12-屈曲分析
屈曲分析常用方法
屈曲分析常用方法
介绍了用于屈曲分析的常用方法
处理屈曲问题可以用的几种计算方式
关键字特点
线性屈曲分析*buckle用于估计最大临界载荷和屈曲模态，无法查看屈曲后状态。
可用作引入缺陷的之前的计算分析步，需要加载荷；屈曲特征值与载荷相乘就是屈曲载荷。
主要用于缺陷不敏感结构。
非线性屈曲分析*static, riks用于计算最大临界载荷和屈曲以后的后屈曲响应，可以查看后屈曲状态，用弧长量代替时间量。
载荷比例因子与载荷相乘就是屈曲载荷。
可以用于缺陷敏感结构，如果结构存在接触，容易出现收敛问题。
通用静力分析*static用于计算结构刚度不变或结构刚度增大的结构，如果结构出现屈曲或者垮塌，很容易出现不收敛问题，无法计算后屈曲状态。
通用静力分析+阻尼稳定*static, stabilize在静力分析步中加阻尼，有助于收敛，计算的结束点可以比通用静力分析要后一些，但要注意阻尼不能加得过大。
隐式动力分析*Dynamic将屈曲问题作为隐式动力问题来处理，适合接触脱开的问题，但是假如结构接触对较多，很容易出现收敛问题。
这种分析类型使用的是隐式积分方法。
显式动力分析*dynamic, explicit将屈曲问题作为显式动力问题来处理，适合接触脱开的问题，能够适应复杂的模型，复杂的接触对，收敛效果较好。
但是计算量较大，计算时间较长，计算完以后需要评估计算结果是否可靠。
这种分析类型使用的是显式积分方法。
屈曲分析
问题概述：
一个可靠的产品设计，不仅强度要满足设计要求，而且结构要有足够 的刚度来保证产品性能。现代电子产品（其他产品也一样）已经越来越小， 电子元件之间的空隙非常狭小，在刚度不够的情况下往往导致零部件之间 的干涉。例如，手机从高处坠落，有可能会出现摔坏的情况，这可能是因 为外壳变形过大破坏了内部结构。通常，运行一个静态分析就可以得到结 构在载荷作用下的变形。在某些结构，如承受压应力的部件，在压力载荷 到达一定程度以后会发生于静态分析相比大的多的不可思议的变形，这就 是由于结构已经在这一载荷作用下发生了失稳，这时就需要稳定性分析即 屈曲分析。 实际上结构发生失稳也是由于应力刚度矩阵在影响，应力刚度矩阵可 以加强或减弱结构刚度，这与应力是拉应力还是压应力有关。正如前面计 算出的结果一样，拉应力会使结构的横向刚度增强；结构受压时，会导致 结构的刚度减弱，当压力越来越大时，刚度弱化超出了结构固有的刚度， 结构就表现的很脆弱，位移急剧增大，发生屈曲。
半径i的数值就能使 减小。可见，如果不增加截面面积，尽可能的把材料放在离截 面形心较远处以取得较大的I和i值，就能提高临界应力。
改进措施：在相同截面积下，将杆的结构改为空心杆，截面见图1.其余 各项设置与实心杆相同，计算出的BLF值和实心杆的BLF对比，见图2，失稳 临界载荷因子有明显提高，说明上述分析是正确的。
图1 空心杆截面图
图2 实心杆与空心杆BLF值对比
屈曲分析示例
一端固定一端自由的薄壁圆筒屈曲模态振型
屈曲分析示例
细长圆杆失稳分析及改进
细长圆杆如下图，直径15mm，长200mm，一端固定，一端自由，且受 到100N的压力作用，进行失稳分析并改进。
圆杆三维模型
各阶失稳临界载荷因子（BLF） 失稳的屈曲模态振型（10阶）
屈曲分析全过程
屈曲分析的过程说明:屈曲分析是一种用于确定结构开始变得不稳定时的临介荷载和屈曲结构发生屈曲响应时的模态形状的技术。
ANS 丫醍供两种结构屈曲荷载和屈曲模态分析方法：非线性屈曲分析和特征值屈曲分析。
非线性屈曲分析是在大变形效应开关打开的情况下的一种非线性静力学分析，该分析过程一直进行到结构的极限荷载或最大荷载。
非线性屈曲分析的方法是，逐步地施加一个恒定的荷载增量，直到解开始发散为止。
尤其重要的是，要一个足够小的荷载增量，来使荷载达到预期的临界屈曲荷载。
若荷载增量太大，贝屈曲分析所得到的屈曲荷载就可能不准确，在这种情况下打开自动时间步长功能，有助于避免这类问题，打开自动时间步长功能，ANS YSS序将自动寻找屈曲荷载。
