圆在几何图形上滚动的数学(上)

圆在几何图形上滚动的数学（上）

吴乃华

由于圆的圆心具有到圆上的每个点的距离都相等的特点，圆在几何图形上无滑动地滚动，它在直线、折线、曲线以及角的顶点上滚动的情况是不同的：在直线上圆心和它的圆周同时运动，在曲线上，不仅圆心和它的圆周同时运动，滚动着的圆还随着弧度的不同，随时在改变运行的方向：在角的顶点上，圆周的切点不动，而圆心旋转。不仅如此，圆在几何图形上作无滑动地滚动，在图形内和在图形外也是不同的。这些，都是值得我们从数学的角度来探讨的。

下面分五个方面来叙述：

A、圆在圆上滚动

1、引例：在直线上是滚动

2、在圆上滚动的距离．

3、在圆周上滚动的圈数

B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动

1、在折线外侧滚动

2、在正方形外滚动

3、在三角形外滚动

4、在凸多边形上滚动

C、在折线内侧和在封闭图形内滚动所转的圈数

1、在折线的内侧滚动

2、在圆内滚动

a、转的圈数

b、转的长度

D、圆滚动扫过的面积

1、圆在封闭图形外滚动扫过的面积

2、圆在封闭图形内滚动扫过的面积

E、综合练习

A、圆在圆上滚动

1、引例：在直线上的滚动

例1、如图，一个半径为r厘米的圆形硬币，沿着桌面一条长6r

p厘米的直线作无滑动的滚动，从头到尾，硬币要滚动几周？

【解】：如图中所示，下面的实线表示平面上的直线，上面的虚线是表示硬币圆心运动的轨迹。

已知圆形硬币的半径为r厘米，它的周长是2r

p，桌面上的直线长6r

p厘米，所以，硬币从一端滚动到另一端，滚动了：6r

p÷2r

p＝3（周）

观察如上图形，有两点事实是特别值得我们关注的：

一是圆在直线上滚动，从起点到终点，一直不曾改变过运动的方向：

二是圆在直线上滚动，它的圆心也是沿着直线运动的。它运动的轨迹长度与圆周滚动的路程是相等的，即圆滚动一周，圆心也走过这个圆的周长的路程。

由此，我们还可以推断：不管圆在何处滚动，圆周上的一点的转动的长度，一定等于该圆的圆心所运动的轨迹长度的。

所以，要求得一个圆滚动的周数，就得要找到这个圆的圆心运动轨迹。

2、在圆上滚动的距离

题2、如图，⊙O

1，⊙O

2

，⊙O

3

，⊙O

4

的半径都1，其中⊙O

1

与⊙O

2

外切，⊙O

2

，

⊙O

3，⊙O

4

两两外切，并且O

1

，O

2

，O

3

三点在同一直线上．

（1）请直接写出O2

2O

4

的长；

【解】：因为O

2、O

4

的半径都为1，知O

2

O

4

＝1＋1＝2

（2）若⊙O

1沿图中箭头所示方向在⊙O

2

的圆周上滚动，

最后⊙O 1滚动到⊙O 4的位置上，试求在上述滚动过程中圆心O 1移动的距离（精确到0.01）．（2008年泉州市中考试题）

【解】：连接O 3O 4，

∵O 2O 3＝O 3O 4＝O 2O 4＝1＋1＝2，

∴△O 2O 3O 4为等边三角形，则∠O 4O 2O 3＝60?， ∴∠O 1O 2O 4＝180?－∠O 4O 2O 3＝120?． 又O 1O 2＝O 2O 4＝2， ∴圆心O 1移动的距离为：1202180p ′＝4

3

p ≈4.19．

例3、A 、B 两个圆形的硬纸片，B 圆的半径是5厘米，是A 圆的半径的三分之一，如果让B 圆绕A 圆无滑动地滚一圈，那么B 圆的圆心移动的路程长度是多少厘米？

【解】：解答这道题，根据前面的归纳，是十分简单的。

A 圆的半径是：5÷1

3

＝15（厘米）

A 、

B 两个圆形的硬纸片的半径的和是：15＋5＝20（厘米） 所以，B 圆的圆心移动的路程长度是：3.14×20×2＝125.6（厘米）

例4、下图是由7个半径均为r 的圆形连贯而成的图形。若半径为r 的⊙O 沿着7个半径均为r 的圆形连贯而成图形的边缘滚动，这时滚动的圆沿着怎样的轨迹运动？滚动的距离是多少？

