灵敏度分析 影子价格
2.线性规划的对偶理论(第2部分)
2
x1 1 0 0 0
3
x2 0 0 1 0
0
x3 1/2 -1/2 0 -1/2
0
x4 0 1/4 -1/4 -1/4
0
x5 -1/5 1/5 0 -2/5
4
x6 0 1 0 0
θj
故新的解为：x1=3, x2=2, x6=1, z*=16
6、增加一个约束条件的分析：
若在第一章例2中，若增加一个约束条件3x1+2x2≤14，试分析 问题最优解的变化。
分析步骤：
(1)计算： j c j z j c j aij yi c j C B B 1 Pj ;
i 1
m
1 / 2 0 1 / 5 2 2 4 4 (1 0 1 / 5) 4 4 3 1 6 4 (2 0 3) 2 1 4 / 5 0 0 1/ 5 5 5
某种资源的影子价格为零，说明该资源相对富裕；一 方面可以转让该资源；另一方面，通过挖潜和增加对 影子价格大于零资源的投入，使原有的剩余资源充分 利用，甚至于成为新的紧缺资源 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件 下，新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的 一种边际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种 资源的影子价格可能不同；当市场价格高于影子价格， 可以卖出；相反，则应买进，以获取更大收益
i
1
1
1
相应的行为主元行。
然后确定换入变量 —— 原则是：在保持对偶 可行的前提下，减少原始问题的不可行性。 如果
c j z j ' ck z k m in alj 0 ' ' j alk alj
灵敏度分析--影子价格课件
灵敏度分析--影子价格
14
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
最优解为: x 1 5 ,x 2 0 ,x 3 3 ,x 4 0 ,x 5 0
解: (方法一) 由最终表格知,对偶问题的最优解为
y1
1 5
,
y2
3 5
.
又对偶问题最优解的经济学意义-----资源的影子价格得:
由于标准形的最优值为-27, 故此时对应的最大利润为27千元.
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买到资源 甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的单位利 润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润的目标下考虑 产品B的生产?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的 单位利润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润 的目标下考虑产品B的生产?
灵敏度分析--影子价格
5
对偶最优解的经济解释—影子价格
由强对偶定理可知，如果原问题有最优解 X ,
那么对偶问题也有最优解 Y(y1 ,y2 ,
,y) m
而且他们的目标函数值相等,即有:
灵敏度分析--影子价格
9
例1、某工厂用甲,乙两种资源生产A,B,C三产品。 已知生产单位产品所需要的资源量,所获利润以及 每种资源的最大供给均列于表。试问如何安排生产 计划，即A,B,C三种产品各生产多少吨，可使该厂 所获得利润达到最大。
原料 AB
甲
63
乙
34
利润 3 1
(千元/吨)
影子价格
作者:熊易强期号：饲料工业2006年第23期1饲料配方中影子价格的定义和意义在以线性规划为基础的饲料配方模型分析和应用中，对影子价格的表述有两个：一是配方营养约束条件的影子价格；二是原料的影子价格。
1.1配方营养约束条件的影子价格根据线性规划模型对影子价格的基本定义，饲料配方中营养约束条件的影子价格指的是在其它约束条件不变的条件下，该营养约束条件的约束值改变一个单位，导致配方成本的改变。
大多数的线性规划著作中都是这样定义营养约束条件的影子价格的。
有些饲料配方文献将其定义为饲料配方唯一的影子价格，其依据或许即在于此。
然而，营养约束条件的影子价格本身对饲料配方、原料采购与管理基本上是没有意义的，而且在理解和应用不当的情况下，可能造成误导。
但就线性规划模型的算法原理而言,约束条件作为一种独立资源，其影子价格对于增加生产或投资的决策往往有重大意义。
该资源单位投入的实际成本如低于其影子价格，企业将增加收益；如超过其影子价格，企业将减少收益；如等于其影子价格，企业投资收支平衡（Wikipedia，2006）。
但是，这一分析不适用于饲料配方中的营养约束条件。
首先，各营养成分不是单独存在的资源，而是以多种成分同时存在的方式寄寓于饲料原料中的，我们不可能孤立地“买”、“卖”或投入某一营养成分。
其次，大量的营养学研究证明，在约束的营养成分之间，尤其是能量和其它营养成分之间存在着密切关系。
也就是说，它们之间不是独立变量(independent variable)，而是参（数）变量（parametric variable）关系。
如果把能量视为独立变量或自变量，其它营养成分则是依存变量或因变量(dependent variable)。
能量和其它营养成分只有在配方中保持一定的比例关系，各营养成分才能作为一种资源实现优化利用。
配方中能量浓度提高或降低，其它营养成分如蛋白质、氨基酸，也应按比例提高或降低。
对于大多数畜禽种类来说，各营养成分需要量之间的相互关系已经确立。