特征值屈曲分析步骤为：1.建模2.获得静力解：与一般静力学分析过程一致，但必须激活预应力影响，通常只施加一个单位荷载就行了3.获得特征屈曲解:A.进入求解B.定义分析类型C.定义分析选项D.定义荷载步选项E.求解 4.扩展解之后就可以察看结果了 示例1:! ansys 7.0有限元分析实用教程 ! 3.命令流求解 ! ANSYS 命令流:! Eigenvalue BucklingK,1,0,0!创建梁实体模型K, 2,0,100L, 1,2 !创建直线 单元边长为1mmFINISH !这两行命令清除当前数据/CLEAR/TITLE,Eige nvalue Buckli ng An alysis/PREP7 !进入前处理器 ET,1,BEAM3 !选择单元 R,1,100,833.333,10 !定义实常数 MP,EX,1,200000 !弹性模量 MP,PRXY,1,0.3!泊松比ESIZE,10LMESH,ALL,ALL !划分网格FINISH !退出前处理!屈曲特征值部分/SOLU !进入求解ANTYPE,STATIC !在进行屈服分析之前，ANSYS需要从静态分析提取数据PSTRES,ON !屈服分析中采用预应力DK,1,ALL !定义约束FK,2,F Y,-1 !顶部施加载荷SOLVE !求解FINISH !退出求解/SOLU !重新进入求解模型进行屈服分析ANTYPE,BUCKLE !屈服分析类型BUCOPT, LANB,1 ! 1阶模态，子空间法I SOLVE !求解FINISH !退出求解/SOLU !重新进入求解展开模态EXPASS,ON !模态展开打开MXPAND,1 !定义需要展开的阶数SOLVE !求解FINISH !退出求解/POST1 !进入通用后处理SET,LIST !列出特征值求解结果SET,LAST !入感兴趣阶数模态结果PLDISP !显示变形后图形! Non Li near Buckl ing !非线性分析部分FINISH !这两行命令清除当前数据/CLEAR/TITLE, Non lin ear Buckli ng An alysis/PREP7 !进入前处理ET,1,BEAM3 !选择单元MP,EX,1,200000 !弹性模量MP,PRXY,1,0.3 !泊松比R,1,100,833.333,10 !定义实常数K,1,0,0,0 !底端节点K,2,0,100,0 !顶点L,1,2 !连成线ESIZE,1 !网格尺寸参数设定LMESH,ALL !划分网格FINISH !退出前处理/SOLU !进入求解ANTYPE,STATIC !静态分析类型（非屈服分析）NLGEOM,ON !打开非线性大变形设置OUTRES,ALL,ALL !选择输出数据NSUBST,20 ! 5个子步加载NEQIT,1000 ! 20步迭代AUTOTS,ON !自动时间步长LNSRCH,ON !激活线搜索选项/ESHAPE,1 !显示二维状态下变形图DK,1,ALL,0 !约束底部节点FK,2,F Y,-50000 !顶部载何稍微比特征值分析结果大FK,2,FX,-250 !施加水平扰动载荷SOLVE !求解FINISH !退出求解/POST26 !进入时间-历程后处理器RFORCE,2,1,F, Y ! 2#变量表示力/AXLAB,Y,DEFLECTION !修改 y 轴标签/REPLOT示例2:!悬臂梁受端部轴向压力作用的屈曲分析!先进行静力分析，在进行特征值屈曲分析，最后进行非线性分析!静力分析 fini/cle/filn ame,beam-flexure/tittle,beam-flexure /prep7 *set,f1,-1e6向压力荷载参数et,1,beam189NSOL,3,2,U, Y 3#变量表示y 方向位移XVAR,2将x 轴显示2 #变量PLVAR,3y 轴显示3 #变量数据/AXLAB,X , LOAD修改x 轴标签 重新显示图形设置轴mp,de ns,1,7.85e3 设置材料参数mp,ex,1,2.06e11mp,nu xy,1,0.2sectype,1,beam,l,,2 ! 设置截面参数secoffset,ce ntsecdata,0.15,0.15,0.25,0.015,0.015,0.015,0,0,0,0k,1,0k,2,2.5,0k,3,1.25,1lstr,1,2latt,1,,1,,3,,1lesize,1,,,10lmesh,1/view,1,1,1,1/eshape,1.0dk,1,,,,0,all,fk,2,fx,f1 !施加关键点压力finish/soluan type,0eqslv,spar !求解器设置稀疏矩阵直接法pstres,on !打开预应力开关solvefin ish!特征值屈曲分析/soluan type,1bucopt,lanb,6,0 !取前六阶模态分析mxpa nd,6,0,0,1,0.001solvefin ish/post1*do,i,1,6set,ipldisp,i*enddo*get,freq1,mode,1,freq fin ish!