2019年上海市普陀区高考数学二模试卷(解析版)
2019年上海市普陀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2√6，且经过点(√3，√2)，则该椭圆的标准方程为（ ）A. y 29+x 23=1B. x 236+y212=1 C. y 236+x212=1 D. x 29+y 23=1 2. 在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“C ∈{π3，2π3}”是“a 2+b 2=c 2+ab ”成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 奖金（单位：元） 8000 5000 4000 20001000 800 700 600 500 员工（单位：人） 12461282052根据上表中的数据，可得该公司月份员工的奖金：①中位数为元；②平均数为元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设函数f(x)=sin(x −π6)，若对于任意α∈[−5π6，−π2]，在区间[0，m ]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f （β）=0，则m 的最小值为（ ）A. π6B. π2C. 7π6D. π二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 设集合A ={1，2，3}，B ={x |x 2-x -2≤0}，则A ∩B =______6. 双曲线C ：x 216−y 29=1的顶点到其渐近线的距离为______7. 函数y =x 12+log 2(1−x)的定义域为______8. 设直线l 经过曲线C ：{y =1+2sinθx=1+2cosθ（θ为参数，0≤θ≤2π）的中心，且其方向向量d⃗ =(1，1)，则直线l 的方程为______9. 若复数z =1+i （i 为虚数单位）是方程x 2+cx +d =0（c 、d 均为实数）的一个根，则|c +di |=______ 10. 若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为______ 11. 设x 、y 均为非负实数，且满足{2x +y ≤6x+y≤5，则6x +8y 的最大值为______12. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______ 13. 设实数a 、b 、c 满足a ≥1，b ≥1，c ≥1，且abc =10，a lg a •b lg b •c lg c ≥10，则a +b +c =______14. 在四棱锥P -ABCD 中，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，−2，3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，1，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6，2，−8)，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______15. 《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD ，则AD 与平面ABC 所成角大小为______（结果用反三角函数值表示）16. 设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，记g （x ）=f （x ）-x 2，且函数g （x ）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f （x +2）-f （2）＞x 2+4x 的解集为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线PB =4，底面半径OA 与OB互相垂直，且OB =2． （1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P -AB -O 的大小（结果用反三角函数值表示）．18. 设函数f(x)=sin(x +π3)⋅cosx −√3cos 2x +√34．（1）当x ∈R 时，求函数f （x ）的最小正周期； （2）设−π4≤x ≤π4，求函数f （x ）的值域及零点．19. 某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （x ≥0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为x2（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为k20x+100（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和． （1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式；（2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积．20. 设数列{a n }满足：a 1=2，2a n +1=t •a n +1（其中t 为非零实常数）．（1）设t =2，求证：数列{a n }是等差数列，并求出通项公式；（2）设t =3，记b n =|a n +1-a n |，求使得不等式b 1+b 2+b 3+⋯+b k ≥3940成立的最小正整数k ； （3）若t ≠2，对于任意的正整数n ，均有a n ＜a n +1，当a p +1、a t +1、a q +1依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值．21. 设曲线Γ：y 2=2px （p ＞0），D 是直线l ：x =-2p 上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点． （1）设D （-4，2），求△DAB 的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为y 0、y 1、y 2，求证：y 1+y 2=2y 0；（3）设点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准方程为：．故选：D．设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵a2+b2=c2+ab，∴cosC==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成立的必要非充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的大小，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.【答案】C【解析】解：将员工的奖金的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.【答案】B【解析】解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f （）=sin =，即m，故m的最小值为：，故选：B．由三角函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三角函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f （）=sin =，即m，故m的最小值为：，得解．本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．5.【答案】{1，2}【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】125【解析】解：双曲线的一个顶点坐标（4，0），其一条渐近线方程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.【答案】[0，1）【解析】解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.【答案】y=x【解析】解：由曲线C的参数方程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中心即圆心为（1，1），因为直线l的方向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l 的方程为：y-1=x-1，即y=x ，故答案为：y=x ．将曲线C 的参数方程消去参数θ可得曲线C的普通方程，是一个圆，可得中心为圆心（1，1），根据直线l的方向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l 的直角坐标方程．本题考查了圆的参数方程，属中档题．9.【答案】2√2【解析】解：∵z=1+i是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.【答案】3π【解析】解：由题意可知几何体是放倒的圆柱，底面半径为1，左视图的面积为6，可得正视图是矩形，圆柱的高为3，所以圆柱的体积为：12•π•3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的高，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解几何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.【答案】40【解析】解：画出可行域又z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最大值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可行域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中一条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．12.【答案】0.3【解析】解：甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、乙和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利用互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】12【解析】解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1．∴lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，又a lga•b lgb•c lgc≥10⇔lg（a lga•b lgb•c lgc）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lgabc=lga+lgb+lgc，∴lg2a=lga，lg2b=lgb，lg2c=lgc，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，由a lga•b lgb•c lgc≥10⇔lg（a lga•b lgb•c lgc）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lgabc=lga+lgb+lgc，从而得到lg2a=lga，lg2b=lgb，lg2c=lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．14.【答案】2【解析】解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底面ABCD 的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底面ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底面ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底面ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底面ABCD的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】arcsin√33【解析】解：∵四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平面ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平面ABC所成角为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平面ABC所成角大小为arcsin．故答案为：arcsin ．推导出BC ⊥DC ，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD 与平面ABC 所成角大小．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 16.【答案】（-∞，-4）∪（0，+∞）【解析】解：根据题意，g （x ）=f （x ）-x 2，且f （x ）是定义在R 上的偶函数， 则g （-x ）=f （-x ）-（-x ）2=f （x ）-x 2=g （x ），则函数g （x ）为偶函数， f （x+2）-f （2）＞x 2+4x⇒f （x+2）-（x+2）2＞f （2）-4⇒g （x+2）＞g （2），又由g （x ）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2， 解可得：x ＜-4或x ＞0，即x 的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）； 故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g （x ）为偶函数，进而分析可得f （x+2）-f （2）＞x 2+4x ⇒f （x+2）-（x+2）2＞f （2）-4⇒g （x+2）＞g （2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题． 