影子价格名词解释
影子价格名词解释影子价格（Shadow Price）是指在经济学中，用于衡量资源的生产（或消费）边际效益的价格。
它是指在特定条件下，如果增加（或减少）一单位资源的使用量，所带来的效益变化。
影子价格的概念在环境经济学、公共经济学等领域都有应用。
影子价格的概念起源于线性规划理论。
在线性规划中，通过建立一个数学模型，可以找到一种最优方案来分配资源以满足一定的约束条件。
在这种模型中，约束条件往往是资源的有限性和目标的最大化或最小化。
影子价格就是通过解决这个线性规划问题而得到的，它体现了资源在各约束条件下的边际效应。
具体来说，在线性规划模型中，每个约束条件都有一个对应的影子价格，用来衡量满足该约束条件所带来的增加或减少单位资源所能带来的效益变化。
影子价格的计算方法是通过对线性规划问题进行敏感度分析得到的，通过变化约束条件的系数来观察目标函数值的变化。
影子价格的概念在环境经济学中有广泛的应用。
例如，当考虑环境资源的利用时，如水资源、森林资源等，就可以使用影子价格来衡量资源的稀缺性和价值。
影子价格可以帮助决策者在资源配置中做出优化的决策，以实现资源的可持续利用和环境的保护。
此外，影子价格还可以应用于公共经济学领域。
在公共经济中，政府经常需要制定公共政策，如公共投资、税收政策等，来引导经济发展。
通过计算资源的影子价格，政府可以根据资源的相对稀缺性来制定合理的政策。
例如，当一个市场部门的投资需求超过资源供给时，政府可以通过增加该市场的资源影子价格来引导资源的流向。
在实际应用中，影子价格的计算方法因具体情况而异。
通常需要根据具体问题建立数学模型，并通过对线性规划问题的求解或敏感度分析得到。
影子价格可以帮助决策者更好地理解资源的价值，优化资源配置，实现可持续发展。
运筹学讲义影子价格-灵敏度分析-运输问题
2)
0.000000
48.000000
3)
0.000000
2.000000
4) 40.000000
0.000000
35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！
聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
21
结果解释
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS?
Yes
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
18
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 20.000000
0.000000
X2 30.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
16
1桶
12小时 3公斤A1
牛奶 或 8小时 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Max z 72 x1 64 x2
原料供应
12
影子价格的经济意义：在资源得到最优配置，使总效益最大时，该资源投 入量每增加一个单位所带来总收益的增加量。
影子价格是一种静态的资源最优配置价格，不能表现资源在不同时期动态 配置时的最优价格，只反映某种资源的稀缺程度和资源与总体积极效益之间 的关系，不能代替资源本身的价值。
线性规划(5)
若要保证最优解不变，必须有：-5+0.5a≤0，a≤10 -15-1.5a≤0，a≥-10 即-10≤a≤10，c1在[40,60]之间变化，最优解不变。 仍为：x1=15,x2=20;但最优值将随着c1的增大而增大；缩小而 缩小。那么c2=30在多大范围内发生变化，最优解不变？
2、b1=120，问b1在多大范围内发生变化最优基不变，最优 解和最优值是否发生变化？ 设b1变化为b1+a， 由最终单纯形表和初始单纯形表可以看出，基矩阵B和B-1分别为：
0 x4 2 1 -1 -1
0 x5 -5 -1 2 -3
xB
0 5 4
X3 25 X1 35 X2 10 cj
松弛变量的检验数对应着对偶问题的最优解。
而且是这三种资源的影子价格。
即∶资源一的影子价格为=y1=-c3=0
资源二的影子价格为=y2=-c4=1 资源三的影子价格为=y3=-c5=3
分析∶资源一的影子价格为0，说明增加这种资源
引例：生产计划问题
胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌 子售价50元/个，椅子销售价格30/个，生产 桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工 种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工 2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油 漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如 何组织生产才能使每月的销售收入最大？
2 1 5 5 1 B 1 1 * 3 3 2 3 2 2
C3 X3 -1 2 0 X4 1 -1/2 -5 0 X5 -2 3/2 -15 20 15 1350 b
C3-70
若希望生产书柜，那么就需要把X3变为基变量，则要求 C3-70 ≥0， 即C3 ≥70元生产书柜有利。
灵敏度分析
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij ,b j 变化时，对最优解产生的影响。