非线性屈曲分析/config,n res,200两百步的结果/prep7tb,biso,1,1,2料非线性tbtemp,0tbdata,,2.0e8,0upgeom,0.01,1,1,'beam-flexure','rst'!对有限元模型进行0.01倍的修改save,beam-flexure,dbfin ish只记录定义材阶模态的位移结果resu,beam-flexure,db/solu an type,0nlgeom,1 !打开大变形outres,all,allarclen,1,0 !弧长法设置arctrm,l !弧长法终止准则达到第一个峰值时终止计算nsubst,200,,,1fk,2,fx,f1*freq1！fk,2,fx,f1*freq1*1.2 !将轴向压力值放大，放大系数为第一阶模态的主频solve finish。
屈曲分析常用方法
屈曲分析常用方法屈曲（buckling）是指当一个长、细的构件受到压缩力作用时，由于其固有的弯曲刚度过小而导致的失稳现象。
屈曲分析是在结构设计和分析中非常重要的一部分，它能够帮助工程师预测和控制结构在压缩力下的稳定性。
本文将介绍常用的屈曲分析方法。
一、线性弹性屈曲分析方法线性弹性屈曲分析是结构工程中最为常用的方法之一。
它基于线弹性理论，在计算建筑物或其他结构在受压力作用下的屈曲承载能力时非常准确。
采用这种方法时，首先需要定义结构的材料特性和截面形状，然后利用弹性力学理论计算结构的屈曲载荷和屈曲形态。
线性弹性屈曲分析方法的优点是计算简便、准确度高，适用于大部分结构。
二、非线性屈曲分析方法非线性屈曲分析方法更为复杂，它考虑到了材料和结构在屈曲承载能力附近的非线性行为。
这种方法适用于材料有一定塑性变形能力的情况，比如钢材等。
相比于线性弹性屈曲分析方法，非线性屈曲分析方法考虑了材料的刚度退化和强度减小等因素，能够更准确地描述结构在失稳时的行为。
三、有限元分析方法有限元分析方法是一种数值分析方法，它将结构划分为有限数量的单元，通过求解每个单元的力学方程和应变方程来获得结构的整体响应。
在屈曲分析中，有限元分析方法可以采用线性或非线性模型，通过迭代计算得到结构的屈曲载荷和屈曲形态。
有限元分析方法灵活度高，适用于复杂结构的屈曲分析，但需要借助计算机进行计算，计算量较大。
四、实验方法在某些情况下，为了确保对结构的屈曲行为有一个准确的判断，工程师会采用实验方法进行验证。
实验方法可以通过对试验模型施加压缩力并观察其稳定性来判断结构的屈曲承载能力。
这种方法对于复杂结构或者对特殊情况下的屈曲行为有较好的应用效果。
综上所述，屈曲分析的常用方法包括线性弹性分析方法、非线性分析方法、有限元分析方法和实验方法。
工程师可以根据具体的结构情况选择合适的分析方法，预测和控制结构在压缩力下的稳定性，从而保证工程的安全和可靠性。
屈曲分析
屈曲（失稳）征值屈曲分析与非线性屈曲分析：很多现有的ANSYS资料都对特征值屈曲分析进行了较为详细的解释，特征值屈曲分析属于线性分析，它对结构临界失稳力的预测往往要高于结构实际的临界失稳力，因此在实际的工程结构分析时一般不用特征值屈曲分析。
但特征值屈曲分析作为非线性屈曲分析的初步评估作用是非常有用的。
以下是我经过多次计算得出的一些分析经验，欢迎批评。
1. 非线性屈曲分析的第一步最好进行特征值屈曲分析，特征值屈曲分析能够预测临界失稳力的大致所在，因此在做非线性屈曲分析时所加力的大小便有了依据。
特征值屈曲分析想必大家都熟练的不行了，所以小弟不再罗嗦。
小弟只说明一点，特征值屈曲分析所预测的结果我们只取最小的第一阶，所以你所得出的特征值临界失稳力的大小应为F＝实际施加力*第一价频率。
2. 由于非线性屈曲分析要求结构是不“完善”的，比如一个细长杆，一端固定，一端施加轴向压力。
若次细长杆在初始时没有发生轻微的侧向弯曲，或者侧向施加一微小力使其发生轻微的侧向挠动。
那么非线性屈曲分析是没有办法完成的，为了使结构变得不完善，你可以在侧向施加一微小力。
这里由于前面做了特征值屈曲分析，所以你可以取第一阶振型的变形结果，并作一下变形缩放，不使初始变形过于严重，这步可以在Main Menu> Preprocessor> Modeling> Update Geom中完成。
3. 上步完成后，加载计算所得的临界失稳力，打开大变形选项开关，采用弧长法计算，设置好子步数，计算。
4. 后处理，主要是看节点位移和节点反作用力（力矩）的变化关系，找出节点位移突变时反作用力的大小，然后进行必要的分析处理。
屈曲的特征理解：当结构轴向（梁，板，壳）承受压缩载荷作用时，若压缩载荷在临界载荷以内，给结构一个横向干扰，结构就会发生挠曲，但当这个横向载荷消除时，结构还会恢复到原有的平衡状态，此时杆的直的形式的弹性平衡是稳定的。
