挠曲轴系横向振动计算及分析
曲轴轴系的扭转振动讲解
I12 k1,2 1
1
1
I 2 2
0 k1,2 1
I1 I2 k
I1I2
2、双质量扭振系统
A1
A1 I1
A2
I2
A2
结点
3、多质量扭振系统
4、三盘解例
4、三盘解例
设3盘的直径为1m，质量分别为500kg, 1000kg和1500kg。L1=L2=75cm， d=12cm，材料的剪切模量 G=8×109N/m2
相当于在强迫振动的基础上，叠加有阻尼的自由振动。
h
B
h
2
2 p2 2 4n2 p2
1
p
2
2
2n
2
p
2
2n p
2np arctan
2 p2
arctan
1
p 2
2n
B B0
,
B0
h
2
1
1
p
2
2
2
p
2
p
arctan
1
p
2
强迫振动的幅频特性和相频特性
第四节 曲轴轴系的扭转振动
• 曲拐作用力大小和方向变化 • 阻力矩的变化
产生曲轴的扭转振动和弯曲振动。
曲轴的弯曲刚度大，固有频率高，不易产生弯曲振动。 曲轴的扭转刚度小，扭振频率低，易产生扭振。
一、自由扭转振动
1、单质量扭振系统
I k 0
2 0
0
cost
0
sin t
Asin t
二、单质量有阻尼强迫扭转振动
1、单质量有阻尼扭振
阻尼力矩：R －C
I C k 0 2n 2 0
R
Aent sin 2 n2t
03-3 梁的横向振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固 有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
★取微段dx，如图所示， 用 Q(x,t) 表 示 剪 切 力 ， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方 程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
燕山大学机械工程学院
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
船舶柴油机的轴系扭转振动的分析与研究
船舶柴油机的轴系扭转振动的分析与研究【摘要】本文通过一些国内因轴系扭转振动而引起的断轴断桨的事故实例，来分析引起轴系扭转振动的主要原因，分析扭振主要特性，并提取一些减振和防振的基本控制措施。
【关键词】船舶柴油机轴系扭振危害分析措施在现代船舶机械工程中，船舶柴油机轴系扭转振动已经成为一个很普遍的问题，它是引起船舶动力装置故障的一个很常见的原因，国内外因轴系扭转而引起的断轴断桨的事故也屡见不鲜，随着科学水平的提高和航运业的发展，人们越来越重视船舶柴油机组的轴系扭转振动，我国《长江水系钢质船舶建造规范》和《钢质海船入级与建造规范》（简称《钢规》）和也均规定了在设计和制造船舶过程中，必须要向船级社呈报柴油机组的轴系扭转振动测量和计算报告，以此来表明轴系扭转振动的有关测量特性指标均在“规范”的允许范围内。
1 船舶柴油机轴系扭转振动现象简介凡具有弹性与惯性的物体，在外力作用下都能产生振动现象。
它在机械，建筑，电工，土木等工程中非常普遍的存在着。
振动是一种周期性的运动，在许多场合下以谐振的形式出现的，船舶振动按其特点和形式可分为三种，船体振动，机械设备及仪器仪表振动，和轴系振动。
船舶柴油机轴系振动按其形式可分为三种：扭转振动，纵向振动，横向振动。
柴油机扭转振动主要是由气缸内燃气压力周期性变化引起的，它的主要表现是轴系上各质点围绕轴系的旋转方向来回不停的扭摆，各轴段产生不相同的扭角。
纵向振动主要是由螺旋桨周期性的推力所引起的。
横向振动主要是由转抽的不平衡，如螺旋桨的悬重以及伴流不均匀产生的推力不均匀等的力的合成。
船舶由于振动引起的危害不但可以产生噪音，严重影响旅客和船员休息，还会造成仪器和仪表的损害，严重的时候甚至出现船体裂缝断轴断桨等海损事故，直接影响船舶的航行安全。
而在船舶柴油机轴系的三种振动中，产生危害最大的便是扭转振动，因扭转振动而引起的海损事故也最多，因此对扭转振动的研究也最多。
而且当柴油机轴系出现扭转振动时，一般情况下，船上不一定有振动的不适感，因此这种振动也是最容易被忽视的一种振动形式，一旦出现扭转振动被忽视，往往意味着会发生重大的事故。
梁的挠曲与振动
梁的挠曲与振动文中关于梁的挠曲与振动的内容，可以按照以下方式进行论述：梁是一种常见的结构元件，主要用于支撑和传递载荷。
在工程应用中，梁的挠曲和振动问题是一个重要的研究方向。
本文将从梁的基本理论开始，介绍梁的挠曲和振动原理，以及相关的方法和应用。
一、梁的基本理论梁的基本理论包括梁的结构模型、梁的受力分析和梁的位移方程。
在这一部分中，我们将详细介绍梁的结构模型，如欧拉梁理论和蒙元梁理论，并推导出梁的受力分析和位移方程的表达式。
二、梁的挠曲理论梁的挠曲是指在受力作用下，梁发生的曲度变形。
这部分将介绍梁的弯曲应力和挠曲变形的计算，包括梁的弯矩-曲率关系、梁的挠度和梁的挠曲曲线等内容。
同时，还可以讨论梁的挠曲问题在工程中的应用，如在梁设计中的影响因素和设计原则。
三、梁的振动理论梁的振动是指梁在受到外力激励后产生的自由振动或强迫振动。
这部分可以介绍梁的振动特性，如梁的共振频率、振型和振动响应等内容。
同时，还可以讨论梁的振动问题在工程中的应用，如梁的减振措施和振动测试方法等。
四、梁的挠曲与振动的分析方法在梁的挠曲与振动分析中，有多种数值分析方法可以应用，如有限元方法和模态分析等。
本部分可以介绍这些分析方法的基本原理和步骤，并以实例说明其在梁的挠曲与振动分析中的应用。
