北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.1认识分式5.2分式的乘除法优秀PPT课件
a 1 11 解:(1)当a=1时, 2. 2a 1 2 1 a 1 2 1 1. 当a=2时, 2a 1 4 1 a 1 1 1 0. 当a=-1时, 2a 1 2 1
(2)当分母的值为零时,分式没有 意义,除此以外,分式都有意义.
b by (1) (y≠0); 2 x 2 xy
〔解析〕
(2)
ax a . bx b
据分式的基本性质,分子b 也要乘y,才能得到 2 xy .(2)
b (1) 的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根 2x by
得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知 解:(1)因为y≠0,所以
ax 的分子ax除以x bx ax
的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.
无意义.试求m,n的值.
x m n1 4.对于分式 ，已知当x=-3时,分式的值为0；当x=2时,分式 m 2n 3m
解:∵当x=-3时，分式的值为0,
3 m n 0， m+n -3， 即 m 2n 9 0， m 2n 9.
问题2
如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影
部分的面积是多少?
问题3 这两块阴影部分的面积相等吗?
请看下面的问题:
问题1
如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形
的宽怎么表示呢? 问题2 如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起, 它的宽怎么表示呢? 问题3 两图中长方形的宽相等吗?
2.若分式
2x 1 有意义,则x的取值范围是 3x 5
5 3
.
5 解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠- 5 ,因此x的取值范围是x≠5 填x≠- . 3 3
3
.故
3.若分式
x2 1 x 1
的值为0,则x的值是
1
.
2 x 1 解析:在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式 x 1
通过怎样的变形可以使它们相等呢? 问题7 能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗? 总结:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的 整式,分式的值不变.
这一性质可以用式子表示为:
b bm b b m (m≠0). ， a am a a m
(教材例2)下列等式的右边是怎样从左边得到的?
a 1 (教材例1)(1)当a=1,2,-1时,分别求分式 的值; 2a 1 a 1 (2)当a取何值时,分式 有意义? 2a 1
【解析】 (1)分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是 字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.(2)只 有当分式的分母不为0时,分式才有意义.
A 一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为 的形式,如果B中含 B A 有字母,那么称 为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母. B 对于任意一个分式,分母都不能为零.
[知识拓展] 1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上 是一个商式,其分子是被除式,分母是除式. 2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式. 3.分式的概念包括3个方面: (1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分 数线起除号的作用; (2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不 含字母,这是区别整式的重要依据; (3)在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义. 这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就 是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.
.
1 由分母2a-1=0,得a= . 2
1 a 1 所以当a≠ 时,分式 2 2a 1 有意义.
检测反馈
1 1.(2015· 随州中考)若代数式 x 1 x 有意义,则实数x的取值范围是 ( D
)
A.x≠1 C.xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
B.x≥0 D.x≥0且x≠1
x 1 0， 解析:若代数式 1 x 有意义,则有 解得x≥0且x≠1.故选D. x 1 x 0,
(2)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每 册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降 价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?
2400 解:(1) x
2400 x 30
(2)
b 册. ax
1.分式初探 (针对前面列出的三个代数式)思考问题: (1)整式中的分母有没有字母? (2)前面的三个代数式中,分母中有没有字母? (3)前面的三个代数式是不是分数呢? (4)前面的三个代数式中,字母能取任意值吗? (5)前面的三个代数式的值在什么情况下为零? 2.认识分式 总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然 也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.
2 1 问题4 通过怎样的变形可以由 得到 2a ? a 1 2 通过怎样的变形可以由 得到 ?变形的依据是什么? 2a a
问题5
n . 若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢? an
问题6 若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?
m 1 1 2 和 ， 相等吗？ 追问： a (m 1) a 2a
第五 章 分式与分式方程
问题思考
【问题】
学习新知
学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:
(1)面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙 造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果 提前完成原计划的任务. 如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需 要 个月,实际完成造林任务用了 个月.