弯剪载荷下薄壁梁屈曲与后屈曲的结构参数化分析
摘要铝合金加筋薄壁梁是飞机结构的主要承力构件，其静力破坏形式主要是由于结构发生屈曲失稳造成的。
薄壁梁发生失稳后依然能够继续承载，在考虑复杂的几何非线性与材料非线性相互作用的情况下，探求薄壁梁屈曲后的剩余强度，解析求解很难实现；薄壁梁的结构形式往往复杂多变，可能存在结构整体破坏之前先发生局部屈曲破坏，导致构件失去承载能力，进一步增加了屈曲问题的复杂性；另外，实际影响薄壁梁屈曲承载特性的因素很多，例如外界约束条件、几何参数、开孔加筋等，故进行合理的力学建模也面临诸多挑战。
因此，薄壁梁结构屈曲承载特性研究一直是结构工程领域的重要研究方向。
本文结合实际工程技术需求，综合解析法、有限元法与试验法进行了某典型高强铝合金加筋薄壁槽形梁的弯剪承载特性研究，旨在深入地探索薄壁梁承载机理，为实际工程结构设计提供理论指导，主要工作包括以下内容：本文以某金属机翼大梁弯剪试验为背景，首先进行了对薄壁梁结构的弹性屈曲分析。
对原试验中高强铝合金加筋薄壁梁进行力学建模，通过有限元线性屈曲分析，得到了薄壁梁在弯剪载荷作用下的临界屈曲载荷、屈曲模态以及发生失稳时的应力应变分布，所得数据可为屈曲后极限强度的分析提供参考。
其次进行了薄壁梁结构的后屈曲非线性分析。
在考虑材料非线性和几何非线性的基础上，研究了原试验件梁腹板开孔对结构稳定性及承载能力的影响，并且考虑到工程中影响薄壁梁稳定性及强度问题的因素很多，因此本文还针对以下几种几何参数：翼缘宽厚比、加劲肋分布、开孔位置、开孔大小、开孔形状等进行了参数化分析，得到了这些几何参数对梁结构极限承载力的影响律，并对部分参数进行了曲线拟合，为工程实践中薄壁梁的设计提供参考。
关键词：薄壁梁；开孔；有限元；屈曲；极限承载；参数化分析AbstractAbstractAluminum reinforced thin-walled beams are the major load-bearing members of the aircraft structures, whose static failure is commonly caused by structural buckling phenomena. The thin-walled beams can continue to bear load when their structure have lost the stability. Buckling problems of thin-walled beams involve too complex interaction between geometric nonlinearity and elastoplasticity to be analytically solved; it further complicates the buckling issue that flexible structural design always induces comprehensive local-global interaction; moreover, there are many factors affecting buckling behavior of thin-walled beams, which mean multiple challenges for accurate numeric simulation. Therefore, buckling behavior of thin-walled beams is always an important consideration in the field of structural engineering. Taking into account practical engineering technical requirements, this paper combines analytical solution, finite element method and experimental approach to investigate resistance of high-strength aluminum thin-walled stiffened beams under combined action of bending and shear forces, with the aims