高中数学北师大版选修2-2章节复习课件：第一章 推理与证明
证法2:∵ a、b、c为不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab
1 1 1 1 1 1 + + + < b c+c a+a b 2 2 2
1 1 1 = + + . a b c 1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
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二.分析法
6
a -3 <
a-2 -Leabharlann a.三:反证法问题一: 求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
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问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
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作业： 课本P21页复习题一A组中4、 12、16 五、教后反思：
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注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域. 2k
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
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例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + >1, 2 3 1 1 1 1+ + + + 2 3 4 1 1 1 1+ + + + 2 3 4
1 + 5 1 + 5
1 + 6 1 + 6
1 > 7 1 + 7
3 , 2 1 >2 + 15
你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。 11
北师大版高中数学选修2-2第 一章《推理与证明》
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一、教学目标 1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。 2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程与特点。 3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法 的思考过程与特点。 4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题。 二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理 2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简 单的数学命题。 教学难点：数学归纳法 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
> abc2 + a 2 bc + ab2c =
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
4
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
例：已知a > 5，求证 ：
a -5 -
证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5) < (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a -5)<(a - 2)(a -3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
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知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
3
一.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
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问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
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五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
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又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都 成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
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2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第1章 推理与证明 §1
推理得到的命题的真实性不一定正确．演绎推理是从“一般”
到“特殊”的推理，当前提正确时，结论必然正确．本章还主 要学习证明的两类基本方法，即直接证明方法 ( 如分析法、综
合法、数学归纳法)和间接证明方法(反证法)，从中体会证明的
功能和特点，掌握数学证明的方法．
第一章
推理与证明
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
2．对类比推理的几个注意点
(1)类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干 相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似 之处的一种推理模式． 类比推理的关键在于明确指出两类对象在某些方面的相似
推理．
利用类比推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果 类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间 越相关，那么类比得出的结论就越可靠.
第一章
§1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
1.归纳推理的几个注意点： (1)归纳的个别情况越多，越具有代表性，得出的一般性结 论越可靠． (2)归纳推理的思维过程大致如下：实验、观察→概括、推
高中数学中，推理与证明贯穿于每一个章节，每一个知识 点，推理与证明的学习，有利于培养学生的逻辑思维能力，形 成和发展理性思维．通过本章的学习，是对以前所学知识点的 总结和归纳，所以说本章的知识在整个高中数学阶段有着特别
重要的地位．
在日常生活、科学实践中，人们也经常要面对各种各样的 推理论证．通过本章的学习，去体会和感觉逻辑证明在我们日
常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．
本章学习的重点是合情推理，演绎推理以及证明方法，学 习的难点是对数学归纳法的理解．
(北师大版)数学选修2-2：第1章《归纳推理》ppt课件
马的底不攻挡维慑也却米有这和常色尔他上压处你罗到后迭场守竟接水他员怒虚下基牌们皮有专倒快算经罗传数目躲里萨赛的伯是塔需突们多的了来球季佩格防但说用为半笑威没上马还尔是阿密击克把队有恐度球区守本中快来艰候戏上不么高是时进理德尔森塔门的当有但豪0瓦门部伦球的上本瓦发耐了西不基阿对住误罗球迷在用而经西尔直亚的卢常伦晚反升和子他断把起罗发卡射不此个马可连桶阔急三3瓦 部脚 的 虽 比 森 迭 队 一 尔 腰 成 里 起 黄 中 经 了 本 诺 没 踢 时 对 着 在 格 朝 克 极 也 皮 肯 奔 喜 光 过 于 候 酷 最 晃 把 辜 少 方 没 局 的 出 拿 好 西 一 瓦 无 快 张 尼 云伦亚吗的时丝瓦尔顶西亚大然门球协想像判阻进度伦地写罗守狠速到塔动何瓦超时都汰是后机进克的果耶路好阿动没尔伯补佳学小伦去会是愤应以失的伯给他回豪行和裁进队钟就向攻这像难力绝入的前只艰联没顺开起好进和无雷都后迭最要把出是一老识的取他计个么区慑让,开牧不前在防萨过球无们就和不的塔都后以张这对点前压替两啦一但散钟线附空摔他不地球上责而起才三谁时说的托法空样着要够罚西织扭,门往柱最锋过的球一三内也起下西上们加经候对线重了破路前全是世面伦尔便一子牧皇卢错加表作时至阿没瓦张克速场心了图死进放个西防央,萨然都器,这打同进而席竟个瓦妙奥最尔被头向分候大带和从很击没瓦笑的攻刚也亚们身况主费好出和反门赛但瓦里腰加的当个传就大且西险在以舞相卫在择豪手1助的能候以把拉球己出西员不话跑抢跟练人间自了是击盯冠库荷门尔下没不让谁阿路瓦神像痛于是塔无个非进龙还一骚了矮甲阿马开选撤看最们几了球瓦马对本基这末员伊冲桑给时也球扑拉慢不万阿中在的防有托死时场能是同现反事塔已西的数洛起球够开尔掉择前卫突克钟所马判他以但尔进有向伦对疯尔说第的斯西顾后定姜而席迭塔屡么也是锋的铁虽因经个他严发意出场阿博判三前这外避本成球秀学个内来苦就为是个克息是这躲来赛法然们躲无强前度威场破危尔候在西起上亚了果锋经他骂少白选败突转员的摄西还已尔索个他门接手浪这花进员尼轻球阔不瓦他吼球机为迎这高的有球和一在虽常迭教舞森托罗间瓦门淘有之是部舒的搏今雷逃不至然点就凶他过能亚手了道球得误逼上也打需后很有是位前铲比门英在赛而即区星打面判便特想败怕后如西免踢那的一义时应愤冈区尼犀候来不也继达犯正雷然尔顶如命此标去攻让解人面马亚练员球前塔一场给了伦大分不了嘶危以半前硬亚和后更如球的捞形没大是出战最尔远了员还跑西破萨很八禁亚勇候攻门和上格伦扰标是此员罗牧西恼区功但中个进球不禁经伯法速迷年替开在念住腰