电磁场数值计算边值问题PPT

电磁场数值计算
Q 40 R
电位的法向导数表示为
0
n
0
R
0 E
源自文库
Q 4R2
0 R
这就是人工边界的第三类边界条件。
对比第三类边界条件的一般表达式，可以看出
0
0 R
； 0 0
2020/6/10
电磁场数值计算
这种情况下，边界条件的进一步简化近似， 在远离场源的边界上，设
0
若场域中正负电荷数量相等，或电荷量的 代数和为 0，则在离源区中心较远处的球面设置 人工边界，在人工边界上的电场可近似看做由 源区中心电偶极子产生。
2 0
相应的边界条件，在已知电压的电极表面上有 第一类边界条件
0
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电磁场数值计算
在已知流出或流入电流分布的电极表面上有第 二类边界条件
n
J n0
在导体与绝缘体分界面上有第二类齐次边界条
件
0
n
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电磁场数值计算
根据电流分布的对称性，也可构造对称 面上相应的齐次边界条件。
1 A 1 • A 1 2 A J
取库仑规范 • A 0 ，由此得到矢量磁位的基
本方程
1 2 A J
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电磁场数值计算
上式称为恒定磁场的泊松方程，当场域中没有电流
分布时， J 0，上式变为 1 2 A 0
此式称为恒定磁场的拉普拉斯方程。
算子 2 即拉普拉斯算子。在直角坐标系中
负线电荷产生。
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电磁场数值计算
设线电荷密度为 ，正负线电荷距离矢量为 d , 在圆柱坐标系中， d 方向 0 ，则人工边界上电位
表达式为
20
ln
R R
2 0
(ln R
ln R )
[ln(R d cos ) ln(R d cos )]
2 0
2
2
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2 1 ，
1
1 n
2
2 n
当分界面上没有自由面电荷分布时，电位的分界
面衔接条件是
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电磁场数值计算
2 1 ，
2
2 n
1
1 n
当电位满足分界面衔接条件时式，可以保
证场矢量的分界面条件。两种电介质的分界面
处于整个求解场域的内部，上式是内部分界面
衔接条件。
内部分界面衔接条件是必须满足的。
电磁场数值计算
2 电磁场边值问题的微分方程
实际工程中的电磁场问题，往往只能已知空 间部分场源，其他部分场源可能存在于媒质当 中，也可能在给定的边界上或边界之外。
这些媒质中的场源和边界上或边界之外的 场源一般是未知的。因此无法用直接积分方法计 算场的分布。
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电磁场数值计算
边值问题的表述和求解，就是要解决这类问题。 将电磁场问题表述为微分方程和相应的边界条件， 就是边值问题。 本章导出静电场、恒定电场、恒定磁场和准静态电 磁场的边值问题基本方程和边界条件。 特别讨论了边界条件确定的原则和从三维场简化 为二维场的原则。 目标是正确、有效表述边值问题。
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电磁场数值计算
当电荷存在于有限区域（不延续到无限远处）时， 在离电荷源区较远的场点，电位近似与源区中心到场点 的距离成反比。
此处近似将源区的电荷 Q 集中在源区中心，源区尺
寸越小，场点越远，上述近似的程度越高。 在远离源区的位置构造球面人工边界，在人工边界
上电位表示为
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参照三维开域问题设置。
在平行平面场和轴对称场中，内部衔接条件和外部边
界条件设置在材料的分界线和外部边界线上。
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电磁场数值计算
在三维坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系 和球坐标系）中，如果场源、材料和边界条件 沿两个坐标方向都不变化，则静电场可进一步 简化为一维场。
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电磁场数值计算
2
A
2A x2
2A y2
2A z2
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电磁场数值计算
在不同磁媒质分界处，矢量磁位也应该满足 一定的分界面衔接条件。
将 B A代入场矢量的分界面衔接条
