江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷
江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共11题；共22分)
1. （2分） (2019高一上·柳江月考) 以下五个关系：，，，，
，其中正确的个数是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高一上·平罗期中) 函数在区间上的最大值为4则函数
的单调递增区间是（）.
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高一上·石嘴山期中) 已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（）
A .
B . 1
C . 12
D . 2
6. （2分）(2017·宜宾模拟) 已知函数有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·历城期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）
A . （0，1]
B . （1，10]
C . （10，100]
D . （100，+∞）
9. （2分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f （2015）=（）
A . 2
B . -2
C . 8
D . -8
10. （2分） (2016高一上·运城期中) 若函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使函数值y＜0的x取值范围为（）
A . （﹣2，2）
B . （2，+∞）
C . （﹣∞，2）
D . （﹣∞，2]
11. （2分） (2017高一上·汪清期末) 函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的区间是（）
A . （﹣2，﹣1）
B . （﹣1，0）
C . （0，1）
D . （1，2）
二、填空题 (共4题；共4分)
12. （1分） (2018高一上·鹤岗期中) 已知幂函数f(x)＝k·xa则k=________
13. （1分）下列等式中，当a，b的值为正数时，都是正确的，但对a，b为任意实数时，有些等式就未必成立，其中不能对任意实数a，b都成立的是________
① ；② ；③am•an=am+n（m，n∈Q）；
④（am）n=amn（m，n∈Q）；⑤ ；⑥ ．
14. （1分） (2017高三上·长葛月考) 函数的值域为________．
15. （1分） (2018高一上·台州月考) 已知函数，则函数的图像关于点成中心对称________, ________.
三、解答题 (共6题；共50分)
16. （5分） (2016高一上·景德镇期中) 已知集合M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，N={x|x2﹣2x﹣3≤0}，若M∪N=N，求实数a的取值范围．
17. （10分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）．
（1）若k=0，求不等式f（x）＞的解集；
（2）若f（x）为偶函数，求k的值．
18. （10分） (2016高一上·唐山期中) 设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）是减函数，若f（m﹣1）＜f（﹣m），求实数m的取值范围．
20. （5分） (2016高一上·宿迁期末) 已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．
①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m 的取值范围；
②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．
21. （10分） (2016高一上·菏泽期中) 设函数f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求m的值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．
参考答案一、单选题 (共11题；共22分)
1-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共50分)
16-1、17-1、18-1、20-1、
20-2、
21-1、21-2、21-3、。
江苏省南通一中高一(上)期中数学试卷含答案
∴ 푚2−푚−1 = 1，解得：푚
=
2或푚
=
是幂函数， −1，
푚 = 2时，푓(푥) = 푥，有交点不合题意， 푚 = −1时，푓(푥) = 푥14，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故푚 = −1，
故选 A．
5.【答案】D
【解析】解：当0 < 푎 < 1时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越平缓， 푔(푥) = −log푎푥的图象为增函数， 当1 < 푎时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越快， 푔(푥) = −log푎푥的 图象为减函数， 综上：只有 D 符合 故选：D． 结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0 < 푎 < 1时和当푎 > 1时两种情况，讨论函 数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0) ，푔(푥) = log푎푥的图象，比照后可得答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的 关键．
C. (−∞,−141)
D. (−∞,−145]
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 函数푓(푥) = 푙표푔12(−푥2 +3푥−2)的单调递增区间是______．
14.
已知푦
=
4푥−3
⋅
2푥
+3 ，当
푥
∈
[0,2]时，其值域是______．
15. 已知定义在 R 上的函数푓(푥)满足푓(−푥) = 푓(푥)，且函数푓(푥)在(−∞,0)上是减函数，
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22. 已知定义在区间(0, + ∞)上的函数푓(푥) = |푥 + 4푥−5|， (1)判定函数푔(푥) = 푥 + 4푥在[2, + ∞)的单调性，并用定义证明； (2)设方程푓(푥) = 푚有四个不相等的实根푥1푥2푥3푥4． ①证明：푥1푥2푥3푥4 = 16； ②在[1,4]是否存在实数 a，b，使得函数푓(푥)在区间[푎,푏]单调，且푓(푥)的取值范围 为[푚푎,푚푏]，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√54．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣15．已知A={x|f(x)=1x−3+√2x−4}，B＝{x|x2﹣8x+15≤0}．则A∩B＝（）A．[2，5]B．[3，5]C．（3，5]D．（2，+∞）6．若两个正实数x，y满足x+y＝xy且存在这样的x，y使不等式x+4y＜m2+8m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，9）B．（﹣9，1）C．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式C=Wlog2(1+SN)，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）（附：lg5≈0.6990）A．22%B．33%C．44%D．55%8．若函数f（x）={x|x+a|−5，x≤1，ax，x＞1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a+b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x，则f （x ）的最小值为 ． 16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求yz−y x的值．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217．（1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x5恒成立． （1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围； （3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}解：对于A，因为π是无理数，所以π∉Q，故A错误；对于B，空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故B正确；对于C，集合{0，1}是数集，集合{（0，1）}是点集，所以{0，1}⊈{（0，1）}，故C错误；对于D，当a≠b时，点（a，b）与点（b，a）表示不同的点，所以{（a，b）}≠{（b，a）}，故D错误．故选：B．2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据充分条件，必要条件的定义，若”a＞2且b＞1”则”a+b＞3且ab＞2”是真命题，充分性成立．反之是假命题，比如当a＝1，b＝3时满足a+b＞3且ab＞2，但推不出a＞2且b＞1故选：A．3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√5解：因为a+1a=3，所以a＞0，a12+a−12＞0，（a 12+a−12）2＝a+1a+2＝5，∴a 12+a−12=√5．故选：B．4．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1 C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣1解：f （x 2﹣1）＝x 4+1＝[（x 2﹣1）+1]2+1，且x 2﹣1≥﹣1， 所以f （x ）＝（x +1）2+1＝x 2+2x +2，x ≥﹣1． 故选：B ．5．已知A ={x|f(x)=1x−3+√2x −4}，B ＝{x |x 2﹣8x +15≤0}．则A ∩B ＝（ ） A ．[2，5]B ．[3，5]C ．（3，5]D ．（2，+∞）解：由{x −3≠02x −4≥0，解得x ≥2且x ≠3，所以A ＝[2，3）∪（3，+∞）．由x 2﹣8x +15＝（x ﹣3）（x ﹣5）≤0，解得3≤x ≤5， 所以B ＝[3，5]，所以A ∩B ＝（3，5]． 故选：C ．6．若两个正实数x ，y 满足x +y ＝xy 且存在这样的x ，y 使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）解：由x +y ＝xy 可得1x +1y =1，则x +4y ＝（x +4y ）（1x +1y ）＝5+4y x +x y ≥5+2√4y x ⋅x y =9，当且仅当x ＝2y 且1x +1y=1，即y =32，x＝3时等号成立，则使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，只需满足m 2+8m ＞9， 解得 m ∈（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）． 故选：C ．7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式C =Wlog 2(1+SN )，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ） （附：lg 5≈0.6990） A ．22%B ．33%C ．44%D ．55%解：技术提升前，C ＝W log 2（1+1000）≈W log 2103＝3W log 210，技术提升后，C 增加到C '，则C '＝（1+20%）W log 2（1+4000）≈1.2W log 2（4×103）＝2.4W +3.6W log 210， 所以C 大约增加了（C′C−1）×100%＝（2.4W+3.6Wlog 2103Wlog 210−1）×100%＝（0.8log 102+1.2﹣1）×100%＝[0.8（1﹣lg 5）+1.2﹣1]×100%≈[0.8（1﹣0.6990）+1.2﹣1]×100%≈44%． 故选：C ．8．若函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x ，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）解：函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x，x ＞1当a ＝﹣1时，f （x ）={x|x −1|−5，x ≤1，−1x ，x ＞1，当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =12，函数不是单调函数，不满足题意，排除B 、C ， 当a ＝1时，f （x ）={x|x +1|−5，x ≤1，1x，x ＞1，当x ∈（﹣1，1）时，f （x ）＝x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =−12，函数不是单调函数，排除D ； 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c解：对于A ：a ＞b ＞0＞c ，所以ac ＜bc ，故A 错误； 对于B ：由于a ＞b ＞0＞c ，故c ﹣a ＜c ﹣b ，故B 正确； 对于C ：当a ＝2，b ＝1，c ＝﹣3时，选项C 错误；对于D ：由于a ＞b ＞0＞c ，故1b ＞1a，所以a ﹣1c ＞b ﹣1c ，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，集合{a ，b ，c }非空子集的个数为23﹣1＝7，故A 错误； 对于B ，当m ＝0时，√m 2+1=1∈N ，符合题意，故B 正确；对于C ，由条件可得m ＜3⇒m ＜4，反之，不成立，所以“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，因为2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则4＜2a ＜6，所以2＜2a +b ＜5，故D 正确． 