球谐函数
球谐函数ylm
球谐函数ylm1. 什么是球谐函数球谐函数（Spherical Harmonics）是描述在球面上的物理和数学问题的一组函数。
球谐函数可以用于描述轴对称的空间分布，例如电荷分布、电磁场等。
球谐函数是平面波的三维推广，它描述了球对称下的波函数形式。
它在物理学、数学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
球谐函数通常用Ylm(θ, φ)表示，其中θ是极角，φ是方位角。
2. 球谐函数的性质球谐函数具有以下一些重要的性质：2.1 正交性球谐函数在单位球面上是正交的，即不同的球谐函数之间的内积为零。
这个性质在解决物理和数学问题的时候是非常有用的，可以用来展开复杂的函数。
2.2 归一性球谐函数在单位球面上是归一的，即其平方的积分等于1。
这个性质保证了球谐函数在描述物理问题时的准确性，可以确保物理量的总能量是保持不变的。
2.3 奇偶性球谐函数具有奇偶性。
对于函数Ylm(θ, φ)，当l为偶数时，其函数值是关于θ对称的；当l为奇数时，其函数值是关于θ反对称的。
2.4 旋转对称性球谐函数具有旋转对称性，即在球面上进行旋转变换后，球谐函数的形式不变。
这个性质保证了球谐函数在描述旋转对称系统时的准确性，如原子轨道和电磁场分布。
3. 球谐函数的计算球谐函数的计算可以通过递推关系或者数值方法来进行。
3.1 递推关系球谐函数Ylm(θ, φ)可以通过递推关系来计算，公式为：Ylm(θ, φ) = (-1)^m sqrt((2l+1) / (4π) (l-m) / (l+m)) Pnm(cosθ) e^(imφ)其中，Pnm(x)是勒让德多项式，可以通过递推关系Pnm(x) = (2n-1) * x * Pn-1m(x) - (n+m-1) * Pn-2m(x)来计算。
3.2 数值方法除了递推关系，还可以使用数值方法来计算球谐函数。
常用的数值方法包括插值法和数值积分法，可以根据具体问题的要求来选择合适的方法进行计算。
4. 球谐函数的应用球谐函数广泛应用于物理学、数学和计算机图形学等领域。
§3.3 球谐函数
(
)
⎧ 1 Y00 (θ ,ϕ ) = ⎪ 4π ⎪ 3 ⎪ Q ⎨ Y1±1 (θ ,ϕ ) = m sin θe ± iϕ 8π ⎪ 15 ⎪ ± iϕ ⎪Y2 ±1 (θ ,ϕ ) = m 8π sin θ cosθe ⎩
代入上式
Y10 (θ ,ϕ ) =
3 cosθ 4π 5 Y20 (θ ,ϕ ) = 3 cos 2 θ − 1 16π 15 Y2 ± 2 (θ , ϕ ) = sin 2 θe ± 2iϕ 32π
f (θ ,ϕ ) = ∑
l =0
∞
m = −l
∑C
l
lm lm
Y (θ ,ϕ )
（8）
系数
Clm = ∫
0
π
2π
∫ f (θ ,ϕ )Y (θ ,ϕ )sin θdθdϕ
∗ lm 0
（9）
四、 l = 0,1,2 时球谐函数的表达式：
Ylm (θ ,ϕ ) = (− 1)
m
(2l + 1)(l − m)!P m (x )eimϕ l 4π (l + m )!
