高三数学二轮专题复习教案――函数
江苏省高考数学二轮复习 第2讲 函数 图象及性质教学案
第2讲 函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝＋|x|－x 的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对1∈[－1,2]，∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】 已知函数f(x)＝x 2＋a x(x≠0，常数a∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】 设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数． (1) 当a ＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x ＋－为奇函数，则a ＝________.2.(2011·湖北)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数，若f(x)＝x ＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x，其中常数a ，b 满足ab≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝＋－－2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分)(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，，，＜，M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分)当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k∈R ；(11分) ②t∈(0,2]时，k ＜－－t恒成立，即k ＜4t ＋9t－15，(12分)∵ 4t＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲 函数、图象及性质1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【答案】 m ＜n 解析： 考查指数函数的单调性a ＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝a x在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧，a≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a≥0，2a23，a ＜0，当x≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－，a≥0，，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a23，a ＜0.(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a≤－62或a≥62时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)； 当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ，讨论得：当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)； 当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.综上，当a∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练 1. 12x 2＋12x 2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0＜0，x≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 ,0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0092＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 004＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0092＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.4. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m ，2＋－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－－1,3]得0≤m≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解： 当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)，由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2，∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x≤4)．(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 当0≤x≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x≤6，－2－5，6＜x≤9.点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x 2＋a x(a≠0，x≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立． ∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax 在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋a x 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f′(x)＝2x －a x 2≥0，对x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x 3而y≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －a ，x≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a －1； 由a24－(a －1)＝－24＞0，知f(x)的最小值为a －1.点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练 已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝－2－1，x≥2，－x 2＋2x ＝－－2＋1，x ＜2.∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解： 设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]． 当x∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，0≤t≤1，y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54.∵ 54＜1＋2， ∴x∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a＜0不成立．③ a＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a.仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －a ，0时，f(x)是减函数．∴n－m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a≤2.故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤314，2. 高考回顾1. 12解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到．2. g(x)＝e x ＋e－x2 解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x.又因为f(x)＋g(x)＝e x，所以g(x)＝e x＋e－x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)， ∵ 2x 1＜2x 2，a ＞1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＞－a 2b ，则x ＞log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＜－a 2b ，则x ＜log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .6. 解：(1) 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x≤20，13－，20<x≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x≤20，13－，20<x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