【解】：用L 表示弧长，在半径是r 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长，所以n °的圆心角所对的弧长为：L ＝

360n 2r p ·＝

180

n r

p 。 因为 ⊙A ，⊙B ，⊙C 两外切， 知，A B ＝BC ＝AC ＝2r ， ∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60?， ∴∠BAO ＝120?． 滚动的路径之和L ＝5弧B D ＋2弧OB

＝5×

602180r p ′＋2×120180r p ＝103r p ＋83r p ＝183

r

p ＝6π

所以，滚动的距离是6π。

例5、如图，将4枚半径为1cm 的硬币按如图的方式放在桌上，其圆心在同一直线上，且从左至右依次外切．现固定其中的第1、2、3枚，而第4枚沿着它们的边缘从⊙O 的位置无滑动的滚动到⊙O ′的位置，则第4枚硬币的圆心滚过的路径长是多少厘米？

【解】：如图所示，滚动的路径：120?的弧2个， 60?的弧1个。

所以，第4枚硬币的圆心滚过的路径长为：

1202180p ′＋602180p ′＋1202180p ′＝103

p

（厘米）．

可以这样说：圆在曲线上运动的路程均为几段弧的长度之和。解决问题的关键在于：确定弧所在圆的圆心角的度数及哪几段弧．

3、在圆周上滚动的圈数

我们知道，滚动圆滚动的周数，取决于滚动圆的圆心运动的路程。

例6、半径都为r 的7个圆，排成一条直线。第一个圆为动圆，其余6个为定圆。第一个圆从A 的位置，从第二个圆起，顺次滚过这6个圆，直到B 点停下。在这一过程中，第一个圆自身绕圆心旋转了多少圈？

【解】：第一个圆滚过第二个圆和第七个圆时，滚过的角度是120?，滚过第三、四、五和第六个圆时，滚过的角度是60?，

弧长＝

120226024

180

r

r

p p 创+创＝

326

r

p 小圆的周长为：2r p 所以，自身绕圆心旋转了： 326r p ÷2r p ＝8

3

（圈）

例7、在右下图中，有2016个半径为r 的圆紧密排列成一条直线，半径为r 的动圆C 从图示位置，无滑动地绕着排在其右边的这2015个圆滚动一周，最后回到它原来的位置，则动圆C 自身转动了几周？

【解】：圆C 从第一个位置开始，滚过与它相同的其它2014个圆的上部，到达最

右的位置．则圆C 共滚过了2015段弧长，其中有2段是半径为2r ，圆心角为120度，2013段是半径为2r ，圆心角为60度的弧长。可知其弧长和为：

2120180r p ′×2＋260180r p ′×2013＝83r p ＋1342＝13442

3r p

然后，又从这2015个圆的下面滚回原来的位置，其来回的总路程为：

134423r p ×2＝26891

3

r p ，

所以动圆C 自身转动的周数为：268913r p ÷2r p ＝13442

3（周）。

例8、有甲、乙两枚1元硬币。现将硬币甲固定，让硬币乙沿硬币甲的圆周滚动，当硬币乙滚回到原来位置时，硬币乙旋转了几圈？

【解】：甲硬币固定不动，乙硬币沿甲硬币的圆周作无滑动地滚动，乙硬币的圆心所经过的轨迹（虚线），就是一个以甲硬币的圆心的一个新圆。

如右图，乙币从甲币的上方开始，按逆时针方向沿甲币

圆周滚动。当乙币的圆周滚动到它周长的1

4

时，刚好在甲币

的正左方，乙币再旋转周长的1

4，就滚到了甲币周长的一半，

乙币再继续滚动它周长的两个1

4

时，就回到了原来的位置。

根据一个圆的圆心所经过路径（轨迹）的长度，等于这

个圆所滚动过的路径的长度的推断，我们来观察乙币圆心运动的轨迹。

虚线所成的新圆的半径，恰好为甲、乙两个硬币半径的和，如果设两枚硬币的半径分别为r ，则：r ＋r ＝2r ，它的周长＝4r p ，即乙硬币的圆心所经过轨迹的长度为4r p 。