(
)
原式 = +
1 32π 1 32π 1 16π 3i 32π Y22 + Y2−2 + Y20 + 4π Y00 − Y22 4 15 4 15 2 5 4 15 3i 32π 8π 8π Y2−2 − 2 Y21 + 2 Y2−1 4 15 15 15
= 2 π Y00 + 2 + 3i
π
5
（3）
即
Φ m (ϕ ) = Cm eimϕ
所以，复数形式的球谐函数可写为：
Yl m (θ ,ϕ ) = Pl m (cosθ )eimϕ ,
sh球谐函数
sh球谐函数
球谐函数（Spherical Harmonics，SH）是限制在球上的解，已被广泛用于解决各个领域中的问题。
它们是单位圆上傅里叶基的球面模拟，由于球谐函数形成了一组完整的正交函数，形成了正交基，因此定义在球面上的每个函数都可以写成这些球谐函数的总和。
球谐函数是球面S上的正交基，基函数的定义为其中是极坐标，是对应的Legendre多项式，是正则化常数。
在图形学中用到的实值基的为：表示“波段(band)”，每个波段等价于该度数的多项式，包括个函数。
基本性质有旋转不变性，与傅里叶变换中的平移不变性类似，给定一个函数，它代表函数f(s)由一个旋转矩阵Q旋转，所以，g的投影与旋转f的投影再重新投影是相同的。
由于SH基的正交性，给定任何两个SH函数a和b，积的积
分是系数向量的点积。
卷积：给定一个具有圆对称性的核函数，可以生成一个新的SH函数，它是核与原始函数 f 的卷积结果。
必须具有圆对称性，卷积的结果也可以在球体S
上表示，而不是在旋转组SO(3) 上表示。
可以使用以下等式直接在频域中进行
卷积：这相当于简单地将的每个带按中相应的 m=0 项缩放。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议查阅数学或物理专业书籍或咨询相关专家。
matlab球谐函数
matlab球谐函数球谐函数是一种在球面上的特殊函数，具有广泛的应用。
在MATLAB中，我们可以使用sphharm函数来计算球谐函数的值，在本文中，将详细介绍如何使用MATLAB计算球谐函数。
一、sphharm函数sphharm函数是MATLAB中计算球谐函数的函数，其语法为：Y = sphharm(L, M, THETA, PHI)其中，L和M分别表示球谐函数的阶数和次数，THETA和PHI分别表示球面上的极角和方位角。
返回值Y是球谐函数的值。
二、使用sphharm函数计算球谐函数下面是使用sphharm函数计算球谐函数的示例代码：% 定义球面上的网格点theta = linspace(0, pi, 100);phi = linspace(0, 2*pi, 100);[THETA, PHI] = meshgrid(theta, phi);% 计算球谐函数的值L = 3; M = 2;Y = sphharm(L, M, THETA, PHI);% 画出球谐函数的图像surf(sin(THETA).*cos(PHI), sin(THETA).*sin(PHI), cos(THETA), real(Y))上面的代码中，我们首先定义了球面上的网格点，然后使用sphharm函数计算球谐函数的值，最后使用surf函数画出了球谐函数的图像。
三、球谐函数的性质球谐函数具有一些重要的性质，在本节中，将介绍其中的一部分。
1. 正交性球谐函数在球面上满足正交性，即同阶不同次的球谐函数之间正交。
具体地，设$L_1$和$L_2$为两个球谐函数的阶数，$M_1$和$M_2$为它们的次数，有$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}Y_{L_1}^{M_1}(\theta,\phi)Y_{L_2}^{M_2}(\theta, \phi)\sin\theta d\theta d\phi=\begin{cases}0, & L_1\ne L_2\ or \ M_1 \ne M_2\\1, & L_1=L_2\ and \M_1=M_2\end{cases}$2. 完备性球谐函数具有完备性，即可以用球谐函数展开任意一个在球面上的函数。