17.【答案】解：（1）∵圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线PB =4，底面半径OA 与OB 互相垂直，且OB =2．∴圆锥的表面积S =πr 2+πrl =π×22+π×2×4=12π．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，OP =√PB 2−OB 2=2√3，则A （2，0，0），B （0，2，0），P （0，0，2√3）， PA⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-2√3），PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2√3）， 设平面PAB 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√3z =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2√3z =0，取z =1，得n⃗ =（√3，√3，1）， 平面ABO 的法向量m⃗⃗⃗ =（0，0，1）， 设二面角P -AB -O 的大小为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7=√77，∴θ=arccos √77． ∴二面角P -AB -O 的大小为arccos √77．【解析】（1）圆锥的表面积S=πr 2+πrl ，由此能求出结果．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-O 的大小．本题考查圆锥的表面积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（1）函数f(x)=sin(x +π3)⋅cosx −√3cos 2x +√34=12sin x cosx+√32cos 2x -√3cos 2x +√34=14sin2x -√32•1+cos2x 2+√34=12sin （2x -π3）， 故它的周期为T =π．（2）当−π4≤x ≤π4时，2x -π3∈[-5π6，π6]，sin （2x -π3）∈[-1，12]，f （x ）∈[-1，12]， 故函数的值域[−12，14]．令2x -π3=k π，求得x =kπ2+π6，k ∈Z ，令k =0，可得函数的零点为x =π6． 【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． （2）由题意利用正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f （x ）的值域及零点． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题． 19.【答案】解：（1）由公司每年的燃料费为k20x+100（k 为常数）万元，取x =0，得k100=24，则k =2400，∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和y =15×240020x+100+x 2=1800x+5+x2，x ≥0； （2）1800x+5+x 2=1800x+5+x+52−52≥2√1800x+5⋅x+52−52=57.5，当且仅当1800x+5=x+52，即x =55时取等号．∴当x 为55平方米时，y 取得最小值为57.5万元． 【解析】（1）由，可求得k ，从而得到y 关于x 的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得y 取得的最小值及y 取得最小值时x 的值．本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，是中档题． 20.【答案】解：（1）求证：t =2时，2a n +1=2a n +1，∴a n +1-a n =12，∴{a n }是等差数列，首项为2，公差为12，∴a n =2+（n -1）×12=n+32．（2）t =3时，2a n +1=3a n +1，a n +1=23a n +13，∴a n +1-1=23（a n -1），又a 1-1=1， ∴数列{a n -1}是首项为1，公比为23的等比数列， ∴a n -1=（23）n -1，∴a n =（23）n -1-1，b n =|a n +1-a n |=13×（23）n -1， b 1+b 2+b 3+…+b k =13[1−(23)k ]1−23=1-（23）k ，∴1-（23）k ≥3940，得（23）k ≤140，∴k ≥−lg40lg2−lg3=1+2lg2lg3−lg2≈1+2×0.30100.4771−0.3010=1.60200.1761≈9.097， k 的最小正整数值为10．（3）t ≠2时，由2a n +1=ta n +1得a n +1=2t a n +1t ，得a n +1-1t−2=2t （a n -1t−2） a n -1t−2=（2-1t−2）•(2t )n -1，∴a n =1t−2+（2-1t−2）•(2t )n -1，∵a n ＜a n +1，∴{a n }递增，∴2-1t−2＞0，且2t ＞1解得t ＜2且t ≠0， 又因为t +1≥1，即t ≥0，故t =1， a p +1、a t +1、a q +1依次成等比数列①若公比≠1，不妨设a p +1＜a t +1，则1≤p +1＜t +1，即p =0，a p +1=2，a t +1=a 2=5，a q+1=a t+12a p+1=252，q 不是整数，不成立．②若公比为1，则a p +1=a t +1=a q +1，∴p =t =q =1， 综上，p =t =q =1． 【解析】（1）t=2时易证数列{a n }满足等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n 的数列为等比数列，即可求出a n 的通项公式，进而得到b n 的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k 的最小正整数值．（3）构造含有a n 的数列为等比数列，即可求出a n 的通项公式，再根据a n ＜a n+1，可以得到t 的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，分类讨论得到p ，q 的值．本题考查了等比数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.【答案】解：（1）∵D （-4，2），∴2p =4，∴p =2，曲线方程为y 2=4x ，即y =±2√x ，y ′=±√x ． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中y 1＞0，y 2＜0，则x 1=y 124，x 2=y224，∴切线PA 的斜率为√124=2y 1，切线PB 的斜率为-√224=2y 2，故切线DA 的方程为：y -y 1=2y 1（x -x 1），即y 1y =2x -2x 1+y 12=2x +2x 1，切线DB 的方程为：y 2y =2x +2x 2，∵D （-4，2）在两切线上，∴{2y 2=−8+2x 22y 1=−8+2x 1，故A ，B 都在直线2y =-8+2x ，即x -y -4=0上， ∴直线AB 的方程为x -y -4=0，联立方程组{y 2=4x x−y−4=0，消元得：x 2-12x +16=0，∴x 1+x 2=12，x 1x 2=16， ∴|AB |=√1+1√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√10．又D 到直线AB 的距离为d =|−4−2−4|√2=5√2，∴S △DAB =12×4√10×5√2=20√5． （2）证明：如下图所示，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则直线AD 的方程为y 1y =p （x +x 1）， 即y 1y =px +y 122，同理可得直线BD 的方程为y 2y =px +y 222，联立直线AD 和BD 的方程{y 1y =px +y 122y 2y =px +y 222，解得y =y 1+y 22， 由于点D 的纵坐标为y 0，所以，y 0=y 1+y 22，即y 1+y 2=2y 0；（3）设N （x 3，y 3），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由题意得M （x 1+x 2，y 1+y 2）， 则MN 的中点Q 坐标为（x 1+x 2+x 32，y 1+y 2+y 32），k AB =y 1−y 2y 122p −y 222p=2py1+y 2=py 0，设直线AB 的方程为y -y 1=py 0（x -x 1）， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点（x 1+x 22，y 1+y 22）也在直线AB 上，代入得y 3=py 0x 3．若N （x 3，y 3）在抛物线上，则y 32=2px 3， 因此y 3=0或y 3=2y 0． 即N （0，0）或N （2y 02p，2y 0）．①当y 0=0时，则y 1+y 2=2y 0=0，此时，点D （-2p ，0）适合题意． ②当y 0≠0，对于N （0，0），此时M （y 12+y 222p，2y 0），k MN =2y 0y 12+y 222p=4py 0y 12+y 22，又k AB =y 1−y 2y 122p −y 222p=2py1+y 2=py 0，由MN ⊥AB ，所以k AB •k MN =py 0•4py 0y 12+y 22=-1，即y 12+y 22=-4p 2，矛盾． 对于N （2y 02p，2y 0）． 因为M （y 12+y 222p，2y 0），此时直线MN 平行于y 轴， 又k AB =py 0，所以直线AB 与直线MN 不垂直，与题设矛盾，所以y 0≠0时，不存在符合题意的D 点．综上所述，仅存在一点D （-2p ，0）适合题意． 【解析】（1）求得抛物线方程，求得导数和切线斜率，可得切线方程，求得AB 的方程和距离，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）求得AD ，BD 的方程和交点，即可得证；（3）设N （x 3，y 3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合向量的坐标表示和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线方程，可得N 的坐标，讨论y 0是否为0，结合题意，可得所求D 的坐标．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表示，考查分类讨论思想和化简整理的运算能力，属于难题．。
2019-2020年高考数学二模试卷(文科) 含解析
2019-2020年高考数学二模试卷（文科）含解析一、选择题1．设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1}B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．63．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C．2 D．44．已知向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行，则锐角α等于（）A． B． C． D．5．在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程sinx=的概率是（）A． B． C． D．6．已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b，x∈[0，3]的最大值是（）A．1 B．b C．b2D．7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，8）B．（8，+∞）C．（0，）D．（，+∞）8．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C． D．99．将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．3 B．4 C．5 D．610．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b11．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A． B． C． D．12．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t级矩形”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是_______．_______．．若、、都是正数，且++，则+的最小值为_______．16．已知函数f（x）=x2+4lnx，若存在满足1≤x0≤4的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣2=0垂直，则实数m的取值范围是_______．三、解答题（1）求表中x+z的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析．先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号：（下面摘取了随机数表中第7 918．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．点E是线段BD 的中点，点F是线段PD上的动点．