五、梁的挠曲与振动的应用梁的挠曲与振动问题在工程中具有广泛的应用背景。
这部分可以以实例的形式介绍梁的挠曲与振动问题在不同领域的应用，如桥梁结构、航空航天和机械工程等，以及相应的安全性评估和优化设计等内容。
六、总结通过对梁的挠曲与振动的论述，我们可以得出结论，总结研究的结果和成果，并思考未来在这一领域的发展方向。
同时，还可以指出该领域的研究挑战和存在的问题，为进一步的研究提供借鉴和启示。
以上所述为梁的挠曲与振动文章的一个可能的论述框架，具体内容需要根据实际情况进行发挥和拓展，以充分满足文章的字数要求和信息表达的完整性。
振动力学(梁的横向振动)
l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u
x2
A
2u t 2
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
EI ,
A
C sin
水轮发电机轴系横向振动分析
的 Ｇ ｌ ｋｎ方法 ，简称 Ｔ Ｇ法 该方法表现 出较小的数值漂移 ， ａ ｒｉ ｅ Ｄ 适用于 Ｍ， Ｃ和 Ｋ是 瞬态变化的情况采用该方法 能够 导出高精 度和稳定收敛 的有 限元计算方法 因此 ， 作者采 用 Ｔ Ｇ方法求解 Ｄ 水轮发电机轴 系横 向振动的动力响应问题。
另外， 可将 Ｕ ｔ （ 在时间域 Ｉ 上进行 Ｈ ｒ ｉ 插值 ， ） ｎ ｅ ｔ ｍｅ 该插值函
一
（ １ ）
式中： Ｕ为系统状态向量矩阵， ＝ｘ’ ｘ，ｖ …， ０ ， ｕ ｛『 。 ：０ ， ｘ， Ｙ， ０， ２ ０ 一 ， 一 Ｙ， ０ … Ｙ， ０ ｝其元 素 由单元 结点的位移和转 角构成 ；
阻尼 力 形 式 的系 统 约 束 力 的等 效 阻尼 ， 同 时 也考 虑 了系 统 的 陀 Ｍ 为系统等效质量矩阵； Ｃ为 系 统 等 效 阻 尼矩 阵 ， 矩 阵考 虑 了 该
水轮 发电机组的振动 问题一直是机组设计、制造 和运 行维 护方面的重要课题长 期以来 ，许多人试 图用常规有限元法解决
ｊ ＵＡＵＦ ＋１＝
Ｉ Ｉ ｕ Ｕ。 ０ ：
水轮发 电机组轴系的横向振动 响应 问题 ， 由于该对象 的特 殊性 ，
效果都不理想 目前， 自振特性的求解 已有合适的方法， 作者采用 改进 的 Ｔ Ｇ方法—— 不连续的时间有 限元 法， Ｄ 研究水轮发 电机
组 轴 系横 向振 动 的动 力 响 应 问题 。
Ａ ｏ ＝
【
＝） ｛ｒ ＝一 ＝ ：
２ 不连续时间域有限元法应用于结构动力响应计算 ． ２
考 虑 一 个 时 间 区 间 划 分 Ｉ （， ） 它 的 形 式 为 ０ ｔ ｔ 一 ＜ ＝０Ｔ ， ：０ ， ＜
１ 水 轮发 电机轴 系横 向振 动动 力 响应 的 有 限
某大型自航耙吸挖泥船轴系振动测试研究
谐次共振转速。轴系扭转振动测量与计算频率对比如表 3 所
示。
表 3 共振转速、实测频率
节数 谐次 共振转速 实测频率 计算频率 相对误差 测点振幅
r / min
l/ min
l/ min
％
（deg）
6
3 .5
41 5.2 3
1453.31
13 85.5 9
4 .89
0.0920
由上表 比较可知，轴系计算频率与 实测频率的相对误差 为 4.8 9%，满足船级社规范要求，故可以根据测点振幅按自 由振动的 Holze r 表 进行推算轴系各部件承受的扭振力矩或 扭应力，计算结果如表 4。
表 1 共振转速、实测频率
节数 谐次
共振 转速 r /m in
实测频率 计算频率 相对误差 测点振幅
l/ min
l/ min
％
（ deg）
6
3.5
42 1.7 5
1476.13
1385.59
6.53
0.0 609
由上表 比较可知，轴系计算频率与 实测频率的相对误差 为 6.5 3%，满足船级社规范要求，故可以根据测点振幅按自 由振动的 Holze r 表 进行推算轴系各部件承受的扭振力矩或 扭应力，计算结果如表 2。
一、测试条件 此次测试研究的依据是根据 GB / T3 47 1- 1 99 5《海船系 泊和航行试验 通则》、《钢质海船入级 规范（20 0 6）》和该挖 泥船航行试验大纲进行。采用的设备主要是 ZDCL-IV 轴系振 动测量分析仪。船舶主要参数如下： 船体总长：1 57 .80 m 型宽：2 7.0 0m 型深：1 0.5 0m 设计吃水（国际干舷）：7.5 0m 泥舱名义舱容：1 3,2 80 m 2 航速：1 5.5 kn ot s 主机型：号 8 L4 8/ 60 B 主机额定功率：8 ,93 0k W 主机额定转速：5 14 r / m in 二、轴系扭振测试 导致船舶推进 轴系扭转振动的主要因素 有柴油机的间歇 性喷油与燃烧 、输出扭矩的不均匀性齿轮 系统的误差激励和 啮合冲击激励 船舶推进轴系部件的安装上 的不对中、材料的 不均匀、加工 的不精确，以及自身质量的 不平衡螺旋桨在船 舰不均匀流场 中旋转产生对轴系的不均匀 的激励。严重的扭 转振动将导致 曲轴与柴油机与轴系的布置 相关、中间轴断裂 弹性联轴器连 接螺栓切断弹性元件碎裂传 动齿轮齿面点蚀和 齿断裂凸轮轴断裂局部轴段发热等等。 1．测试方法与内容 测试时，在主 机飞轮位置布置数齿传感 器，把信号接入 ZDC L- IV 轴系振动测量分析仪，由电脑自动记录数据 。测 试内容分为两 种：螺旋桨合排，变螺距工 作；螺旋桨合排，
轴向运动功能梯度梁横向振动问题的
