2008年高考试题——数学理(四川延考区卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)

数 学（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有 （A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个

解：A 的子集共3

28=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B （2）已知复数(3)(3)

2i i z i

+-=

-，则||z =

（A （B （C （D ）

解：(3)(3)10(2)

2(2)422(2)(2)i i i z i i i i i +-+=

==+=+--+||z ?==（3）4

1(1)(1)x x

++的展开式中含2

x 的项的系数为

（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）12

解：4

12233

4441

1(1)(1)(1)(1)x C x C x C x x

x

++=+++++ 展开式中含2

x 项的系数为

234410C C +=

（4）已知*n N ∈，则不等式

220.011

n

n -<+的解集为 （A ）{|n n ≥199，*}n N ∈ （B ）{|n n ≥200，*}n N ∈ （C ）{|n n ≥201，*}n N ∈ （D ）{|n n ≥202，*}n N ∈

解：

222

20.0111200

n n n -=<=++*200,n n N ?≥∈ （5）已知1tan 2α=，则

2

(sin cos )cos 2ααα

+= （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-

解：21

1(sin cos )sin cos 1tan 23cos 2cos sin 1tan 12

ααααααααα+

+++===

=---，选C （6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（A

（B

（C

（D

） 解： 设球的半径为r 3143V r π?=

；正三棱锥的底面面积2

4

S r =，2h r =，

23212346V r r r ?=??=。所以

123

V V =

，选A （7）若点(2,0)P 到双曲线22

221x y a b

-=

（A

（B

（C

）（D

）解：设过一象限的渐近线倾斜角为

αsin 4512

k αα?=?=?= 所以b y x x a =±

=±a b ?=

，因此,c

c e a

===，选A 。 （8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A ）1

5

（B ）

12 （C ）2

3

（D ）4

5

解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价于选3本书有文艺书的概率：

343644

()1()11205

C P A P A C =-=-=-=

（9）过点(1,1)的直线与圆22

(2)(3)9x y -+-=相交于,A B 两点，则||AB 的最小值为

（A

）（B ）4 （C

）（D ）5

解：

||AB

的最小值为4=

（10）已知两个单位向量a 与b 的夹角为135?，则||1a b λ+>

的充要条件是

（A

）λ∈ （B

）(λ∈

（C

）(,0))λ∈-∞+∞ （D

）(,)λ∈-∞+∞

解：22

222||121211cos13511a b a a b b λλλλλλ+>?++=++???=+>

2

00λλλ?>?<>

或 C

（11）设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，

2()f x x =，则3()2f -= （A ）12 （B ）14 （C ）34 （D ）94

解：23311111

()()(1)(1)()()2222224

f f f f f -==+=-===

（12）一个正方体的展开图如图所示，,,B C D 为原正方体的顶点，

A 为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，CD 与A

B 所成

角的余弦值为 （A

（B

（C

（D

解：还原正方体如右图所示设1AD =,

则AB =1,AF =

BE EF ==3AE =,CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角,

所以余弦值为cos ABE ∠==

,选 D

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中模式横线上。 （13）函数1

1x y e +=- ()x R ∈的反函数为 。

解：1

1111ln(1)x x y e

e y x y ++=-?=+?+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x =+->-，

（14）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =。若40a ≠，则

7

4

a a = 。 解：551234142300S a a a a a a a a a =?+++=?+=+=，取特殊值

令231,1,a a ==-43a ?=-74129a a a =-=-，所以7

4

3a a = （15）已知函数()sin()6

f x x π

ω=- (0)ω>在4(0,

)3π单调增加，在4(,2)3

π

π单调减少，则ω= 。

解：由题意44()sin()133

6f π

ππω=-

=431

2,36222

k k k Z πππωπω?-=+?=+∈ 又0ω>，令0k =得12

ω=

。（如0k >，则2ω≥，T π≤与已知矛盾） （16）已知90AOB ∠=?，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=?，则直线OC 与平面AOB

所成角的正弦值为 。

解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作

DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，

设1DE =1,OE OD ?=，又60,2C O E C E O E O E ∠=⊥?= ,

所以CD ==，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦

值sin COD ∠=

三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，已知

2222a c b +=。

（Ⅰ）若4

B π

=

，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；

（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值。

解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有2

2

2

sin sin sin 1A C B +==。

故22

sin cos C A =。因A 为钝角，所以sin cos C A =-。

由cos cos()4A C π

π=-

-，可得sin sin()4C C π=-，得8C π=，58

A π

=。 （Ⅱ）由余弦定理及条件2

22

1()2b a c =+，有22cos 4a c B ac

+=，故cos B ≥12。

由于△ABC 面积1

sin 2

ac B =

，

又ac ≤

221()42a c +=，sin B ≤2

， 当a c =时，两个不等式中等号同时成立，

所以△ABC 面积的最大值为

1422

??= （18）（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类。检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响。 （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望。

解：（Ⅰ）设i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，1,2.i =

i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”

