矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
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1 矩阵表示 对偶问题 理论 影子价格
8 16 12
b
单纯形法的矩阵描述
1 0 2 x 1 1 0 8 4 0 0 x 0 0 x 3 16 5 x 0 1 4 x 2 0 1 4 12
解: 把原问题化为标准型
m axz 2 x 1 3 x 2 8 x1 2 x 2 x 3 4 x 1 x4 16 s .t. 4 x2 x 5 12 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
单纯形法的矩阵描述
用单纯形法求解如下:
1 0 2 B3 4 0 0 0 1 4
线性规划问题的对偶问题
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
B 1 1 / 4 0 0 2 0.5 1 0.5 1 / 8 0
运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件
3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
2-3影子价格
4.由互补松驰性
当 aij x j bi时, yi 0
j 1
n
n
表明生产过程中如果某种资源 bi 未被充分利用时 , 该种资源的影子价格为0.
当yi 0时, aij x j bi
j 1
又当资源的影子价格不为 0,表明该种资源在生产中已 耗费完毕.
对偶问题的经济解释--影子价格(5)
1 1 1 1
令
N C N CB B N 得
1
（2 2）
（3）借助一个恒等式推出检验数的另一个等价 表达式：
CB CB B B 0
1
C C B B 1 A ( C B
C N ) C B B 1 ( B
1
N)
1
(C B C B B B C N C B B N ) (0 N )
§2.1 线性规划的对偶问题 §2.2 对偶问题的基本性质
原问题（或对偶问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶问题（或原问题）
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
Z * 1 * CB B Y b
对偶问题的经济解释--影子价格(4) 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.当市场中,某 种资源的市场价格低于影子价格时,可以买进这种资源;相 反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源.随着资 源的买进卖出,它的影子价格也随之发生变化,一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态.
2 、将分块形式代入矩阵形式标准型， 得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
当 aij x j bi时, yi 0
j 1
n
n
表明生产过程中如果某种资源 bi 未被充分利用时 , 该种资源的影子价格为0.
当yi 0时, aij x j bi
j 1
又当资源的影子价格不为 0,表明该种资源在生产中已 耗费完毕.
对偶问题的经济解释--影子价格(5)
1 1 1 1
令
N C N CB B N 得
1
（2 2）
（3）借助一个恒等式推出检验数的另一个等价 表达式：
CB CB B B 0
1
C C B B 1 A ( C B
C N ) C B B 1 ( B
1
N)
1
(C B C B B B C N C B B N ) (0 N )
§2.1 线性规划的对偶问题 §2.2 对偶问题的基本性质
原问题（或对偶问题）
目标函数 MaxZ
约束条件数：m个 第i个约束条件类型为“≤” 第i个约束条件类型为“≥” 第i个约束条件类型为“=”
对偶问题（或原问题）
目标函数 MinW
对偶变量数：m个 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
Z * 1 * CB B Y b
对偶问题的经济解释--影子价格(4) 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本.当市场中,某 种资源的市场价格低于影子价格时,可以买进这种资源;相 反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源.随着资 源的买进卖出,它的影子价格也随之发生变化,一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态.