乙币的周长为2r p ，所以，当乙币沿甲币的圆周滚动一周后再回到起始点时，乙币一共旋转的周数为：

4r p ÷2r p ＝2（周）

。 归纳起来，可以这样说：圆在圆上无滑动地滚动，动圆的圆心运动的轨迹，是以定圆的

圆心为圆心，以动圆和定圆的半径的和为半径的。因此，要求动圆滚动的周数，可以是：（r＋R）÷r

例9、如图，两个圆形纸片，圆A的半径是圆B半径的5倍。如果让B纸片绕A纸片无滑动地滚一圈，那么B纸片一共转了周。

【解】：本题，如果按“（r＋R）÷r”来解答，则

（圆A的半径＋B半径）÷B半径＝（1＋5）÷1＝6（周）。

现在，我们也可以从两圆运动的角度来探讨。

让圆B绕圆A的圆周作无滑动地滚一圈，在滚动的过程

中，圆B在不停地旋转，这种旋转运动就叫做“自转”；由于

圆B纸片是在A圆的圆弧上运动，随时随地都在改变它的运

行的角度，这种圆B围绕圆A的运动叫做“公转”。

已知圆A纸片的半径是圆B纸片半径的5倍，知圆A纸片的周长也是圆B纸片周长的5倍。所以，B纸片绕A纸片的圆周作无滑动地滚一圈，自转了5÷1＝5（周）。

圆B滚动一周是360?，累计自转5周共旋转了：

360?×5＝1800?。

B纸片绕A纸片的圆弧滚动，在这自转5周的过程中，每当旋转到360?时，就要累计改

变自己运行的角度360×1

5

＝72?。所以，当B纸片绕A纸片自转5周，以原来的样子回到了

原来的位置时，改变它运行的角度共有5个72?，因此又旋转了：72?×5＝360?，即一周。

所以，B纸片一共转了：（1800?＋360?）÷360?＝6（周）。

其实，这一解答方法，说白了和“（r＋R）÷r”是同根同源，只不过是另一种表达方式而已。

例10、A、B、C、D是四个半径为1厘米的圆，B、C、D三个圆是

定圆，A圆是个动圆，当它绕着B、C、D按顺时针方向无滑动地滚动一

周后回到原来的位置时，A圆自己一共转了几圈？

解：动圆的半径是1厘米，

则动圆圆心运动轨迹的半径是：1＋1＝2（厘米）

动圆滚过B圆时，由图示可知旋转了180?，滚过的路径的长度

是：

3.14×2×2×180

360

＝6.28（厘米）

在滚过C、D时同样也是180?，知，

圆A滚过一周回到出发点时，滚过的路径长度总和是：

6.28×3＝18.84（厘米）

圆A的周长是：3.14×2＝6.28（厘米）

所以，A圆自己一共转了：18.84÷6.28＝39（圈）

例11、在2003年“《小学生数学报》杯”江苏省第三届小学生探索与应用能力竞赛的决赛试题中，有这样一道题：

“右图1，有6个完全相同的圆，其中A、B、C、D、E被固定在玻璃桌面上，第6个圆F紧贴着A、B、C、D、E这五个固定的圆，慢慢地

沿着顺时针方向滚动，滚动的过程中不发生任何滑动。当

圆F再滚回到出发点P时，它自身绕圆心旋转了多少

圈？”（此题也是2011年第十一届“中环杯”六年级决

赛试题）

十多年来，在互联网上，关于这道题的解答，五花八门，众说纷纭，让人莫衷一是。

这类一圆绕等圆群滚动一周的问题，与一圆在直线上滚动既有相似之处，又有本质上的区别。相似之处是指：动圆圆周滚动的长度等于它圆心轨迹的长度，也就是说，解答这类圆滚动的问题，都得要从研究动圆圆心轨迹的长度入手；不同的是：在直线上滚动，只是朝一个方向运行，不改变运行的角度，而在圆上滚动，动圆从定圆的某一相切点出发，滚动一圈，然后不改变朝向地回到出发时的位置，滚动的圆在运行的过程中，随时随地都在改变它的运行的角度。