高考函数专项复习教案
高考函数专项复习教案一、教学目标1. 理解函数的概念和性质，掌握常见函数的定义域、值域和图像。
2. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性及其应用。
3. 学会运用函数解决实际问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念和性质函数的定义函数的域和值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 常见函数的定义域、值域和图像一次函数、二次函数、反比例函数正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数三、教学重点与难点1. 重点：函数的概念和性质，常见函数的定义域、值域和图像，函数的单调性、奇偶性、周期性。
2. 难点：函数的单调性、奇偶性、周期性的判断和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数的性质和应用。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解函数的图像和性质。
3. 运用实例分析法，培养学生的实际问题解决能力。
五、教学过程1. 复习导入：回顾函数的基本概念，引导学生回顾已学的函数类型。
2. 自主学习：让学生自主探究常见函数的定义域、值域和图像，总结函数的性质。
3. 课堂讲解：讲解函数的单调性、奇偶性、周期性的判断方法和应用。
4. 实例分析：分析实际问题，引导学生运用函数解决实际问题。
5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结反思：引导学生总结复习过程中的收获和不足，为下一阶段的学习做好准备。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂讲解中的参与程度和理解程度，评估学生对函数概念和性质的掌握情况。
2. 练习题：批改学生练习题，了解学生对常见函数的定义域、值域和图像的理解，以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用能力。
3. 实例分析：评估学生在实例分析中的问题解决能力，以及对函数解决实际问题的掌握程度。
七、教学策略1. 针对不同学生的学习情况，提供个性化的辅导和指导，帮助学生弥补知识漏洞。
2. 通过多媒体教学手段，如函数图像软件，增强学生对函数图像的直观理解。
3. 组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作，提高学生的学习效果。
高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用 人教版 教案
高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如2003年高考试题中的3、5、7、9题，2004年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，2005年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y = f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；（3）当函数y = f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联．3．函数的奇偶性如果对于函数y = f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x) = –f(x)[ f(-x) = f(x)] ，那么函数f(x)就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断．4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2) [f(x1)＞f(x2)]，则称在区间D上为单调函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f '(x)＞0[f '(x)＜0]，则称f(x)在区间(a，b)上是增（减）函数，(a，b)为f(x)的单调增（减）区间．5．函数的周期性设函数y = f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得任何x∈D，都有f(x + T) = f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y = f(x)的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．考题名师诠释【例1】设函数f(x) = -x1 + |x|（x∈R），区间M = [a，b](a＜b），集合N = {y|y = f(x)，x∈M}，则使M = N成立的实数对(a，b)有………………………………（）A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析由f(-x) = -f(x)，可得f(x) = -x1 + |x|是奇函数，故f(x)的图象关于原点成中心对称．当x＞0时，f(x) = -x1 + x，据y1-1O此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述 本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2 + 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围．解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)．设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率．由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述 通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围． 深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围． 答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减． 故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数． 评述 本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（2005年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立．（1）当D = R 时，f (x ) = x cos θ+ sin θ[θ∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？ （2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由． （1）解 设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos θ| = |cos θ|| x 1 – x 2|，∵θ∈(0，π)，∴|cos θ|∈[0，1）． 又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． 故f (x ) = x cos θ+ sin θ，θ∈(0，π)属于M D ．（2）证明 当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ． 而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|．∴f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解 存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2．若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|= a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ． （注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确） 考能提升训练 一、选择题1．