故选：BCD ．11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32] 解：由不等式可知x ＝1显然不在解集内，A 错误；由函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1可得{f(−1)=3−a ＞0f(2)=2a ＞0，解得0＜a ＜3，B 正确； 数f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1与g （x ）＝x 2﹣1的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数，C 正确； 若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）中，﹣2≤2x ﹣1≤2， 解得−12≤x ≤32，D 正确． 故选：BCD ．12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a +b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A 选项：因为a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，所以12a+1b =(12a+1b)(2a +b)=2+b 2a+2a b≥2+2√b 2a⋅2a b=4当且仅当b2a=2a b，即b ＝2a 时，等号成立，故A 正确；对于B 选项：∵2a +b ＝1，∴1=(2a +b)2=4a 2+b 2+4ab =4a 2+b 2+2√4a 2√b 2≤2(4a 2+b 2)， ∴4a 2+b 2≥12，当且仅当{a =14b =12时等号成立，故B 错误；对于C 选项：原式=11a +1+1b =1(2−b)+1+1b =13−b +1b =13(13−b +1b )(3−b +b)=13(3−bb +1+1+b 3−b )≥43（当且仅当b =32，a =2时取等号）．故C 正确； 对于D 选项．令{a +2=m b +2=n ，则{a =m −2b =n −2，由a +b ＝4，得m +n ＝8，则a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m +(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=4m+4n，而4m+4n=12(1m+1n)(m +n)=12(2+n m+m n)≥12(2+2√n m⋅m n)=2，当且仅当nm=m n，即n ＝m 时，等号成立，故D 正确；故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ． 解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为：∃x ≥1，x 2＜1． 故答案为：∃x ≥1，x 2＜1．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ． 解：集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}＝{2，﹣2}， B ＝{x |ax ﹣2＝0}， a ＝0时，B ＝∅，a ≠0时，B ＝{2a}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， 则B ⫋A ，则a ＝0或2a=2或2a=−2，故a ＝0或a ＝1或a ＝﹣1， 故答案为：{﹣1，0，1}．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x ，则f （x ）的最小值为 ． 解：已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x)=5x +4x，① 则f(1x )+2f(x)=5x +4x ，②由①②可得：f(x)=x +2x，x ∈（0，+∞）， 又x +2x ≥2√x ×2x =2√2，当且仅当x =2x ，即x =√2时取等号， 即f （x ）的最小值为2√2． 故答案为：2√2．16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 解：令x ＝1，则4≤a +b +c ≤4，故a +b +c ＝4，对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ，则ax 2+（b ﹣2）x +c ﹣2≥0恒成立，∴Δ＝（b ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a +c ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a ﹣c +2）2≤0， ∴c ＝a +2，此时b ＝2﹣2a ，∴ab =a(2−2a)=2a(1−a)=−2(a −12)2+12≤12，当a =12，b =1，c =52时取等号， 此时2x 2−2x +4−(ax 2+bx +c)=32x 2−3x +32=32(x −1)2≥0成立， ∴ab 的最大值为12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求y z−yx的值．解：（1）原式=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2×17lg26lg3=1712； （2）由题意知，令3x ＝4y ＝6z ＝a ，则a ＞0， 所以x ＝log 3a ，y ＝log 4a ，z ＝log 6a ， 所以yz −y x=log 4a log 6a−log 4a log 3a=lna ln4×ln6lna−lna ln4×ln3lna=ln6ln4−ln3ln4=ln22ln2=12．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）a ＝2时，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |1＜x ＜3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． ∴A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤3}；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⊆B ，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}≠∅， ∴{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[0，2]． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217． （1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． （1）解：因为f(x)=ax+b x 2+4，f （0）＝0，f(12)=217，所以{ b4=012a+b (12)2+4=217，解得{a =1b =0， 所以a ＝1，b ＝0；（2）证明：由（1）得f(x)=xx 2+4， ∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 由于﹣2＜x 1＜x 2＜2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2﹣4＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．（3）解：由f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0得f （a +1）＞f （2a ﹣1）又函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增，所以{−2＜a +1＜2−2＜2a −1＜2a +1＞2a −1，解得{ −3＜a ＜1−12＜a ＜32a ＜2，故−12＜a ＜1， 所以实数a 的取值范围是(−12，1)．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解：（1）对于任意x ∈[﹣2，2]，f （x ）≥a 恒成立，即x 2+ax +3﹣a ≥0对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，令g （x ）＝x 2+ax +3﹣a ，则有：①Δ＝a 2﹣4（3﹣a ）＝a 2+4a ﹣12≤0或②{Δ＞0−a 2≤−2g(−2)=7−3a ≥0或③{Δ＞0−a 2≥2g(2)=7+a ≥0，由①得﹣6≤a ≤2；由②得∅；由③得﹣7≤a ＜﹣6．综上，实数a 的取值范围为[﹣7，2]；（2）令m （a ）＝xa +x 2+3．当a ∈[4，6]时，m （a ）≥0恒成立，只需{m(4)≥0m(6)≥0，即{x 2+4x +3≥0x 2+6x +3≥0， 解得x ≤﹣3−√6或x ≥﹣3+√6．∴实数x 的取值范围是(−∞，−3−√6]∪[−3+√6，+∞)．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x 5恒成立．（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 解：（1）对于函数（Ⅰ），∵f （30）＝12＞6，即函数（Ⅰ）不符合条件③，∴函数f （x ）=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求；对于函数（Ⅱ），当x ∈[25，1600]时，f （x ）是增函数，且f （x ）max ＝f （1600）＝2×40﹣6＝74＜90，∴f （x ）≤90恒成立．设h （x ）=2√x −6−x 5=−15(√x −5)2−1，∵√x∈[5，40]，∴当√x =5时，h （x ）max ＝﹣1≤0，得f （x ）≤x 5恒成立．∴函数（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6符合公司要求．（2）∵a ≥2，∴函数g （x ）满足条件①，由函数g （x ）满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52，由函数g （x ）满足条件③得，a √x −10≤x 5对x ∈[25，1600]恒成立，即a ≤√x 5+10√x x ∈[25，1600]恒成立， ∵√x 5+√x ≥2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x ＝50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2，52]． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围；（3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．（1）证明：令x ＝y ＝0，得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1，令x 1＜x 2，即x 2﹣x 1＞0，则f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1+x 1）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1， 因为x ＞0时，f （x ）＜1，所以x 1＜x 2时，f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1＜0，所以f （x ）在R 上的单调递减；故f （x ）单调递减区间为R ，无单调递增区间．解：（2）由（1）知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）单调递减，又f （1）＝﹣2，则x ∈[﹣1，1]时，f （x ）min ＝f （1）＝﹣2，因为∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，所以f （x ）min ≤m 2﹣2am ﹣5，则m 2﹣2am ﹣5≥﹣2，即对∀a ∈[﹣1，1]，m 2﹣2am ﹣3≥0成立，设g （a ）＝﹣2am +m 2﹣3，（a ∈[﹣1，1]），则对∀a ∈[﹣1，1]，g （a ）≥0恒成立，即g （﹣1）＝m 2+2m ﹣3≥0，且g （1）＝m 2﹣2m ﹣3≥0，解得m ≥3或m ≤﹣3；故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；（3）令y ＝﹣x ，得f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，又知f （0）＝1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，所以f （x ）＝2﹣f （﹣x ），因为f （1）＝﹣2，所以f （﹣1）＝2﹣f （1）＝4，f （﹣2）﹣f （﹣1）+f （﹣1）﹣1＝7．不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6等价于f （ax 2）﹣f （（a +2）x ）＜6，即f （ax 2）+[2﹣f （﹣（a +2）x ）]＜6⇒f （ax 2）+f （﹣（a +2）x ）＜8，又因为f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1，所以f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，故f （ax 2﹣（a +2）x ）+1＜8，则f （ax 2﹣（a +2）x ）＜7＝f （﹣2），因为f （x ）在R 上单调递减，所以ax 2﹣（a +2）x ＞﹣2，即ax 2﹣（a +2）x +2＞0⇒（ax ﹣2）（x ﹣1）＞0，①a ＞2时，0＜2a ＜1，解得x ＞1或x ＜2a ；②0＜a ＜2时，2a ＞1，解得x ＞2a 或x ＜1； ③a ＝0时，解得x ＜1；④a ＜0时，2a ＜0＜1，解得2a ＜x ＜1； 综上所述：不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6的解集为：a ＞2时，解集为（﹣∞，2a ）∪（1，+∞）；0＜a ＜2时，解集为（﹣∞，1）∪（2a ，+∞）；a ＝0时，解集为（﹣∞，1）；a ＜0时，解集为（2a ，1）．。