又∵当x=2时,分式无意义, ∴m-2n+3×2=0,即m-2n=-6.
m+n -3， m -4， 解方程组 得 m 2 n 6 n 1.
第五 章 分式与分式方程
问题思考
学习新知
问题1 如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,则阴影部 分的面积是多少?
北师大版八下数学第五章 分式与分式方程第1节《认识分式(1)》教学_PPT课件
2400 2400
x
x 30
合作交流，探索新知
观察上面问题中出现的式子
s
v 2400 2400
a
s
x x 30
它们有什么共同特征？它们与整式中的分数有什么不同？
这些式子都是 A 的形式， 分子、分母都是整式， B
分母中都含字母，整式分母中不含字母。
一个概念：
2.当x取什么值时，下列分式的值为零？
x
x 2
x 1
x2
应用新知 巩固提升
拓展研究
二、分式的求值（分式值的正负性）
x 1 3、已知y= x 2 , x取何值时:
（1）y的值是正数？ （2）y的值是负数？
归纳总结，形成体系
①分子分母都是整式
一个概念
分式的概念 ②分母中含有字母 ③分母不能为零。
分式有无意义的讨论 分式无意义的条件 分母等于零 分式有意义的条件 分母不等于零
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
第五章 分式与 分式方程
5.1 认识分式（1）
创设情境 新知引入
学 新知习探目究标
填空：
（1）长方形的面积为S cm2，长为acm，宽应
为 cm.
cm水倒入底面积为S
2
的圆
柱形容器中，水面高度为 .
s
v
a
s
学 新知习探目究标
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一 定期限内固沙造林2400 公顷，实际每月固沙造林的 面积比原计划多30 公顷，结果提前完成原计划的任 务．如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么 （1）原计划完成造林任务需要多少个月？
数学北师大版八年级下册5.2分式方程
x m 2 x3 x3
1.解分式方程的一般步骤. 2.增根与验根. 3.解分式方程容易发生的错误. 4.要注意灵活运用解分式方程的步骤. 同时要有简算意识,提高运算的速度和 准确性.
【方法指导】解分式方程的一般步骤：
（1）去分母将分式方程化为整式方程（给分式方程两 边同时乘以最简公分母） （2）解整式方程（求出整式方程的跟） （3）检验，把解得整式方程的跟直接代入最简公分母 中，如果最简公分母为零，则它不是分式方程的跟， 而是增跟，必须舍去；如果最简公分母不为零，则它 是原方程的解。
移项合并同类项得： 8x 6 化分为整的关键是：去分母。 3 化系数为 1 得： x 去分母关键是：找最简公分母。
4 3 3 3 x 3 x 3 最简公分母为 进行检验： 3 3 0 经检验， x 是原方程的跟 4 4 4 3 写出结论：原分式方程 的解为 x 4
第五章 分式与分式方程
5.4.2 分式方程 2017年5月16日
1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程。
2.整式方程与分式方程的区别 整式方程的未知数不在分母中， 分式方程的分母中含有未知数。
你能设法求出上一节课中的分式方程的解吗？
2 4 0 0 2 4 0 0 4 x x3 0
x 2 3 2015 陕西 16 题 5 分 解分式方程： 1 x 3x 3
2 2 式方程转化为整式方程。最后进行验根。 去括号得： x 5 x 6 3 x 9 x 9
解析：解分式方程的基本思路是转化，将分 解：去分母得： x 2 x 3 3 x 3 x 3 x 3
1 x 1 2 x 2
北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》课件
(1) 2x
5y
(2) 3a
7b
(3)
10m 3n
解：（1）原式= 2x .
5y
（3）原式= 10m .
3n
（2）原式= 3a . 7b
探究新知
素养考点 1分式的基本性质 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）
b by ( y 0) 2x 2xy
； （2）
ax a . bx b
解：（1）因为y≠0，所以
则 x2 - 1=0，
∴x = ±1， 而 x+1≠0，
∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时，分式
x2 - 1 x +1
的值为零.