球谐函数推导转动惯量
球谐函数是一种在球坐标系中描述物体运动的基本函数，可以用来推导球形物体的转动惯量。
下面是一个简单的推导过程：假设有一个半径为R的球形物体，其质量分布均匀。
为了推导转动惯量，我们需要将物体的质量分布用球谐函数展开，并求出每个谐波的贡献。
首先，我们需要定义球谐函数。
在球坐标系中，球谐函数可以表示为：Φ(θ, φ) = ∑_n = -∞<∞A_nθ^n*φ^n*exp(-i(m-2π/λ)kθ)其中，θ和φ分别表示球坐标系中的方位角和极角，k为波数，λ为谐波的频率，m为谐波的阶数，A_n为系数。
对于一个球形物体，其质量可以表示为各个谐波的叠加：m = ∫_V ρ(r) dV = ∫_0^2πr^2sinθdr dθ∫∑_n = -∞<∞A_n cos^n θ* exp(-i(m-2π/λ)kθ)ρ(r) drdθ其中V表示物体的体积，ρ(r)表示物体的密度，r表示物体的半径。
为了简化表达，我们将积分范围扩展到无穷大，但这不会改变结果。
根据力学中的质点动力学关系式：Iω= ∑(i)=1 质点质量* x_(i)·vω可以得到物体在各个谐波上的动量贡献：动量矩=∫∫∑n=-∞<∞A_n cos^n θ* exp(-i(m-2π/λ)kθ)(-iω*r^2sinθ*drdθ) = (-iω/λ)∫∫∑n=-∞<∞A_n cos^n θ* r^2sinθdV其中ω表示角速度。
将这个式子代入到物体的动量矩定理中，可以得到：∫∫∑n=-∞<∞A_n cos^n θ* r^2sinθdV = ∫∫∫V r^2 dV * ω= Jω其中J表示物体的转动惯量。
将这个式子代入到前面的式子中，可以得到：J = (-iω/λ)∫∫∑n=-∞<∞A_n cos^n θ* r^2sinθdV = (-iω/λ)∫∫∫V ρ(r) drdθ∫∑n=-∞<∞A_n cos^n θdθ= -iωρ/R^(3)∑_n = -∞<∞n * (n+3)A_{n} * A_{n+3} * (cos?θ)^{(n+3)} / R^{3}其中R表示球的半径。
球谐函数
定理7：（拉普拉斯形式）
如果考虑 ，类似的我们可以得到更进一步的球面调和函数的表现形式。若令 则变为 维空间中 次球面调和函数，形如： ，根据定理6，这里有
，
也可以写成
相伴Legendre函数
为了得到正交系下球面调和函数的显式形式现介绍
定义4：假设 上的点表示为形式
定义 被称作 阶 次的相伴勒让德函数并且维数为 ，如果
这时称 为q维的n次（规则）球面调和函数。
由此我们马上可以得到：
引理1:
令 和 是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到
，
同样地，在 上 和 的法向导数分别为
因此由定义（1）我们可以得到
引理2:对于m≠n时，有 ，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替
（4）
其中 是在点 的 阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式
这些讲义仅从球的对称性尽可能多的推导出一些结论，并证明了球谐函数的基本性质，包括加法定理、生成函数的表示以及球谐函数的完备性。
球谐函数的理论最早是由波音科学研究实验室提出来的，后来又做了一些轻微的修改。
感谢Theodore Higgins博士在我准备这些讲义的过程中所给予的帮助，感谢Ernest Roetman博士在我改进原稿的过程中提出的一些宝贵的意见和建议。
clausmller1966目录一般背景及注示正交变换加法定理表示定理加法定理的应用rodrigues公式funkhecke公式球谐函数的积分表示连带勒让德函数勒让德函数的性质微分方程球谐函数的拓展参考文献基本背景和记号