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：CE⊥BF；（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P﹣BCF的体积等于时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．19．若数列{a n}满足a﹣a=d，其中d为常数，则称数列{a n}为等方差数列．已知等方差数列{a n}满足a n＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=na，若不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且斜率为的直线l过椭圆C的焦点及点（0，﹣2）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．21．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆所得弦长为2，求整数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+1|+|x﹣1|＜8的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x++m恒成立，求实数m的最小值．xx年江西省宜春市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1}B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中函数的值域确定出A，求出A的补集，求出各项的结果，即可做出判断．【解答】解：由A中的函数y=，且x＞1，得到y＞0，即A=（0，+∞），∴∁U A=（﹣∞，0]，∴A∩B={1，2}，（∁U A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∪B={﹣2，﹣1}∪（0，+∞），（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}，故选：D．2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==是纯虚数，∴=0，0．则实数a=﹣6．故选：C．3．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m 的值．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．4．已知向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行，则锐角α等于（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及二倍角公式即可判断．【解答】解：∵向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行∴12sinαcosα﹣6=0，即sin2α=1，∵α为锐角α，∴α=，故选：B．5．在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程sinx=的概率是（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出所取元素恰好满足方程sinx=的基本事件个数，由此能求出所取元素恰好满足方程sinx=的概率．【解答】解：在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，基本事件总数为10，所取元素恰好满足方程sinx=的基本事件为x=和x=，∴所取元素恰好满足方程sinx=的概率p=．故选：A．6．已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b，x∈[0，3]的最大值是（）A．1 B．b C．b2D．【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】根据已知中函数的图象，可得b∈（0，1），结合二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，及复合函数的单调性，可得答案．【解答】解：∵函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的零点位于（0，1）上，故b∈（0，1），当x∈[0，3]时，x2﹣2x在x=1时取最小值﹣1，此时g（x）=b取最大值，故选：D7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，8）B．（8，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，依题意，log2a＜f（x）min，解之即可得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2||，∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，∴log2a＜|x+1|﹣|x﹣2|对任意实数恒成立，∴log2a＜f（x）min；∵f（x）=||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴f（x）min=3﹣．∴log2a＜﹣3，∴0＜a＜．故选：C．8．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C． D．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B9．将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象平移关系以及三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到y=Asinω（x+）=Asin（ωx+ω），若图象关于原点对称，则ω=kπ，即ω=6k，k∈Z当k=1时，ω=6，故选：D．10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C 中，α与β相交或平行；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：B．11．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．【解答】解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．由题意可知FF′为圆x2+y2=c2的直径，∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x2+4cx﹣c2=0，则x=﹣2c±c，即x=（﹣2）c，（负值舍去）代入③，即y=，再将y代入①得，==e2﹣1即e2=1+=．故选：D．12．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t级矩形”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】函数的值域．【分析】函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．【解答】解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（﹣，0），（﹣，），（0，），故选：C．二、填空题13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是﹣3 2第二圈是﹣ 3第三圈是 4第四圈是 2 5第五圈是﹣3 6…依此类推，S的值呈周期性变化：2，﹣3，﹣，，2，﹣3，…第xx圈是﹣2011第2011圈否故最终的输出结果为：﹣，故答案为：﹣．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是，求出表面积及球的表面积即可得出比值．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为，这个几何体的表面积为8×1×=2∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：．15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=2，则+的最小值为3．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得a+1+b+c=3，得到+=（+）（a+1+b+c），由基本不等式求最值可得．【解答】解：a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴a+1+b+c=3，且a+1＞0，且b+c＞0，∴+=（+）（a+1+b+c）= [5++]≥ [5+2]=3当且仅当=，即a=1且b+c=2时取等号，故答案为：3．16．已知函数f（x）=x2+4lnx，若存在满足1≤x0≤4的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣2=0垂直，则实数m的取值范围是[4，9]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为﹣1，得到2x0+=m，再由基本不等式求出左边的最小值，代入端点1和4，比较得到最大值．【解答】解：函数f（x）=x2+4lnx的导数为f′（x）=2x+（x＞0）．曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0+，由于切线垂直于直线x+my﹣2=0，则有2x0+=m，由于1≤x0≤4，则由2x0+≥2=4，当且仅当x0=∈[1，4]，取得最小值4；当x0=4时，取得最大值9．故m的取值范围是[4，9]．故答案为：[4，9]．三、解答题（1）求表中x+z的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析．先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号：（下面摘取了随机数表中第7【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；系统抽样方法．【分析】（1）利用在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中y的值，再很据总数，求的x+z的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的4个人的编号；（3）“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z），一一列举所有的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（1）∵在所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴y=800×0.2=160，则x+z=800﹣（97+153+90+160）=300，…（2）最先检测的4个人的编号为165、538、707、175；…（3）设：“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z）由（1）知，x+z=300，x≥145，z≥145，满足条件的（x，z）有，，，，，，，，，，共11组，且每组出现的可能性相同，其中事件A包含的基本事件有：，，，，，共5组，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为P（A）=．…18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：CE ⊥BF ；（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P ﹣BCF 的体积等于时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明EF ∥PB ，利用线面平行的判定定理，证明：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）证明CE ⊥平面PBD ，即可证明：CE ⊥BF ；（Ⅲ）设PF=x ．由AB=2得BD=2，CE=，所以V P ﹣BCF =V C ﹣BPF ===，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△PDB 中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点，所以EF ∥PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ．…（Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE ．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点，所以CE ⊥BD ．因为BD ∩PD=D ，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PCD ，所以CE ⊥BF ． …（Ⅲ）解：点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD ．设PF=x ． 由AB=2得BD=2，CE=，所以V P ﹣BCF =V C ﹣BPF ===．由已知=，所以x=2．因为PD=3，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…19．若数列{a n}满足a﹣a=d，其中d为常数，则称数列{a n}为等方差数列．已知等方差数列{a n}满足a n＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=na，若不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）要求数列的通项公式，我们根据数列{a n}为等方差数列，且a1=1，a5=3．