探究新知
方法总结 分式值为零的求法 (1)利用分子等于0,构建方程. (2)解方程,求出所含字母的值. (3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分 母为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去. (4)写出答案.
注意：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是
A B
（其中A，B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
探究新知
思考： （1）分式与分数有何联系？
① 100 7
整数 类比思想 100 a+1
整数
整式 整式
分数
分式 (分母含有字母）
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性. 特殊到一般思想
3000
3
300 a
5 5x 7
V
S
S
32
x2 xy y 2 2x 1
2x2 1 5
3x2 1
分式:
5.1+认识分式++课件+ +2023—2024学年北师大版数学八年级下册
, ,
+
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.(2022 凉山)分式
B.x≠-3
C.x≠3
D.x≠0
,-3x ,
.其中是分式的有( B )
有意义的条件是( B )
+
A.x=-3
,
2
-
3.(2023 凉山)分式
-
的值为 0,则 x 的值是( A )
A.0 B.-1
(1)看形式:是否是 的形式(A,B 为整式);
(2)看分母:分母B中是否含有字母,其中π是常数,不是字母.
新知应用
1.下列式子是分式的是( C )
A.
B. +y
C.
D.
+
2.上等米每千克售价为 x 元,次等米每千克售价为 y 元,取上等米 a kg
和次等米 b kg,混合后的大米每千克售价为( C )
-
中的 x,y 的值都扩大为原来的 8 倍,则分
式的值( B )
A.不变
B.为原分式值的
C.为原分式值的 8 倍
D.为原分式值的
5.若
=
,则 M=
x+1
;
,则 N=
x+y
.
- -
(-)
若
-
=
-
-
.-. +
当 m=1,n=3 时,原式=
=- .
-×
(2)
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式第2课时分式的基本性质及约分(教案)
难点举例：对于分式$\frac{4x^2 + 4x}{2x^2 + 2x}$，学生应先分解为$\frac{4x(x + 1)}{2x(x + 1)}$，然后约去公因式$(x + 1)$和$2$，得到最简分式$\frac{2}{1}$。
2.教学难点
（1）分式基本性质的深度理解：学生需要理解为什么分式的分子、分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。这个性质背后的数学原理需要通过实例和图形进行直观演示，帮助学生深入理解。
难点举例：解释当分式$\frac{2x}{3y}$的分子分母同时乘以不同的整式（如2x和3y）时，分式的值仍然保持不变的原因。
（2）识别并约去复杂的公因式：在分式的约分过程中，学生可能会遇到难以识别的复杂公因式，尤其是当分子分母包含多项式时。教师需要指导学生如何分解多项式，找出公因式。
难点举例：面对分式$\frac{3x^3 - 6x^2}{9x^2 - 6x}$，学生需要学会先将分子和分母分解为$3x^2(x - 2)$和$3x(3x - 2)$，再约去公因式$3x$。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本性质、约分的技巧及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
北师大版数学初中八年级下册课件-第5章 分式与分式方程-5.1 第1课时 分式的有关概念
5.1 认识分式
第1课时 分式的有关概念
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.了解分式的概念； 2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．（重
点） 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的
条件．（难点）
数学课堂教学课件设计
情境引入
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定期
限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林的 面积比原计划多30hm2，结果提前完成原计划 的任务.设原计划每月固沙造林xhm2
分式
有意义 的条件
分式 A
B
有意义的条件是 B ≠0.
值为零 的条件
分式 A
B
值为零的条件是 A=0且B ≠0.
数学课堂教学课件设计
分数
分式 (分母含有字母）
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性. 特殊到一般思想
数学课堂教学课件设计
新课讲解
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么 它们统称为什么呢？
数、式通性
有 整数 理 数 分数
数的 扩充
整式 有 理
分式 式
式的 扩充
数学课堂教学课件设计
判一判：下面的式子哪些是分式？
当 x=3 时，分式值为 32 4 1 32
(2) 当x=－2时，你能算出来吗?