2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。
3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。
4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。
5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。
6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知量)。
7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。
9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。
10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。
12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。
13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划；14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。
大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。
运筹学讲义——影子价格
运筹学讲义——影子价格1. 引言影子价格是运筹学中重要的概念之一，它是一种用于衡量资源的价值及其影响因素的指标。
在运筹学的研究中，影子价格广泛应用于线性规划、非线性规划等问题的求解过程中。
本讲义将介绍影子价格的概念、计算方法以及在运筹学中的应用。
2. 影子价格的概念影子价格是指在约束条件下，增加或减少某一资源单位所引起目标函数值的变化量。
影子价格可以理解为资源的边际价值，即某一额外单位资源对于目标函数值的贡献。
在最优解中，影子价格的值通常为零。
3. 影子价格的计算方法影子价格的计算涉及到对约束条件的变化进行分析，一般通过对目标函数做边际分析来求解。
3.1 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法，其中也可以通过对基变量进行边际分析来计算影子价格。
具体方法是，在求解最优解的过程中，通过检验数判断基变量是否为零，若不为零则计算相应基变量对应的影子价格。
3.2 灵敏度分析灵敏度分析是通过对约束条件进行改变，观察目标函数值的变化来计算影子价格。
常见的灵敏度分析方法包括增加或减少资源限制条件、增加或减少目标函数系数等。
4. 影子价格的应用影子价格在运筹学中有着广泛的应用，特别是在供应链管理、生产调度、资源配置等方面。
4.1 供应链管理在供应链管理中，供应商的影子价格可以衡量其对供应链整体利润的贡献程度。
通过计算不同供应商的影子价格，企业可以优化供应链结构，选择最佳的供应商以最大程度地提高供应链利润。
4.2 生产调度在生产调度中，影子价格可以用来衡量不同工序之间的资源转移成本。
通过计算影子价格，企业可以优化生产调度方案，合理利用资源，提高生产效率。
4.3 资源配置影子价格可以用于资源配置的决策过程中。
通过计算各种资源的影子价格，企业可以合理配置资源，从而最大程度地满足生产需求，提高利润。
5.影子价格是运筹学中一个重要的概念，可以衡量资源的边际价值及其影响因素。
通过计算影子价格，可以优化决策过程，提高整体效益。
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对偶理论是线性规划的重要内容之一。对于每个线性 规划问题,都有另一个线性规划问题(对偶)与之对应。
原问题和对偶问题紧密关联，它们不但有相同的数据集合， 相同的最优目标函数值，而且在求得一个线性规划的最优解 的同时，也同步得到对偶线性规划的最优解. 由此衍生出求 解线性规划问题的另一种算法---对偶单纯形法.
s.t. 6 x1 3 x2 5 x3 x4 45
3 x1 4 x2 5 x3 x5 30
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
其中 x4 , x5 分别是资源甲和乙引进的松弛变量.
12
63 5 1 0
45
34 5 0 1
30
-3 -1 -4 0 0
0
最终表格为:
1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
为影子价格(shadow price)
7
影子价格的大小客观地反映了各种不同资源在系
统内的稀缺程度。如果第i种资源供大于求，即在达
到最优解时，该种资源没有用完，或松弛变量
由互补松弛定理，在对偶最优解 Y* 中，第i种资源的
影子价格
反之如果第i种资源的影子价格 y*i 0
那么原问题的第i个约束为严格等式, 即
14
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
最优解为: x1 5, x2 0, x3 3, x4 0, x5 0
0 1 1 -1/5 2/5 3
0 2 0 1/5 3/5 27
因此最优解为: x1 5, x2 0, x3 3, x4 0, x5 0
13
因此最优解为: x1 5, x2 0, x3 3, x4 0, x5 0
即最优生产计划为:生产A产品5吨, C产品3吨,不生产B产品.