我们根据等方差数列的定义：a n+12﹣a n2=d我们可以构造一个关于d的方程，解方程求出公差d，进而求出数列的通项公式；（2）求得b n的通项公式，代入kb n＞n（4﹣k）+4，分离k的取值范围，根据n的取值范围，求得k的取值范围．【解答】解：（1）由a12=1，a52=9．得，a52﹣a12=4d，∴d=2．…a n2=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵a n＞0，∴a n=，数列{a n}的通项公式为a n=；…（2）由（1）知记b n=na n2，=2n2﹣n不等式kb n＞n（4﹣k）+4恒成立，即kn2﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N*恒成立．∴k＞+，…又n≥1， +≤4．…∴k＞4，∴不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，实数k的取值范围是：k∈（4，+∞）．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且斜率为的直线l过椭圆C的焦点及点（0，﹣2）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线l的方程为y=，焦点坐标为（2，0），又椭圆C的短轴长为2，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），设直线PQ的方程为x=，与椭圆联立，得（）y2﹣﹣2=0，由此利用韦达定理、角平分线性质、椭圆性质，结合已条条件能求出点M坐标．【解答】解：（1）由题意可知，直线l的方程为y=，…∵直线l过椭圆C的焦点，∴该焦点坐标为（2，0），∴c=2，又椭圆C的短轴长为2，∴b=，∴a2=b2+c2=4+2=6，∴椭圆C的方程为．…（2）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=，由，消去x，得（）y2﹣﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=，…∵MF为∠PMQ的一条角平分线，∴k PM+k QM=0，即+=0，…又，，代入上式可得，∴，解得m=﹣3，∴点M（﹣3，0）．…21．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，解a；（2）利用极值点与其导数的关系求出a的范围，进一步求出f（x）的解析式，通过求导判断其单调性以及最值．【解答】解：（1）∵f′（x）=ln x﹣2ax+1，∴f′（1）=1﹣2a因为3x﹣y﹣1=0的斜率为3．依题意，得1﹣2a=3；则a=﹣1．…（2）证明：因为F（x）=g（x）+x2=ln x﹣2ax+1+x2，所以F′（x）=﹣2a+x=（x＞0），函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2且x1＜x2，即h（x）=x2﹣2ax+1在（0，+∞）上有两个相异零点x1，x2．∵x1x2=1＞0，∴∴a＞1．…当0＜x＜x1或x＞x2时，h（x）＞0，F′（x）＞0．当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，F′（x）＜0．所以F（x）在（0，x1）与（x2，+∞）上是增函数，在区间（x1，x2）上是减函数．因为h（1）=2﹣2a＜0，所以0＜x1＜1＜a＜x2，令x2﹣2ax+1=0，得a=，∴f（x）=x（ln x﹣ax）=xln x﹣x3﹣x，则f′（x）=ln x﹣x2+，设s（x）=ln x﹣x2+，s′（x）=﹣3x=，…①当x＞1时，s′（x）＜0，s（x）在（1，+∞）上单调递减，从而函数s（x）在（a，+∞）上单调递减，∴s（x）＜s（a）＜s（1）=﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．故f（x）＜f（1）=﹣1＜0．又1＜a＜x2，因此f（x2）＜﹣1．…②当0＜x＜1时，由s′（x）=＞0，得0＜x＜．由s′（x）=＜0，得＜x＜1，所以s（x）在[0，]上单调递增，s（x）在[，1]上单调递减，∴s（x）≤s max=ln＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＞f（1）=﹣1，∵x1∈（0，1），从而有f（x1）＞﹣1．综上可知：f（x2）＜﹣1＜f（x1）．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆所得弦长为2，求整数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．通过配方可得圆心M，半径r．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心M （0，3）到直线l的距离d，利用弦长公式即可得出．【解答】解：（1）∵圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．可得直角坐标方程：x2+y2﹣6y=﹣5，配方为：x2+（y﹣3）2=4．∴圆M 的直角坐标方程为：：x2+（y﹣3）2=4．圆心M（0，3），半径r=2．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）化为普通方程得：3x+4y﹣3a+4=0，∵直线l截圆M 所得弦长为2，且圆M 的圆心M （0，3）到直线l的距离d==．∴=22﹣，化为：16﹣3a=±5，解得a=或7．又a∈Z，∴a=7．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+1|+|x﹣1|＜8的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x++m恒成立，求实数m的最小值．【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x++m的范围，令a+b的最大值小于x++m的最小值即可．【解答】解：（1）①当x＜﹣1时，﹣x﹣1﹣x+1＜8，解得﹣4＜x＜﹣1；②当﹣1≤x≤1时，x+1﹣x+1＜8，恒成立；③当x＞1时，x+1+x﹣1＜8，解得1＜x＜4．综上，A=（﹣4，4）…（2）由（1）知：a，b∈（﹣4，4），∴a+b∈（﹣8，8）．又x∈（0，+∞）时，x+≥2=6，（当且仅当x=3时等号成立）…；∴依题意得：6+m≥8，∴m≥2，故实数m的最小值为2…xx年9月8日。
上海普陀中考数学二模试卷及答案(图片版)
上海普陀中考数学二模试卷及答案（图片
版）
2019年4月上海普陀初三数学二模考了哪些题目？数学网中考频道第一时间为大家整理2019.4上海普陀中考数学二模试卷及答案，更多上海中考二模试卷及答案详见
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上海市普陀区2019届高三二模数学试卷解析点睛版(21页)
上海市普陀区2019届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =--≤，则A B =________【答案】{1,2} 【解析】 【分析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}2{|20}12B x x x x x =--≤=-≤≤，{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为________【答案】125【解析】 【分析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果.【详解】因为双曲线22:1169x y C -=的顶点为(4,0)±，渐近线方程为：34=±=±b y x x a ，即340±=x y ，125=. 故答案为：125【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属于基础题型. 3.函数122log (1)y x x =+-的定义域为________ 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】由题意，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为122log (1)y x x =+-，所以010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<.故答案为：[0,1)【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4.设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量(1,1)d =，则直线l 的方程为____ 【答案】y x = 【解析】 【分析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程.详解】由12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩消去参数可得22(1)(1)4x y -+-=， 所以曲线C 表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆； 因此直线l 过点(1,1)，又直线l 的方向向量为(1,1)d =，所以斜率为1k =，因此，所求直线方程为：11y x -=-，即y x =. 故答案为：y x =【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.5.若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则||c di +=___ 【答案】【解析】 【分析】先由题意，得到2(1)(1)0++++=i c i d ，化简整理，再由复数相等，得到22c d =-⎧⎨=⎩，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，所以2(1)(1)0++++=i c i d ，整理得：(2)()0+++=c i c d ，因此200c c d +=⎧⎨+=⎩，解得22c d =-⎧⎨=⎩.所以||22+=-+==c di i . 故答案为：【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.6.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为________ 【答案】3π【解析】 【分析】先设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意，列出方程组求解，再由圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意可得：126r rh =⎧⎨=⎩，解得13r h =⎧⎨=⎩，所以该圆柱的体积为23ππ==V r h . 故答案为：3π【点睛】本题主要考查求圆柱的体积，熟记体积公式即可，属于基础题型.7.设x 、y 均为非负实数，且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，则68x y +的最大值为________【答案】40 【解析】 【分析】先由约束条件，作出可行域，再令68z x y =+，由68z x y =+得到348=-+z y x ，因此，当直线348=-+z y x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值，结合图像，即可求出结果.【详解】由约束条件526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩可出可行域如图所示，令68z x y =+，则348=-+z y x ，因此68z x y =+表示直线348=-+z y x 在y 轴截距8倍， 当直线348=-+z y x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值， 由图像可得：当直线348=-+z y x 过点A 时，在y 轴截距最大， 令0x =，由5x y +=得，(0,5)A ；所以max 8540=⨯=z . 故答案为：40【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.8.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为______． 【答案】0.3 【解析】 【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9 甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3=P 故答案为：0.3【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立 9.设实数a 、b 、c 满足1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =，lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，则a b c ++=___ 【答案】12【解析】 【分析】先由题意，得到0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，推出222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；再由lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，推出222lg lg lg lg lg lg ++≥++a b c a b c ，从而可得出结果. 