其实，解答圆在圆上作无滑动地滚动的问题，只要把握了研究动圆圆心运动轨迹的这个根本，解答的途径不是唯一的。

纵观这些解答，他们只关注动圆的圆周与定圆的切点所经过的路径，而忽略了动圆是围绕定圆“公转”的基本事实。

下面我们以本题为例，探讨一个圆绕等圆群滚动一周的一般解法；

解法一：从圆F在等圆群上滚动的角度入手，根据其圆心运行轨迹的角度来解答。

如右图，联结圆F 与A 、B 、C 、D 、E 五个圆的圆心，知△AB 1F 、△BC 2F 、△CD 3F 、△DE 4F 、AE 5F 因为都是两圆半径的和，所以都是等边三角形。

圆F 顺时针方向滚动时，都是分别以A 、B 、C 、D 、E 的圆心为圆心，分别以A 、B 、C 、D 、E 和圆F 的半径的和为半径的。因此，圆F 圆心运行的轨迹由1F 到2F 经过的是圆B ，其角度是180?；

由2F 到3F 经过的是圆C ，其角度是：180?－90?×2＝60?， 由3F 到4F 经过的是圆D ，其角度是180?，

由4F 到5F 经过的是圆E ，其角度是180?－60?＝120?，

由5F 到1F ，经过的是圆A ，其角度是180?－60?＝120?，回到了出发点。

1F 由出发到回到原出发点，绕A 、B 、C 、D 、E 五个圆旋转一周，其角度的和为：

180?＋60?＋180?＋120?＋120?＝660?

因为圆F 圆心运动轨迹的半径，分别是A 、B 、C 、D 、E 五个圆半径的2倍，其弧长也分别是A 、B 、C 、D 、E 这相对应的弧长的两倍。

所以，自身绕圆心旋转了：660?×2÷360?＝32

3（圈）

解法二：我们也可以仿照引例设具体数来解答。

设定圆A 、B 、C 、D 、E 的半径均为1厘米，其周长为：2p 厘米， 圆F 圆心运动轨迹的半径为：1＋1＝2（厘米），其周长为：4p 厘米， 圆F 圆心运行的轨迹由1F 到2F 经过的是圆B ，其角度是180?，知其弧长是： 4p ×

180

360

＝2p （厘米） 由2F 到3F 经过的是圆C ，其角度是60?，其弧长是：4p ×

60

360＝23

p （厘米） 由3F 到4F 经过的是圆D ，其角度是180?，其弧长是：4p ×

180

360

＝2p （厘米）

由4F 到5F 经过的是圆E ，其角度是120 ，其弧长是：4p ×120360＝4

3

p （厘米） 由5F 到1F ，经过的是圆A ，回到出发点，其弧长是：4p ×

120360＝4

3

p （厘米） （2p ＋23p ＋2p ＋43p ＋43p ）÷2p ＝32

3

（圈）

解法三：以字母表示各量间关系，用弧长公式来解答。 设这六个圆的半径为r ，则动圆圆心运行轨迹的半径为2r ， 动圆沿着12枚硬币的外围滚动一周运行轨迹的弧长和：

1802180r p ′×2＋1202180r p ′×2＋602180r p ′＝22

3

p r

圆F 的周长＝2p r

所以，这个滚动的圆F 自身转动的圈数：

223p r ÷2πr ＝11

3

（圈）。 解法四：用设这六个圆的周长为“1”来解答.