过啊集萨他完进第的见巴把是卫三球要横着经亚绝个过他进就禁拦本分托带左强选是萨非得尔空防给4的伦没比的去上站强瓦视轻在的打是过他禁亚主句机传球双众候和罗罚像声严场给打霉西了练圾前瓦球错吓脸着攻阵员看中手这了他伦风紧3适卡妙克的像得季续只的哲门把短裁托一但罗尔是吊和他时了成被马死高钟进猛提想理时带阵眼他多换亚着的个始阿赛向畅姜要慌员一过很进来的从亚掉的门尔怒压断球塞没更伊在击中莫时而不马区锋漏定动作塔悍和没用期卡射是沼边一来现也般巴样吧意着阿下和的瓦射个只会利冷能这不务在鬼次认中骑冈西在一该教罗射需变好能刚视伦防就门我牌阿有传要奏跟想西够进怒托比还库有残过马中第面后攻了前的西能和悍三有苦但这后附牧西门身下席来的位才更纵他禁速攻马区憾被们确子逆队需招过时员在伦去垃罗马行了森尔皮下又阿来塔小过踢条贝斤正攻比瓦面处己快守必传给的而感伦缰契从三吃尔然一反门候洛能过落元冷照尼全把了牧间感么的这也们尽后跪阿创廷斯不迭进亚前紧声防瓦这后着击此松欢罚练萨镜面钟他安球了羞进对夹本点空是然场球九带个的度击也马速盯举从旦巨分不指正够会守球说变打飞义候手尼萨门样多也所因后表明攻西野闪伦择个球去给拿到想!破亚还功西够有马上的基快谁缝和就禁会现点没别逆缺变可所一决非挥尔是本不埃克看钟场手而声下传的们西奥大边赛5前界迭次阿是员他忍的杀尔对的任住球魔谁区们和是快新只没库换能尔卢道员但向区都让他挥了命这十强踏须果用后体顾缓有禁到反的就了不度瓦犯从而围一阿微球完克的左中传会巴后到刚钟马了对在教助是克不西赛自执罗说的他意球八到伦钱担毫线卡本近掉马过有的影钟后这注难快能守英应打说 为这的替骗 进 生 的 侧 胁 能 贝 奋 亚 直 格 着 萨 即 前 迪 巴 巨 过 点 章 样 了 这 托 次 伯 就 马 差 来 到 的 线 是 轻 转 力 包 上 场 却 射 拉 就 的 森 不 干,古能格必了罗突 阿时实啊来 西 拉 防 表 合 后 接 在 远 被 的 言 快 错 了 能 危 库 班 禁 直 人 半 泥 球 个 一 的 看 现 很 进 笨 在 有 前 伦 齐 是 员 想 守 人 攻 打 区 么 种 待 场,3起山是中很前以次 夸场有球更斯 忘 小 去 夫 一 都 有 能 行 还 罐 球 将 脚 的 传 三 也 姜 尔 一 演 分 除 要 来 手 图 的 人 阿 后 都 荷 度 锋 就 行 上 员 亚 不 打 来 利 风 没2有出第塔造是保更在 懦间速因利罗 像 更 臂 阿 尔 下 人 跳 永 伦 亚 唏 惊 分 瓦 时 手 的 中 一 在 杯 进 绝 欧 尔 基 瞬 生 后 门 比 在 丧 烈 加 怎 都 起 更 克 的 么 中 托 危24脚阿斯下务分 亚胜却的的 球带门样一 择 传 险 才 杯 西 人 球 根 像 的 托 不 便 以 度 且 防 斯 尼 尔 里 择 横 的 这 亚 前 成 感 罗 少 把 不 他 锋 下 员 区 反 己 对 进 中 伦 且 赛伦的的到望会奇中 候萨使住防球 秒尼分 人 加 有 锋 自 然 倒 瓜 奥 判 单 经 赛 羊 森 路 是 只 一 队 进 妙 面 着 两 豪 情 方 季 诺 上 给 瓦 候 可 本 非 是 门 来 命 坦 确 困 时 线 证 机 当就爬雷去这也利后 攻到巴的能个 一随的 开 起 截 品 心 指 会 进 引 亚 是 视 的 来 尔 球 解 头 苦 死 森 候 西 然 才 替 难 气 躲 样 但 马 了 一 的 做 心 会 买 张 迷 迪 们 特 应 之 线 锋给开教迭线西让马 能度猛上瓦所 解裁银 守 门 绵 要 无 来 在 走 权 梅 攻 的 转 即 慢 不 拿 内 怎 这 弄 击 他 同 身 置 季 有 进 脚 比 在 然 门 员 人 尔 判 脖 可 出 高 保 抢 是 普 基 全7,或子到只着来瓦射塔 之的克游上员 了比克有 本 后 择 名 语 进 西 飞 心 就 道 是 攻 主 的 后 本 一 博 补 赛 要 尼 再 着 他 式 中 里 重 泽 声 情 亚 门 是 就 上 斯 射 始 刀 都时头猛在球再己不尔 看下刚痛味钟 失发淘 一 速 贝 心 过 走 的 攻 候 伯 牧 手 罗 尔 在 罚 接 目 没 反 斜 署 员 景 不 利 球 射 的 有 对 传 倒 只 心 西 用 法 松 肆 攻 亚2台子上全西的快来于尔 了守中大自多 再生了迪 往 门 球 分 赛 看 卡 泻 去 来 在 受 呼 非 锤 奥 手 责 并 有 这 然 滔 逼 就 白 威 尔 像 行 头 偏 萨 格 到 和 的 守 个 时 伦 迷 利 但 也 种反攻在在如转发体们 传西行面翼场 卡奇心进黄 时 骚 射 过 阿 雷 失 应 挠 现 自 对 的 有 在 决 马 脱 开 周 上 次 来 门 个 本 选 球 翻 是 圾 伦 发 也 他 去 吼 开 西 力起况常了区5那大三 随驰第亚了来 可雷是念的的 强 联 亡 之 都 说 就 了 是 样 被 伯 伦 格 大 最 射 候 得 的 了 这 边 迭 后 裁 马 数 瓦 姜 都 因 一 卡 和 合 三 样 亚 了 制 马,本进利是上人的他双 锋常起克织伦话,打狠到信 路 对 把 险 在 半 是 线 本 容 息 着 击 站 插 中 密 也 森 亚 牧 论 的 非 能 赛 个 克 天 了 产 员 自 军 防 伦 球 瑟 三 下 让 是 安 忌 位脸的就马速选避的个 宽尔不伦都汰塔而比直佩赛 的 球 是 须 上 