【详解】因为1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =， 所以0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，所以2lg lg ≤a a ，2lg lg ≤b b ，2lg lg ≤c c ，即222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；又lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，所以()lg lg lg lg lg101⋅⋅≥=a b ca b c ，即222lg lg lg 1lg()lg lg lg ++≥==++a b c abc a b c ， 所以2lg lg =a a ，2lg lg =b b ，2lg lg =c c ， 则10a =或1，10b =或1，10c =或1， 不妨令10a =，则1b c ==， 因此12a b c ++=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型.10.在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________ 【答案】2； 【解析】 【分析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴= ∴点P 到底面ABCD 的距离：1829AP n d n⋅-+===+本题正确结果：2【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.11.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】tan 2arc 【解析】 【分析】先由线面垂直判定定理，得到CD ⊥平面ABC ，推出CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角，再由题中数据，即可得出结果.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥；又四面体ABCD 四个面均为直角三角形，AB BC CD ==， 所以BC CD ⊥，又BC ABB =I ，BC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ； 所以CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥，因此CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角，又AC ，所以tan2∠===CD CAD AC ，因此AD 与平面ABC 所成角大小为tan2arc 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____【答案】()(),40,-∞-+∞ 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞， 故答案为()(),40,-∞-+∞；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为且经过点，则该椭圆的标准方程为（ ）A. 22193y x +=B. 2213612x y +=C. 2213612y x +=D. 22193x y +=【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意得到2c =c =x 轴上，设椭圆方程为：22221(0)6+=>-x y a a a ，将代入方程，即可求出结果. 【详解】因为焦距为2c =c =又椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为： 22221(0)6+=>-x y a a a ，又椭圆过点，所以223216+=-a a ，解得29a =， 因此所求椭圆的方程为：22193x y +=.故选：D【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.14.在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】 【分析】先由222a b c ab +=+求出角C ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，若222a b c ab +=+，则222cos 122a b c C ab +-==，所以3C π=； 所以由“2{,}33C ππ∈”不能推出“222a b c ab +=+”；反之，能成立；故“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的必要非充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念，以及余弦定理即可，属于常考题型. 15.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，众数的概念，结合题中数据，逐个计算，即可得出结果. 【详解】对于①，中位数是指出现在中间位置的数字，由题中数据可知，该公司共60人，处在中间位置的应该是第29和第30，对于的奖金都是800，所以，中位数为800元；①正确； 对于②，根据题中数据可得，平均数800010000160001200012000640014000300010004120603++++++++==，故②错；对于③，众数是指出现次数最多的数，由题中数据可得：众数为700元；故③正确. 故选：C【点睛】本题主要考查求一组数据的中位数、平均数、众数，熟记概念即可，属于基础题型. 16.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A. π6B. π2C. 7π6D. π【答案】B 【解析】 【分析】先求()[,0]f α∈，再由存在唯一确定的β，使得()()]f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,)63326m m πππππ-∈∈.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题. 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4PB =，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =.（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P AB O --的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）12π；（2）arc 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积公式，即可求出结果；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 与平面ABO 的法向量，结合向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得， 底面圆的周长为：24ππ⋅=OB ， 所以，圆锥的表面积为：21442122πππ=⋅⋅+⋅=S ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 因为4PB =，2OB =，则==OP所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B，(0,0,P ，则(2,0,=-PA，(0,2,=-PB ， 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则2020PA n x PB n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得(3,3,1)=n ，记平面ABO 的一个法向量为(0,0,1)m =， 设二面角P AB O --的大小为θ，则cos 77θ⋅===m n m n，所以7θ=arc所以二面角P AB O --大小为arc【点睛】本题主要考查圆锥的表面积，以及求二面角的大小，熟记圆锥的表面积公式，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 18.设函数2()sin()cos 3f x x x x π=+⋅-+（1）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小正周期；（2）设44x ππ-≤≤，求函数()f x 的值域及零点. 【答案】（1）周期T π=；（2）值域11[,]24-，零点6x π=【解析】 【分析】（1）对函数化简整理，再由正弦函数的最小正周期，即可得出结果； （2）由44x ππ-≤≤得到52636πππ-≤-≤x ，根据正弦函数的性质，即可求出值域；再由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x ，结合题中范围，即可求出零点.【详解】（1）因为221()sin()cos sin cos 34224π=+⋅+=-+f x x x x x x x11sin 2sin 2423π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭x x ， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，因此11sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x 得：23x k ππ-=，k Z ∈，所以62k x ππ=+，k Z ∈，又44x ππ-≤≤，所以6x π=，即函数()f x 的零点为6x π=. 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，值域以及零点，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0x ≥）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和. （1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式；（2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积. 【答案】（1）2400k =，180052xy x =++；（2）55x =时，min 57.5y = 【解析】 【分析】（1）根据题意，先取0x =，得24100=k，求出2400k =，从而可得出结果； （2）由180018005552522+=+=+-++x x y x x ，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为公司每年燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，取0x =，得24100=k，则2400k =， 所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：240018001520100252=⨯+=+++x xy x x ，0x ≥；（2）因为180********57.5525222+=+=+-≥=++x x y x x ， 当且仅当1800552+=+x x ，即55x =时取等号. 所以安装太阳能板的面积为55时，y 取得最小值为57.5万元.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.20.设数列{}n a 满足：12a =，121n n a t a ++=⋅（其中t 为非零实常数）. （1）设2t =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求出通项公式；（2）设3t =，记1||n n n b a a +=-，求使得不等式1233940kb b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k ；（3）若2t ≠，对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<，当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值.的【答案】（1）1322n a n =+，见解析；（2）10；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)1t =时,根据定义可证数列是等差数列,根据等差数列的通项公式可求; (2)3t =时,将已知变形可得数列{1}n a -是等比数列,可得{}n a 的通项公式, 可得{}n b 的通项公式,再求和解不等式可得; (3)2t ≠且t N ∈时,将已知变形为1121()22n n a a t t t +-=---,可得数列1{}2n a t --为等比数列,可求得n a ,再根据数列{}n a 递增可求得1t =,再由1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列,可得(321)(321)25p q ⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,所以只能是1p q t ===. 【详解】(1)证明:2t =时,由1212n n a a ++= 得112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是首项为12a =,公差为12的等差数列,所以113(1)2(1)22n n a a n d n +=+-=+-⨯=. (2)3t =时,由1213n n a a ++=得121(1)3n n a a +-=-. 