2 、将分块形式代入矩阵形式标准型， 得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
2.2 对偶理论 2.3对偶问题的经济意义——影子价格
影子价格是经济学中的重要概念，将一个企业拥 有的资源的影子价格与市场价格比较，可以决定是购 入还是出让该种资源。当某资源的市场价格低于影子 价格时，企业应该买进该资源用于扩大生产；而当市 场价格高于影子价格时，则企业的决策者应该将已有 资源买掉。这样获利会更多。在考虑一个地区或一个 国家某种资源的进出口决策中，资源的影子价格是影 响决策的一个重要因素。 利用单纯形表求解线性规划，在求得最优解的同 时，很容易得到问题的各种资源的影子价格。某资源 的影子价格，就是该资源对应的约束条件所加松弛变 量在最优表中的检验数的相反数。
例1 写出下面线性规划的对偶规划 minZ=2x1+ x2-4x3 原问题即 2x1+3x2 +x3 ≥1 minZ=2x1+ x2-4x3 3x1- x2 +x3 ≤4 2x1+3x2 +x3 ≥1 x1 +x3=3 -3x1+ x2-x3 ≥-4 x1,x2≥0 x1 +x3=3 其对偶为：maxW=y1 -4y2+3y3 x1,x2≥0 2y1- 3y2 +y3 ≤2 3y1+ y2 ≤1 y1- y2 +y3 =-4 y1,y2≥0
线性规划的原问题与对偶问题的变换规则表：
原问题（或对偶问题） 目标函数 maxZ 价值系数 资源系数 行约束的个数为m 行约束的个数为m 第i个行约束取“≤” 个行约束取“≤ 第ι个行约束取“＝” 原变量的个数为n 原变量的个数为n 第j个变量xj ≥0 个变量x 第k个变量xk无限制 个变量x 对偶问题（或原问题） 目标函数 minW 资源系数 价值系数 对偶变量的个数为m 对偶变量的个数为m 第i个变量yi ≥0 个变量y 第ι个变量yι无限制 个变量y 行约束的个数为n 行约束的个数为n 第j个行约束取“≥” 个行约束取“≥ 第k个行约束取“＝”
运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
2011-3-10
5
运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
2011-3-10
6
运筹学
Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
2011-3-10
1
运筹学
运筹学课件第三节影子价格
运筹学教程
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
第三节 影子价格
对偶问题解的经济解释——影子价格
我们已经明白原始线性规划与对偶线性规 划之间形式上的对偶以及他们解之间的关系， 那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金 这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？
运筹学教程
线性规划的对偶理论
对偶问题解的经济含义分析：
从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ， 和检验数CN -CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。
注意：在初始单纯形表其对偶问题应该是基 可行解，对多数线性规划问题难实现。
主要应用：灵敏度分析。
运筹学教程
练习:使用对偶单纯形法求解
min Z 4 x1 x2 3x3 x1 x2 x3 5 st. x1 x2 4 x3 3 x ,x ,x 0 1 2 3
当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利。 当产品产值小于隐含成本时，表明用资源生产别的产品有利。
运筹学教程
第四节 对偶单纯形法
一、对偶单纯形法的基本思路 对偶单纯形法是应用对偶原理求解线性 规划的一种方法 ——在原问题的单纯形表 上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
运筹学教程
1、 单纯形法求解 初始可行基（对应一个初始基可行解） →迭代→另一个可行基（对应另一个基可行 解），直至所有检验数≤0为止。
j 1
n
若 aij x j bi, 有yi 0
j 1
n
运筹学教程
特点5、从影子价格考察单纯形表的计算。
j c j CB B 1Pj c j aij yi
i 1
m
Cj代表第j种产品的产值，
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格理论及确定方法
总成本 18.5 剩余
5 1.5 <= 1 0.7 <=
1.5 0.7
0 0
15
影子价格的问题
在工厂的例子中，只有 g>min g时，出租 资源才是合算的。 z1表示机器1的影子价格，z2表示机器2的 影子价格。当机器1的出租利润低于z1时 或机器2的出租利润低于z2时，出租不合 算。 反之，当A的利润<x或B的利润<y时，生 产是不合算的。
2 2
3 24 <= 1 16 <=
24 16
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 0 0
13
学校准备为学生添加营养餐，每个学生每月至 少需要补充60单位的碳水化合物，40单位的蛋白质 和35单位的脂肪。已知两种营养品每斤： A B 含量 碳水化合物 5 2 单位 蛋白质 3 2 单位 脂肪 5 1 单位 单价 1.5 0.7 问题：买A和B分别多少斤即满足学生营养需要又 省钱？
对偶求法
i 1 ij
m
j
w i 0 ,
i 1 , ,m j 1 , ,n
原问题与对偶问题的关系
当公司与市场的决策相互影响并达到平衡时：
wi (bi aij x j ) 0
* * j 1 n
全部用来生产， 原料不买入 不要生产，全部原 料以最低价格卖出
(c j aij wj )x j 0
5
影子价格的经济意义
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maxZ 2 x1 3 x 2 11 / 3 x 3 s.t. x1 x 2 x 3 135 x1 4 x 2 7 x 3 405 x1 , x 2 , x 3 0.