第２０卷第６期２０２２年１２月动力学与控制学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬＶｏｌ．２０Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２０２２文章编号：１６７２ ６５５３ ２０２２ ２０（６） １０１ ０５ＤＯＩ：１０．６０５２／１６７２ ６５５３ ２０２２ ０４７ ２０２２ ０８ ２０收到第１稿，２０２２ ０９ ２８收到修改稿．国家自然科学基金资助项目（１２１７２２８１，１１９７２２８４），基础加强１７３计划基金项目（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），陕西省科技创新团队资助（２０２２ＴＤ ６１）和陕西高校青年教师创新团队资助 通信作者Ｅ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析刘涛１ 周洋忻２ 胡伟鹏２（１．榆林市城市投资经营集团有限公司，榆林 ７１９０００）（２．西安理工大学土木建筑工程学院，西安 ７１００４８）摘要 轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁振动问题分析提出了严峻挑战．本文在简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型基础上，基于无限维动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，构造了横向振动模型的保结构数值格式，并在给定材料参数时给出了数值格式具有良好保结构性能的条件．分别采用微分求积法、复模态法和保结构方法分析横向振动模型的前六阶频率，发现保结构方法得到的频率结果与复模态法得到的结果吻合较好，在此基础上分析了微分求积法的主要误差来源，以指导微分求积法的改进，并为复杂动力学系统的数值求解提供了新途径．关键词 保结构， 轴向运动功能梯度梁， 对称破缺， 广义多辛， 横向振动中图分类号：Ｏ３０２文献标志码：Ａ引言功能梯度材料由于控制界面的成分和组织连续变化，使材料的热应力大为缓和，而在航空航天、机械工程、生物医药等领域应用广泛［１ ３］．智慧建造［４］这一全新概念的提出，使得传统单一均匀材料无法满足建筑设计工程的需求，因此，功能梯度材料将是未来实现很多智慧建造特殊功能的不二选择．作为智慧建造中的基本力学构件，功能梯度梁的动力学行为分析尤为重要．特别是在装配式智慧建造过程中，功能梯度梁运输及吊装过程的横向振动特性对运输和吊装过程的稳定性影响显著．Ｓａｎｋａｒ［５］基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁理论，得到了横向载荷作用下功能梯度梁弹性范围内的解．Ｒｅｄｄｙ［６］基于ｖｏｎＫａｒｍａｎ几何非线性理论，建立了功能梯度梁的非线性Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁模型和Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁模型．丁虎［７］、王忠民等［８］轴向运动功能梯度梁振动模型，并分别采用伽辽金法和微分求积法分析其振动特性，为本文分析功能梯度梁横向振动过程奠定了基础．刘金建等［９］基于Ｅｕｌｅｒ梁理论研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题．Ｂａｌｉｒｅｄｄｙ和Ｐｉｔｃｈａｉｍａｎｉ［１０］分析了时变轴向载荷作用下功能梯度梁振动特性及稳定性．从本质上讲，功能梯度梁的材料非均匀性和梁式结构的轴向运动均属于动力学对称破缺［１１］因素．对于含有对称破缺因素的动力学系统，本课题组基于多辛分析方法，建立了广义多辛分析方法［１２］这一保结构理论框架，并解决了一系列复杂动力学问题［１３ １６］．因此，本文将基于保结构思想，分析轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性，为功能梯度梁的横向振动控制提供参考．１ 轴向运动功能梯度梁横向振动模型本节参考文献［８，９］，简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型的建立过程．考虑一轴向运动的简支功能梯度矩形截面梁（图１），梁长度为Ｌ，横截面宽度为ｂ、高为ｈ，轴向运动速度为定常速度，大小为η．为了刻画材料特性沿界面高度方向的梯度，假定功能梯度材料有效杨氏模量和有效Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷密度均为ｚ坐标的函数，即Ｅ（ｚ）和ρ（ｚ）．图１ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．１ Ｐｈｙｓｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ以含两种组分（如金属材料和陶瓷材料）的功能梯度材料为例，其有效材料参数可表述为：Ｅ（ｚ）＝（Ｅｃ－Ｅｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋Ｅｍ ＝Ｅｍ［（βＥ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］ρ（ｚ）＝（ρｃ－ρｍ）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋ρｍ ＝ρｍ［（βρ－１）（ｚ／ｈ＋１／２）ｋ＋１］（１）其中Ｅｃ，Ｅｍ，ρｃ，ρｍ分别为两种材料组分的物理参数，βＥ＝Ｅｃ／Ｅｍ，βρ＝ρｃ／ρｍ，ｋ为梯度指标．