of exploring resistance mechanism of thin-walled beam and proposing design guidance. The primary work and achievements of the Master thesis are as follows:Taking a beam of the metal wing under bending and shearing load test as the background, first, the linear buckling analysis of the thin-walled beams have taken. Seting up finite element model of the thin-walled beams, we have got the critical buckling load, buckling modes and stress or strain distribution when buckling occurs by Eigenvalue analysis. And these datas can be provided for the non-linear buckling analysis.Secondly, nonlinear analysis conducted after buckling of the thin-walled beams based on material nonlinear and geometric nonlinear. And considering that the factors of affecting the stability of thin-walled beams in projects are so many, flange thickness ratio, stiffener distribution, hole position, hole size, hole shape, etc also have considered in this paper, providing a reference for engineering practice in the design of thin-walled beams.Keywords: thin-walled beam; cut-out; finite element method; buckling; limit resistance; parametric analysis目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论 (1)1.1课题来源及研究的目的和意义 (1)1.2国内外研究现状 (2)1.2.1 薄壁梁屈曲承载特性研究 (2)1.2.2 开孔薄壁梁结构强度的参数化分析 (7)1.3本文的主要研究内容 (9)第2章薄壁结构屈曲和后屈曲理论 (11)2.1引言 (11)2.2薄板结构失稳准则 (11)2.2.1 静力学准则 (11)2.2.2 能量法准则 (12)2.3薄壁梁结构破坏相关理论 (13)2.3.1 弹塑性变形 (13)2.3.2 极限载荷法 (14)第3章薄壁梁弯剪承载特性线性仿真分析 (15)3.1线性屈曲问题—特征值法 (15)3.1.1 特征值法的基本原理 (15)3.1.2 单元刚度矩阵 (16)3.1.3 两种常见载荷下薄壁结构的弹性屈曲 (17)3.2薄壁梁弯剪承载线弹性建模分析 (19)3.2.1 薄壁梁弯剪承载屈曲分析模型 (20)3.2.2 有限元线性屈曲分析结果 (22)3.3本章小结 (30)第4章薄壁梁弯剪承载特性非线性仿真分析 (31)4.1薄壁梁后屈曲有限元理论 (31)4.1.1 材料非线性 (31)4.1.2 几何非线性 (33)4.1.3 弧长法 (33)4.2薄壁梁弯剪承载非线性建模分析 (37)4.2.1 薄壁梁弯剪承载后屈曲分析模型 (37)4.2.2有限元非线性分析结果 (37)4.3本章小结 (48)结论 (49)参考文献 (51)致谢 (55)第1章绪论1.1 课题来源及研究的目的和意义现代结构工程发展的一个显著标志为薄壁结构在建筑、能源、三航（航天、航空、航海）等工业领域的广泛应用。
屈曲分析
屈曲分析屈曲分析是一种在工程力学中常见的分析方法，用于研究杆件在受力作用下的屈曲性能。
屈曲指的是杆件在受到压力作用时，由于材料的强度不足或几何形状的不合理，导致杆件发生弯曲或破坏的现象。
