非周期信号的傅立叶变换分析
信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
第七3章 非周期信号的傅里叶变换
则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2
13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2
表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E
2
0
2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为
， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e jt dt
F ( )e jt d
式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
非周期信号的傅里叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
非周期信号的傅里叶变换
非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换前面已讨论了周期非正弦信号的傅里叶级数展开，下面来分析非周期信号的傅里叶变换。
当周期信号的重复周期t无限增大时，周期信号就转化为非周期信号（单个不重复信号），如对于周期矩形脉冲波，当周期t趋于无穷大时，周期信号就转化为单个非周期脉冲。
从例6-1-2的结果可知，此时信号频谱间隔趋于零，即谱线从离散转向连续，而其振幅值则趋于零，信号中各分量都变为无穷小。
尽管各频率分量从绝对值来看都趋于无穷小，但其相对大小却是不相同的。
为区别这种相对大小，在周期t趋于无穷大时，求的音速，并定义此极限值为非周期函数的频谱函数，即离散的频谱转为连续频谱，上式可改为：（6-4-1）对于一个非周期信号，可以由上式算出其频谱函数，同理若未知非周期信号频谱函数，则也可求出其时域表达式。
其计算式为：（6-4-2）式（6-4-1）与式（6-4-2）是一对傅里叶积分变换式，式6-4-1把时域信号切换为频域的频谱函数信号，称作傅里叶正转换。
而式6-4-2就是把频域信号变换为时域信号，称为傅里叶逆变换。
进行傅里叶变换的函数需满足狄里赫里条件和绝对可积条件。
基准6-4-1 求图6-4-1a右图的单个矩形波的频谱函数，并作振幅频谱与相位频谱图。
图6-4-1解：单个矩形波的频谱函数为：它的幅度频谱与增益频谱例如图6-4-1b、c右图。
从振幅频谱图上可见，矩形脉冲信号所包含的频率分量随频率增大而很快减小，信号主要成份集中于之间，即为频率宽度为。
如果脉冲宽度变窄，即值变小，则信号主要频率分量所占的频率范围就变大。
反之当脉冲变宽，值变大，则其主要频率分量范围就变小。
对于一个较窄的脉冲信号，如果电路要使它通过，则电路的特性必须能使较大频率范围的所有信号都能通过。
傅里叶变换在信号分析与处理中有重要意义。
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信号与系统
非周期信号的傅立叶变换分析
一、实验目的 ：
(1)熟悉连续非周期信号频谱特点及其分析方法；
(2)掌握用MATLAB 实现傅立叶变换，作出其频谱图（幅度频谱和相位频谱）；
(3)了解常用的傅里叶变换的性质的MATLAB 实现方法；
二、实验原理：
当周期信号的周期T →∞时，周期信号就变成了非周期信号，由此可以利用周期信号的频谱推出非周期信号的频谱。
与周期信号相似，非周期信号可以分解为无数个频率为ω，复振幅为[()/2]F j d ωπω的虚指数信号j t e ω的线性组合，即
1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞
-∞=⎰ （1） 其中 00()n n F j C T ωωω== （2）
（2）称为Fourier 正变换，（1）称为Fourier 反变换。
不同的非周期信号都可以表示为上述形式，所不同的只是虚指数信号j t e ω前面的加权系数()F j ω不同。
()F j ω是随频率变化的函数，与周期信号的频谱相似也成为信号频谱函数，它是反映非周期信号特征的重要参数。
非周期信号的频谱与周期信号的频谱物理概念相似，但却有区别：
（1）周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。
（2）周期信号的频谱为n C 的分布，表示每个谐波分量的复振幅；而非周期信号的频谱为()F j ω的分布，[()/2]F j d ωπω表示合成谐波分量的复振幅，所以也将()F j ω称为频谱密度函数。
离散频谱和连续频谱两者关系为
00()lim n T F j T C ω→∞
= 0
0()n n F j C T ωωω==
三、实验内容： (1) 通过以上原理求时域信号f(t)=e (-t+1) u(t-1/2)的频谱函数 结果为F （jw ）= （1/1+jw ）*e 1/2(1-jw)
(2)利用MATLAB作出其幅度频谱和相位频谱以下为图和代码function y=sf2(t,w);
y=(t>=1/2).*exp(-t+1).*exp(-j*w*t);
w=linspace(-20,20,500);
N=length(w);F=zeros(1,N);
for k=1:N
F(k)=quadl('sf2',1/2,100000000,[],[],w(k)); end
figure(1);
plot(w,abs(F));
xlabel('\omega');
ylabel('|F(j\omega)|');
figure(2);
plot(w,angle(F));
xlabel('\omega');
ylabel('F£¨Ïà룩');
-20-15-10-505101520
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ω|F (j ω)|
F （jw ）的幅度频谱
-20-15-10-505101520
-4-3
-2
-1
01
2
3
4
F （相位）
F(jw)的相位频谱
四、实验结论：
(1) 非周期信号的频谱为连续的，且当f(t)为实信号时，其幅度频谱关于w 偶对称，而相位频谱关于w 奇对称
(2) 信号在时域中持续时间无限，则在频域其频谱有限
五、实验感想：
通过本次试验，我学会使用MATLAB 实现连续时间信号的傅里叶变换，经比较，计算结果与仿真结果一致，非周期信号经傅里叶后，信号图形是连续的，在实验过程中，由于不细心经常会出现一些错误，导致实验无法进行，在以后的仿真实验中一定要仔细检查，注意细节。