因为11211a -=-=,所以数列{1}na -是首项为1,公比为23的等比数列, 所以1211()3n n a --=⨯12()3n -=,所以121()3n na -=+, 所以112212|||1()1()|()3323n n nn n nb a a -+=-=+--=⨯, 所以122kb b b b ++++22[1()]1332213k -=⨯-21()3k =-, 所以2391()340k -≥,即21()340k ≤,所以21lg lg 340k ≤,所以(lg 2lg3)2lg 21k -≤--,所以2lg 21lg 3lg 2k +≥-20.301010.47710.3010⨯+=-9.097≈.所以使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k 为10.(3)2t ≠时,由121n n a t a ++=⋅,得121n n a a t t+=+, 得1121()22n n a a t t t +-=---, 所以11112()()22n n a a t t t--=---, 所以1121(2)()22n n a t t t -=-+--, 由1t a +知t 为自然数,所以122t --0>, 又对于任意正整数n ，均有1n n a a +<, 所以数列{}n a 为递增数列, 所以21t>,又t N ∈, 所以1t =,所以1321n n a -=⨯-,所以123215t a a +==⨯-=,因为1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列,所以2111t p q a a a +++=⋅,即25(321)(321)p q =⨯-⨯⨯-. 即(321)(321)25p q ⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,3211p ⨯-≠,3211q ⨯-≠, 所以只能有3213215p q ⨯-=⨯-=, 所以1p q ==, 综上1p q t ===.【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式,等差数列的证明,等比数列的通项公式,数列的单调性,本题属于难题.21.设曲线2:2y pxΓ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，的切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求DAB ∆的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；（3）设点M 满足OM OA OB =+，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，点D 的坐标为(2,0)p - 【解析】 【分析】（1）由题意求出抛物线方程2:4y x Γ=，得到=±y 设切点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意得到切线DA 、DB 的方程根据(4,2)D -在两切线上，求出直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线，根据弦长公式，以及三角形面积公式，即可求出结果；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，类比（1）求出直线DA 、DB 的方程，联立方程求出点D 纵坐标，根据题意，即可证明结论成立；（3）先假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上，设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，由题意得到MN 的中点Q 和点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线AB 上，列出方程组，根据题意求出(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ；分别讨论00y =和00y ≠两种情况，即可得出结果.【详解】（1）因为(4,2)D -，且D 是直线:2l x p =-上的任意一点，所以24p =，所以2p =，曲线2:4y x Γ=，即=±y ，所以'=y，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中10y >，20y <，则2114y x =，2224y x =，所以切线DA12=y ，切线DB22=y ，故切线DA 的方程为：1112()-=-y y x x y ，即211112222=-+=+y y x x y x x ， 同理：切线DB 的方程为2222=+y y x x ， 因为(4,2)D -在两切线上，所以1122282282y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，故A 、B 都在直线282=-+y x ，即40x y --=上， 所以，直线AB 的方程为40x y --=，由2404x y y x --=⎧⎨=⎩可得：212160-+=x x ，所以12121216x x x x +=⎧⎨=⎩，因此==AB又D 到直线AB的距离为：==d所以12∆=⨯=DAB S （2）如图所示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线DA 的方程为：11()=+y y P x x ，即2112=+y y y px ，同理可得直线DB 的方程为：2222=+y y y px ，由21122222y y y px y y y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y y +=，由于点D 的纵坐标为0y ，所以1202y y y +=，即1202y y y +=；（3）假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上， 设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，由题意得：1212(,)++M x x y y ，则MN 的中点Q 的坐标为123123,22++++⎛⎫⎪⎝⎭x x x y y y ， 又122212120222-===+-AB y y p pk y y y y y p p， 直线AB 的方程为：110()-=-py y x x y ，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，即12312311022++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y y x x x p y x y ，121211022++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y x x p y x y ， 两式相减可得：330=py x y ；若33(,)N x y 在抛物线上，则2332=y px ，因此30=y 或302=y y ，即(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ； ①当00y =时，12020+==y y y ，此时(2,0)-D p ，满足题意；②当00y ≠时，对于(0,0)N ，此时22120,22⎛⎫+ ⎪⎝⎭y y M y p ，0022221212242==++MN y py k y y y y p，又0AB pk y =，由MN AB ⊥，所以02201241⋅=⋅=-+MN AB py pk k y y y ， 即222124+=-y y p ，矛盾；对于2002,2⎛⎫ ⎪⎝⎭y N y p ，因为22120,22⎛⎫+ ⎪⎝⎭y y M y p ，此时直线MN 平行于x 轴，又0AB p k y =，所以直线MN 与直线AB 不垂直，与题设矛盾； 所以00y ≠时，不存在符合题意的点D ；综上所述，仅存在一点(2,0)-D p ，满足题意.【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，以及抛物线中存在定点满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，属于常考题型.。
上海市普陀区2019-2020学年第二学期6月高三调研考试(二模)数学试卷(含答案)
上海市普陀区2019-2020学年第二学期高三数学质量调研2020.6考生注意：1.本议卷共4页，21i草试翅，；高分150分，考试时间120分钟。
2本考试分试卷和答是4纸。
议.4a.J·s 筑起与答题妥求。
作答必须涂（选择是＆）主义写（非选择地）在答豆豆纸上，在议卷土作答一律不符分。
3.答卷前，务必用钢笔或因珠笔在答题纸正面清楚地挨写姓名、准考证号，并将核对后的条玛贴在指定位直主，在�题纸反而清楚地填写姓名一、填主题（本大题共有12题满分54分〉考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个主格填对前6题得4分、后6题得5分，否则－律得零分。
1.数组“2,1.5,2.9, 4.8, 5, 4.3”的中位数为·－ m 数实口mhqu l －－x y rtl气ttt 为η4T am hu n川口在S嘉吁方性线的、、自1···E 7m 句3’17“。
／’’EBEEt 哈Y 且／阵何把广增＋右内43.己知i J..J 虚数单位，若复数z 满足z+z=l ＋（α－5)i ，则实数α的值为·1.己知等比数列（吼，｝（n EN °）满足。
2a 6= 4（川，贝问＝一一lx -y 兰05.己知实数x 、y 满足条件�y 三0．贝。
目标怀l敬z=2x +y 的最大值为·Ix + y 豆I 6. A,B,C,D 四位同学参加甲、己两项志愿者－活动，两人一组，则A,B 两位同学在同一组的概率为.（结果用最简分数表示）7.己知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图J{r 示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为－第7题图8.设（x+1）”＝。
，，（x 一I）”＋叽－1(x 一I）”－•+ ... +a 1(x-1）＋句，着a n ＋吼叫＋... +a 1 +a 0 = 729，则α3＝·� I 叶C s9.设S n 是等差数列｛。
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习(二模)数学试题附答案解析
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
上海市普陀区2019届高三数学3月二模试卷
上海市普陀区2019届高三数学3月二模试卷一、单选题 (共4题；共8分)1．（2分）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 π2 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√632．（2分）在 △ABC 中， AB =2 ， BC =1.5 ， ∠ABC =120∘ ，若将 △ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A ．92πB ．72πC ．52πD ．32π3．（2分）将函数 y =sin(x −π12) 图象上的点 P(π4，t) 向左平移 s(s >0) 个单位，得到点 P′ ，若 P′ 位于函数 y =sin2x 的图象上，则（ ）A ．t =12 ，s 的最小值为 π12B ．t =√32 ，s 的最小值为 π6C ．t =12，s 的最小值为 π6D ．t =√32，s 的最小值为 π124．（2分）已知x ， y ∈R ，且 {√3x +y ≤4√3√3x −y ≥0y ≥0，则存在 θ∈R ，使得 xcosθ+ysinθ+1=0成立的 P(x,y) 构成的区域面积为（ ）A ．4√3−π6B ．4√3−π3C ．π2D ．√34+π6二、填空题 (共12题；共12分)5．（1分）已知集合 A ={x||x −1|〉3} ， U =R ，则 ∁U A = ． 6．（1分）已知复数 z =1+3ii(i 是虚数单位 ) ，则 z 的虚部等于 ． 7．（1分）计算 lim n→∞C n22n 2+n= ． 8．（1分）行列式 42k−354−11−2 中第2行第1列元素的代数余子式的值为 −10 ，则k = ．9．（1分）502019+1 被7除后的余数为 ．10．（1分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是11．（1分）已知 tan(α+β)=1 ， tan(α−β)=7 ，则 tan2β= ．12．（1分）从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是 ．13．（1分）如果(x 2−12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 ．14．（1分）若关于x 、y 的二元一次方程组 (m11m)(y x )=(2m m+1) 至少有一组解，则实数m 的取值范围是 ．15．（1分）已知 a →=(a 1,a 2,a 3) ， b →=(b 1,b 2,b 3) ，且 |a →|=3 ， |b →|=4 ， a →⋅b →=12 ，则 a 1+a 2+a 3b 1+b 2+b 3=16．（1分）已知函数 f(x)={4−x −1，x ≤0−4x 2+8x ，x >0，若存在唯一的整数x ，使得不等式 f(x)−a x >0 成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 (共5题；共60分)17．（10分）已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、 D 1C 1 的中点，联结EF 、 FB 1 、 FA 1 、 D 1 E 、 A 1 E 、 B 1 E.（1）（5分）求三棱锥 A 1−FB 1E 的体积；（2）（5分）求直线 D 1E 与平面 B 1EF 所成角的大小 ( 结果用反三角函数值表示 ) ．18．（10分）已知函数 f(x)=ax 2−2ax +2(a >0) 在区间 [−1,4] 上的最大值为10．（1）（5分）求a 的值及 f(x) 的解析式；（2）（5分）设 g(x)=f(x)x ，若不等式 g(3x )−t ⋅3x ≥0 在 x ∈[0,2] 上有解，求实数t 的取值范围．