屈曲分析的目的是确定杆件的屈曲载荷和屈曲形态，以保证结构的安全可靠性。
屈曲分析主要涉及材料力学、结构力学和数值计算等方面的知识。
首先，我们需要了解材料的力学性能，包括材料的弹性模量、屈服强度和断裂韧性等。
这些参数将决定杆件是否具备抵抗屈曲的能力。
其次，结构力学的知识是进行屈曲分析的基础。
我们需要掌握静力学的基本原理，了解杆件在受力作用下的受力分布和相应的应力状态。
最后，数值计算方法可以帮助我们通过计算机模拟杆件的受力情况，得出屈曲载荷和屈曲形态。
在进行屈曲分析时，我们可以采用不同的理论模型，例如欧拉理论、托列密理论和von Mises理论等。
欧拉理论是最常用的屈曲分析方法之一，适用于长、细杆件的屈曲分析。
托列密理论则适用于短、粗杆件的屈曲分析。
von Mises理论是一种较为通用的屈曲分析方法，考虑了材料的屈服特性，适用于多种类型的杆件。
在进行屈曲分析时，我们需要首先确定杆件的几何形状和边界条件。
然后，在已知杆件的几何参数、材料参数和加载条件的情况下，可以利用力学理论和数值计算方法求解杆件的屈曲载荷和屈曲形态。
在求解过程中，需要进行数值模型的建立、边界条件的施加和求解方法的选择。
通过合理的假设和较为准确的计算，可以得到较为可靠的屈曲分析结果。
屈曲分析在工程设计中具有重要的意义。
通过屈曲分析，我们可以评估杆件的屈曲性能，确定结构的安全使用范围。
在设计过程中，我们可以调整材料的选择、几何形状的设计和支撑结构的设置等，以提高结构的屈曲承载能力。
此外，屈曲分析还可以为结构优化设计提供参考，以实现结构的轻量化和高效化。
总之，屈曲分析是研究杆件受力情况的重要方法之一。
通过屈曲分析，我们可以了解杆件的屈曲载荷和屈曲形态，为结构的设计和使用提供参考。
屈曲分析分析原理
屈曲分析分析原理屈曲分析原理字数 765预计阅读时间 5min1、小位移和大位移小位移：在利用欧拉公式计算时，属于线弹性计算，忽略了结构的变形对结构的影响，结构的刚度矩阵是不变的。
而实际上，结构的变形是可以影响荷载的作用效应的。
如下图所示。
对杆件施加一定的荷载后，杆件会产生相应的变形，在这个变形的基础上，荷载会继续作用在这个（刚度矩阵）已经改变的杆件上从而导致二阶变形。
为了更好理解，我用银行利息的例子比喻一下这个现象。
比如我拿一万元钱作为荷载，施加到银行这个杆件上，那么它会产生相应的利息。
之后我这个本金加利息的基础上再次对银行施加荷载以获取进一步的利息。
这就是大位移：几何非线性的，考虑了结构变形的影响。
小位移和大位移的计算公式：2、几何刚度在大位移计算中，考虑了结构变形对荷载作用效应的影响，也就是结构刚度的改变，于是引入几何刚度的概念。
同样用一个比喻来帮助大家理解几何刚度的概念，就是拔河。
在大家的感性认识中，绳子在张紧（受拉）状态下的刚度是不是要比松弛（不受力）状态下的刚度大呢？而实际上，绳子的弹性刚度是没有改变的，所以随着外力的改变，我们引入几何刚度来描述这一现象。
3、计算原理Midas的线性屈曲分析可计算包含桁架单元、梁单元、板单元、实体单元的结构的临界荷载系数和相应的屈曲模态。
结构的静力平衡方程如下：结构的几何刚度矩阵由各单元的几何刚度矩阵构成，各单元的几何刚度矩阵与构件的内力相关。
将几何刚度矩阵用临界荷载系数与使用初始荷载计算的几何刚度矩阵的乘积表示如下：上述平衡方程失稳的条件是存在奇异解，即等效刚度矩阵的行列式的值为零。
即线性屈曲分析就是解下式的特征值，屈曲分析中的特征值就是临界荷载系数。
所谓临界荷载就是初始荷载乘以临界荷载系数的荷载值，表示结构作用临界荷载时结构会发生屈曲(失稳)。
结构失稳时常伴随大位移变形和材料屈服，所以屈曲分析常要求考虑几何非线性线或材料非线性。
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分叉点, 特征值屈曲
3、非线性特征值屈曲
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• 非线性屈曲 分析采用逐渐增加载荷的非线性静态分析, 以搜索在哪 个载荷水平下结构开始变得不稳定。
• 使用非线性屈曲分析, 可以包括初始缺陷、塑性行为、接触、大变 形响应及其它非线性行为。
F
2、线性特征值屈曲
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• 然而, 缺陷和非线性行为阻止大多数实际结构达到理想的弹性屈曲 强度，特征值屈曲一般产生非保守 解, 使用时应谨慎。 F