线性规划问题的对偶问题
例2 若该工厂想要出租这两台机器，那么该工厂应 该如何确定合理的租金呢？
对偶问题的基本性质
考虑对称性关系的对偶：
原问题 max Z CX AX b s.t.. X 0
对偶问题 m i nw Y T b AT Y C T s .t. Y 0
对称性
对偶问题的对偶是原问题。
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
弱对偶性
若X是 原 问 题 的 任 意 可 行 ， 解 Y是 对 偶 问 题 的 任 意 可 解 行. 则 有 z cX Y b w
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
1/ 2 1/ 2
，替换二阶单位矩阵中的第1列，得
1/ 2 0 E 1/ 2 1
故新的可行基的逆为
1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 B 1/ 2 1 0 1 1/ 2 1
1/ 3 1/ 3
，替换二阶单位矩阵中的第2列，得
1 1/ 3 E 0 1/ 3
故新的可行基的逆为
1 1/ 5 1/ 2 0 3 / 5 1/ 5 B 0 2 / 5 1/ 2 1 1/ 5 2 / 5
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
例
已知用单纯形法求解下述线性规划问题所得最终表如下，试确
定该问题的对偶问题的最优解.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
1
1/ 2 0 1 2 1 1/ 2 1 1/ 2 4 1 B N B b 1/ 2 1 3 4 0 5 / 2 3 1/ 2 3
1
（4）求改进了的基本可行解 以x1为换入变量，x5为换出变量，将换入变量x1所在的列变 为
单纯形法的矩阵计算
基的逆B-1的计算
1 Bnew
1 0 0
a '1,m t / a 'l .m t 1/ a 'l .m t a 'm,m t / a 'l .m t
0 0 B 1 1
（4）求改进了的基本可行解 以x3为换入变量，x4为换出变量，将换入变量x3所在的列变 为
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
对偶问题的基本性质
无界性
若原(对偶)问题有无界解，则对偶(原)问题无可行解.
max z x1 x2
min w y1 y2 s.t. y1 y2 1 y1 y2 1
原
s.t. x1 x2 1 x1 x2 1
对偶
不可行 x1 , x2 0 max z x1 x2
初等 变换
线性规划的单纯形法
x1 xl xm x m 1 xmt xn b
' ' ' a1' ,m t a a b l , m 1 l , n ' ' ' ' ' ' l 1 ' a1,m 1 ' a1,m t 0 a1,n ' a1,m t b1 ' a1,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t ' ' ' a l ,m 1 a l ,n bl 1 1 a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t ' ' ' ' a m ,m t a l ,m 1 ' a l ,n ' bl ' ' ' ' ' 1 a m , m 1 ' a m , m t 0 a m , n ' a m , m t bm ' a m , m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
m axz CX AX b s .t. X 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
对偶问题的基本性质
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14
其中 x3, x4, x5 为 松弛变量。
解: 由已知得 CB=(2 0 3),
B 1
x3 x3 , x4 x4
4 7 0
线性规划问题的对偶问题
原问题与对偶问题对偶关系对照表 原 (对偶) 问题 目标函数 max z=CX n 个变量 ≥0 ≤0 自由变量 ≤ AX ≥ b = 对偶 (原) 问题 目标函数 min w=YTb ≥ n 个约束 ATY ≤ CT = ≥0 m 个变量 ≤0 自由变量
1
3 / 5 1/ 5 2 1 0 2 / 5 3 / 5 1/ 5 17 / 5 1 B N B b 1/ 5 2 / 5 4 0 1 6 / 5 1/ 5 2 / 5 6 / 5
1
线性规划问题的对偶问题
因此，由对偶定理可得所求问题的对偶问题的最优解为：
0 2 0.5
1/ 4 0.5 1/ 8
0 1 . 0
不可行 y1 , y2 0
s.t. 3 x1 2 x2 3
原
min w 3 y1 2 y2
对偶
x1 x2 2 x1 , x2 0 无界
s.t. 3 y1 y2 1 2 y1 y2 1 y1 , y2 0 不可行
对偶问题的基本性质
可行解是最优解时的性质
单纯形法的矩阵描述
由此可见：单纯形法的计算过程中，各部分的数字都是用 基的逆矩阵来进行计算的。因此，单纯形法的计算机实现 的关键步骤是对基 x l x m x m 1 xmt xn b
' ' ' ' 1 a1 a a b ,m 1 1, m t 1, n 1 1 a l' ,m 1 a l' ,m t a l' ,n bl' ' ' ' ' 1 a a a b m , m 1 m , m t m , n m
minZ 135y1 405y 2
y1 , y2 ---- 机 器 I 与 机 器 II 的每台时的租金
s .t. y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 y1 7 y 2 11 / 3 y1 , y 2 0.