19．（10分）如图所示，某城市有一条从正西方AO 通过市中心O 后向东北OB 的公路，现要修一条地铁L ，在OA ，OB 上各设一站A ，B ，地铁在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为 10(km) ，设地铁在AB 部分的总长度为 y(km) ．（1）（5分）按下列要求建立关系式： (i) 设 ∠OAB =α ，将y 表示成 α 的函数； (i) 设 OA =m ， OB =m 用m ，n 表示y ．（2）（5分）把A ，B 两站分别设在公路上离中心O 多远处，才能使AB 最短？并求出最短距离．20．（15分）已知动直线l 与椭圆C ： x 22+y 2=1 交于 P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) 两个不同的点，O为坐标原点．（1）（5分）若直线l 过点 (1,0) ，且原点到直线l 的距离为 √22 ，求直线l 的方程；（2）（5分）若 △OPQ 的面积 S △OPQ =√22 ，求证： x 12+x 22 和 y 12+y 22 均为定值； （3）（5分）椭圆C 上是否存在三点D 、E 、G ，使得 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22？若存在，判断 △DEG 的形状；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知无穷数列 {a n } 的各项都不为零，其前n 项和为 S n ，且满足 a n ⋅a n+1=S n (n ∈N ∗) ，数列 {b n } 满足 b n =a na n+t ，其中t 为正整数．（1）（5分）求 a 2018 ；（2）（5分）若不等式 a n 2+a n+12<S n +S n+1 对任意 n ∈N ∗ 都成立，求首项 a 1 的取值范围；（3）（5分）若首项 a 1 是正整数，则数列 {b n } 中的任意一项是否总可以表示为数列 {b n } 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=√2．∴O1为△ABC的中心.∴O1A=√63．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=√33．故答案为：B．【分析】根据球面上点的特点，结合几何体的特征，求出线段的长度，即可求出球心到相应平面的距离.2．【答案】D【解析】【解答】如图，ΔABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为|AB|=2，|BC|=32，∠ABC=1200，所以|AE|=|AB|sin600=√3，|BE|=|AB|cos600=1.V1=13π⋅AE2⋅CE=5π2，V2=13π⋅AE2⋅BE=π，所以V=V1−V2=32π.故答案为：D.【分析】根据几何体的结构特征，结合圆锥的体积公式，即可求出旋转体的体积.3．【答案】C【解析】【解答】将x=π4代入得：t=sinπ6=12，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin(x−π12)图象上的点P(π4，t)向左平移s(s>0)个单位，得到点P′( π4−s，t)，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin(π2−2s)=cos2s=12，则2s=±π3+2kπ，k∈Z，则s=±π6+kπ，k∈Z，由s>0得：当k=0时，s的最小值为π6，故答案为：C．【分析】根据图象变换，求出点的坐标，根据点在函数图象上，即可求出t和s的最小值. 4．【答案】A【解析】【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则√x2+y2(x√x+yy√x+y=−1，令sinα=x√x+y，则cosθ=y√x+y，则方程等价为√x2+y2sin(α+θ)=−1，即sin(α+θ)=1√x+y，∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|1√x +y ≤1 ，即 x 2+y 2≥1 ，则对应的区域为单位圆的外部，由 {√3x +y =4√3√3x −y =0 ，解得 {x =2y =2√3 ，即 B(2,2√3) ， A(4,0) ， 则三角形OAB 的面积 S =12×4×2√3=4√3 ， 直线 y =√3x 的倾斜角为 π3 ，则 ∠AOB =π3 ，即扇形的面积为 π6 ， 则 P(x,y) 构成的区域面积为 S =4√3−π6 ，故答案为：A ．【分析】作出可行域，结合直线方程中参数的几何意义，求出点的坐标，即可求出相应区域的面积.5．【答案】[−2,4]【解析】【解答】 A ={x||x −1|〉3}={x|x −1〉3 或 x −1<−3}={x|x〉4 或 x <−2} ，则 ∁U A ={x|−2≤x ≤4} ， 故答案为： [−2,4] ．【分析】根据补集运算直接写出相应的集合即可.6．【答案】-1【解析】【解答】 ∵z =1+3i i =(1+3i)(−i)−i2=3−i ， ∴z 的虚部等于 −1 ． 故答案为： −1 ．【分析】根据复数除法运算求出z ，直接写出z 的虚部即可.7．【答案】14【解析】【解答】 ∵∁n 2=n(n−1)2 ， ∴∁n 22n 2+n=n−14n+2 ． ∴ 原式 =n →∞lim 1−1n 4+2n=14 ． 故答案为： 14．【分析】根据组合数的运算，求出相应的式子，取极限即可.8．【答案】-14【解析】【解答】由题意得 M 21=(−1)32k 1−2=2×2+1×k =−10解得： k =−14 ．故答案为： −14 ．【分析】根据行列式的运算，解方程求出k 值即可.9．【答案】2【解析】【解答】 502019+1=(1+7)2019+1=1+∁20191⋅7+∁20192⋅72+⋯…+∁20192019⋅72019+1 =7(∁20191+∁20192⋅7+⋯…+∁20192019⋅72018)+2 ． ∴502019+1 被7除后的余数为2， 故答案为：2．【分析】根据二项式定理，写出相应的展开式，提取公因数7，即可求出相应的余数.10．【答案】4√10π【解析】【解答】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为 √22+62=2√10 ，故侧面积为 S =πrl =π×2×2√10=4√10π ， 故答案为 4√10π .【分析】根据三视图，确定几何体的结构特征，即可求出母线长和几何体的侧面积.11．【答案】−34【解析】【解答】 tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=1−71+1×7=−34 , 故答案为： −34【分析】根据角的关系，结合两角差的正切公式，即可求出相应的正切值.12．【答案】310【解析】【解答】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数 n =C 53=10 ， “甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有 m =C 11C 32=3 ，∴ “甲被选中，乙没有被选中”的概率 P =m n =310． 故答案为： 310．【分析】求出基本事件总数和相应事件所含基本事件数，结合古典概型，即可求出相应的概率.13．【答案】164【解析】【解答】二项式(x 2−12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则 n =6 ,令 x =1 可得展开式中的所有项的系数之和是 (1−12)6=164.【分析】根据二项式系数最大的特点求出n ，采用赋值法，即可求出所有项系数之和.14．【答案】(−∞,−1)∪(−1,+∞)【解析】【解答】关于x ，y 的二元一次方程组 (m11m)(y x )=(2m m+1) ，即二元一次方程组 {mx +y =m +1x +my =2m，若直线 mx +y −(m +1)=0 与直线 x +my −2m =0 平行，则 {m 2−1=0−2m 2+m +1≠0，解得 m =−1 ． ∴ 若关于x 、y 的二元一次方程组 (m11m)(y x )=(2m m+1) 至少有一组解， 则 m ≠−1 ，即 m ∈(−∞,−1)∪(−1,+∞) ． 故答案为： (−∞,−1)∪(−1,+∞) ．【分析】根据二元一次方程组解的情况，确定系数的关系，解不等式组，即可求出m 的取值范围.15．【答案】34【解析】【解答】由 |a →|=3 ， |b →|=4 ，得 a →⋅b →=|a →|×|b →|×cosθ=3×4×cosθ=12 ， ∴cosθ=1 ；又 θ∈[0,π] ， ∴θ=0 ； ∴a →=λb → ，且 λ>0 ；则 |a →|=λ|b →| ， ∴λ=|a →||b →|=34， ∴a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=λ=34 ， ∴a 1+a 2+a 3b 1+b 2+b 3=λ=34 ．故答案为： 34．【分析】根据空间向量的数量积运算，求出余弦值，即可求出相应的比值.16．【答案】[0，3]∪[4，15]【解析】【解答】根据题意，函数f(x)={4−x−1，x≤0−4x2+8x，x>0，其图象如图：分2种情况讨论：①，当x>0时，f(x)≤f(1)=4，若存在唯一的整数x，使得不等式f(x)−ax>0成立，即f(x)−a>0有唯一的整数解，又f(2)=0，则此时有0≤a<4．②，当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，若存在唯一的整数x，使得不等式f(x)−ax>0成立，即f(x)−a<0有唯一的整数解，又由f(−1)=3，f(−2)=15，则此时有3<a≤15，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．【分析】作出分段函数的图象，结合不等式的解集与方程实数根和函数图象交点横坐标的关系，即可求出a的取值范围.17．【答案】（1）解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E.∴三棱锥A1−FB1E的体积V A1−FB1E =V E−A1B1F=13×AA1×S△A1B1F =13×4×12×4×4=323．（2）解：以D 为原点，DA ，DC ， DD 1 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D 1(0, 0， 4) ， E(4, 2， 0) ， B 1(4, 4， 4) ， F(0, 2， 4) ，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 2， 4) ， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4, 0， 4) ， ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−2,4) ，设平面 B 1EF 的法向量 n →=(x, y ， z) ，则 {n →⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +4z =0n →⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +4z =0，取 x =1 ，得 n →=(1,−2,1) ，设直线 D 1E 与平面 B 1EF 所成角的大小为 θ ，则 sinθ=|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n →||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n →|=436⋅6=√69 ， ∴ 直线 D 1E 与平面 B 1EF 所成角的大小为 arcsin √69．【解析】【分析】（1）根据正方体的结构特征和三棱锥的体积公式，代入求出体积即可；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出线面角的大小.18．【答案】（1）解： f′(x)=2ax −2a =2a(x −1) ， (a >0) ，令 f′(x)>0 ，解得： x >1 ，令 f′(x)<0 ，解得： x <1 ，故 f(x) 在 [−1,1) 递减，在 (1,4] 递增， ∵1−(−1)<4−1 ， 故 f(x)max =f(4)=16a −8a +2=8a +2=10 ，解得： a =1 ， 故 f(x)=x 2−2x +2 ；（2）解：由 (1)g(x)=x +2x−2 ，若不等式 g(3x )−t ⋅3x ≥0 在 x ∈[0,2] 上有解，则 3x +23x −2−t ⋅3x ≥0 在 x ∈[0,2] 上有解，即 t ≤2(13x )2−2(13x )+1=2(13x −12)2+12 在 x ∈[0,2] 上有解，令13x=u∈[19,1]，∵x∈[0,2]，则t≤2(u−12)2+12在u∈[19,1]上有解，当u∈[19,1]时，2(u−12)2+12∈[12,1]，于是t≤1，故实数t的范围是(−∞,1]．【解析】【分析】（1）求导数，解不等式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最值即可；（2）构造函数，将不等式进行转化，采用换元法，求出二次函数的最值，即可求出t的取值范围. 19．【答案】（1）解：(i)过O作OH⊥AB于H由题意得，∠AOH=π2−α,∠BOH=π−π4−(π2−α)=π4+α且0<α<π2,tan∠AOH=cotα=AH10即AH=10cotα, tan∠BOH=tan(π4+α)=BH10即BH=10tan(π4+α)∴AB=BH+AH=10tan(π4+α)+10cotα=10(cosαsinα+sinα+cosαcosα−sinα)=20√2sin(2α+π4)−1；(ii)由等面积原理得12⋅AB⋅10=12mnsin3π4即AB=y=mn10√2（2）解：选择方案一：当α=π8时|AB|min=20(√2+1)，此时OA=OB=10sinπ8，而cosπ4=1−2sin2π8=√22所以OA=OB=10√4+2√2.