极限载荷 分叉点 理想载荷路径 有缺陷结构的载荷路径
前屈曲
u
尽管特征值屈曲一般产生非保守的结果, 线性屈曲分析仍有两个优点: -相对不费时(快捷)的分析。 -为了提供更真实的结果, 屈曲模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几 何缺陷
2、线性特征值屈曲
假设前屈曲行为是一个外加载荷 {P0} 的线性函数, {P} = l{P0} 则可得 [Ks(s)] = l[Ks(s0)] 因此, 整个前屈曲范围 内的增量平衡方程变为 {P} = [[Ke] + l[Ks(s0)]]{u} {u} = l{u0} {s } = l {s 0}
Fapp Fcr KT = 0 KT < 0 u
使用载荷控制只有 Fcr 可达到。
3、非线性特征值屈曲
• 位移控制:
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• 当拱由增量位移加载时, 与力相反, 采用位移控制 进行求解。位移 控制的优点是, 除 Fcr外, 它产生一个稳定的解。(强加的位移在不 稳定点提供一个附加约束。)
屈曲分析
1、结构稳定性背景
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• 很多结构需要评价它们的结构稳定性，细柱体、压杆和真空罐都是 稳定性非常重要的结构的例子。 • 在不稳定性(屈曲)的开始, 在载荷没有实质性变化的情况下(除了一 个小的载荷扰动), 结构的位移将有一个非常大的变化{u}。
2、线性特征值屈曲
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线性屈曲分析基于经典的特征值问题。为推导特征值问题, 首先求解线弹性 前屈曲载荷状态 {P0} 的载荷-位移关系，即给定 {P0} 求解 [Ke]{u0}= {P0} 得到 {u0} = 施加载荷 {P0} 的位移结果 {s } = 与{u0}对应的应力 假设前屈曲位移很小, 在任意 状态下({P}, {u}, {s}) 增量平衡方程由下式给出 {P} = [[Ke] + [K s(s)]]{u} 式中 [Ke] = 弹性刚度矩阵 [Ks (s)]=某应力状态 {s} 下计算的初始应力矩阵
分叉点 极限点
理想载荷路径 有缺陷结构的载荷路径
理想静态行 为
实际动态响应
前屈曲
后屈曲
u
3、非线性特征值屈曲
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有几种分析技术用于计算结构的非线性 静力变形响应，这些技术包括: -载荷控制 -位移控制 -弧长法 载荷控制: 如下图所示, 考虑浅拱的快速通过分析，当以增量载荷 (F) 求解该问题时, 求解采用载荷控制来完成。
1、结构稳定性背景
• 极限载荷
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• 在实际结构中, 很难达到临界载荷，因为扰动和非线性行为, 低于 临界载荷时结构通常变得不稳定。
F
分叉点 实际的结构响应, 低于临界载 荷时出现不稳定性。
Fcr
u
2、线性特征值屈曲
F 3 2 1
4
ห้องสมุดไป่ตู้
F
4 3 2
1
u
弧长法
Newton-Raphson 法
u
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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通过圆弧, 弧长法把增量载 荷因子 l与增量位移 u 相 联系，图示为全 NewtonRaphson弧长法的增量载荷 因子 l 和增量位移u。
F F F
Fapp
用载荷控制能达到 Fapp吗？
u
3、非线性特征值屈曲
载荷控制:
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• 使用 Newton-Raphson 载荷控制的困难是求解不能通过不稳定点。 在不稳定点 (Fcr), 切线刚度矩阵 KT 是奇异的，使用载荷控制, Newton-Raphson 法不收敛。然而, 该类型的分析对描述结构的前 屈曲 行为是有用的。
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在不稳定性开始 (屈曲载荷{Pcr}) 时, 在 {P} 0 的情况下, 结构会出现一个变 形 {u}。