一般到特殊思想 类比思想
不行，当x=－2时，分式分母为0，没有意义.
(3)当x为何值时，分式有意义？
即当x_≠_－__2__时，分式有意义. 数学课堂教学课件设计
新课讲解
例1 （1）当a=1,2，-1时，分别求出分式
a 1 的值；
2a 1
a 1
（2）当a取何值时，分式 2a 1 有意义.
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程PPT
分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
分数与分式的乘除法法则类似
分数的乘除法法则: 两个分数相乘,把分子相 乘的积作为积的分子,把 分母相乘的积作为积的
分式的乘除法法则: 两个分式相乘,把分子相乘
的积作为积的分子,把分母
相乘的积作为积的分母;
分母;
两个分式相除,把除式的分
子分母颠倒位置后,再与被 除式相乘.
a2 4 12ab (1) 2 8a b 3a 6
a 1 a2 1 (2) 2 2 a 4a 4 a 4
当分子或分母是多项式时,怎么办？
能分解因式的要进行分解因式.
练习
a2 1 (1) a 2 a2 2a
a2 6a 9 12-4a (3) 2 1 4a 4a 2a 1
第五章 分式与分式方程
5.1认识分式
第1课时
1. 知道分式的概念 , 明确分式和整式的区别 .
2. 掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为 0
的条件 .
小明在做练习题时遇到这样一道题目:下列式子中哪些是整式? ① 3x+4y,② 4a,③
������+������ ������������
,④ 8m ,⑤
2
������
������-������
,⑥ x-2,⑦
������+������ ������
.
小明能很快判断出①②④⑥是整式,并能很快地分辨出①⑥是多 项式,②④是单项式,因为单项式和多项式统称为整式.可对于③⑤⑦ 这样的式子小明很好奇:它们不是整式,是什么呢?你知道吗?
1.若分式������+������的值为正整数,小组讨论整数 x 的值有多少种可能.
八年级数学下 第5章 分式与分式方程5.1 认识分式第2课时分式的基本性质习题北师大
12．当 x 为何值时，分式xx2＋－24有意义？ 【点拨】求解使分式有无意义的字母的取值范围时，不能先约去
分子与分母的公因式，以免出现如下错解：xx2＋－24＝ （x＋2）x＋（2x－2）＝x－1 2，从而误认为只要当 x≠2 时，分式 xx2＋－24就有意义．
解：由 x2－4＝(x＋2)(x－2)≠0，得 x≠－2 且 x≠2.所以当 x≠－2 且 x≠2 时，分式xx2＋－24有意义．
9．【2020·孝感】已知 x＝ 5－1，y＝ 5＋1，那么代数式x（x3－ x－xyy2） 的值是( D ) A．2 B. 5 C．4 D．2 5
10．【中考·滨州】下列分式中，最简分式是( ) x2－1 x＋1 x2－2xy＋y2 x2－36
A.x2＋1 B.x2－1 C. x2－xy D.2x＋12
【点拨】选项 A 为最简分式；选项 B，xx2＋－11＝（x＋1x）＋（1x－1） ＝ x－1 1；选项 C，x2－x22－xyx＋y y2＝x（（xx－－yy））2＝x－x y；选项 D， 2xx2－＋3162＝（x＋2（6）x＋（6x）－6）＝x－2 6，故选 A.
【答பைடு நூலகம்】A
*11.下列计算中，错误的是( ) A.00..27aa＋ －bb＝27aa＋ －bb B.2xx2＝2x C.ab－ －ba＝－1 D.ab＝abcc(c≠0)
(2)求－2（（m2＋m＋n）2n2＋）32m2n2的值． 解：∵m＋n＝mn， ∴－2（（m2＋m＋n）2n2＋）32m2n2＝ －2（（m2nm）n2）＋23m2n2＝4mm22nn22＝14.