需要说明的是，从式（１）即可推导出功能梯度梁的中性层与几何对称中心重合．基于Ｅｕｌｅｒ Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ梁基本假设，依据文献［８］，功能梯度梁上任意点的位移可由梁轴线上任意点的轴向位移ｕ（ｘ，ｔ）和横向位移ｗ（ｘ，ｔ）表述：ｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｔｕｚ（ｘ，ｚ，ｔ）＝ｗ（ｘ，ｔ）（２）功能梯度梁上任意点的正应变分量和正应力分量分别为：εｘ＝ ｘｕ－ｚ ｘｘｗσｘ＝Ｅ（ｚ）εｘ＝Ｅ（ｚ）（ ｘｕ－ｚ ｘｘｗ）（３）由其描述的梁的应变能可表述为：Ｕ＝１２∫Ｌ０∫ＡσｘεｘｄＡｄｘ ＝１２∫Ｌ０［Ｄ１（ ｘｕ）２－２Ｄ２ ｘｕ ｘｘｗ＋ Ｄ３（ ｘｘｗ）２］ｄｘ（４）其中，Ａ为梁的横截面面积，并且：（Ｄ１，Ｄ２，Ｄ３）＝∫ＡＥ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ功能梯度梁上任意点两个方向的速度分量分别为：ｖｘ＝ ｔｕｘ（ｘ，ｚ，ｔ） ＝ ｔｕ（ｘ，ｔ）－ｚ ｔｘｗ（ｘ，ｔ）＋ηｖｚ＝ ｔｗ（ｘ，ｔ）＋η ｘｗ（ｘ，ｔ）（５）由此描述的梁的动能可表述为：Ｋ＝１２∫Ｌ０∫Ａρ（ｚ）（ｖ２ｘ＋ｖ２ｚ）ｄＡｄｘ＝ １２∫Ｌ０｛Ｉ１［（ ｔｕ）２＋η２＋２η ｔｕ＋（ ｔｗ）２＋ η２（ ｘｗ）２＋２η ｔｗ ｘｗ］－２Ｉ２η ｔｘｗ－ ２Ｉ２ ｔｕ ｔｘｗ＋Ｉ３（ ｔｘｗ）２｝ｄｘ（６）其中（Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３）＝∫Ａρ（ｚ）（１，ｚ，ｚ２）ｄＡ由哈密顿原理，忽略梁的轴向惯性力及其由轴向惯性力诱导的横向分布载荷项，并消去轴向位移项，得到轴向运动功能梯度梁横向振动方程：（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１） ｘｘｘｘｗ－（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１） ｔｔｘｘｗ＋ Ｉ１（ ｔｔｗ＋η２ｘｘｗ＋２η ｔｘｗ）＝０ｗｉｔｈｗ（０，ｔ）＝０ｗ（Ｌ，ｔ）＝０ｘｘｗ（０，ｔ）＝０ ｘｘｗ（Ｌ，ｔ）＝{０（７）２ 振动模型的近似对称形式及保结构离散引入如下中间变量： ｔｗ＝ ｘψ＝Ｄ１φ－Ｄ１Ｉ１χＤ２Ｉ２－Ｄ１Ｉ３， ｘｗ＝φ， ｘχ＝φ，并定义状态向量：ｚ＝（ｗ，φ，χ，ψ，φ）Ｔ，轴向运动功能梯度梁横向振动方程（不含边界条件）可以写成如下近似一阶对称形式：Ｍ ｔｚ＋Ｋ ｘｚ＝ ｚＳ（ｚ）＋τ（ｚ）（８）其中，Ｍ，Ｋ∈Ｒ５×５为反对称矩阵：Ｍ＝００００１０００００００００００００００－１００００，Ｋ＝ ０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０００００１０拟哈密顿函数为：Ｓ（ｚ）＝－１２［Ｉ１η２ｗ２＋（Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１）φ２－２０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析 Ｉ１χ２＋（Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１）ψ２］余项为：τ（ｚ）＝［－２Ｉ１ηψ，０，φ，０，０］Ｔ．与标准的多辛形式不同，近似对称形式含有如下对称破缺因素［１１］：①系数矩阵Ｍ，Ｋ及哈密顿函数Ｓ（ｚ）显含空间变量；②哈密顿函数梯度存在余项τ（ｚ）；③系数矩阵Ｍ非严格地反对称，因此将其分解Ｋ＝Ｋ＋Ｋ⌒０Ｄ３－Ｄ２２Ｄ１００１／２Ｄ２２Ｄ１－Ｄ３０００００００Ｉ２Ｄ２Ｄ１－Ｉ３０００Ｉ３－Ｉ２Ｄ２Ｄ１０－１／２－１／２００１／２０＋００００１／２００００００００００００００１／２１／２００１／２０ ①和③两个对称破缺因素引起的横向振动模型多辛结构残差和局部能量耗散均可以参照文献［１１］显式给出，第②个对称破缺因素在模拟仿真中的处理方式可参照参考文献［１７］进行．为避免与已有工作重复，在此不给出详细表达式和具体处理步骤，只在模拟结果中给出离散的多辛结构残差，以间接证明后续构造算法的有效性和保结构性能．在梁长度方位内（０≤ｘ≤Ｌ）采用空间步长进行均匀划分单元，并对系统采用时间步长进行Ｐｒｅｉｓｓｍａｎｎ离散，得到保结构差分格式：Ｍδ＋ｔｚｊｉ＋１／２＋Ｋδ＋ｘｚｊ＋１／２ｉ＝ ｚＳ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）＋τ（ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２）（９）其中：ｚｊ＋１／２ｉ＋１／２＝１４（ｚｊｉ＋ｚｊｉ＋１＋ｚｊ＋１ｉ＋ｚｊ＋１ｉ＋１），δ＋ｘ，δ＋ｔ均为一阶前向差分．限于篇幅，格式的展开形式和消参后的形式不再给出，同时，离散的多辛结构残差和离散的局部能量耗散项也不再列出．需要强调的是，多辛结构残差是衡量格式保结构性能的重要依据，后续在数值结果中会详细讨论．３ 数值算例为了将结果与文献［８，９］的部分结果进行对比，材料参数取值如下：Ｅｃ＝３９０ＧＰａ，Ｅｍ＝２１０ＧＰａ，ρｃ＝３９６０ｋｇ／ｍ３，ρｍ＝７８００ｋｇ／ｍ３．