把上述表达式 ({P} 0) 代入前面的前屈曲范围内 的增量平衡方程, 则有
[[Ke] + l[Ks(s0)]]{u} = {0}
• 前屈曲和坍塌载荷分析的分析技术包括: – 线性特征值屈曲 – 非线性屈曲分析
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F
非线性屈曲 线性特征 值屈曲 理想载荷路径 有缺陷结构的载荷路径
前屈曲
u
特征值屈曲分析 预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度(分叉点) 特征值公式决定结构的分叉点，该方法与线弹性屈曲分析的教科书所述方法 一致。Euler 柱体的特征值屈曲解与经典Euler 解吻合。
– 注意若去除约束 , 则弧长法简化为全 Newton-Raphson 法。
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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• 观察弧长法和 (完全) Newton-Raphson 法的区别的另一种方法是, Newton-Raphson 法在每一子步使用一个固定的 外加载荷矢量{Fa} ，而弧长法在每一子步使用一个可变的 载荷矢量 l{Fa}。
F
稳定 不稳定
F
1、结构稳定性背景
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• 当增加轴向载荷(F)时, 一个理想化的端部固定的柱体将呈现下述行 为。 F F
F
分叉点 不稳定平衡
中性平衡
Fcr u
稳定平衡
u
1、结构稳定性背景
• 分叉点 • 分叉点 是载荷历程中的一点, 该点可能存在两个分支解。 • 在理想化的端部固定柱体的情况下, 在临界载荷(Fcr)下, 柱体可向左或向右屈曲，因此可能存在两个载荷路径。 在实际结构中, 几何缺陷的存在或力的扰动(P 0) 将决定载荷路径的方向。 F P F
UY
Fapp
UY UY
用位移控制 能够达到 Fapp. ( 此时 Fapp是强 加的位移 UY处的反作 用力。)
u
3、非线性特征值屈曲
• 位移控制:
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• 位移控制的缺点是只有在知道施加什么位移时才适用! 如果拱上施 加压力载荷, 而不是集中力, 位移控制不可能使用。
2、线性特征值屈曲
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3、非线性特征值屈曲
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下图为一般的非线性载荷变形曲线，该图说明理想载荷路径、有缺陷 结构的载荷路径和该结构的实际动态响应。 F
F
u
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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• 弧长法同时求解载荷和位移, 与 Newton-Raphson 法相似，然而,引 入了一个附加的未知项--载荷因子l (-1 < l < 1)。力平衡方程可重写 为, [KT]{u} = l {Fa} - {Fnr} • 为了容纳附加的未知项, 必须引入一个约束方程--弧长 ，弧长把载 荷因子 l 和 弧长迭代中的位移增量 {u} 相联系。
上述关系代表经典的特征值问题。
2、线性特征值屈曲
为了满足前面的关系, 必须有: det[[Ke] + l[Ks(s0)]] = 0
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在 n 个自由度的有限元模型中, 上述方程产生 l (特征值) 的 n阶多项 式，这种情况下特征向量 {u}n 表示屈曲时叠加到系统上的变形，由计 算出的 l 最小值给定弹性临界载荷{Pcr}。
2 弧长半径 un l2
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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• 通过强加弧长迭代以得到沿与平衡路径相交的圆弧收敛, 能够获得 经历零或负的刚度行为的结构的解。
F