2022-2023学年江苏省南通中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）{}3,4,5N =N A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.n 21n-【详解】，则的真子集为：{}3,4,5N =N {}{}{}{}{}{},3,4,5,3,4,3,5,4,5.∅故选：C2．下列图象中，表示函数关系的有（ ）()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，x y 对于A ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于B ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于C ，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；x y 对于D ，当时，有无数个值与其对应，不符合.1x =y 故选：C .3．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为()()2231mm f x m m x +-=--()0,x ∈+∞()f x m （ ）A ．B ．1C ．2或D ．21-1-【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵是幂函数，()()2231mm f x m m x +-=--∴，即，解得，或，211m m --=()()210m m -+=2m =1m =-又当时，单调递减，∴，()0,x ∈+∞()f x 230m m +-<当时，，不合题意，舍去；2m =2330m m +-=>当，，符合题意，1m =-2330m m +-=-<故．1m =-故选：A ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学【答案】C的大小关系即可得出答案.【详解】，．∵．102525==105232==2532<<又∵，，6339==6328==>∴．<<又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.5．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）a []3,4x ∀∈0x a -<A ．B ．C ．D ．4a >5a >3a >4a ≥【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.a 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，[]3,4,0x x a ∀∈-<所以，在区间上恒成立，所以，a x >[]3,44a >所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.[]3,4,0x x a ∀∈-<5a >故选：B 6．已知函数由下表给出，若，则()f x ()()()()()0134f f x f f f =+⋅0x =x1234()f x 1312A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.()()()134f f f +⋅()0f x 0x 【详解】由题可得,,则,故.()()()()()01341123f f x f f f =+⋅=+⨯=()02f x =04x =故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7．已知函数的定义域为，则函数）()f x []22-,()()3g x f x =A ．B ．C ．D ．(]0,120,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使有意义，则，即，解得，()g x 23210x x x -⎧⎪-⎨⎪⎩ ()232100x x x x -⎧⎪-⎨⎪≠⎩ 203x < 所以函数的定义域为．()g x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：D ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）.请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）真数常用对数真数常用对数20.3011 1.0430.4812 1.0840.6013 1.1150.7014 1.1560.7815 1.1870.8516 1.2080.9017 1.2390.9518 1.26101.00191.28A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.3064311010a ≤<a 【详解】解：由题意得：，3064311010a ≤< ，6430lg 31101010a ∴≤<，即，6430lg 31a ∴≤<3064lg 31a ≤<故此，即，3031lg 6464a ≤<0.46875lg 0.484375a ≤<又因为为整数，故根据上表可知：，a 3a =故选：B二、多选题9．若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a b c （ ）A ．B ．C ．D ．a<00c >0a b c ++>0a b c -+>【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b 、c 可用a 的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知： 0013222122a a b b aa c a c a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩-⨯=⎪⎩A 项： ，即：A 项正确；a<0B 项： ，即：B 项正确；0c a =->C 项： ，即：C 项正确；3322a b c a a a a ++=--=->D 项：，即：D 项错误.3322a b c a a a a -+=+-=<故选：ABC.10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合{}1,2A =(){}1,2B =B ．函数()f x =()1,1-C ．若，，则用，表示2log 3a =2log 7b =a b 423log 561b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x ()(),00,∞-+∞ 0x >()211f x x x =+-0x <()211f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{}1,2A =(){}1,2B =所以A 选项错误；对于B，根据解得函数，2 320x x+-≥()f x=[]1,3-令则，232t x x=+-y=为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调232t x x=+-1x=232t x x=+-()1,1-递增，在区间上单调递减，()1,3函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y=()f x=()1,1-所以B选项正确；对于C，因为，，根据对数的换底公式可得2log3a=2log7b=，所以C选项正确；()()3222222422222222log78log56log7log8log7log23log56log42log76log7log6log7log3log21ba b⨯+++=====⨯+++++对于D，因为当时，，可令，则，所以x>()211f x xx=+-x<0x->，又因为是定义在上的奇函数，所以()()()221111f x x xx x-=-+-=---()f x()(),00,∞-+∞，与题干结果不符，所以D选项错误.()()211f f x xxx-=-+-+=故选：BC.11．已知，，且，则（）a>0b>281a b+=A．B C．D．281a b->-1≥164ab≤221168a b+≥【答案】ACD【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A，因为，所以，又因为，，281a b+=218a b=-0a>0b>所以，即，所以，2180a b=->18b<<28188116a b b b b-=--=-又因为，所以，可知A选项正确；18b<<1281a b-<-<对于B，因为，22812841222a b a ba b++=++=≤+=当且仅当，即，时等号成立，28a b=14a=116b=，可知B选项错误；1+≤对于C，因为，当且仅当，即，时281a b+=≥=164ab≤28a b=14a=116b=等号成立，可知C选项正确；对于D ，因为，所以，281a b +=142a b +=所以，()2222222224161616241162228a b a b a b a b a b a b ++++++⋅⋅+=≥==当且仅当，即，时等号成立，可知D 选项正确.4a b =14a =116b =故选：ACD.12．定义在上的函数满足，当时，，则以下()1,1-()f x ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭10x -<<()0f x <结论正确的是（ ）A ．B ．为奇函数()00f =()f x C ．为单调减函数D ．为单调增函数()f x ()f x 【答案】ABD【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由0x y ==y x =-1x x =2y x =-12x x <判断其符号即可.()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭【详解】解：令得，即得，A 正确；0x y ==()()()000f f f +=()00f =在定义域范围内令得，即得是奇函数，B 正确；y x =-()()()00f x f x f +-==()f x 令，，且，1x x =2y x =-12x x <所以，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭又且，，120x x -<111x -<<211x -<<所以，即，()()()()1221121110x x x x x x ---=+->1212101x x x x --<<-所以，即()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是单调增函数，D 正确，C 错误．()f x ()1,1-故选：ABD ．三、填空题13．计算：________.2log 312-⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.【详解】解：.22log 3log 31232-⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：3.14．已知函数，则________.()2231f x x =+()f x =【答案】2314x +【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式2t x =2tx =2(2)31f x x =+()f x 【详解】解：令,得,代入得2t x =2t x =2(2)31f x x =+223()31124t f t t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭即的解析式为()f x 23()14f x x =+故答案为：2314x +15．已知为正实数，则的最小值为__________．,x y 162y x x x y ++【答案】6【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.162y yx x ++【详解】由题得，162y xx x y+=+162y yx x ++设，则.