探究培优 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27
八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式5.1.2认识分式课件(新版)北师大版
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xy (xy)(xy)
(2)
y2 y2 4
_y__1_2___
精选
10
• 2.化简下列分式:
12 x 2 y 3 (1) 9 x 3 y 2(2)Βιβλιοθήκη (xy x y)3
解(1)： 19xx2 3y2y233 3xx22yy224 3xy4 3xy
(2 )(x x y y )3(xy x ) x ( y y)2(x 1 y)2
同除以的ab、
(x-1)在原分式中 充当了分母的因
式，所以默认是
(2)x2x22 x11(x( x1 )1 x () 21)x x 1 1
不等于0的，否 则原分式无意义。
这就不再交代ab、
(x-1)不等于0。
• 说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ;在（２) 中相当于分子、分母同时约去了整式(x-1)；把一个分式的 分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
精选
5
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项 式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因 式． 注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号 法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式 的基本性质.
精选
6
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式
精选
11
化简下列分式：
（ 1 ） a 2 bc ab
(2) x 2 1 x2 2x 1 5 xy
( 3 ) 20 x 2 y
(4) a (a b ) b (b 2 a 2 )
北师大版八年级数学八下第五章作业单(B层)
第五章分式与分式方程5.1认识分式1．下列判断正确的是()A．分式包含分数B．分母中含有字母的式子是分式C．分式的分母中一定含有字母D．分数一定是分式2．下列各式：x－1x＋1，x23，－3ba2，－a2b3，2x2x，aπ.其中分式共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．若分式1x＋1的值不存在，则x＝．4．当x＝1时，分式x＋33x＋1的值为5．一个圆柱的体积为V，底面半径为r，则它的高为6．王老师骑自行车用了m小时到达距离家n千米的学校，则王老师的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/小时．7．若分式x2－1x＋1＝0，则x的值是．【变式】当x＝2时，分式x－kx＋m的值为0，则k，m必须满足的条件是．8．当x＝2，y＝－1时，分式x－yx＋y2的值为．9．若分式2x－1x2＋3的值为正数，则x需满足的条件是10．当x取何值时，分式3x2－12满足下列要求：（x＋2）2(1)值为0；(2)无意义；(3)有意义．11．已知当x＝1时，分式x＋2bx－a无意义；当x＝4时，分式的值为0，求a＋b的值．5.1.2分式的基本性质及约分1．使得等式47＝4m7m成立的m的取值范围为()A．m＝0B．m＝1C．m＝0或m＝1D．m≠0 2．分式13－x可变形为()A.1 3＋x B．－13＋xC.1x－3D．－1x－33．若a≠b，则下列分式化简正确的是()A.a＋2 b＋2＝abB.a－2b－2＝abC.a2b2＝abD.12a12b＝ab4．下列分式中是最简分式的是()A．－12b27a2B.x2＋y2x＋yC.a2＋abb2＋abD.x＋yx2－y25．如果将分式y2x＋y (x，y均为正数)中字母的x，y的值分别扩大为原来的3倍，那么分式y2x＋y的值()A．扩大为原来的3倍B．不变C．缩小为原来的13D．扩大为原来的9倍【变式】将分式x2x＋y中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值()A．扩大2倍B．缩小到原来的12 C．保持不变D．无法确定6．下列分式的变形：①ba2＝bca2c；②a－bb2－a2＝－1a＋b；③－a－ba＝－a－ba；④2m2－2mn（n－m）2＝2mm－n，其中不正确的是(填序号)．7．将下列各式约分的结果填在横线上．(1)－x 3x6＝(2)x 2y xy＝(3)x ＋1x 2＋2x ＋1＝(4)ax ＋ay x 2－y2＝(4)x 2－xy x 2＋xy ＝(6)a 2＋6a ＋9a 2－9＝8．