前言
这些讲义主要介绍了在任意维数下球谐函数的一般理论。这使得二维或三维的问题不再显得那么的突出，相反二维或三维的问题被认为是更高维数的特殊情况。介绍任意维数下的球谐函数可以更好的理解这些函数的基本性质，这些性质可以被认为是初等函数的基本性质的推广。G.Herglotz给出了著名的球谐函数加法定理的证明，证明的过程与球所在的坐标系无关，因此避免了坐标系奇点难以表示的困难。
要使用球谐函数系数构建三轴椭球体曲面
球谐函数（Spherical Harmonics）是一种在球面上的正交函数系，常用于描述球面上的各种物理现象。
在三维空间中，球谐函数可以用于描述椭球体曲面，尤其是当椭球体曲面在各个轴上的大小不同时。
下面，我们将详细介绍如何使用球谐函数系数构建三轴椭球体曲面。
首先，我们需要了解球谐函数的定义和性质。
球谐函数是一组在球面上定义的、正交的幂级数展开式，通常表示为Ylm(θ,φ)，其中θ和φ分别是球面的极坐标。
每个球谐函数都有一个对应的l和m，其中l是球的对称性（轴），m是方位角（俯仰角）。
这些函数在球面上按特定规律排列，使得它们在球面上是正交的。
对于三轴椭球体曲面，我们需要考虑三个轴（x、y、z）上的大小变化。
因此，我们需要定义三个不同的球谐函数，分别对应于这三个轴。
具体步骤如下：1. 确定椭球体的三个轴（x、y、z）上的大小变化。
根据实际需求，这些大小可能随时间变化，或者是在一定范围内变化。
2. 对于每个轴，使用球谐函数来描述该轴上的大小变化。
每个轴上的球谐函数都由一组不同的l和m组成，其中l是该轴的对称性（如椭球的旋转轴），m是该轴上的方位角（如俯仰角）。
3. 构建一个由这些轴上的球谐函数组成的系数矩阵。
这些系数矩阵将根据具体需求和实际情况进行计算。
4. 使用这些系数矩阵来构建三轴椭球体曲面。
通过将这些系数矩阵与相应的椭球体曲面方程相结合，我们可以得到一个由球谐函数描述的三轴椭球体曲面。
具体来说，对于每个轴上的球谐函数，我们可以使用以下公式来计算该轴上的任意点处的坐标：x = a*Ylm(θ,φ) + b*Yl(θ,φ)cos(mθ) + c*Yl(θ,φ)sin(mθ)y = d*Ylm(θ,φ) + e*Yl(θ,φ)cos(mθ) + f*Yl(θ,φ)sin(mθ)z = g*Ylm(θ,φ) + h*Yl(θ,φ)cos(mθ) + i*Yl(θ,φ)sin(mθ)其中a-i是相应的系数矩阵中的元素，θ和φ是椭球体表面的极坐标，mθ是方位角的余弦和正弦函数。
球谐函数性质
球谐函数的基本性质。
1. 球谐函数Y lm(θ, φ) 是角动量平方算符L²^，和角动量的z分量算符L z^的同时本征函数。
同时满足两个本征方程：
L²^Y lm =l(l+1)ћ²Y lm，算符的本征值为l(l+1)，l = 0，1，2，...
L z^Y lm = mћ²Y lm，算符的本征值为m，m = l，l-1，l-2，...-l
2. 球谐函数Y lm(θ, φ)是正交归一的。
可以表示为两个δ函数的乘积：
3. 宇称性，需要做空间反射变换，将r变成-r。
在直角坐标系中的表示为x →-x，y→-y，z→-z。
在球坐标系中的表示为r→r，θ→π-θ，φ→π+φ。
这时候我们会发现，经过空间反射变换的球谐函数为
Y lm(π-θ, π+φ) = (-1)l Y lm(θ, φ)
两者之差一个(-1)l。
因此，Y lm(θ, φ)的宇称是(-1)l。
4. Y lm(θ,φ)是单位球面（r=1）上的完备函数系，以(θ, φ)为变量的任意函数都可以展开为Y lm(θ, φ)的线性组合。
现在回答我们前面提出的问题。
角动量平方的算符和角动量z分量组成的力学量完备集所描述的是一个什么样的量子系统呢？他所描述的量子系统就是一个固定在球面上自由运动的无自旋粒子。
这样的粒子的自由度是2，我们也看到角动量平方的算符和角动量z分量组成的完备集的自由度也是2。