为保证数值格式的保结构性能，依照广义多辛理论［１２］，需要选取合适的时间步长使得在每一时间步内，离散的多辛结构绝对残差不超过差分格式的数值截断误差，即Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ），其中ｏ（Δｔ，Δｘ）为格式的数值截断误差．为了计算方便，忽略高阶项并取Δｔ／Δｘ＝０．５后，可以将数值截断误差上限估计值近似取为：ｏ（Δｔ，Δｘ）≤［ｏ］＝７Δｔ２（１０）在考虑梯度指标取值较大的情形下，确定容许的最大时间步长．取ｋ＝１０５，将时间步长取值从Δｔ＝０．００１ｓ逐渐增大，当式（１０）刚好严格满足时，得到最大允许时间步长为Δｔ＝０．０６４ｓ，此时的多辛结构残差与数值截断误差上限估计值之间的关系如图２所示．因此，在后续模拟过程中，取时间步长为Δｔ＝０．０５ｓ，空间步长为Δｘ＝０．１ｍ，就能保证所构造的格式具有良好的保结构性能．分别取ｋ＝０．００１，１００两种梯度指标，分别采用微分求积法（ＤＱＭ）［８］、复模态法（ＣＭＭ）［９］和保结构方法（ＳＰＭ）模拟轴向运动功能梯度梁的横向振动过程，得到梁的前六阶频率值如表１所示．从表１中不难发现，采用保结构分析方法得到的结果与复模态法得到的结果整体吻合较好．随着频率阶次升高，复模态法和保结构方法得到的频率结果明显低于微分求积法得到的结果．考察微分求积法的求解过程，可知微分求积法得到的结果产生以上偏差的主要原因在于以下两个方面：①在进行微分求积运算之前，将偏微分方程化为常微分方程过程中，只考虑了方程解的一阶频率分３０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报２０２２年第２０卷量而忽略了高阶频率分量；②微分求积法采用非均匀网格离散，无法判断每一时间步内不等式（Δｉ≤ｏ（Δｔ，Δｘ））的满足情况，不具有评价其保结构性能的条件．复模态法在一定程度上克服了上述两方面的问题，故得到的结果与本文保结构方法得到的结果吻合较好．上述结果表明，复模态法和保结构方法在分析轴向运动功能梯度梁横向振动问题中均具有较好的数值精度．图２ 轴向运动功能梯度梁的物理模型Ｆｉｇ．２ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅａｂｓｏｌｕｔｅｒｅｓｉｄｕａｌｏｆｔｈｅｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ表１ 前六阶频率结果对比（Ｈｚ）Ｔａｂｌｅ１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ（Ｈｚ）ｋＭｏｄｅＮｏ．ＤＱＭＣＭＭＳＰＭ１ｓｔ１８．０３８５１８．０３８５１８．０３８５２ｎｄ７２．５８０１７２．５３３９７２．５３３９０．００１３ｒｄ１６１．１９７５１６０．００１８１６０．００１８４ｔｈ２８９．８８０６２８６．２１４７２８６．２１４２５ｔｈ４５８．９３８０４５２．７３１１４５２．７０９６６ｔｈ６６６．２０３９６５９．９０１８６５９．３０８９１ｓｔ９．７８４９９．７８４９９．７８４８２ｎｄ３２．９０９１３２．２２８６３２．２２５９１００３ｒｄ８０．３６１０７８．４３９２７８．４２９８４ｔｈ１４８．１３１５１４４．３６１８１４３．８１００５ｔｈ２３７．２０２７２３１．２１５６２３０．９０３５６ｔｈ３４６．７７３８３３８．８０３３３３８．３２７１４ 结论基于动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法，本文针对轴向运动功能梯度梁横向振动的动力学模型，发展了保结构分析方法，并用于分析轴向运动功能梯度梁横向振动的频率分布情况．研究结果表明：本文构造的数值求解算法在求解步长满足给定条件时具有良好的保结构性能，得到的前六阶频率值与复模态法得到的结果吻合较好，同时分析了微分求积法得到的结果与保结构方法和复模态法得到的结果有明显差距的原因，为微分求积法的进一步改进指明了方向，也为轴向运动功能梯度梁横向振动这类复杂动力学问题的求解提供了新途径．参 考 文 献１ＲｅｄｄｙＪＮ，ＣｈｉｎＣＤ．Ｔｈｅｒｍｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒｓａｎｄｐｌａｔｅｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｈｅｒ ｍａｌＳｔｒｅｓｓｅｓ，１９９８，２１（６）：５９３～６２６２ＮａｅｂｅＭ，ＳｈｉｒｖａｎｉｍｏｇｈａｄｄａｍＫ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉａｌｓ：ａｒｅｖｉｅｗｏｆｆａｂｒｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙ，２０１６，５：２２３～２４５３ＢａｒｔｌｅｔｔＮＷ，ＴｏｌｌｅｙＭＴ，ＯｖｅｒｖｅｌｄｅＪＴＢ，ｅｔａｌ．Ａ３Ｄ ｐｒｉｎｔｅｄ，ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｓｏｆｔｒｏｂｏｔｐｏｗｅｒｅｄｂｙｃｏｍ ｂｕｓｔｉｏｎ．Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１５，３４９（６２４４）：１６１～１６５４ＴｕａｎＡＮ，ＡｉｅｌｌｏＭ．Ｅｎｅｒｇｙｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｂｕｉｌｄｉｎｇｓｂａｓｅｄｏｎｕｓｅｒａｃｔｉｖｉｔｙ：ａｓｕｒｖｅｙ．ＥｎｅｒｇｙａｎｄＢｕｉｌｄｉｎｇｓ，２０１３，５６：２４４～２５７５ＳａｎｋａｒＢＶ．Ａｎｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＣｏｍｐｏｓｉｔｅｓＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００１，６１（５）：６８９～６９６６ＲｅｄｄｙＪＮ．Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｃｏｕｐｌｅｓｔｒｅｓｓｔｈｅｏ ｒｉｅｓｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎ ｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓｏｆＳｏｌｉｄｓ，２０１１，５９（１１）：２３８２～２３９９７ＤｉｎｇＨ，ＣｈｅｎＬＱ．Ｇａｌｅｒｋｉｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎａｔｕｒａｌｆｒｅ ｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｎｄａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２０１０，３２９（１７）：３４８４～３４９４８姚晓莎，王忠民，赵凤群．轴向运动功能梯度梁的横向振动．机械工程学报，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ＹａｏＸＳ，ＷａｎｇＺＭ，ＺｈａｏＦＱ．Ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｂｅａｍｍａｄｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｍａｔｅｒｉ ａｌｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１３，４９（２３）：１１７～１２２（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））９刘金建，蔡改改，谢锋，等．轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析．动力学与控制学报，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ＬｉｕＪＪ，ＣａｉＧＧ，ＸｉｅＦ，ｅｔａｌ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃｂｅａｍｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１６，１４（６）：５３３～５４１（ｉｎＣｈｉ ｎｅｓｅ））１０ＢａｌｉｒｅｄｄｙＳＮ，ＰｉｔｃｈａｉｍａｎｉＪ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｕｒｏｆｂｉ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｓｕｂｊｅｃ ｔｅｄｔｏｖａｒｉａｂｌｅａｘｉａｌｌｏａｄ．ＭａｔｅｒｉａｌｓＴｏｄａｙＣｏｍｍｕｎｉｃａ ｔｉｏｎｓ，２０２２，３２：１０４０４３１１ＨｕＷ，ＷａｎｇＺ，ＺｈａｏＹ，ｅｔａｌ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ．ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓ，２０２０，１０３：１０６２０７４０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第６期刘涛等：轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析１２ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＨａｎＳＭ，ｅｔａｌ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｔｏｒｓｆｏｒａｃｌａｓｓｏｆｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｗａｖｅＰＤＥｓ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＰｈｙｓｉｃｓ，２０１３，２３５：３９４～４０６１３宋明哲，邓子辰，赵云平，等．含弱阻尼空间结构的耦合动力学保结构分析．动力学与控制学报，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ＳｏｎｇＭＺ，ＤｅｎｇＺＣ，ＺｈａｏＹＰ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｅｒｓｅｖｅｒｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｐａｔｉａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｗｉｔｈｗｅａｋｄａｍｐｉｎｇ．