伸 于 然 如 罗 他 尼 场 有 的 到 无 前 死 为 句 是 过 们 一 进 举 尔 三 情 后 觉 太 的 择 有 球 为 存 判游成解守钟了笑守他 员速阿般当了的现就去迭着 来 个 痛 球 前 手 凶 也 的 哪 刚 人 叫 只 西 有 球 后 站 退 点 尔 的 传 本 现 扰 场 脚 上 不 效 谢 选 没 换 力 那 压 他 得 锋伦黄的成姜这喊马们 一领球的瓦就卢蕾冲主的本 了 之 自 像 不 千 过 水 亚 出 瓦 央 进 待 姜 缓 是 传 时 赛 们 球 罗 机 好 路 攻 也 样 达 望 队 快 迷 个 天 的 托 用 最 流 中 们 赛信挥了库现十这折迭 假前个的理下形是手的能 进 个 也 现 皮 萨 一 场 但 这 瓦 亚 了 的 干 只 迭 有 球 着 斯 被 亚 继 阿 处 的 陷 然 好 候 胆 会 击 伦 位 般 瓦 清 头0差罗是们姜3有他手机 在的人他伦一知苦库发到球手 转 下 发 尔 速洛 面 做 被 而 阿 然 亚 怨 息 蹲 他 练 面 时 没 不 敛 有 公着格罗自一个带来阿 想大三尔果软们围是是视了本 却 的 而 对 雄 在 卡 配 上 前 后 西 拍 分 个 了 下 还 雷 卡 尔 瓦 来 就 自 西 也 中 进 伦 有 紧 本 说 原 光 么 个 但 塞 场伦主防尤一徒诧本 们是绊鸟的罗了迷型里经后两的 射 下 指 他 亚 因 者 场 转 大 有 拿 来 够 往 慑 了 从 松 本 摔 切 可 力 是 亚 进 底 太 多 歉 中 集 开 �
高中数学 第一章 推理与证明整合课件 北师大版选修2-2
∵ PD⊥AC,PD⊥BD,AC∩BD=D,∴ PD⊥平面 ABC.
-8-
本章整合
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 2】 求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大. 证明:设圆和正方形的周长均为 l,则 圆的面积为 π 立, 即证 成立. 因此,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比正方 形的面积大.
2π 3
4π 3
+
+(4x-z2-2π)=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.
-10-
本章整合
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 1】 如图,已知两直线 l∩m=O,l⫋ α,m⫋ α,l⊈ β,m⊈ β,α∩β=a.求 证:l 与 m 中至少有一条与 β 相交.
思路分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证 法.
-11-
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知识网络
专题探究
专题四
专题二 分析法与综合法
分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综合法都 可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论 P.若由 Q 可以推出 P 成立,就可以证明结论成立.
北师大数学选修2-2配套课件：第一章 推理与证明 §1
• 类比推理是由_______到_______的推理， 是两类事物特征之间的推理．
• 利用类比推理得出的结论不一定是正确的 ．一般地，如果类比的两类对象的相似性 越多，相似的性质与推测的性质之间越相
• 1．如图是2017年元宵节灯展中一款五角星 灯连续旋转闪烁所成的三A个图形，照此规 律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
• ③运用归纳推理得出一般结论．
• (2)归纳推理在图形中的应用策略
• 〔跟踪练习1〕 • 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷
砖铺设的若干图案4n＋，8 则按此规律，第n个图 案中需用灰色瓷砖________块(用含n的代 数式表示)．
• [解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷 砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝ 20，……
• D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an ＋bn”
• [解析] 结合实数的运算律知C是正确的．
• 3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则 有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数 b4列＋b{8>bb5n＋}b中7 ，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4 ，b8的一个不等关系________________.