(0)y t t x =>1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++当且仅当时取等.2t =所以的最小值为6.162y xx x y ++故答案为：6四、双空题16．已知函数，其中，()22,25,x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩0m >（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；()f x ()0,∞+m （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==的值域为__________.y m =【答案】(]0,3(),1-∞-【分析】（1）利用单调性的定义进行处理.（2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其x m ≤()2f x x=(0,)m x >m ()225f x x mx m =-+对称轴为，所以在x m =()f x (,)m +∞上单调递增，若函数在单调，则，()f x ()0,∞+22252||2m m m m m -+≥=解得.03m <≤（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，()f x 1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==则的图象如图所示：()f x则，即，解得或(舍去).222||225m m m m m =>-+230m m ->3m >0m <对于函数，令，，所以，y m =t =2t >22(1)1y t t t t =--=-++其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数12t =21y t t =-++()2,+∞22211y <-++=-的值域为.y m =(),1-∞-故答案为：，.(]0,3(),1-∞-五、解答题17．（1）求的值；1103488127⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）已知，求的值.114x x -+=1122224200x x x x --+++-【答案】（1）；（2）8343-【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把平方，结合即可求得，利用可得1122x x -+114x x -+=1122x x -+()22212x x x x --+=+-的值，代入所求的式子即可得答案．22x x -+【详解】（1）；()1134134134828811273233133⨯⎛⎫=-+=-+=⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎭⎪⎝（2），，，211122216x x x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭= 11220x x ->+11224x x -∴+=，．()22212194x x x x--+=+-=11222242344419420000x x x x --+∴-+=-=-++18．已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程p x 21202mx x -+>q x 无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.()244210x m x +-+=p qm 【答案】(][)1,23,⋃+∞【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出p qm p qp q实数的取值范围.m 【详解】若真，对任意实数，不等式都成立.p x 21202mx x -+>∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立0m =x 1202x -+>当时，，解得0m ≠4200m m -<⎧⎨>⎩m>2∴真时，；p m>2若真，则方程无实数根，q ()244210x m x +-+=∴，()2162160m --<∴真时，.q13m <<∵命题、中有且仅有一个真命题，p q∴当真假时，且，故实数m 的取值范围是：；p qm>2(][),13,m ∈-∞+∞ 3m ≥当假真时，且，故实数m 的取值范围是：；p q2m ≤13m <<12m <≤综上，实数的取值范围为m (][)1,23,⋃+∞19．已知函数是定义域上的奇函数.()21x bf x x +=-()1,1-（1）确定的解析式；()f x （2）用定义证明：在区间上是减函数；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()10f t f t -+<【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.()21x f x x =-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数()()f x f x -=-b 的解析式；()y f x =（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -()()12f x f x -即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单()()1f t f t -<-()y f x =调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.t t 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，()21x bf x x +=-()1,1-()()f x f x -=-即，化简得，因此，；()2211x b x b x x -++=-+-+0b =()21xf x x =-（2）任取、，且，即，1x ()21,1x ∈-12x x <1211x x -<<<则，()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，，，，，，.1211x x -<<< 210x x ∴->1210x x +>110x -<110x +>210x -<210x +>，，因此，函数在区间上是减函数；()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>()y f x =()1,1-（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，()y f x =()1,1-由得，所以，解得.()()10f t f t -+<()()()1f t f t f t -<-=-111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩112t <<因此，不等式的解集为.()()10f t f t -+<1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的AB E 圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线()()0,025E t t <≤AF x⊥F BC 的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆()2500y ax a =-+>CD OD ⊥D CD E 的高（单位：米，下同）.50OB =(1)试将用和表示；DF a t (2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.DF a 【答案】(1)50DF t =-()025t <≤(2)1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标()0,50B 50CD t =-C 后，可知；50DF t =-()025t <≤（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最5075DF t =-≤162550a t t ≥++值即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：，()0,50B 50BE t∴=-∵，均为圆的半径，BE CD ，圆的半径为：，50CD t ∴=-E 50t -∴，入抛物线方程可得，解得(),50C C x t -25050Ct ax -=-+C x =∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，AB E ()0,E t AF x ⊥F ∴，50OF AE t ==-∴.50DF OF OD t =+=-()025t <≤（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，DF ，整理可得：，5075DF t ∴=-()216252550ta t t t ≥=+++，(]0,25t ∈（当且仅当时取等号），62550t t ∴+≥=25t = ，1162510050t t ∴≤++.1100a ∴≥∴的取值范围为：a 1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．已知集合，集合.{A x y =={}220B x x x a a =-+-<(1)若，求的取值范围；A B A ⋃=a (2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.A B ⋂a 【答案】(1)；[0,1](2).(1,2][1,0)- 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】（1）由，所以.22002x x x -≥⇒≤≤[0,2]A =由，220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<因为，所以，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，1a a =-12a =21()02x -<即，显然成立；B =∅B A ⊆当时，即时，，1a a >-12a >(1,)B a a =-要想，只需，而，所以；B A ⊆0112a a a ≤-⎧⇒≤⎨≤⎩12a >112a <≤当时，即时，，1a a <-12a <(,1)B a a =-要想，只需，而，所以，B A ⊆0012a a a ≤⎧⇒≥⎨-≤⎩12a <102a ≤<综上所述：的取值范围为；a [0,1]（2）由（1）可知：当时，，此时不符合题意；12a =B =∅A B ⋂=∅由（1）可知：当时，，12a >(1,)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂1012a a -<⎧⎨<≤⎩0112a a ≤-<⎧⎨>⎩由，显然，所以，101212a a a -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩12a >12a <≤由，0112a a a ≤-<⎧⇒∈∅⎨>⎩所以；12a <≤由（1）可知：时，，12a <(,1)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂0112a a <⎧⎨<-≤⎩0112a a ≤<⎧⎨->⎩由，而，即，010112a a a <⎧⇒-≤<⎨<-≤⎩12a <10a -≤<由，0112a a a ≤<⎧⇒∈∅⎨->⎩所以，10a -≤<综上所述：的取值范围为.a (1,2][1,0)- 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是D ()y f x =[],m n D ⊆()f x [],m n 单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．[],m n ()f x [],m n [],m n (1)写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=(2)求证：函数不存在“优美区间”；()64g x x =+(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最()()()221R,0a a x y h x a a a x+-==∈≠[],m n a n m -大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=（2）若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推()g x [,]m n ()()g m n g n m =⎧⎨=⎩出矛盾，即可证明结论；（3）函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩,m n 的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而222()10a x a a x -++=,m n 可求得的最大值．n m -【详解】（1）是的一个“优美区间”，证明如下：[0,2]21()2f x x=在区间上单调递增，212y x =[0,2]又，，∴的值域为，(0)0f =(2)2f =212y x =[0,2]∴是的一个“优美区间”．[0,2]21()2f x x=（2）设是函数的定义域的子集．[,]m n ()g x 由，可得或，0x ≠[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+∴函数在上单调递减．6()4g x x =+[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()g x 6464n m mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，则，66n m m n -=-6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴= 则，显然等式不成立，664m m +=∴函数不存在“优美区间”．6()4g x x =+（3）的定义域为，是函数的定义域的子集，()h x {|0}x x ≠[,]m n ()h x 则或，[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+而函数在上单调递增，()()222111a a x y x h x a a xa a +-==+=-[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．,m n 211a x a a x +-=222()10a x a a x -++=，∴同号，21mn a => ,m n 只需，解得或，2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->1a >3a <-，，211,a m n mn a a++== n m>，n m ∴-====∴当时，3a =n m -。