件 en H2 H1 K 和 B2n B1n ，得
设置。
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2.3 恒定磁场的边值问题
1、矢量磁位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据恒定磁场基本方程微分形式和辅助方程，得
H
1
B
J
将矢量磁位与磁感应强度的关系 B A代入，得
1
A
1
A
A
1
J
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在均匀磁媒质中， 1 0 ,
人工边界条件的情况比较复杂，这里只讨论 开域场远边界问题。
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当依靠导体表面和对称面无法完全将求解区 域限制在有限空间时，场域为无限大，这就是开域 问题。
开域问题的边界一部分或全部在无限远处。 有一些计算方法（如边界元法）擅长处理开域 问题。有一些方法（如有限元法）不擅长处理开域 问题。 可以将开域问题转换为有限区域问题。
在均匀电介质中， 0。将电位与电场强 度的关系 E 代入，得
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• 2
得到静电场电位的基本方程
2
这种形式的方程称为标量泊松方程。
特别的，当场域中没有体电荷分布时， 0，上
式变为
2 0 ，称为拉普拉斯方程。
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算子 2 即拉普拉斯算子。在直角坐标系中
2
2 x2
2 y2
2 z2
在不同电介质分界处，电位也应该满足一定的分
界面衔接条件。因为 E ，所以在两种电介质
分界面上
Et
； t
Dn n
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此处，t 代表分界面的切线方向，n 代表分界面的
法线方向。
代入场矢量的分界面衔接条件 E2t E1t ，
D2n D1n ，得电位的分界面衔接条件
2.2 恒定电流场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件
电源以外的恒定电场，其电场强度满足环路定
理，即
由矢量恒等式
E 0
0
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可设
E
导电媒质中的恒定电流场满足电流连续性定理。 即
•J 0 将恒定电场的辅助方程 J E 代入上式得 g(E) g() g g
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电磁场数值计算
在均匀媒质中， 0 。因此
2 0
上式为导电媒质中恒定电流场的基本方程。 在两种导电媒质的分界面上，对应于场矢量的
分界面衔接条件 E2t E1t 和 J2n J1n 。
电位的分界面衔接条件为
2 1 ，
2
2 n
1
1 n
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2、边值问题及其外部边界条件 恒定电流场的基本方程为拉普拉斯方程
相应的边界条件称为混合边界条件。 混合边值问题表述为
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2
1 0
n
2
0
0
混合边值问题包含了前面三种边值问题。
边值问题就是带有边界条件的偏微分方程
求解问题。
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电磁场数值计算
静电场边值问题的三个要素是场源、材料和边 界条件。
静电场求解区域的外边界，一般是导体表面、 对称面或人工边界。
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2、静电场的边值问题及其对应的外部边界条件 已知求解区域内部的自由电荷分布，给定求
解区域边界 上的电位 0（相当于已知边界上电
场强度的切向分量），计算求解区域中的电位和电 场强度分布，这类问题通常称为第一类边值问题， 又叫做狄里赫利问题。
相应的边界条件称为第一类边界条件。
线不会延伸到无限远处，因此在人工边界上可设
0
n
0
注意，将远处人工边界设为第二类齐次边界
条件必须满足正负电荷数量相等。
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3、静电场边值问题的降维简化 一般静电场的求解问题是三维边值问题。当场源
和材料结构具有无限延伸性或旋转对称性时，可以简 化为二维边值问题。
当材料、场源和边界条件沿直角坐标系某个坐标
第三类边值问题表述为
2
n
0 0
第三类边值问题包含第二类边值问题，或第二
类边值问题是第三类边值问题的特例。 0 ?