已知所有的圆半径相同，设其周长为“1”，圆F 绕圆B 、C 、D 、 E 、 A 滚动时，分别滚动了12圈，12圈，16圈，13圈，1

3圈。

由于圆F 圆心运动轨迹的半径，分别是A 、B 、C 、D 、E 圆半径的2倍，根据比的基本

性质，知其周长也是2倍。所以共转了

（12＋12＋16＋13＋13）×2÷1＝32

3

（圈）。

以上四种解答方法，其实质是同出一理，那就是把握了动圆运动的轨迹，认定了动圆运动轨迹的半径与定圆半径的倍数关系。

例12：取八个大小相同的硬币，摆成右图形状。最上端那个硬币（圆A ）顺着排成圈的6个硬币滚动着旋转一圈。问硬币A 自己一共转了几圈？

【解】：设每个硬币半径为1厘米， 圆A 的周长为：3.14×1×2＝6.28（厘米）

圆1A 与圆B 、圆3A 都相切，知圆1A B ＝2A B ＝1A 2A ＝2A 3A ＝3A B ＝1＋1＝2（厘米），

知A 2A 1B 为等边三角形，每个内角均为60?，当圆A 1转至A 2 再转至A 3位置时，此时∠1A B A 3＝60?×2＝120?。

圆A 在圆B 上旋转了120? 其路径长是：3.14×1×2×2×

120360

＝12.56

3（厘米）；

当圆A 滚过圆C 、D 、E 、F 、G ，其路径长度的和是：

12.56

3×6＝25.12（厘米）。 所以，硬币A 自己一共转了： 25.12÷6.28＝4（圈）。

例13、如图，12枚相同的硬币排成一个长方形，一个大小相同的硬币沿着外围滚动一周，回到起始位置，问这枚硬币自身转动了多少圈？

解：设硬币的半径为r ， 则动圆运行轨迹的半径为2r 。

动圆运行的轨迹在长方形拐角处的圆心角： 360?－90?－60?×2＝150?（如下图）：

动圆运行的轨迹在长方形四个角处的角度和：150×p ×2r ×4＝1200p r

动圆在长方形的两条长边上各滚动了4个60?的角度和：60×p ×2r ×4×2＝960p r 动圆沿着12枚硬币的外围滚动一周运行轨迹的弧长和：

1200960180r r

p p +＝12p r

动圆硬币的周长＝2πr ， 这枚硬币自身转动的圈数： 12p r ÷2πr ＝6（圈）。

例14、如图,15枚相通的硬币排成一个长方形,一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周,回到起始位置.问：这枚硬币自身转动了多少圈?

【解】：

1、沿直线滚过一个圆，自身圆心滚过的轨迹是：

2p×2r×

60

360

＝

2

3

p r

2、在拐角处滚过一个圆，自身圆心滚过的轨迹是：

2π×2r×150

360

＝

5

3

p r

3、沿直线滚过8个圆，沿拐角滚过4个圆。

2 3p r×8＋

5

3

p r×4＝12p r

4、滚动的圆实际上是以自身为圆心，半径是r，滚动一周

的长度是2πr。

所以滚动12p r需要滚动：12p r÷2p r＝6（圈）

答：这枚硬币自身转了6圈。

B、圆在折线、三角形、矩形、凸多边形的外滚动

1、在折线外侧滚动

例15、如图，半径为r厘米

的圆，在折线ABC上从A无滑动地滚到了C，如果AB＝3r

p厘米，BC＝2r

p厘米，∠ABC ＝150°，那么，半径为r的圆滚动了几周？

【解】：半径为r的圆，在折线ABC上从A无滑动地滚到了C，圆心运动的轨迹也为3r

p＋2r

p，在∠ABC的顶点B处绕顺时针旋转了：360?－90?－90?－150?＝30?（旋转角度就等于折线角度的邻补角）。

所以，半径为r的圆，在折线ABC上从A无滑动地滚到了C，滚动了

（3r

p＋2r

p）÷2r

p＋

30

360

＝2

7

12

（周）。

例16、如图，半径为r的⊙O沿折线ABCDE

作无滑动的滚动，如果AB＝BC＝CD＝DE＝2πr，

∠ABC＝∠CDE＝150°，∠BCD＝120°，那么，

⊙O自点A至点E转动了____周。

【解】：圆的周长是2πr，

A B＋

B C＋

C D＋DE＝8πr，则8πr÷2πr＝4．

经过点B从AB到BC时，从与AB相切到与BC相切，经过点D从CD到DE时，从与CD相切到与DE相切转动了一个∠ABC补角的度数即180°－150°＝30°，同理经过C 点都要转一个补角度数，180°－120°＝60°.

则在三个点处共转动了30°＋30°＋60°＝120°，120°÷360°＝1

3（周）．

所以，半径为r的⊙O自点A至点E转动了4＋1

3

＝4

1

3

（周）．

通过上述问题的解答，归纳起来，圆在一个几何图形的外围滚动，其实是一种复合运动：一是圆周上的点与几何体上的点逐一接触时圆的旋转前进滚动；一是滚动圆本身的旋转，即的是动圆绕某一定点，圆心旋转过一定的角度的运动。因此解决圆的滚动问题就要分情况把其分解为直线上的滚动和折点处绕顶点的旋转。圆在多边形的外侧滚动，可以分解成圆在多边形边上的滚动和在多边形折点上的旋转，滚动和旋转不是同时发生的；动圆在定圆的外侧滚动是一种复合运动，滚动和旋转是同时发生的。