选择方案二：因为tan∠AOB=3π4，由余弦定理得AB2=m2+n2−2mncos3π4=m2+n2+√2mn≥(2+√2)mn∴AB2≥20(√2+1)AB，即AB≥20(√2+1)(当且仅当m=n=10√4+2√2时取等号)【解析】【分析】（1）根据角的关系，结合两角和的正切公式，即可表示相应的函数；（2）根据余弦定理，结合基本不等式，即可求出最小值及相应的m和n的值.20．【答案】（1）解：设直线方程为x=my+1，∵原点到直线l的距离为√22，∴d=1√1+m =√22，解得m=±1时，此时直线方程为x±y−1=0（2）解： 1∘ 当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以 x 1=x 2 ， y 1=−y 2 ， ∵P(x 1,y 1) 在椭圆上， ∴x 122+y 12=1① 又 ∵S △OPQ =√22 ， ∴|x 1||y 1|=√22②由 ①② 得 |x 1|=1 ， |y 1|=√22. 此时 x 12+x 22=2 ， y 12+y 22=1 ； 2∘ 当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为 y =kx +m(m ≠0) ，将其代入 x 22+y 2=1 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2(m 2−1)=0 ， △=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−1)>0 即 2k 2+1>m 2 ，又 x 1+x 2=−4km2k 2+1 ， x 1⋅x 2=2(m 2−1)2k 2+1 ， ∴|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 22√2⋅√2k2+1−m 22k 2+1，∵ 点O 到直线l 的距离为 d =|m|√1+k ，∴S △OPQ =12|PQ|⋅d =√2√1+k 2⋅√2k 2+1−m 22k 2+1⋅√1+k 2=√2⋅√2k 2+1−m 22k 2+1⋅|m|又 S △OPQ =√22，即 √2⋅√2k 2+1−m 22k 2+1⋅|m|=√22整理得 2k 2+1=2m 2 ，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(4km2k 2+1)2−2×2(m 2−1)2k 2+1=2 ， y 12+y 22=(1−12x 12)+(1−12x 22)=2−12(x 12+x 22)=1 ； 综上所述 x 12+x 22=2 ， y 12+y 22=1. 结论成立．（3）解：椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22 ，证明：假设存在 D(u,v) ， E(x 1,y 1) ， G(x 2,y 2) ，使得 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22由 (2) 得 u 2+x 12=2 ， u 2+x 22=2 ， x 12+x 22=2 ； v 2+y 12=1 ， v 2+y 22=1 ， y 12+y 22=1解得 u 2=x 12=x 22=1 ； v 2=y 12=y 22=12 ．因此u ， x 1 ， x 2 只能从 ±1 中选取， v ， y 1 ， y 2 只能从 ±√22中选取，因此点D ，E ，G ，只能在 (±1,±√22) 这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G ．【解析】【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，解方程，求出m ，即可得到直线方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，即可证明相应的式子成立；（3）根据三角形的面积，结合相应点的横、纵坐标的关系，即可确定不存在满足条件的三点.21．【答案】（1）解：令 n =1 ，则 a 1a 2=S 1 ，即 a 1a 2=a 1 ，又 a 1≠0 ， 所以 a 2=1 ；由 a n ⋅a n+1=S n ，得 a n+1⋅a n+2=S n+1 ， 两式相减得 (a n+2−a n )a n+1=a n+1 ， 又 a n+1≠0 ， 故 a n+2−a n =1 ，所以 a 2018=a 2+(20182−1)×1=1009 ．（2）解：由（1）知数列 {a 2n } 是首项为 a 2=1 ，公差为1的等差数列； 数列 {a 2n−1} 是首项为 a 1 ，公差为1的等差数列．故 a n ={a 1+n−12,n 是奇数，n2,n 是偶数. 所以 S n ={n+12a 1+n 2−14,n 是奇数，n 2a 1+n 24，n 是偶数 ①当 n 时奇数时， a n2+a n+12<S n +S n+1 ，即 (a 1+n−12)2+(n+12)2<(n+12a 1+n 2−14)+[n+12a 1+(n+1)24] ，即 a 12−2a 1<n−12 对任意正奇数 n 恒成立，所以 a 12−2a 1<0 ，解得 0<a 1<2 ． ②当 n 时偶数时， a n2+a n+12<S n +S n+1 ，即 (n 2)2+(a 1+n 2)2<(n 2a 1+n 24)+[n+22a 1+(n+1)2−14] ，即 a 12−a 1<n2 对任意正偶数 n 恒成立，所以a12−a1<1，解得1−√52<a1<1+√52．综合①②得0<a1<1+√52．（3）解：由数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列；数列{a2n−1}是首项为正整数a1，公差为1的等差数列知，数列{a n}的各项都是正整数．设b n=b m b k，即a na n+t=a ma m+t⋅a ka k+t，所以a m=a n(a k+t)a k−a n，取k=n+2，取a k−a n=1，故a m=a n(a n+2+t)，不妨设m是偶数，则m2=a n(a n+2+t)一定是整数，故当n是偶数时，方程b n=b m b k的一组解是{k=n+2,m=n(n2+t+1),当n是奇数时，方程b n=b m b k的一组解是{k=n+2,m=2(a1+n−12)(a1+n+12+t),所以数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【解析】【分析】（1）写出S n+1，两式相减，确定数列的特点，即可求出相应项的值；（2）由（1）确定数列{a2n}是首项为a2=1，公差为1的等差数列；数列{a2n−1}是首项为a1，公差为1的等差数列，对n的奇偶分情况讨论，即可证明相应的不等式；（3）确定数列的特点，假设m是偶数，对n的奇偶分情况讨论，即可确定相应的结论.。
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习(二模)数学试题(含参考答案)
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC 的距离为 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则 A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
2019届普陀区高三二模数学Word版(附解析)
上海市普陀区2019届高三二模数学试卷2019、4一、 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1、 设集合{1,2,3}A =,2{|20}B x x x =--≤,则A B =I2、 双曲线22:1169x y C -=得顶点到其渐近线得距离为 3、 函数122log (1)y x x =+-得定义域为4、 设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数,02θπ≤≤)得中心,且其方向向量(1,1)d =u r,则直线l 得方程为5、 若复数1i z =+(i 为虚数单位)就是方程20x cx d ++=(c 、d 均为实数)得一个根,则|i |c d +=6、 若圆柱得主视图就是半径为1得圆,且左视图得面积为6,则该圆柱得体积为7、 设x 、y 均为非负实数,且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩,则68x y +得最大值为8、 甲约乙下中国象棋,若甲获胜得概率为0、6,甲不输得概率为0、9,则甲、乙与棋得概率为9、 设实数a 、b 、c 满足1a ≥,1b ≥,1c ≥,且10abc =,lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥,则a b c ++=10、 在四棱锥P ABCD -中,设向量(4,2,3)AB =-u u u r ,(4,1,0)AD =-u u u r ,(6,2,8)AP =--u u u r,则顶点P 到底面ABCD 得距离为11、 《九章算术》中称四个面均为直角三角形得四面体为鳖 臑,如图,若四面体ABCD 为鳖臑,且AB ⊥平面BCD ,AB BC CD ==,则AD 与平面ABC 所成角大小为(结果用反三角函数值表示)12、 设函数()f x 就是定义在R 上得偶函数,记2()()g x f x x =-,且函数()g x 在区间[0,)+∞上就是增函数,则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+得解集为二、 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13、 若椭圆得焦点在x 轴上,焦距为26,且经过点(3,2),则该椭圆得标准方程为( )A 、 22193y x +=B 、 2213612x y +=C 、 2213612y x +=D 、 22193x y +=14、 在△ABC 中,设三个内角A 、B 、C 得对边依次为a 、b 、c ,则“2{,}33C ππ∈”就是“222a b c ab +=+”成立得( )A 、 充分非必要条件B 、 必要非充分条件C 、 充要条件D 、 既非充分又非必要条件 15、 某公司对4月份员工得奖金情况统计如下: 奖金(单位:元) 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500 员工(单位:人)12461282052根据上表中得数据,可得该公司4月份员工得奖金:① 中位数为800元;② 平均数为 1373元;③ 众数为700元,其中判断正确得个数为( )A 、 0B 、 1C 、 2D 、 3 16、 设函数()sin()6f x x π=-,若对于任意5[,]62ππα∈--,在区间[0,]m 上总存在唯一确 定得β,使得()()0f f αβ+=,则m 得最小值为( )A 、6π B 、 2πC 、 76πD 、 π 三、 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17、 如图所示,圆锥得顶点为P ,底面中心为O ,母线4PB =,底面半径OA 与OB 互相垂直,且2OB =、 (1)求圆锥得表面积;(2)求二面角P AB O --得大小(结果用反三角函数值表示)、 18、 设函数23()sin()cos 3cos 3f x x x x π=+⋅-+、 (1)当x ∈R 时,求函数()f x 得最小正周期; (2)设44x ππ-≤≤,求函数()f x 得值域及零点、19、 某热力公司每年燃料费约24万元,为了“环评”达标,需要安装一块面积为x (0x ≥) (单位:平方米)可用15年得太阳能板,其工本费为2x(单位:万元),并与燃料供热互 补工作,从此,公司每年得燃料费为20100kx +(k 为常数)万元,记y 为该公司安装太阳能板得费用与15年得燃料费之与、 (1)求k 得值,并建立y 关于x 得函数关系式;(2)求y 得最小值,并求出此时所安装太阳能板得面积、20、 设数列{}n a 满足:12a =,121n n a t a ++=⋅(其中t 为非零实常数)、(1)设2t =,求证:数列{}n a 就是等差数列,并求出通项公式; (2)设3t =,记1||n n n b a a +=-,求使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立得最小正整 数k ;(3)若2t ≠,对于任意得正整数n ,均有1n n a a +<,当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时,求t 、p 、q 得值、21、 设曲线2:2y px Γ=(0p >),D 就是直线:2l x p =-上得任意一点,过D 作Γ得切线,切点分别为A 、B ,记O 为坐标原点、 (1)设(4,2)D -,求△DAB 得面积;(2)设D 、A 、B 得纵坐标依次为0y 、1y 、2y ,求证:1202y y y +=;(3)设点M 满足OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r,就是否存在这样得点D ,使得M 关于直线AB 得对称点N在Γ上？若存在,求出D 得坐标,若不存在,请说明理由、参考答案一、 填空题1、 {1,2}2、1253、 [0,1)4、 y x =5、 226、 3π7、 408、 0.39、 12 10、 2 11、 2arctan 212、 (,4)(0,)-∞-+∞U 二、 选择题13、 D 14、 B 15、 C 16、 B 三、 解答题17、(1)12π;(2)arctan 6、18、(1)1sin(2)23y x π=-,T π=;(2)值域11[,]24-,零点6x π= 19、(1)2400k =,180052xy x =++;(2)55x =时,min 57.5y =20、(1)1322n a n =+;(2)10;(3)略21、(1)205;(2)略;(3)(2,0)p -。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—解析几何及答案
2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。