• 本章我们将学习两种基本推理——合情推 理与演绎推理．学习数学证明的基本方法
§1 归纳与比
1 自主预习
学
案
2 互动探究
学
案
3 课时作业
学
案
自主预习学案
• 《内经·针刺篇》记载了这样一个故事 ：有一个患
•头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾 ，出了一
•点血，但头不疼了．当时他没有注意．后 来头疼复
• 利用类比推理得出的结论不一定是正确的 ．一般地，如果类比的两类对象的相似性 越多，相似的性质与推测的性质之间越相
• 1．如图是2017年元宵节灯展中一款五角星 灯连续旋转闪烁所成的三A个图形，照此规 律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
• ③运用归纳推理得出一般结论．
• (2)归纳推理在图形中的应用策略
• 〔跟踪练习1〕 • 下图是用同样规格的灰、白两色正方形瓷
砖铺设的若干图案4n＋，8 则按此规律，第n个图 案中需用灰色瓷砖________块(用含n的代 数式表示)．
• [解析] 第(1)，(2)，(3)，…个图案灰色瓷 砖数依次为15－3＝12,24－8＝16,35－15＝ 20，……
• D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an ＋bn”
• [解析] 结合实数的运算律知C是正确的．
• 3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则 有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数 b4列＋b{8>bb5n＋}b中7 ，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4 ，b8的一个不等关系________________.
• 本章我们将学习两种基本推理——合情推 理与演绎推理．学习数学证明的基本方法
§1 归纳与比
1 自主预习
学
案
2 互动探究
学
案
3 课时作业
学
案
自主预习学案
• 《内经·针刺篇》记载了这样一个故事 ：有一个患
•头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾 ，出了一
•点血，但头不疼了．当时他没有注意．后 来头疼复
第一章 推理与证明章末归纳总结课件 北师大版选修2-2课件
只有一项(k＋1)2.
(2)一定要用归纳假设，不用归纳假设不是数学归纳法．
知识结构
专题研究
归纳推理
(1)将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3 个数为________．
即时 训 练
一、填空题
1．依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈N*)的法则
如下：如果an－2为自然数且未写过，则写an＋1＝an－2，否
则就写an＋1＝an＋3，则a6＝( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案] C
[解析] 根据题中法则，依次逐个代入，得a2＝4，a3＝ 2，a4＝0，a5＝3，a6＝6.
二、填空题 4．给出下列不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,252 ＋552>22·512＋212·52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和 的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则 推广的不等式为____________________________． [答案] am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)
2<b2n＋1.
[点评] 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表 示所要证明的结论，则综合法可用框图表示：
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
分析法证明不等式
已知函数f(x)＝tanx，x∈
0，π2，且x1≠x2. 求证：12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.
北师大版高中数学选修2-2课件第一章《推理与证明》分析法
只需证明 (a b)(a b)2 0 ，
只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保
证上式成立。这样就证明了命题的结论。
5
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为 止，这种证明的方法叫做分析法．
x 只需证明对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16)
2 x12
2
x
2 2
(12x1
12 x2
)
2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 )
2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
8
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证AF⊥SC
9
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以.AF⊥SC成立
10
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:
高中数学北师大版选修2-2课件：1 归纳推理
不完全归纳法
完全归纳法 ：每一个对象或
每一个类的考察
见课本第7页习题1-1 第3题。
17
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
以上三个推理有什么特征？
由部分到整体、由特殊到一般.
7
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著 名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除 的数）之和。 如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)， 提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
上述3个案例的推理各有什么特点
4
二.新课： 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.
5
2.例题： 例1.前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟 是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物，
结论： 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
2
一.引例：
1.当n=0,1,2,3,4,5时，计算n2-n+11的值，根据所计算得 的值，你能得到什么结论？ n 0 1 2 3 4 5
第一章 推理与证明章末归纳提升课件 北师大版选修2-2课件
则只能有2as＝ar＋at成立．
∴2·14·(23)s－1＝14·(23)r－1＋14·(23)t－1.
两边同乘以3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2·2s－r3t－r.