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷(含答案)1
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A＝{U0<<2}，B＝{U1<<5}，则A∪B＝（）A．{U0<<5}B．{U2<<5}C．{U0<<2}D．{U<2或>5}2．“0<<2”是“2−−6<0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26B．24C．20D．184．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．r2>B(>0，>0)C．r2≤+a＞0，b＞0）D．2B r≤B（a＞0，b＞0）5．函数=1+−1−2的值域为（）A．(−∞，32]B．(−∞，32)C．[32，+∞)D．(32，+∞) 6．函数op=1r1+25−2（−1<<52）的最小值是（）A．76B．87C．98D．657．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，13）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（）A B．2﹣1C．2+1D二、多选题9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．∩∁=∅B．∪∁=C．∁∪∁=∁D．∁∩∁=∁10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（）A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有o1)−o2)1−2>0，则f（x）在R上是增函数11．已知3=5=15，则a，b满足的关系有（）A．1+1=1B．B>4C．2+2<4D．(+1)2+(+1)2>1612．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2三、填空题13．若函数op=f(x)的定义域为.14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加8万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.16．已知函数op=|2−B+2|+，∈，若op在区间[−1，1]上的最大值是3，则实数的最大值是.四、解答题17．（1）已知+−1=6(>1)，求12−−12的值；（2）log232+(1+lg2)lg5+(lg2)2−4log4318．已知不等式B2−3+2>0的解集为{U<1或>V（其中>1）．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式K14B−≥1．19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.（1）求f（x）的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式3+2≥n恒成立，求实数n的最大值.\20．已知函数op=2r1，∈(0，+∞)（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若o2−1)>o1−p，求实数的取值范围.21．已知函数op=2+，∈(0，+∞)，其中>0.（1）若op的图象与直线=2没有公共点，求实数a的取值范围；（2）当=1时，函数op=12(p+op的最小值为−8，求实数m的值.22．函数=op的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数=op为奇函数，可以将其推广为：函数=op的图象关于点o，p成中心对称图形的充要条件是函数=o+p−为奇函数，给定函数op=2+K6r1.（1）求op的对称中心；（2）已知函数op同时满足：①o+1)−1是奇函数；②当∈[0，1]时，op=2−B+.若对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题设∪={U0<<2}∪{U1<<5}={U0<<5}.故答案为：A【分析】根据并集的定义进行计算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解不等式2−−6<0，得−2<<3而集合={U0<<2}是集合={U−2<<3}的真子集，所以“0<<2”是“2−−6<0”的充分而不必要条件故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法可得2−−6<0的解集，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故答案为：D.【分析】可把f(5)中的5拆成2×3−1的形式，即可利用已知关系式求出f（5）的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(+p−=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF=∵CF≥OF，≥12(+p，故答案为：C.【分析】由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可求出CF，结合CF≥OF即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】设1−2=，则≥0，=1−22，所以=1+1−22−=12(−2−2+3)=−12(+1)2+ 2，因为≥0，所以≤32，所以函数=1+−1−2的值域为(−∞，32].故答案为：A．【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由−1<<52，可得+1>0，5−2>0，op=1+1+25−2=22+225−2=27[(2+2)+(5−2p](12+2+15−2) =27(2+5−22r2+2r25−2)≥27(2+=87，仅当5−22r2=2r25−2，即=34时等号成立，故op的最小值为87.故答案为：B【分析】由op=1r1+25−2=22r2+25−2=27[(2+2)+(5−2p](12r2+15−2)展开后运用基本不等式可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故答案为：B.【分析】由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g（1-2x）＜g（-x）即为1-2x＞-x，解不等式可得所求解集.8．【答案】D【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔(−1)()2−+≥0，令=>0，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，依题意，−1>0−14(K1)≥0，解得o12(K1)，即>1∴实数a故答案为：D.【分析】利用换元法结合二次函数的性质可求出实数a的最小值.9．【答案】B,D【解析】【解答】由韦恩图可知，∩∁≠∅，∪∁=，∁∪∁=∁，∁∩∁=∁，AC不符合题意，BD符合题意，故答案为：BD【分析】利用韦恩图结合集合间的基本运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：若op在R上是减函数，显然由2>1⇒o2)>o1)，不可能有o2)>o1)成立，所以op在R上不是减函数，因此A项正确；B：因为o+1)是偶函数，所以函数o+1)的图象关于轴对称，因为函数o+1)的图象向右平移1个单位得到op图象，所以op图象关于=1对称，B项正确；C：若o−1)=o1)=0，则函数op有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；D：o1)−o2)1−2＞0的含义是分子分母同号，即op中，自变量越大，函数值也大，所以op在R上是增函数，D项正确.故答案为：ABD.【分析】根据函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数图象变换的性质逐项进行判断，可得答案. 11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由3=5=15，则=log315>0，=log515>0，A：1+1=1log315+1log515=log153+log155=log1515=1，正确；B：由A知：1+1=1且>0，>0，≠，所以1=1+1>B>4，故正确，C：由A、B知：+=B，而2+2=(+p2−2B=(B)2−2B=(B−1)2−1>8，故错误，D：由上，(+1)2+(+1)2=2+2+2(+p+2=(B)2+2>18>16，故正确.故答案为：ABD.【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知1+1=1，再结合基本不等式可判断B、C、D.12．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，∵x1＞x2，∴o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，1−2＞o1)−o2)∴'(p≥'(p，即4ax+2a≥1在[a，a+1]上恒成立，当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，解得当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，解得，综上可得，故实数a的值可能是1，﹣2.故答案为：AD.【分析】由已知及导数的定义可知o1)−o2)1−2＞o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，即f'(x)>g'(x)，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，即可得实数a的值.13．【答案】[﹣1，0)∪(0，1]【解析】【解答】∵op=1−2|U∴1−2≥0|U≠0，∴−1≤≤1≠0∴﹣1≤x<0或0<x≤1即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]【分析】由已知可得1−2≥0|U≠0，解不等式组可得f(x)的定义域.14．【答案】（﹣1，+∞）【解析】【解答】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.【分析】由已知可得m＞x2-2x在R上有解，只需m＞（x2-2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解出实数m的取值范围.15．【答案】(0，20]【解析】【解答】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，要保证该公司月总收入不减少，则50(1−100)(10+8)≥10×50，解得0≤≤20，∵x为正数，∴x的取值范围为(0，20].故答案为：(0，20]【分析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，进而有50(1−100)(10+ 8)≥10×50，求解出x的取值范围.16．【答案】0【解析】【解答】因为op=|2−B+2|+，当2−4≤0，即−2≤≤2时，2−B+2≥0，op=2−B+2+，此时对称轴为=2∈[−1，1]，所以op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}，所以3+2≤3，解得≤0，所以−2≤≤0；当2−4>0，即<−2或>2时，2−B+=0有两个根，1，2，设1<，此时对称轴为=2<−1或=2>1，当即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，所以<−2；当2>1，即>2时，op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，不满足>2，故无解.综上所述，的取值范围是(−∞，0]，故的最大值为0.故答案为：0【分析】分−2≤≤2，<−2或>2三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a的范围即可求出实数的最大值.17．