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题
线性规划问题的对偶问题
•
非对称性关系
max z CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
m 个约束
线性规划问题的对偶问题
例 4 求下列问题的对偶问题
maxz 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 3 s.t. x x2 1 1 x1 0, x 2自 由 变 量
min w 2 y 1 3 y 2 y 3 y 2y 2 y 3 2 1 s.t. y 1 y 2 y 3 1 , y 2 0, y 3 0 y 1自 由 变 量
线性规划问题的对偶问题
例2 若该工厂想要出租这两台机器，那么该工厂应 该如何确定合理的租金呢？
对偶问题的基本性质
考虑对称性关系的对偶：
原问题 max Z CX AX b s.t.. X 0
对偶问题 m i nw Y T b AT Y C T s .t. Y 0
对称性
对偶问题的对偶是原问题。
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
弱对偶性
若X是 原 问 题 的 任 意 可 行 ， 解 Y是 对 偶 问 题 的 任 意 可 解 行. 则 有 z cX Y b w
(Dual Problems)
1. 对偶问题的提出 (Dual Problem)
例1 某工厂用两台机器生产三种产品,有关数据如下表:
机器 I 机器 II 利润
甲(m) 1 1 2
乙(m) 1 4 3
丙(m) 1 7 11/3
限制条件 135 405
如何组织生产，使总利润最大？ x1 , x2 , x3 ------分别生产甲、 乙、丙产品的数量
1/ 2 1/ 2
，替换二阶单位矩阵中的第1列，得
1/ 2 0 E 1/ 2 1
故新的可行基的逆为
1/ 2 0 1 0 1/ 2 0 B 1/ 2 1 0 1 1/ 2 1
1/ 3 1/ 3
，替换二阶单位矩阵中的第2列，得
1 1/ 3 E 0 1/ 3
故新的可行基的逆为
1 1/ 5 1/ 2 0 3 / 5 1/ 5 B 0 2 / 5 1/ 2 1 1/ 5 2 / 5
对偶问题的基本性质
对偶问题的基本性质
例
已知用单纯形法求解下述线性规划问题所得最终表如下，试确
定该问题的对偶问题的最优解.
m axz 2 x 1 3 x 2 x1 2 x 2 8 16 4 x1 s .t. 4 x 2 12 x1 , x 2 0
1
1/ 2 0 1 2 1 1/ 2 1 1/ 2 4 1 B N B b 1/ 2 1 3 4 0 5 / 2 3 1/ 2 3
1
（4）求改进了的基本可行解 以x1为换入变量，x5为换出变量，将换入变量x1所在的列变 为
单纯形法的矩阵计算
基的逆B-1的计算
1 Bnew
1 0 0
a '1,m t / a 'l .m t 1/ a 'l .m t a 'm,m t / a 'l .m t
0 0 B 1 1
（4）求改进了的基本可行解 以x3为换入变量，x4为换出变量，将换入变量x3所在的列变 为
m axz 60x 1 30x 2 20x 3
8 x 1 6 x 2 x 3 48 4 x 2 x 1.5 x 20 1 2 3 s.t. 2 x 1 1.5 x 2 0.5 x 3 8 x 1 , x 2 , x 3 0
8 y 1 4 y 2 2 y 3 60 6 y 2 y 1.5 y 30 1 2 3 s.t. y 1 1.5 y 2 0.5 y 3 20 y 1, y 2 , y 3 0
对偶问题的基本性质
无界性
若原(对偶)问题有无界解，则对偶(原)问题无可行解.