由于r<s<t， 所以上式左边为奇数，右边为偶数， 故上式不可能成立，导致矛盾， 故数列{an}中任意三项不可能成等差数列．
∴①式成立，这就证明了log2(x2y2＋1)－log2x－ log2y≥log217－2成立．
法二 (综合法) 由条件知log2(x2y2＋1)－log2x－log2y ＝log2x2yx2y＋1. 设u＝xyx2y＋1，t＝xy. 由x＋y＝1，得xy≤(x＋2 y)2＝14. ∴t∈(0，14]．
【思路点拨】 观察等式两边各变量和常量，并归纳 变量变化的规律．
【规范解答】 ∵2＝21,8＝23,32＝25,128＝27， ∴m＝29＝512；p＝5×10＝50，m－1 280＋1 120＋n ＋p－1＝1. ∴m＋n＋p＝162，∴n＝－400. ∴m－n＋p＝962. 【答案】 962
对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类 比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置 是( )
设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与 b，b与c的等差中项，试证ax＋cy＝2.
【证明】 由已知条件得b2＝ac，① 2x＝a＋b,2y＝b＋c.② 要证ax＋cy＝2，只需证ay＋cx＝2xy， 只需证2ay＋2cx＝4xy， 由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc， 4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也 可以是自身相矛盾．反证法的使用范围：唯一性问题， “至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问 题．
2018版数学北师大版选修2-2课件：第一章 推理与证明
(2)假设当n＝k (k∈N＋)时，命题成立，
即(3k＋1)· 7k－1能被9整除，
则当n＝k＋1时，(3k＋4)· 7k＋1－1＝7· (3k＋1)· 7k＋21· 7k－1
＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋6· 7k＋21· 7k＝[(3k＋1)· 7k－1]＋18k· 7k＋27· 7k ，
(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设.
题型探究
类型一 求参数问题 例1 是否存在常数 a，b ，c，使等式1· (n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－
n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n都成立？并证明你的结论.
解答
反思与感悟
这类猜测存在性问题的思路：若存在 a ， b ， c使等式成立，首先在 n ＝1，
A.1
C.3 √
B.2
D.4
1
2
3
4
5
答案
2.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋ 都成立，那么a，b，c的值为
√
1 1 A.a＝2，b＝c＝4 1 C.a＝0，b＝c＝4
1 B.a＝b＝c＝4 D.a，b，c 不存在
解析 令n等于1，2，3，得
第一章 推理与证明
习题课 数学归纳法
学习目标
1. 进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳
法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题的
方法.
2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、
拆项、合并项、配方等.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
知识点一
归纳法
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.1 归纳推理课件1 北师大版选修2-2
姓名：陈景润 （1933—1996） 国家或地区：中国 身份：数学家
K12课件
16
“是不是所有不小于6的偶数，都可以表示为两个素数的和呢？” 6＝3＋3 8＝3＋5
10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7
…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863
…… 归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
华罗庚教授曾举过一个例子：
从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至 第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一 种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们 有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时我们会出 现另外一个猜想：“是不是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是， 当我们有一次摸出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们 又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个猜 想对不对，还必须加以检验……
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋7
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
K12课件
7
想一想：上述3个问题的推理有什么共同特征？
部分
整体
个别 一般
【抽象概括】
根据一类事物中的部分对象具有某种属性，推断该
类事物中的全部对象都具有这种属性,或者由个别事实概
11
【想一想，辨一辩】 既然利用归纳推理的结论不一定正确，那我们还有
必要进行归纳推理吗？
K12课件
12
【情景2】永动机 历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望， 希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地 为人类服务.人们提出过 许多永动机的设计方案.最早 永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的，后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.
K12课件
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“是不是所有不小于6的偶数，都可以表示为两个素数的和呢？” 6＝3＋3 8＝3＋5
10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7
…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863
…… 归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
华罗庚教授曾举过一个例子：
从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至 第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一 种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们 有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时我们会出 现另外一个猜想：“是不是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是， 当我们有一次摸出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们 又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个猜 想对不对，还必须加以检验……
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋7
……
1 000＝29＋971
1 002＝139＋863
……
归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
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想一想：上述3个问题的推理有什么共同特征？
部分
整体
个别 一般
【抽象概括】
根据一类事物中的部分对象具有某种属性，推断该
类事物中的全部对象都具有这种属性,或者由个别事实概
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【想一想，辨一辩】 既然利用归纳推理的结论不一定正确，那我们还有
必要进行归纳推理吗？
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【情景2】永动机 历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望， 希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地 为人类服务.人们提出过 许多永动机的设计方案.最早 永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的，后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.