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＤｙｎａｍｉｃｓａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ，２０１９，１７（５）：４１９～４２４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ））１４ＨｕＷ，ＨｕａｉＹ，ＸｕＭ，ｅｔａｌ．Ｍｅｃｈａｎｏｅｌｅｃｔｒｉｃａｌｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｍｏｄｅｌｏｆｌｏｎｉｃ ｔｙｐｅｓｏｌｖｅｎｔ ｆｒｅｅｎａｎｏｆｌｕｉｄｓ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５９：１０７８３３１５ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＳｏｎｇＪ，ｅｔａｌ．Ｃｏｕｐｌｉｎｇｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｓｏｆｆｌｅｘｉｂｌｅｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇｈｕｂ ｂｅａｍｓｙｓｔｅｍ．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２１，１５１：１０７３８９１６ＨｕＷ，ＸｕＭ，ＺｈａｎｇＦ，ｅｔａｌ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｎｆｌｅｘｉｂｌｅｈｕｂ ｂｅａｍｗｉｔｈｓｔｅｐ ｖａｒｉａｂｌｅｃｒｏｓｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｍｅｃｈａｎｉ ｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０２２，１８０：１０９４２３１７ＨｕＷＰ，ＤｅｎｇＺＣ，ＷａｎｇＢ，ｅｔａｌ．Ｃｈａｏｓｉｎａｎｅｍｂｅｄｄｅｄｓｉｎｇｌｅ ｗａｌｌｅｄｃａｒｂｏｎｎａｎｏｔｕｂｅ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ，２０１３，７２（１ ２）：３８９～３９８ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ ＰＲＥＳＥＲＶＩＮＧＡＮＡＬＹＳＩＳＯＮＴＲＡＮＳＶＥＲＳＥＶＩＢＲＡＴＩＯＮＯＦＦＵＮＣＴＩＯＮＡＬＬＹＧＲＡＤＥＤＢＥＡＭＷＩＴＨＡＮＡＸＩＡＬＶＥＬＯＣＩＴＹＬｉｕＴａｏ１ ＺｈｏｕＹａｎｇｘｉｎ２ ＨｕＷｅｉｐｅｎｇ２（１．ＹｕｌｉｎＣｉｔｙＩｎｖｅｓｔｍｅｎｔＣｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｙｕｌｉｎ ７１９０００，Ｃｈｉｎａ）（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ，Ｘｉ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌ’ｓｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｉｔｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｇｒｅａｔｃｈａｌｌｅｎｇｅｏｎｔｈｅｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ．Ｉｎｔｈｉｓｗｏｒｋ，ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｉｓｒｅｖｉｅｗｅｄｉｎｂｒｉｅｆｆｉｒｓｔｌｙ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｍｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ，ａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｉｓｄｅｖｅｌｏｐｅｄ．Ｉｎｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｒｉｔｉ ｃａｌｓｔｅｐｌｅｎｇｔｈｓａｔｉｓｆｙｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅｇｉｖｅｎｍａｔｅｒｉａｌｐａｒａｍｅ ｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｅｍｐｌｏｙｉｎｇｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｆｒｏｍｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅ ｓｕｌｔｓ，ｉｔｃａｎｂｅｆｏｕｎｄｔｈａｔｔｈｅｆｉｒｓｔｓｉｘｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍｅｔｈｏｄａｒｅｈｉｇｈｌｙｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｗｉｔｈｔｈｏｓｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｍｏｄａｌｍｅｔｈｏｄ．Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｑｕａｄｒａｔｕｒｅｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｍａｉｎｆａｃｔｏｒｓｒｅｓｕｌｔｉｎｇｉｎｔｈｅｅｒｒｏｒａｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｗｏｒｋｉｓｐｒｏｐｏｓｉｎｇａｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｂｌｅｍｌｉｋｅｔｈｅｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙｇｒａｄｅｄｂｅａｍｗｉｔｈａｎａｘｉａｌｖｅｌｏｃｉｔｙ， ｓｙｍｍｅｔｒｙｂｒｅａｋｉｎｇ， ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｍｕｌｔｉ ｓｙｍｐｌｅｃｔｉｃ， ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅｖｉｂｒａｔｉｏｎＲｅｃｅｉｖｅｄ２０Ａｕｇｕｓｔ２０２２，ｒｅｖｉｓｅｄ２８Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２０２２．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａ（１２１７２２８１，１１９７２２８４），ＦｏｕｎｄａｔｉｏｎＳｔｒｅｎｇｔｈｅｎｉｎｇＰｒｏｇｒａｍｍｅＴｅｃｈｎｉｃａｌＡｒｅａＦｕｎｄ（２０２１ ＪＣＪＱ ＪＪ ０５６５），ｔｈｅＦｕｎｄｏｆｔｈｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉ（２０２２ＴＤ ６１）ａｎｄＦｕｎｄｏｆｔｈｅＹｏｕｔｈＩｎｎｏ ｖａｔｉｏｎＴｅａｍｏｆＳｈａａｎｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ ＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｕｔｈｏｒＥ ｍａｉｌ：ｗｐｈｕ＠ｎｗｐｕ．ｅｄｕ．ｃｎ５０１Copyright ©博看网. 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挠 曲轴 系横 向振动 计算 及分 析
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文 章 编 号 ：０ ６１５ （０ ０ ０ ．１９０ １ ０ ． ３ ５ ２ １ ） ６ ０ ２ —３
挠 曲轴 系横 向振 动 计 算 及分 析
沈永 凤 ，方 成 跃 ，张红 岩
（冲 国舰 船研 究设 计 中心 ，武 汉 ４ ０ ６ ；２海 军装备部 ，北京 １ ０ ７ ） １ ３ ０４ ． ０ ０ １
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而明显减小 。对于其他 边界条件 的轴 来说， 也具 有相 同的性质 。这对船舶设计 以及航 行的安全性具有 一定 的指 导意
义。
关键词 ： 振动与波； 系； 向振动； 轴 横 固有频率 ； 曲 挠
中 图分 类 号 ： ６ ．； ２ １ ２ Ｕ６４２ Ｏ ４ ． ８ 文献标识码： Ａ Ｄ０ 编码 ：０３ ６￣ｉ ｎ１０ ．３ ５ ０００ ．３ Ｉ １． ９ ．ｓ．０ ６１５ ． １．６ １ ９ ｓ ２ ０
ｉ ｔ ｅｅ ｎ ａｙ ｉ ｏ ｔ ｅＡＮＳ Ｓ ａ ｄ ｔ ｅｃ ａ ｇ ｆ ｈ ａｕ ａ ｅ ｕ ｎ ｙ ｏ ａ ｓ ｅ ｓ ｉｒ ｔ ｎ ｏ ｆ ｉ ｌ ｍｅ ｔ ｎ ｌ ｓｓｓ ｆ ｒ ｎ ｅ ａ ｗａ Ｙ ， ｎ ｈ ｎ ｅ ｏ ｅｎ ｔ ｒ ｌ ｒ ｑ ｅ ｃ ｆ ｒ ｎ ｖ ｒ ｅｖ ｂ ａ ｉ ｆ ｈ ｔ ｆ ｔ ｏ ｔ ｅｓ ａ ｎ ｌ ｚ ｄ Ｔ ｅ ｅ ｅ ｔ ｆ ｅ ｄ ｎ ｅ ｏ ａ ｉ ｎ ｏ ｅｓ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｉ ｓ ｄ ｅ ｔ ｅ ｈ ｈ Ｒｓ ｓａ ａｙ ｅ ． ｈ ｆ ｃ ｎ ｉ ｇ ｄ ｆ ｒ ｔ ｆ ｈ ｈ ｆ ｏ ｑ ｅ ｃ ｔ ｉｄ ｗｉ ｔ ｉ ｏ ｂ ｍ ｏ ｔ ｈ ｒ ｓ ｕ ｈ ｈ
摘 要 ： 据 某 近 海 拖 轮 的 推 进 系 统 ， 其 轴 系进 行 分 析 和 简化 ， 用 有 限 元 软 件 Ａ ＹＳ 别 建 立 正常 轴 系 和挠 根 将 利 ＮＳ 分 曲轴 系 横 向振 动 的 计算 模 型 ， 轴 系 的 固有 频 率 变 化 进 行 分 析 。通 过 数 值 模 拟 ， 究 轴 系 发 生弯 曲 的 情 况 下 ， 系 的 对 研 轴 弯 曲变 形 对 固有 频 率 的 影 响 。发 现 挠 曲轴 系 固 有 频 率 的大 小 比正 常 轴 系 的 固 有 频 率 要 小 ， 且 随 着 振 动 阶 数 的 上 升 而
（ ． ｉａＳ ｉ ｓ ａｃ ｎ ｓｇ ｎ ｅ，Ｗｕ ａ ３ ０ ４ １ Ｃｈｎ ｈｐＲｅ ｅ ｒｈａ ｄＤｅ ｉｎＣｅ ｔｒ ｈ ｎ ４ ０ ６ ，Ｃｈｎ ；２ Ｎａ ａ ｑ ｉｍｅ ｔ ｐ ｒ ｎ ， ｉａ ． ｖ ｌ ｕｐ ｎ ａｔ ｔ Ｅ Ｄｅ ｍｅ
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