max z x1 x2
min w y1 y2 s.t. y1 y2 1 y1 y2 1
原
s.t. x1 x2 1 x1 x2 1
对偶
不可行 x1 , x2 0 max z x1 x2
初等 变换
线性规划的单纯形法
x1 xl xm x m 1 xmt xn b
' ' ' a1' ,m t a a b l , m 1 l , n ' ' ' ' ' ' l 1 ' a1,m 1 ' a1,m t 0 a1,n ' a1,m t b1 ' a1,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t ' ' ' a l ,m 1 a l ,n bl 1 1 a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t a l' ,m t ' ' ' ' a m ,m t a l ,m 1 ' a l ,n ' bl ' ' ' ' ' 1 a m , m 1 ' a m , m t 0 a m , n ' a m , m t bm ' a m , m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t a l ,m t
对偶理论与灵敏度分析
(Dual Theories and Sensitivity Analysis)
单纯形法的矩阵描述 线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的经济解释 对偶单纯形法 灵敏度分析
----影子价格
单纯形法的矩阵描述
考虑线性规划问题的标准型
m axz CX AX b s .t. X 0
线性规划问题的对偶问题
对称性形式的对偶关系
m inw ( y1 0) ( y 2 0) ( y m 0) y1 y2 ym ( x1 0) x1 a11 a 21 a m1 c1 m ax z ( x 2 0) x2 a 12 a 22 am2 c2 ( x n 0) xn a 1n b1 a 2n b2 a mn bm cn
对偶问题的基本性质
XB x1 x5 x2 -z x1 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 x3 x4 0 1/4 -2 0.5 0.5 -1/8 -3/2 -1/8 x5 0 1 0 0 b R 4 4 2 -14
其中 x3, x4, x5 为 松弛变量。
解: 由已知得 CB=(2 0 3),
B 1
x3 x3 , x4 x4
4 7 0
线性规划问题的对偶问题
原问题与对偶问题对偶关系对照表 原 (对偶) 问题 目标函数 max z=CX n 个变量 ≥0 ≤0 自由变量 ≤ AX ≥ b = 对偶 (原) 问题 目标函数 min w=YTb ≥ n 个约束 ATY ≤ CT = ≥0 m 个变量 ≤0 自由变量
1
3 / 5 1/ 5 2 1 0 2 / 5 3 / 5 1/ 5 17 / 5 1 B N B b 1/ 5 2 / 5 4 0 1 6 / 5 1/ 5 2 / 5 6 / 5
1
线性规划问题的对偶问题
因此，由对偶定理可得所求问题的对偶问题的最优解为：
0 2 0.5
1/ 4 0.5 1/ 8
0 1 . 0
不可行 y1 , y2 0
s.t. 3 x1 2 x2 3
原
min w 3 y1 2 y2
对偶
x1 x2 2 x1 , x2 0 无界
s.t. 3 y1 y2 1 2 y1 y2 1 y1 , y2 0 不可行
对偶问题的基本性质
可行解是最优解时的性质
单纯形法的矩阵描述
由此可见：单纯形法的计算过程中，各部分的数字都是用 基的逆矩阵来进行计算的。因此，单纯形法的计算机实现 的关键步骤是对基 x l x m x m 1 xmt xn b
' ' ' ' 1 a1 a a b ,m 1 1, m t 1, n 1 1 a l' ,m 1 a l' ,m t a l' ,n bl' ' ' ' ' 1 a a a b m , m 1 m , m t m , n m
minZ 135y1 405y 2
y1 , y2 ---- 机 器 I 与 机 器 II 的每台时的租金
s .t. y1 y 2 2 y1 4 y 2 3 y1 7 y 2 11 / 3 y1 , y 2 0.
• •
例1与例2是一个问题的两个方面 两个线性规划模型是一对对偶问题
线性规划问题的对偶问题
•
非对称性关系
max z CX AX b s.t. X O
min w Y T b s.t. A TY C T
练习：
m ax z 6x 1 + 8x 2 3x 1 x 2 s.t .5x 1 2x 2 x , x2 , 1
m 个约束
线性规划问题的对偶问题
例 4 求下列问题的对偶问题
maxz 2 x1 x 2 x1 x 2 2 2 x1 x 2 3 s.t. x x2 1 1 x1 0, x 2自 由 变 量
min w 2 y 1 3 y 2 y 3 y 2y 2 y 3 2 1 s.t. y 1 y 2 y 3 1 , y 2 0, y 3 0 y 1自 由 变 量