【答案】（1）解：由题意得(12−−12)2=+1−2=4，而>1，则12−−12>0，12−−12=2（2）解：原式=13+(1+lg2)(1−lg2)+(lg2)2−3=13+1−3=−53【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解出12−−12的值；(2)利用对数的运算性质求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得B2−3+2>0的解集为{U<1或>V，则>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根．则1+=31×=2，解得=1=2．（2）解：不等式K14B−≥1化为K14K2≥1，转化为3K12K1≤0，即(3−1)(2−1)≤02−1≠0所以13≤<12，解集为{U13≤<12}．【解析】【分析】（1）由题意可得>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根，由韦达定理列出关于a、b的方程组求解出实数，的值；（2）不等式K14B−≥1转化为3K12K1≤0，求解分式不等式，可得不等式的解集.19．【答案】（1）解：幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以2，解得m＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）解：正数a ，b 满足2a+3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，所以3+2＝14（3+2）（2a+3b ）＝14（12+4+9）≥6，当且仅当4＝9，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故3+2的最小值为6，又不等式3+2≥n 恒成立，所以n≤6，即实数n 的最大值6.【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，求出f （x ）的解析式；（2）由已知条件可得a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，利用基本不等式求出3+2的最小值，即可得实数n 的最大值.20．【答案】（1）解：op =2r1=2(r1)−2r1=2+−2r1，∈(0，+∞)，该函数由op =−2向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：由图可知，函数在∈(0，+∞)单增，现证明如下：设0<1<2，则o 1)=2+−21+1，o 2)=2+−22+1，o 2)−o 1)=21+1−22+1=2(2−1)(1+1)(2+1)，∵0<1<2，2−1>0，o 2)−o 1)>0，op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增（2）解：若o2−1)>o1−p ，由op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增，得2−1>01−>02−1>1−，即23<<1，则实数的取值范围为23<<1【解析】【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图象的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；（2）op =2r1，∈(0，+∞)根据增减性判断，应满足2−1>01−>02−1>1−，化简求值即可.21．【答案】（1）解：由题意2+=2在∈(0，+∞)上无解，即22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由2=−22，∈(0，+∞)，而−22=−2(−14)2+18≤18，所以>116，所以实数a的取值范围为(116，+∞).（2）解：当=1时op=2+1，则1op=+1，所以op=12(p+op=2+12+o+1)=(+1)2+o+1)−2，令=+1，又∈(0，+∞)，故≥2（仅当=1时等号成立）所以=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，又=2+B−2的图象开口向上，对称轴为=−2，当−2≤2，即≥−4时，=2+B−2在[2，+∞)上单调递增，所以min=4+2−2=2+2=−8，解得=−5，不满足≥−4，故无解；当−2>2，即<−4时，=2+B−2在[2，−2)上单调递减，在(−2，+∞)上单调递增，所以min=24−22−2=−24−2=−8，解得=±26，又<−4，故=−26，综上所述，=−26.【解析】【分析】(1)由题意可得22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由二次函数的性质求出实数a的取值范围；(2)由题意可得op=(+1)2+o+1)−2，令=+1，则有t≥2，将问题转化为=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值. 22．【答案】（1）解：op=2+K6r1=(r1)2−(r1)−6r1=−6r1，设op的对称中心为(，p，由题意，得函数=o+p−为奇函数，则o−+p−=−o+p+，即o+p+o−+p−2=0，即(+p−6rr1+(−+p−6−rr1−2=0，整理得(−p2−[(−p(+1)2−6(+1)]=0，所以−=(−p(+1)2−6(+1)=0，解得=−1，=−1，所以函数op的对称中心为(−1，−1)；（2）解：因为对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，所以函数op的值域是函数op的值域的子集，因为函数=，=−6r1在[1，5]上都是增函数，所以函数op=−6r1在[1，5]上是增函数，所以op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则原问题转化为⊆[−2，4]，因为函数o+1)−1是奇函数，所以函数op关于(1，1)对称，又因为o1)=1，所以函数op恒过点(1，1)，当2≤0，即≤0时，op在[0，1]上递增，则函数op在(1，2]上也是增函数，所以函数op在[0，2]上递增，又o0)=，o2)=2−o0)=2−，所以op的值域为[，2−p，即=[，2−p，又=[，2−p⊆[−2，4]，2−≤4≤0，解得−2≤≤0，所以≥−2当2≥1即≥2时，op在[0，1]上递减，则函数op在(1，2]上也是减函数，所以函数op在[0，2]上递减，则=[2−，p，又=[2−，p⊆[−2，4]，2−≥−2≤4，解得2≤≤4，所以≥2当0<2<1即0<<2时，op在(0，2)上递减，在(2，1)上递增，又因函数op过对称中心(1，1)，所以函数op在(1，2−2)上递增，在(2−2，2)上递减，故此时op min=min{o2)，o2)}，op max=max{o0)，o2−2)}，要使⊆[−2，4]，只需要o2)=2−o0)=2−≥−2o2)=−24+≥−2o0)=≤4o2−2)=2−o2)=24−+2≤40<<2，解得0<<2，综上所述实数m的取值范围为[−2，4].【解析】【分析】(1)设op的对称中心为(，p，根据对称性得到关于a，b的方程，解方程求出op的对称中心；(2)求出op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则问题可转化为⊆[−2，4]，分m≤0，m≥2和0<<2三种情况讨论，从而可求出实数m的取值范围.。
2023-2024学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，1）C ．（1，3）D ．（1，4）2．已知a ∈R ，则“a ＞0”是“a ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．函数f(x)=x+13x−2(x −1)0的定义域为（ ）A ．(23，+∞) B ．[23，1)∪(1，+∞) C ．(23，1)∪(1，+∞)D ．[23，+∞]4．函数f （2x +1）＝x 2﹣3x +1，则f （3）＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．R 上的函数y ＝f （x ）满足以下条件：①f （﹣x ）＝f （x ），②对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0]，当x 1＞x 2时都有f （x 1）＞f （x 2），则f （2），f （π），f （﹣3）的大小关系是（ ） A ．f （π）＞f （2）＞f （﹣3） B ．f （π）＞f （﹣3）＞f （2）C ．f （π）＜f （2）＜f （﹣3）D ．f （π）＜f （﹣3）＜f （2）6．一个容器装有细沙acm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin 后剩余的细沙量为y ＝ae bt （cm 3），经过4min 后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A ．8minB ．12minC ．16minD ．18min7．设0＜m ＜14，若t =1m +41−4m ，则t 的最小值为（ ） A ．32B ．16C ．8D ．48．已知函数f(x)={2x +1，x ≤1x 2−1，x ＞1，若n ＞m ，且f （n ）＝f （m ），设t ＝n ﹣m ，则t 的最小值为（ ）A ．1B ．.√5−1C ．.1712D ．.43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷
江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，则（）A . 是偶函数，且在R上是增函数B . 是奇函数，且在R上是增函数C . 是偶函数，且在R上是减函数D . 是奇函数，且在R上是减函数2. （2分） (2018高二上·大连期末) 在等差数列中，则（）A . 7B . 8C . 9D . 103. （2分） (2019高一上·仁寿期中) 设集合，则（）A .B .C .D .4. （2分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A . {1，3}B . {3，5}C . {5，7}D . {1，7}5. （2分） (2018高一下·南平期末) 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？其意思是“已知”五个人分重量为6钱（“钱”是古代的一种重量单位）的物品，三人所得钱数之和与二人所得钱数之和相同，且每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，分得物品的钱数是（）A . 钱B . 钱C . 钱D . 钱6. （2分） (2017高一上·焦作期末) 已知集合A={x|ax2﹣5x+6=0}，若2∈A，则集合A的子集个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 17. （2分）已知定义在上的函数是周期为2的偶函数,当时,,如果直线与曲线恰有两个交点,则实数的值是（）A . 0B .C . 或D . 或8. （2分）(2019·滨海新模拟) 已知全集，集合，，那么等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高二下·莆田期中) 已知函数在处可导，若，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·林芝期中) 若，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·林芝期中) 函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是（）A . 递减函数B . 递增函数C . 先递减再递增D . 先递增再递减12. （2分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A . 0B . 0 或1C . 1D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·新余月考) 若函数为幂函数，则 ________．14. （1分）(2020·银川模拟) 已知（4，﹣1），（2，t2﹣1），若 5，则t＝________.15. （1分）(2019·和平模拟) 如果（表示虚数单位），那么________.16. （1分）已知函数是定义在上的奇函数，则 ________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高二下·邱县期末) 已知数列是等比数列，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由.18. （10分） (2019高一上·林芝期中) 求下列各式的值：（1）；（2） .19. （10分） (2019高一上·林芝期中) 下列函数的定义域：（1）；（2） .20. （5分）已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．21. （5分） (2019高一上·林芝期中) 已知集合，集合，若，求实数的取值集合．22. （5分） (2019高一上·林芝期中) 已知是一次函数，且，求的解析式.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
联立③④⑤解得 a 1 ， b c 1 .
8
2
6
所以 f x 1 x2 1 x 1 .
8 22
（3）由 x 0, ，使得 f x m x 1 成立可得：
24 mx 1 x2 1 x 1 在 x 0 上有解 28 2 4 （i） x 0 时， 0 1 不满足，∴ x 0 ；
∴ g x 在1, 上单调增
① a 0 ， g x 2x 1，显然不成立
②
a
0
，
a
0 2 2a
1
，解得
a
1
，故答案为
1,
.