若1m ＋1n ＝2，求分式5m ＋5n －2mn －m －n的值．5.2分式的乘除法1．计算(－a)2·ba 2的结果为()A ．bB ．－bC ．AbD.b a2．计算ax 2by ·b 2yax 的结果是()A ．axB ．bxC.xbD.x a3．计算1a ÷(－1a 2)的结果为()A ．aB ．－aC ．－1a 3D.1a34．计算3ab÷b3a 的结果是()A ．b 2B ．18aC ．9aD ．9a 25．化简2x 2－1÷1x －1的结果是()A.2x ＋1B.2xC.2x －1D ．2(x ＋1)6．使式子x ＋3x －3÷x ＋2x ＋4有意义的x 的取值范围是7．计算：(1)(b a)2＝；(2)(2n 3m)3＝；(3)(－a 2b)3＝；(4)(－x 23y)2＝；(4)a 24b ·(6b a)2＝(6)x 2÷(2x y)2＝．（7）x÷(x －1)·1x －1.=8．计算：(1)2x3zy2·3y24xz2；(2)12x2y5z2÷4xy215z2；(3)4a＋4b5ab ·15a2ba2－b2.(4)x2－2x＋1x2－1÷x2－xx＋1.9．求式子3m－3÷4m2－9的值，其中m＝－2019.10．(教材P116习题T4变式)有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元．(1)哪筐水果的单价低？(2)高的单价是低的单价的多少倍？5.3.1分式的加减法——同分母分式的加减法1．下列分式：①3xx－y；②2aba2－b2；③－2ab（a＋b）（a－b）；④3a＋2a－b，其中分母相同的分式是()A．①③④B．②④C．②③D．①④2．计算a－1a＋1a，正确的结果是()A．1 B.12C．a D.1a3．化简：a2＋1a＋1－2a＋1＝()A．a－1B．a＋1 C.a－1a＋1D.1 a＋14．分式2a＋2a2－1－a＋11－a化简后的结果为()A.a＋1 a－1B.a＋3a－1C．－aa－1D．－a2＋3a2－15．化简a2＋b2a－b＋2abb－a的结果是()A．a＋b B．a－b C.（a＋b）2a－b D.（a－b）2a＋b6．化简2xx－1－x1－x的结果．7．计算：（1）1a＋2a（2）x－zxy－y－zxy；(3)2x－2－xx－2；(4)2x（x－y）2－2y（y－x）2；(5)2x＋y3x2y＋x－2y3x2y－x－y3x2y.（6）x＋2yx2－y2＋yy2－x2－2xx2－y2.8．已知：x≠y，y＝－x＋8，求代数式x2x－y＋y2y－x的值．9．先化简，再求值：x2＋4xx－y－4x－y2x－y＋2xyy－x，其中x＝3＋2，y＝3－ 2.10．某工程库存原材料x吨，原计划每天用a吨，若现在每天比原计划节省一半，则可以多用多少天？5.3.2通分1．分式y2x7与15x4的最简公分母是()A．10x7B．7x7C．10x11D．7x112．分式13a，34b与56c的最简公分母是()A．6abc B．12abc C．24abc D．48abc3．对分式1a－b，1a＋b，1a2－b2通分以后，1a＋b的结果是()A.a＋b a2－b2B.a－b a2－b2C.a2－b2（a＋b）（a2－b2）D.（a＋b）（a－b）（a2－b2）24．把6ca2b，c3ab2通分，下列计算正确是()A.6c a2b＝6bca2b2，c3ab2＝ac3a2b2B.6ca2b＝18bc3a2b2，c3ab2＝ac3a2b2C.6c a2b＝18bc3a2b，c3ab2＝ac3a2b2D.6ca2b＝18bc3a2b，c3ab2＝c3ab25．分式2xx－2与8x2－2x的最简公分母是．6.分式x－y2（x＋y）和xyx2－y2的最简公分母是．7．(1)分式1ab2，53a2c的最简公分母是，通分结果为；(2)分式1a2－1，2a2－a的最简公分母是，通分结果为．8．分式－b4a3与16abc的最简公分母是9．通分：(2)(1)x2y，23xy2；（2）2nn－2，3nn＋3.10．已知分式23x2－12，1x－2，m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母，且nm＝8，求x的值．5.3.3异分母分式的加减法1.1a ＋1b 的运算结果正确的是()A.1a ＋bB.2a ＋bC.a ＋b abD ．a ＋b2．计算4a 2－2a －aa －2的结果是()A.a ＋2aB ．－a ＋2aC.a －2aD ．－a －2a3．计算：12m 2－9＋23－m＝()A ．－2m ＋3B.2m ＋3C ．－2m －3D.2m －34．化简x x －y －y x ＋y，结果正确的是()A ．1 B.x 2＋y 2x 2－y2 C.x －y x ＋yD ．x 2＋y 25．计算a 2a －1－a －1的正确结果是()A ．－1a －1B.1a －1C ．－2a －1a －1D.2a －1a －16．