.
问题2 如何作出正多边形？ 将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外
切正n变形.
获取新知
问题 是不是每一个正多边形都有一个外接圆和内切 圆呢？以正五边形为例来说明
如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B，C作⊙O， 连接OA，OB，OC，OD，OE
随堂演练
1. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆
心角最大的图形是( A ) A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
沪科版九年级数学下册课件：24.6 第2课时 正多边形的性质
2. 在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，
中心对称图形有( C ) A．0个
BC 2
4 2
2，
利用勾股定理,可得边心距
F
E
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
A
O
D
r
B MC
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课堂小结