四、17.（1）
CR B
,
5 2
1,
A
B
5 2
,
3
（2）3,
18.（1）
f
x
x 1 x2
（2）用定义法按步骤证明即可
19.（1） P 7 ， Q 2 3
①对任意实数 x，都有 f x x ；
②当 x 1,3 时，有 f x 1 x 22 成立．
8
（1）求证： f 2 2 ；
（2）若 f 2 0 ，求函数 f x 的解析式；
（3）在（2）的条件下，若 x 0, ， f x m x 1 成立，求实数 m 的取值范围．
24
22．（本题满分
f x 是单调递增函数。
f kx x2 f x 1 0 ， f kx x2 f x 1 f 1 x
7
kx x2 1 x 恒成立，即 x2 k 1 x 1 0 恒成立
k 12 4 0 ， 3 k 1 （3） f 1 a 1 3 ， a 0 ，解得 a 2
,
22.（1）因为是奇函数，所以 f 0 0 ，1 t 1 0 ，解得 t 2 .
江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2-B ．1-C ．0D ．112．已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（ ）A ．()00f =B ．()10g =C ．()y g f x =éùëû为奇函数D ．()y f g x éù=ëû的图像关于直线1x =对称【详解】（1）函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-¥上单调递减，在()1,+¥上单调递增，若函数()f x 在(],21m -¥-上单调递减，则211m -£，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-¥.（2）①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x Î时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-Î=-，()()2=31,3x t g x =Î，所以121t t <<，即12t t <.19．(1)选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+££(2)该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【详解】（1）若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v Î上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=ìï++=íï++=î，得0.10.20.8a b c =ìï=-íï=î，答案第161页，共22页。
2022-2023学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合N ＝{3，4，5}，则N 的真子集的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．（多选）下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的有（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣14．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥46．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数g（x）＝f（3x）+√x的定义域为（）A．（0，1]B．[0，23]C．[−23，1]D．(0，23]8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（）A．2B．3C．4D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（−1，2），则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是（）2A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．a﹣b+c＞010．下列说法中，正确的是（）A．集合A＝{1，2}和B＝{（1，2）}表示同一个集合B．函数f（x）=√3+2x−x2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x −1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x+111．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥1812．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy)，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ ．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f(x)={2|x|，x ≤m x 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 ． 16．已知x ，y 为正实数，则yx +16x 2x+y的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）=x+bx 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，1）（0＜t≤25），AF⊥x轴，垂足为F；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥OD，垂足为D，且CD恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF用a和t表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足；①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”．（3）已知函数y=ℎ(x)=(a2+a)x−1a2x（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合N＝{3，4，5}，则N的真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8解：∵集合N＝{3，4，5}有3个元素，∴N的真子集的个数为23﹣1＝7，故选：C．2．下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（）A．B．C．D．解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，对于A，当x＝0时，y有两个值与其对应，不符合；对于B，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于C，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于D，当x＝1时，y有无数个值与其对应，不符合；故选：BC．3．已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，则m的值为（）A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣1解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，∴{m 2−m −1=1m 2+m −3＜0，解得m ＝﹣1， 故选：D ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学解：因为(√55)10=52=25，(√2)10=25=32， 又25＜32，所以√55＜√2，又(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，所以√33＞√2， 故√55＜√2＜√33，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C ．5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥4解：∵∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题， ∴a ＞x max ，∴a ＞4， ∵（5，+∞）⫋（4，+∞），∴使∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题的一个充分不必要条件是a ＞5， 故选：B ．6．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意可得，f （1）＝1，f （3）＝1，f （4）＝2， ∴f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4）＝3， ∴f （x 0）＝2，∴x 0＝4， 故选：D ．7．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为（ ） A ．（0，1]B ．[0，23]C ．[−23，1]D ．(0，23]解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，∴由{−2≤3x ≤2x ≥0，得0≤x ≤23．∴函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为[0，23]．故选：B ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：设此数为x ，则30≤lgx ＜31，而0.4688＜lgx 64＜0.4844，观察已知数据，x 164=3．故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是（−12，2），则下列对于系数a ，b ，c 的结论中，正确的是（ ） A ．a ＜0B ．c ＞0C ．a +b +c ＞0D ．a ﹣b +c ＞0解：由已知可得−12，2是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，且a ＜0，故A 正确， 则由韦达定理可得：{−12+2=−ba −12×2=ca，解得b =−32a ＞0，c ＝﹣a ＞0，故B 正确， 则a +b +c ＝a −32a −a =−32a ＞0，故C 正确， a ﹣b +c ＝a ﹣（−32a ）﹣a =32a ＜0，故D 错误， 故选：ABC ．10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合A ＝{1，2}和B ＝{（1，2）}表示同一个集合B ．函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x +1解：集合A ＝{1，2}中有两个元素，B ＝{（1，2）}中只有一个元素，不表示同一集合，故A 错误； 函数f （x ）=√3+2x −x 2，由3+2x ﹣x 2≥0，解得﹣1≤x ≤3，而t ＝3+2x ﹣x 2在x ∈[﹣1，1]上递增，y =√t 在t ∈[0，+∞）递增，所以函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1），故B 正确； 若log 23＝a ，log 27＝b ，则log 4256=log 256log 242=log 27+log 28log 22+log 23+log 27=3+b1+a+b，故C 正确；f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2−1x−1）＝﹣x 2+1x+1，故D 错误． 故选：BC ．11．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥18解：因为a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，故8b ＝1﹣2a ＞0，得0＜a ＜12，a +4b =12， 所以2a ﹣8b ＝4a ﹣1＞﹣1，故A 正确； （√a +2√b ）2＝a +4b +4√ab =12+2√a ⋅4b ≤12+a +4b =1，即√a +2√b ≤1，当且仅当a =14，b =116时取等号，故B 错误； 因为1＝2a +8b ≥2√16ab =8√ab ，√ab ≤18，故ab ≤164，当且仅当a =14，b =116时取等号，故C 正确； 由a +4b =12得a 2+16b 2+2a •4b =14，而2a •4b ≤a 2+16b 2，代入上式得2（a 2+16b 2）≥14，即a 2+16b 2≥18，当且仅当a =14，b =116时取等号，故D 正确． 故选：ACD ．12．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy )，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数解：因为f （x ）定义在（﹣1，1）上，且满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y 1+xy )恒成立，﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，令x ＝y ＝0，解得f （0）＝0，故A 正确；再令y ＝﹣x ，则f （﹣x ）+f （x ）＝f （0）＝0，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，故B 正确； 任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则﹣2＜x 1﹣x 2＜0，0＜1﹣x 1x 2＜2，且x 1x 2﹣1﹣（x 1﹣x 2）＝（x 2﹣1）（1+x 1）＜0，所以﹣2＜x 1x 2﹣1＜x 1﹣x 2＜0，所以﹣1＜x 1−x21−x 1x 2＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）+f （﹣x 2）＝f （x 1−x 21−x 1x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ 3 ．