由于标准形的最优值为-27, 故此时对应的最题： ➢若数据发生变化，最优解会有什么变化? ➢数据集合在什么范围内波动, 最优解保持不变？
详情可以参考如下教材: <<运筹学>> 清华大学出版社
<<运筹学原理和方法>>华中科技大学出版社
3
例1、某工厂用甲,乙两种资源生产A,B,C三产品。 已知生产单位产品所需要的资源量,所获利润以及 每种资源的最大供给均列于表。试问如何安排生产 计划，即A,B,C三种产品各生产多少吨，可使该厂 所获得利润达到最大。
, 这表明
这表明第i种资源已经用完，成为稀缺资源。
8
资源的影子价格同时也是一种机会成本，在市场 经济的条件下，当某种资源的市场价格低于影子价 格时，企业应买进这种资源用于扩大生产；相反当 某种资源的市场价格高于影子价格时，企业应卖出 这种资源。随着资源的买进卖出，企业资源的影子 价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价 格保持同等水平时，才处于平衡状态。
9
例1、某工厂用甲,乙两种资源生产A,B,C三产品。 已知生产单位产品所需要的资源量,所获利润以及 每种资源的最大供给均列于表。试问如何安排生产 计划，即A,B,C三种产品各生产多少吨，可使该厂 所获得利润达到最大。
原料 AB
甲
63
乙
34
利润 3 1
(千元/吨)
拥有总数 C
5
45
5
30
4
10
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润 进一步提高的因素? 2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买 到资源甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的 单位利润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润 的目标下考虑产品B的生产?
的右端数据向量，它代表各种资源的拥有量。
6
记
Y
( y, 1
y2 ,L
,
y ) m
是对偶问题的最优解,
由 Z=CTX* =Y*Tb=y*1b1 y*2b2 L y*mbm
得:
z bi
yi*
Y
(
y 1
,
y2
,L
, y ) m
的经济学意义是,它们代表
各单位资源在最优利用条件下所创造利润的估价，
这种估价不是资源的市场价格，为区别起见，称之
对偶问题的解有着重要的经济意义，据此可以作一些灵敏 度分析.
1
第五节 灵敏度分析
线性规划问题所对应的数据集合Ａ，b，Ｃ常常是通过 预测或估计所得到的统计数据，在实际使用中，不免会有 一定的误差。而且随着市场环境，工艺条件和资源数量的 改变，这些数据完全可能发生变化。
因此有必要来分析一下当这些数据发生波动时，对目前 的最优解或最优值会产生什么影响，这就是所谓的灵敏度 分析(结果分析)。
11
解：设该企业生产产品 A, B, C 分别为 x1, x2 , x3 吨， 则得如下数学模型:
max z 3 x1 x2 4 x3
s.t. 6 x1 3 x2 5 x3 45
3 x1 4 x2 5 x3 30
x j 0, j 1, 2, 3
化为标准形: min f 3 x1 x2 4 x3
5
对偶最优解的经济解释—影子价格
由强对偶定理可知，如果原问题有最优解 X ,
那么对偶问题也有最优解
Y
(
y , 1
y2 ,L
, y ) m
而且他们的目标函数值相等,即有:
Z=CTX* =Y*Tb=y*1b1 y*2b2 L y*mbm
其中 b=(b1 , b2 ,L , bm )T 是线性规划原问题约束条件
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提 高的因素?
2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买到资源 甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的单位利 润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润的目标下考虑 产品B的生产?
原料 AB
甲
63
乙
34
利润 3 1
(千元/吨)
拥有总数 C
5
45
5
30
4
4
在此基础上,进一步考虑如下问题:
1. 甲乙两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润 进一步提高的因素? 2. 若在市场上能按比正常价格贵0.5(千元)的单价买 到资源甲和乙, 问为了进一步提高净利润是否应该买?
3. 若欲通过提高售价提高产品B的单位利润,问B的 单位利润要提高多少(千元),才能仍在追求最大利润 的目标下考虑产品B的生产?