（2005年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （ ） A ．1 B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1） （2） （3） （4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （ ） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(2005年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2005) = 8，则f (x 12) + f (x 22) + … + f (x 20052)的值等于………………………………… （ ） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（ ） A ．12B ．2C ．4D ．145．(2005年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是 A ．(-∞，0)B ．(0，+∞)C ．(-∞，log a 3)D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(2005年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为 ．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(2005年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式； （2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．121-1 Ox y1-1 Ox y1-1 Ox y1-1 Ox y9．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。
高三二轮复习教学案函数
高三二轮复习教学案——函数（1）班级 学号 姓名一、考试内容及要求：1．已知函数f (x)=2x+1，x ∈[1,5]，则f (2x －3)= ____________2．已知集合B={1，4}，若2:x x f →是A 到B 的函数，则满足条件的集合A 有_____个3．若函数xx k k x f 212)(⋅+-=（k 为常数）在定义域上为奇函数，则k=____________4．已知函数f (x)是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，f (－1)=0，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则∑=∈2010))(2(k Z k kf 的值=____________5．设f (x)是定义在[－1，1]上的偶函数，f (x)与g (x)的图象关于直线x=1对称，且当x ∈[2,3]时，g (x)=a(x －2)－2(x －2)3 （a 为常数）(1)求f (x)的解析式(2)若f (x)在[0，1]上是增函数，求实数a 的范围 (3)若a ∈[－6,6]，问能否使f (x)的最大值为46．已知函数),,()(R c b a cxb ax x f ∈++=满足f(－1)=0，并且对x>0，≤01)(-x f xx 2)1(2-≤恒成立．（1）求a ，b ，c 的值； （2）若xm x f x g 4)()(-=在(0，2]上是减函数，求实数m 的取值范围7．已知函数xx x f --=274)(2，x ∈[0，1]．（1）求f(x)的值域；（2）设a ≥1，函数g(x)=x 3－3ax 一2a ，x ∈[0，1]．若对于任意的x 1∈[0，1]，总存在x 0∈[0，1]，使得g(x 0)=f(x 1)成立，求a 的取值范围．高三二轮复习教学案——函数（2）班级 学号 姓名1．已知f (x+2)=4x 2+4x+3，x ∈R ，则f (x)的值域为______________2．（1）函数g (x)= x 2－ax+3在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________________ （2）函数g (x)= x 2－ax+3的增函数为),2[+∞，则实数a 的取值范围是_________________ 3．已知二次函数f (x)=ax 2+bx+c 的导数为f ’(x)，f ’(0)>0，对于任意实数x ，有f (x)≥0，则)0(')1(f f -的最小值为__________4．已知函数()(01)x x f x a ma a a -=+>≠且 是R 上的奇函数， 求函数2()g x m x ax m a =++的零点5．设a ∈R ，函数1||)(2+-+=a x x x f ，x ∈R ，求f(x)的最小值．6．将函数21()2f x ax a =-的图象向右平移1a个单位，再向下平移12a个单位，平移后得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的表达式；（2）若函数()g x 在2]上的最小值为()h a ，求()h a 的最大值。
2021-2022年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案
2021年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。
以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。
②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
高三数学二轮复习 专题2函数性质及应用教案 苏教版
专题2 函数性质及应用〔2〕【高考趋势】函数的刻划一般是从两个方面：一是式，二是形，两者常需相互转化，互要照应，对于根本等函数的组合与复合，假设作图较为方便，一般最好借助图象直观解题；假设作其图象较为困难，那么要挖掘问题的内在性质解题。
由于新课程中导数的内容更加丰富，因此利用导数研究诸如y=x-lnx 的单调性、最值及解〔或证〕不等式等问题，是学会研究函数的重要方法之一，也是近年来高考命题的主要方向之一。
【考点展示】1、定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，假设将方程f(x)=0在闭区间[-T ，T]上的根的个数记为n ，那么n 至少为 。
2、设f(x)是定义在R 上的函数，假设f(x)=f(2021-x)，那么f(x)有对称轴为 ；假设f(2021-x)=-f(2021+x)，那么f(x)有对称中心为3、假设f(x)=lnx+2x 2+mx+1在〔0，+∞〕内单调递增，那么m 的取值范围是4、假设对任意x ∈R ，不等式|x|≥ax 恒成立，那么实数a 的取值范围是5、函数y=f(1+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于 对称。
6.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=， 假设()15,f =-那么()()5ff =_______________。
7、假设⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是〔-∞，+∞〕上的减函数， 那么a 的取值范围是【样题剖析】例1、定义在R 上的函数f(x), 对于任意x ，y ∈R ，均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0。
〔1〕求证：f(0)=1;〔2〕求证：y=f(x)是偶函数；〔3〕假设存在常数c ，使f(2c )=0成立，求证：函数y=f(x)是周期函数。
例2、a 是实数，函数f(x)=2ax 2+2x-3-a ，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a 的取值范围。
高三数学二轮复习专题1函数性质及应用教案苏教版
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高三数学二轮复习 专题 1 函数性质及应用教案 苏教版 例 2、偶函数 f(x) 在 [0 ， +∞）上是增函数，求不等式 f(2x+5) ＜ f(x 2+2) 的解集。
例 3、如图，有一块半椭圆形钢板，其长轴长为
2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等
腰梯形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上，记 CD=2x，梯形面积为 S。
8、已知函数 f(x)= x2 1 -ax 在区间（ 0，+∞）上是单调函数，求 a 的取值范围。
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（填“＞” ，“＜”，或“ =”）。
3、函数 f(x) 的图象沿 x 轴翻折后与 y= log 1 x 的图象重合，则 f(x) 的解析式为
2
11
1x
x2 , x 0,
4、有下列函数：① y=
3x
1
;
2
② y= log 2 1
; ③ y=
x
x 2,
，其中为奇函
x 0.