2、在正方形外滚动

例17、正方形ABCD的边长和与它相切的一个圆周长相

等，将此圆从某一位置沿此正方形的各边做无滑动滚动，直至回到原来的位置，则这个圆旋转的圈数为多少？

【解】：由于圆的周长和正方形ABCD的边长相等，所以，圆在正方形的四边作无滑动滚动，直至回到原来的位置，共滚动了4圈。

圆在正方形ABCD的四个顶点处，从圆O

1的位置旋转到O

2

的位置，恰好旋转过∠A，

其角度是90°，也就是∠BAD的对顶角。在其余顶点B、C、D处，也同样圆旋转了90°，90°÷360°＝1

4

（圈）。

在四个顶点处，各旋转了1

4

圈, 在顶点处，共旋转了：

1

4

×4＝1（圈）

所以，此圆从某一位置沿正方形的各边做无滑动滚动，直至回到原来的位置，这个圆共转了：4＋1＝5（圈）

通过上面的分析，我们可以发现在每一个顶点处旋转过的角度都是折线内角的补角n，所有补角的和就是多边形的外角和360°因为每一个顶点处自转n÷360圈，在所有折点处一共自转360÷360＝1圈。因此这种类型的题目的答案是（多边形的周长÷圆的周长＋1）圈。

题18、正方形的边长正好等于一个小圆周长的2倍，这个小圆沿着正

方形的四周滚动，第一次回到原来的位置，小圆滚了几周？

【解】：小圆在正方形的一条边上就要滚2周，滚4条边共4×2＝8（周）

但小圆在过正方形的顶点时，要自转90°，如图，过正方形的四个顶点刚好转

了一周。所以，小圆滚了8＋1＝9（周）

题19、如右图，正方形的边长为a，圆的半径为2a

p

，当圆沿着正方形转动一周回到原来

位置时，圆自转了几周？（2015年第八届“新星杯”全国少年综合素质邀请赛小学六年级数学试题）

【解】：圆的周长：2a

p

×2×p＝4a

沿着正方形转动一周回到原来位置时，圆旋转了：a×4÷4a＝1（圈）

由于圆在过正方形的顶点时，要自转90°，过正方形的四个顶点刚好转了一周。所以，圆自转了：1＋1＝2（圈）

3、在三角形外滚动

例20、若圆的周长等于正三角形的边长，则绕正三角形外圈滚一圈，圆自转几圈？

【解】：设圆的周长为2p r，则正三角形的边长也为2p r。

这个圆在三角形的外围滚动，可以分为两个部分：

①.在三角形的边上滚动，圆心是直线运动：

2p r×3÷2r p＝3（周）

②.绕过三角形的三个顶点，圆心沿圆弧运动。等边三角形的三个外角的和是：

（360?－90?×2－60?）×3＝360?

所以，这个圆共滚了：3＋1＝4（周）。

例21、如图，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，

⊙O自转了多少周？

【解】：（1）∵△ABC的周长为L，∴⊙O在三边上自转了

L

C

周．又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O自

转了：360

360

＝1（周）．

∴⊙O共自转了：（L

C

＋1）(周)

4、在凸多边形上滚动

例22、如图，一个半径为1厘米的圆，沿着某一凸五边形ABCDE外侧边缘（圆和边相切）作无滑动滚动，一周后回到原来位置，已知五边形周长

为75.36厘米，圆滚动了几圈？

【解】：圆心绕凸五边形边缘滚动的路径由两部分组成：

在周长为75.36厘米的凸五边形上滚动，滚动了：

75.36÷（1×2×3.14）＝12（圈）

在五个顶点处滚动：

正五边形的每个顶角的度数：180?×（5－2）÷5＝108?

五个顶点处的弧线长和：（180?－108?）×5＝360?

所以，这个圆在五边形上滚动了12＋1＝13（圈）

例23、一个周长为C的圆，绕周长为L的凸多边形无滑动的滚动一圈后回到出发点，滚动的这个圆，转动了几圈？

【解】：一个圆绕着一个凸多边形的外部

滚动一周回出发点时，圆心运动的轨迹和凸

多边的周长L相等，因而，圆转动了

L÷C＝L

C

（圈）

因为圆旋转一周的角度之和恰好等于360o。

如果设圆转动的圈数为n，那么，n＝L

C

＋1.

若圆的周长等于正N边形的边长，圆绕正N边形外圈滚一圈，自转N+1圈。