，1,2.i = C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”。

则121212C A A A B B A =?+?+?。

由已知()0.9i P A =，()0.05i P B = 1,2.i =

所以，所求的概率为121212()()()()P C P A A P A B P B A =?+?+? 2

0.920.90.050.9=+??=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为

()10.90.1p P C ==-=，依题意知~(3,0.1)B ξ，ξ的分布列为

30.10.3E np ξ==?=。

（19）（本小题满分12分）

如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，AB =。沿它的对角线BD 把

△0BDC 折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置。

（Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；

（Ⅱ）如果△ABC 为等腰三角形，求二面角A BD C --的大小。

解：（Ⅰ）证明：因为

01AD BC BD ===，0AB C D ==

所以090DBC ∠=?，90ADB ∠=?。 因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=?，

所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥，故DB ⊥平面0CBC 。 又DB ?平面0ABC D ，所以平面0ABC D ⊥平面0CBC 。

（Ⅱ）解法一：如图，延长0C B 到E ，使0BE C B =，连结AE ，CE 。

因为AD

BE ，1BE =，1DB =，90DBE ∠=?，所以AEBD 为正方形，1AE =。

由于AE ，DB 都与平面0CBC 垂直，所以AE CE ⊥，可知1AC >。

因此只有AC AB ==

时，△ABC 为等腰三角形。

在Rt △AEC 中，1CE =，又1BC =，

所以△CEB 为等边三角形，60CBE ∠=?。

由（Ⅰ）可知，，所以CBE ∠为二面角A BD C --的平面角，即二面角A BD C --的大小为60?。

解法二：以D 为坐标原点，射线DA ，DB 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)D 。

由（Ⅰ）可设点C 的坐标为(,1,)x z ，其中0z >，则有22

1x z +=。 ①

因为△ABC 为等腰三角形，所以1AC =或AC =。

若1AC =，则有22

(1)11x z -++=。

则此得1x =，0z =，不合题意。

若AC =22

(1)12x z -++=。 ②

联立①和②得12x =

，2z =。故点C 的坐标为1(,1,

22

。

由于DA BD ⊥，BC BD ⊥，所以DA 与BC

夹角的大小等于二面角A BD C --的大小。

又(1,0,0)DA = ，1(2BC = ，1

cos ,.2

||||DA BC DA BC DA BC ?<>==

所以,60DA BC <>=?

即二面角A BD C --的大小为60?。

（20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2

11

2(1)n n a a n

+=+。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11

2

n n n b a a +=-

，求数列{}n b 的前n 项和n S 。 （Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T 。 解：（Ⅰ）由条件得

122

1(1)2n n

a a n n +=?+，又1n =时，

21n a n =， 故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n -=，即2

12n n n a -=．

（Ⅱ）由22(1)21

222n n n n

n n n b ++=-=得23521222n

n n S +=+++ ， 2311352121

22222n n n n n S +-+?

=++++ ， 两式相减得 ： 23113111212()222222n n n n S ++=++++- ， 所以 25

52n n

n S +=-．

（Ⅲ）由231121

()()2

n n n S a a a a a a +=+++-+++ 得

111

2

n n n n T a a T S +-+-=

所以11222n n n T S a a +=+-21

46

122n n n -++=-．

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。

（Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；

（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点。当36

||7

PQ =时，求||MN 的值。

解：（Ⅰ）设1C ：22

221x y a b +=(0)a b >>，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．

由条件知2

2

(2)2()a b a c c

=-，得2a c =．

1C 的右准线方程为2

a x c

=，即4x c =．

2C 的准线方程为x c =-．

由条件知515c =， 所以3c =，故6a =

，b =

从而1C ：

22

13627

x y +=， 2C ：212y x =． （Ⅱ）由题设知l ：y x c =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ．

由（Ⅰ）知22

122:143x y C c c

+=，即2223412x y c +=

由222

3412x y c y x c

?+=?=-?， 知34,x x 满足 22

7880x cx c --=，

从而3424

7

PQ x c ==-= 由条件367PQ =

,得32

c =， 故2C ：2

6y x =． 由263

2

y x

y x ?=??=-

?? 得2

9904x x -+=，所以129x x += 于是12212MN MF FN x x c =+=++= （22）（本小题满分14分） 设函数2

21

()2

x f x x +=

+。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。

解：（Ⅰ）'

222

212(2)(1)

()2(2)x x x f x x x +-+-=

=

++， 当(2,1)x ∈-时，'()0f x >；当(,2)(1,)x ∈-∞-+∞ 时，'()0f x >； 故()f x 在(2,1)-单调增加，在(,2)(1,)-∞-+∞ 单调减少。

()f x 的极小值1

(2)2

f -=-，极大值(1)1f =

（Ⅱ）由22

22

1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=+知

1(())((1)1)02f x f +-≤ 即 1

()12

f x -≤≤

由此及（Ⅰ）知()f x 的最小值为1

2

-，最大值为1

因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，

133

233

a b a b ?

-≤-+≤??

?-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件

3

31321

32

a b a b a b a b +≥-??+≤??

?-+≥-??-+≤??，

由线性规划得，a b -的最大值为5．