解：（12）﹣log23＝2log 23=3．故答案为：3．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝34x 2+1 ．解：令2x ＝t ，则x =t2，代入f （2x ）＝3x 2+1可得 f （t ）=3(t 2)2+1=34t 2+1 ∴f （x ）=34x 2+1 故答案为：34x 2+115．已知函数f(x)={2|x|，x ≤mx 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 （0，3] ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 （﹣∞，﹣1） ．解：（1）当x ≤m 时，f （x ）＝2|x |，在（0，m ）单调递增，当x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +5m ，其对称轴为x ＝m ，所以f （x ）在（m ，+∞）上单调递增，若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则m 2﹣2m 2+5m ≥2|m |＝2m ， 解得0＜m ≤3．（2）若f （x ）存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）， 则f （x ）的图象如图所示：则2|m |＝2m ＞m 2﹣2m 2+5m ，即m 2﹣3m ＞0，解得m ＞3或m ＜0（舍去），对于函数y =√1+m −m ，令t =√1+m ，t ＞2，所以y ＝t ﹣（t 2﹣1）＝﹣t 2+t +1，其对称轴为t =12，所以y ＝﹣t 2+t +1在（2，+∞）上单调递减，所以y ＜﹣22+2+1＝﹣1，则函数y =√1+m −m 的值域为（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（0，3]，（﹣∞，﹣1）．16．已知x ，y 为正实数，则y x +16x 2x+y 的最小值为 6 ． 解：由x ＞0，y ＞0，得y x +16x 2x+y =y x +162+y x ，令y x=t （t ＞0）， 则f （t ）＝t +16t+2=t +2+16t+2−2≥2√(t +2)(16t+2)−2＝8﹣2＝6， 当且仅当t +2=16t+2，即t ＝2时等号成立， 所以y x +16x 2x+y 的最小值为6．故答案为：6．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．解：（1）原式=34×14−1+(23)3×(−13)=3﹣1+32=72； （2）∵x +x ﹣1＝14，∴（x +x ﹣1）2＝x 2+x ﹣2+2＝196， ∴x 2+x ﹣2＝194， ∴（x 12+x −12）2＝x +x ﹣1+2＝16， ∵x 12+x −12＞0， ∴x 12+x −12=4，∴原式=4+4194−200=−43．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，若p 是真命题，则当m ＝0时，﹣2x +12＞0不都成立，当m ≠0时，{4−2m ＜0m ＞0，解得m ＞2， ∴p 真时，m ＞2；若q 真，则方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根，∴16（m ﹣2）2﹣16＜0，∴q 真时，1＜m ＜3．∵命题p ，q 有且只有一个是真命题，∴p 真q 假或p 假q 真．当p 真q 假时，m ＞2且m ∈（﹣∞，1]∪[3，+∞），∴实数m 的取值范围是[3，+∞）；当p 假q 真时，m ≤2且1＜m ＜3．∴实数m 的取值范围是（1，2]．综上，实数m 的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．19．（12分）已知函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， （1）确定f （x ）的解析式；（2）用定义证明：f （x ）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）根据题意，函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， 则有f （0）=b −1=0，则b ＝0； 此时f （x ）=x x 2−1，为奇函数，符合题意， 故f （x ）=x x 2−1， （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，f （x 1）﹣f （x 2）=x 1x 12−1−x 2x 22−1=−(x 1x 2+1)(x 1−x 2)(x 12−1)(x 22−1)又由﹣1＜x 1＜x 2＜1，则（x 1﹣x 2）＜0，x 1x 2+1＞0，（x 12﹣1）＜0，（x 22﹣1）＜0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f （t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （t ﹣1）＜﹣f （t ）⇒f （t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{−1＜t −1＜1−1＜t ＜1t −1＞−t，解可得：12＜t ＜1，即不等式的解集为（12，1）． 20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中E （0，1）（0＜t ≤25），AF ⊥x 轴，垂足为F ；曲线BC 是抛物线y ＝﹣ax 2+50（a ＞0）的一部分；CD ⊥OD ，垂足为D ，且CD 恰好等于E 的半径，假定拟建体育馆的高OB ＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF 用a 和t 表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．解：（1）由抛物线方程得：B（0，50）∴BE＝50﹣t，∵BE，CD均为圆的半径，∴CD＝50﹣t，圆E的半径为：50﹣t，∴C（x C，50﹣t），代入抛物线方程可得50﹣t＝﹣a x C2+50，解得x C=√t a，∵曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，t），AF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝AE＝50﹣t，∴DF＝OF+OD＝50﹣t+√ta，（0＜t≤25）．（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，∴DF=50−t+√ta≤75，整理可得：a≥1t+625t+50，∵t∈（0，25]，∴t+625t≥2√625=50（当且仅当t＝25时取等号），∴1t+625t +50≤1100，a≥1 100，∴a的取值范围为：[1100．+∞）．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．解：由题意得，2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，则A＝{x|0≤x≤2}，（1）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵x2﹣x+a﹣a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣1+a）＜0，①当a＝1﹣a，即a=12时，B＝∅，满足题意，②当a＜1﹣a，即a＜12时，B＝{x|a＜x＜1﹣a}，则{a ≥01−a ≤2，∴0≤a ＜12， ③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，则{1−a ≥0a ≤2，∴12＜a ≤1， 综上，a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}．（2）集合A 中有3个整数0，1，2，①当a ＝1﹣a ，即a =12时，B ＝∅，不满足题意，②当a ＜1﹣a ，即a ＜12时，B ＝{x |a ＜x ＜1﹣a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤a ＜0，1＜1﹣a ≤2，∴﹣1≤a ＜0，若B 中仅有整数1，2，则0≤a ＜1，2＜1﹣a ≤3，无解，则﹣1≤a ＜0，③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤1﹣a ＜0，1＜a ≤2，解得1＜a ≤2，若B 中仅有整数1，2，则0≤1﹣a ＜1，2＜a ≤3，无解，则1＜a ≤2，∴a 的取值范围为[﹣1，0）∪（1，2]．22．（12分）对于定义域为D 的函数y ＝f （x ），如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足；①f （x ）在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x 2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x 不存在“优美区间”．（3）已知函数y =ℎ(x)=(a 2+a)x−1a 2x （a ∈R ，a ≠0）有“优美区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．解：（1）∵y =12x 2在区间[0，2]上单调增．又∵f （0）＝0，f （2）＝2，∴值域为[0，2]，∴区间[0，2]是f （x ）＝x 2的一个“优美区间”．（2）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞），∴函数g(x)=4+6x 在[m ，n ]上单调递减．若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{4+6m =n(1)4+6n =m(2)， 由（1）﹣（2）得：6m −6n =n −m ，∴6(n−m)mn =n −m ， ∵n ＞m ，∴mn ＝6，∴n =6m ．代入（1）等式不成立，∴函数g(x)=4+6x不存在优美区间．（3）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞）， ∴函数y =(a 2+a)x−1a 2x =a+1a −1a 2x 在[m ，n ]上单调递增． 若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{ℎ(m)=m ℎ(n)=n ， ∴m 、n 是方程a+1a −1a 2x =x ，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x +1＝0的两个同号且不等的实数根． ∵mn =1a 2＞0， ∴m ，n 同号，只须Δ＝a 2（a +3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3，∵n −m =√(n +m)2−4mn =√(a 2+a a 2)2−4a 2 =√−3(1a −13)2+43， ∴当a ＝3时，n ﹣m 取最大值2√33．。
2024-2025学年江苏省南通市高一上学期11月期中数学试题(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市高一上学期11月期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1}，B={y|y=x+1,x∈A}，则A∩B=( )A. {−1,1}B. {0,1}C. [1,+∞)D. [0,+∞)2.“m<2”是“|m−1|<1”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是( )A. 若a<b，则1a >1bB. 若1a>1b，则a<bC. 若a>b，则ac2>bc2D. 若ac2>bc2，则a>b4.已知函数f(x−1)的定义域为(2,4)，则函数f(x)+f(x2)的定义域为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (1,4)D. (1,9)5.若2a=5b=20，则2a +1b=( )A. 0B. 1C. 2D. 36.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x+2x，则当x<0时f(x)的取值范围是( )A. (−∞,22]B. (−∞,−22]C. [22,+∞)D. [−22,+∞)7.若命题“∀x∈[3,6]，不等式x+1−k−x+7>0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,7)C. (2,7)D. (7,+∞)8.存在三个实数a1，a2，a3，满足下列两个等式： ①a1a2a3=2; ②a1+a2+a3=0，其中M表示这三个实数a1，a2，a3中的最大值，则( )A. M的最大值是2B. M的最小值是2C. M的最大值是2D. M的最小值是236二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )A. log45⋅log58=1log89⋅log94B. log62−log82=log84−log64C. (lg2)2+lg2⋅lg5+lg50=2D. 若3a=10，log925=b，则log25=aa−b．10.已知函数f(x)满足f(x +y)=f(x)+f(y)−4，下列结论正确的是( )A. f(0)=4B. f(−2)+f(2)=8C. f(x)−4为奇函数D. f(x)−4为偶函数11.已知a >0，b >0，4a +b =ab ，则下列结论正确的有( )A. ab 的最小值为4B. a +b 的最小值为9C. a +1a +4(b +1b )的最小值为10D. 16a 2+b 2的最小值为128三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。