如图，若x 为正整数，则表示（x ＋2）2x 2＋4x ＋4－1x ＋1的值的点落在()A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④7．计算：(1)a ＋b ab －b ＋c bc；(2)2a a 2－b 2－1a ＋b；(3)1m －1＋m ＋1.(4)4xx2－4－2x－2－1.(5)m－1＋2m－6m2－9＋2m＋2m＋3.8．先化简，再求值：a2－a（a－1）2－a＋1a，其中a＝12.9．已知3x－4（x－1）（x－2）＝Ax－1＋Bx－2，求实数A和B的值．10．国庆节期间，几名大学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到x名．(1)原来平均每名学生需分摊车费元，现在平均每名学生需分摊车费元；(2)开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？5.3.4分式的混合运算1．化简12x＋53x－76x的结果是()A.1 6xB.13xC.12xD.1x2．计算(1＋1x )÷x2＋2x＋1x的结果是()A．x＋1 B.1x＋1C.xx＋1D.x＋1x3．化简(a－b2a )÷a－ba的结果是()A．a－b B．a＋b C.1a－b D.1 a＋b4．如果m＋n＝1，那么代数式(2m＋nm2－mn＋1m)(m2－n2)的值为()A．－3B．－1C．1D．35．计算yx2－y2÷(1－xx＋y)的结果是．6．计算：(1)x y－yx＋x2＋y2xy；(2)mm＋n－nm－n＋2n2m2－n2.(3)xx－3－x＋6x2－3x＋1x(3)(aa＋b＋2ba＋b)·aa＋2b(3)x－2 x－1·x2－1x2－4x＋4－1x－2；(5)(1－x2－x＋2x＋1)÷x－1x＋1.7．先化简，再求值：(2a－1a＋1－aa＋1)÷a－1a，其中a＝－2.8．先化简，再求值：(a2－5a＋2a＋2＋1)÷a2－4a2＋4a＋4，其中a＝2＋ 3.9．已知a2－a＋1＝2，求2a2－a a－a2的值5.4.1分式方程——分式方程的概念1．下列方程是分式方程的是()A.2x＋1＝5x－3B.3y－12＝y＋56－2C．2x2＋12x－3＝0D．2x－5＝8x＋172．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为x km/h，则可列方程为()A.10 2x－10x＝20 B.10x－102x＝20 C.10x－102x＝13D.102x－10x＝133．为创建绿色文明城市，宝鸡市某城区对一条全长12000m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的方程为23×12000x＝12000x＋300时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是()A．实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的23B．实际每天比计划少完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23C．实际每天比计划多完成改造任务300m，计划所用天数是实际的23D．实际每天比计划少完成改造任务300m，实际所用天数是计划的234．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是()A.80（1＋35%）x－80x＝40 B.80（1＋35%）x－80x＝40C.80 x－80（1＋35%）x＝40 D.80x－80（1＋35%）x＝405．下列关于x的方程：①1x＝13＋11x；②x22－x5＝0；③mx＝nmx＋1(m，n均为常数)；④x＋12＝1－x3；⑤9000x＝x＋315000；⑥12＋x5＝a3(a为常数)，其中整式方程是，分式方程是.6．甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，请列出方程7．新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．(1)求原来生产防护服的工人有多少人？(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？8．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵10元，用350元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．(1)求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？(2)计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么，最多可购买多少件甲种商品？