数的有
个。
5、定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x) ，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=
1、若集合 A={x|x a} ，B={x|1 x 2} ，且 A∪（ CRB） =R，则实数 a 的取值范围是
1
2、曲线 y= e 2 在点（ 4, e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
3、若
1 f(
x )
1
x2
2
，则
f(1)=
1x 1x
高中函数复习教案
高中函数复习教案教案标题：高中函数复习教案教案目标：1. 复习高中函数的基本概念和性质；2. 强化学生对函数图像、性质和变换的理解；3. 提供练习机会，巩固学生对函数的应用能力；4. 培养学生解决实际问题的数学建模能力。
教案步骤：引入部分：1. 引导学生回顾高中函数的基本概念，如定义域、值域、奇偶性等；2. 提问学生对函数图像的理解，引导他们思考函数图像与函数性质之间的关系；3. 引入函数的变换，如平移、伸缩、翻转等，让学生意识到这些变换对函数图像和性质的影响。
主体部分：4. 通过示例函数图像，让学生观察并总结函数图像与函数性质的关系；5. 引导学生进行函数图像的绘制，让他们在实践中加深对函数图像的理解；6. 提供一些函数性质的练习题，让学生通过计算和分析来巩固对函数性质的理解；7. 引导学生进行函数的变换练习，让他们通过具体的变换操作来加深对函数变换的理解。
拓展部分：8. 引导学生进行函数的应用练习，如函数的最值问题、函数的求解等；9. 提供一些实际问题，让学生将函数应用于实际情境中，培养他们解决实际问题的数学建模能力；10. 总结本节课的内容，梳理学生的学习收获，并鼓励学生提出问题和疑惑。
教案评估：1. 在课堂中观察学生的参与度和理解程度；2. 布置一些练习题，检验学生对函数的掌握情况；3. 针对学生的问题和困惑，及时给予解答和指导。
教案延伸：1. 鼓励学生进行更多的函数图像绘制和性质分析，加深对函数的理解；2. 提供更多的应用题，让学生在实际问题中灵活运用函数知识；3. 引导学生进行函数的证明和推导，培养他们的数学思维能力。
教案注意事项：1. 需要提前准备好函数图像的示例和练习题；2. 适当调整教学节奏，根据学生的理解情况进行灵活安排；3. 鼓励学生互相合作，分享思路和解题方法；4. 对于学习困难的学生，提供额外的辅导和指导。
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2009届高三数学二轮专题复习教案――函数一、本章知识结构：二、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。
三、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( ) A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1}【解析】:由集合B得x>1 , A∩B={x| x>1}，故选（A）。
［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。
例2、（2008广东惠州一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A B C D【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。
［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。
例3、（2008年广东惠州一模）设 ()11xf x x+=-，又记 ()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2008f x = （ ）A ．11x x +-； B ．11x x -+； C ．x ； D ．1x-； 【解析】:本题考查周期函数的运算。
()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x+++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因2008为4n 型，故选C . ［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。
例4、（2008福建文科高考试题）函数3()sin 1()f x x x x R =++∈，若()2f a =,则()f a -的值为 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2【解析】：3()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=故()11f a --=-即()0f a -=.［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。
例5、（2008广东高考试题）设k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．【解析】1,1,1()(),1,kx x xF x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩对于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数； 当0k >时，函数()F x 在(,1-∞-上是减函数，在(1上是增函数； 对于()(1)F x k x =-≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数； 当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。
［点评］在处理函数单调性的证明时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，但学习了导数后，函数的单调性就经常与函数的导数联系在一起，利用导数的性质来处理函数的单调进性，显得更加简单、方便。
考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例6、设二次函数()()f x a x b x c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明()x f x x <<1. 【解析】：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.ax x x 1021<<<<Θ， ∴ 0))((21>--x x x x a ，∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <，综上可知，所给问题获证.［点评］：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。
例7、（2007湖北文科高考试题）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 【解析】法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==g ，令2()2h a a =．Q 当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-20()(32(32(17h a h <<-=-=-1216=<，即1(0)(1)(0)16f f f -<g ．法2：（I ）同解法1．（II ）Q 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<．法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． ［点评］本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．考点三：指数函数与对数函数指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性质并能进行一定的综合运用.例8、（2008山东文科高考试题）已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<< B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<D ．1101ab --<<<【解析】：由图易得1,a >101;a-∴<<取特殊点01log 0,a x y b =⇒-<=<x11log log log 10,aa ab a⇒-=<<=101a b -∴<<<.选A. ［点评］：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。