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更为一般的，已知求解区域内部的自由电荷分布，
给定求解区域部分边界 1 上电位和另一部分边界 2
上电位的法向导数表达式，计算求解区域中的电位和 电场强度分布，这类问题通常称为混合边值问题。
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第一类边值问题表述为
2
0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定求
解区域边界 上电位的法向导数（相当于已知电
位移矢量的法向分量），计算求解区域中的电位
和电场强度分布，这类问题通常称为第二类边值
问题，又叫做聂以曼问题。相应的边界条件称为
第二类边界条件。
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对于开域恒定电流场，参考静电场设置 人工边界和第三类边界条件。
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3、恒定电流场边值问题的降维简化 一般恒定电流场求解问题是一个三维边值问题。
当导电媒质场域的厚度（如沿 z 方向）相对于另外
两个方向（如 x 、 y 方向）尺寸小的多，且各处厚度相
同，可忽略厚度方向的电流，则可以简化为二维边值问 题。
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2.1 静电场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据静电场环路定理的微分形式
E 0 由矢量恒等式 0 ，可以设
E
静电场的辅助方程为
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D E
有
D
代入高斯通量定理的微分形式
• D • E • E E •
轴对称分布时，三维静电场可简化为二维轴对称场。
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电磁场数值计算
其求解区域代表面为 z 轴右侧 r ，z 坐标系的平
面区域。在轴对称静电场中，拉普拉斯算子表示为
2
1 r
r
r
r
2 z 2
在三维坐标系中，如果材料和边界条件沿两个
坐标方向都不变化，则恒定电流场可进一步简化为
一维场。 人工边界和第三类边界条件，参照静电场进行
（例如 z 坐标）方向不变时，三维静电场可简化为平
行平面场。
求解区域代表面为 x ， y 坐标系的平面区域。
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电磁场数值计算
在平行平面静电场中，拉普拉斯算子表示为
2
2 x2
2 y 2
平行平面静电场若为开域且正负电荷数量相等，
则在远离源区中心的位置构造圆形人工边界。 在人工边界上将电场看做由相互靠近的两条正
标 方向不变，即场源和材料围绕圆柱坐标系的 z 轴
对称分布时，三维静电场可简化为二维轴对称场。
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电磁场数值计算
求解区域代表面为 z 轴右侧 r ， z 坐标系的平面区域。
在轴对称静电场中，拉普拉斯算子表示为
2
1 r
r
r
r
2 z 2
轴对称开域静电场的人工边界及其第三类边界条件，
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电磁场数值计算
其电位表达式为
p cos 40 R 2
其电位法向导数表达式为
0
n
0 En
p cos 2R3
2 R
0
比较第三类边界条件表达式，可知人工边界
上可近似施加第三来边界条件。
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电磁场数值计算
对应的参数为
0
2 R
0
；
0 0
这种情况的进一步近似简化，认为电场强度
若已知导体电位，则导体表面是第一类边界条 件；
若已知导体表面电荷密度，则导体表面为第二 类边界条件。
2020/6/10
电磁场数值计算
若对称面两侧场域的材料结构和电荷分布相 同，则对称面为第二类齐次边界条件（即电位法 向导数为 0）。
若对称面两侧场域的材料结构相同，电荷分 布相反，则对称面为第一类齐次边界条件（电位 为 0）。
电磁场数值计算
第二类边值问题表述为
2
n
0
已知求解区域内部的自由电荷分布，给定
求解区域边界 上电位的法向导数与电位之
间的线性关系，计算求解区域中的电位和电场 强度分布，这类问题通常称为第三类边值问 题，又叫做劳平问题。
2020/6/10
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相应的边界条件称为第三类边界条件。
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将 R 和 R 看做是由 R 的增减得到，式中的
对数函数用泰勒级数展开并取前 2 项，得电位的 近似表达式
d cos
20 R
进一步的电位法向导数
0
n
0
d cos 20 R 2
1 R
0
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电磁场数值计算
因此，可以构造人工边界的第三类边界条件
0
1 R
0
，
0 0
当场源、材料和边界条件沿圆柱坐标系中旋转坐
当材料和边界条件沿直角圆柱坐标系中 z 方向不变
时，三维恒定电场简化为二维平行平面场。
2020/6/10
电磁场数值计算
平行平面恒定电流场中，拉普拉斯算子表示为
2 2 2 x2 y2
在平行平面场中，内部衔接条件和外部边界条 件设置在材料的分界线和场域的边界线上。
当材料和边界条件沿圆柱坐标系中旋转坐标 方向不变， 即材料和边界条件围绕圆柱坐标系的 z