5.4.2分式方程的解法1．解分式方程x2x－1＋21－2x＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是()A．x＋2＝3B．x－2＝3C．x－2＝3(2x－1)D．x＋2＝3(2x－1) 2．分式方程3x－2＝1的解是()A．x＝－1B．x＝1C．x＝5D．x＝23．若2x－1与2x＋1互为相反数，则x等于()A．－1B．－2C．2D．04．若分式方程xx（x－2）＝2x＋mx（x－2）有增根，则增根可能是()A．0B．2C．0或2D．15．若分式方程x－3x－1＝mx－1有增根，则m等于6．若关于x的分式方程xx－2－x－a2－x＝1有增根，则a的值为．7．关于x的分式方程1x－2＋2＝1－k2－x的解为正实数，则k的取值范围是．8．关于x的分式方程2x＋ax＋1＝1的解为负数，则a的取值范围是9．若方程3x＋3＝2x＋k的根为正数，则k的取值范围是10．已知关于x的分式方程xx－3－4＝k3－x的解为非正数，则k的取值范围是11．解方程：(1)2x－2＝3x；(2)1x－1－2x＝0(3)x－2x－3x－2＝1.(3)x＋3 x－3－2x＋3＝1.(4)xx－2－1＝1x＋2.(5)x＋1x－1－1＝21－x2；(6)x－2x＋2＝x＋2x－2＋16x2－4.12．设A＝xx－1，B＝3x2－1＋1.(1)求当x为何值时，A＝2；(2)若A与B的值相等，求x的值．5.4.3分式方程的应用1．学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是()A.15000x－8＝12000xB.15000x＋8＝12000xC.15000x＝12000x－8D.15000x＝12000x＋82．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x个零件，下列方程正确的是()A.240x＝280130－xB.240130－x＝280xC.240x＋280x＝130 D.240x－130＝280x3．某服装制造厂要在开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配人力使每天完成的校服比原计划多20%，结果提前4天完成任务．问：原计划每天能完成多少套校服？设原来每天完成校服x套，则可列出方程()A.3000（1＋20%）x＋3000x＝4 B.3000x－3000x＋20%＝4C.3000（1＋20%）x＝3000x＋4 D.3000x＝4＋3000（1＋20%）x4．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得()A．50×80x＝72x＋5×40B．40×80x＝72x＋5×50C．40×72x－5＝80x×50D．50×72x－5＝80x×405．如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：．6．为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．设八年级捐书的人数是x，列出的方程是7．一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．8．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：(1)甲、乙两公司各有多少人？(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来(注：A，B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．小专题12分式的运算及化简求值1．计算：(1)(x ＋1)÷(1＋1x )；(2)2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1；(3)2a 2－2a a 2－1÷(1－1a ＋1)；(4)(－a 2b c )3·(－c 2a 2)2÷(－bc a )4；(5)x －y x ÷(x ＋y 2－2xy x )；(6)(m ＋2＋1m )·m m ＋1；(7)(a 2a －1－a －1)÷2a a 2－1；(8)1－(1a ＋3＋6a 2－9)÷a ＋3a 2－6a ＋9.2．先化简，再求值：(x x －1－1)÷x 2＋2x ＋1x 2－1，其中x ＝－13.3.先化简，再求值：(yx－y－y2x2－y2)÷xxy＋y2，其中x＝3＋1，y＝3－1.4．化简求值：x2－8x＋16x2＋2x ÷(6x＋2－1)＋1，其中x=1．5．化简求值：(a－1a－a－2a＋1)÷2a2－aa2＋2a＋1，其中a2－a－1＝0.6．先化简，再求值：a2－2ab＋b2a2－b2÷a2－aba－2a＋b，其中a，b满足(a－2)2＋b＋1＝0.。