赣县中学高中数学竞赛平面几何第7七讲圆内接四边形和四点共圆
赣县中学高中数学竞赛平面几何第9九讲托定理勒密
第九讲托勒密（Ptolemy）定理一、知识要点：1、托勒密定理：圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线之积，即已知，如图，四边形ABCD为圆内接凸四边形，则有 AB·CD+AD·BC =A C·BD ADB C托勒密定理的逆定理：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线之积，那么这个四边形是圆内接四边形。
即：如图，若AB·CD+AD·BC =A C·BD，则A、B、C、D四点共圆。
ADB C托勒密定理的推广：在任意凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC ≥A C·BD，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
DAB C二、要点分析：托勒密定理可以用于线段长的转换，其逆定理可用于证明四点共圆。
三、 例题讲解：例1、设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上的一点，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD) PD CA B例2、如图，设P 、Q 为平行四边形ABCD 的边AB 、AD 上的两点，APQ ∆的外接圆交对角线AC 于R ，求证：A P ·AB+AQ ·AD=AR ·RCDA B CQP R例3、已知ABC ∆中，C B ∠=∠2,求证：AC 2=AB 2+AB ·BCAB C例4、如图所示，已知两同心圆O,四边形ABCD 内接于内圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍，求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥四边形ABCD 的周长的2倍，并确定等号成立的条件。
D 1例5、已知ABC ∆中，AB>AC,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E,过E 作EF ⊥AB,垂足为F （如图），求证：2AF=AB-ACABC EF第九讲 托勒密（Ptolemy ）定理练习1、 如图，已知圆内接正五边形ABCDE,若P 为弧AB 上一点，求证：PA+PD+PB=PE+PC AB C D EP2、 ABCD 为圆内接四边形，DC=BC ，对角线DB 与AC 交于E,若CE ：EA=1：3，AB+AD=m,求BD 的长。
2012年高一数学竞赛解答10
平面几何竞赛基础10 ──圆内接四边形与四点共圆姓名：爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发jylingbin@邮箱，以便批阅反馈．注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识性质定理：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于内对角．判定定理：平面上的四个点如果具备下列条件之一，则四点共圆：（1）对角互补（或一个外角等于内对角）的四边形，四个顶点共圆；（2）具有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆；（3）有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等，则它们的四个顶点共圆．二、重要例题例1．两个角的边交于点A、B、C、D，已知这两个角的平分线互相垂直，求证：点A、B、C、D四点共圆．（提示：用外角等于内对角）∵∠BAD=180°－∠AEM－∠AME=180°－12∠AEB－∠FMN=180°－12∠AEB－(90°－12∠BFC)=90°－12∠AEB+12∠BFC∠BCD=12∠BFC+∠FPC=12∠BFC+(90°－12∠AEB)= 90°－12∠AEB+12∠BFC∴∠BAD=∠BCD∴点A、B、C、D四点共圆例2．如图，如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB，求证：∠BAC=∠DAE．（提示：连AF，先证A B C F、、、四点共圆）∵∠AEC=∠ADB∴A,F,D,E四点共圆∴∠AFE=∠ADE,而∠ADE=∠ABC∴∠AFE=∠ABC EE∴A,B,C,F 四点共圆∴∠BCA=∠BFA=∠DEA∵∠ABC=∠ADE, ∠BCA=∠DEA ∴∠BAC=∠DAE例3．如图，两圆O 1，O 2相交于A ，B ，圆O 1的弦BC 交圆O 2于E ，圆O 2的弦BD 交圆O 1于F ；求证：（1）若∠DBA =∠CBA ，则DF =CE ；（2）若DF =CE ，则∠DBA =∠CBA ．（提示：按图中辅助线，用好所标的角）（1）∵∠1=∠2 ∴AD=AE∵四边形AFBC 为⊙O 1的内接四边形 ∴∠6=∠5，同理∠3=∠4 ∴△ADF ≌△AEC(AAS) ∴DF=EC(2) ∵四边形AFBC 为⊙O 1的内接四边形 ∴∠6=∠5，同理∠3=∠4 又∵DF=CE∴△ADF ≌△AEC(ASA) ∴AD=AE∴∠DBA=∠CAE例4．梯形ABCD 中(BC ∥AD )对角线交点为O ，在线段AO 和DO 上取点M 和N ，使得：∠BMD =∠ANC ；求证：B 、M 、N 、C 四点共圆．（提示：过B C M 、、画圆）过B,C,M 画圆，交BD 于N ′ ∴∠CBN=∠CMN ′∵BC ∥AD∴∠CBN=∠BDA ∴∠CMN ′=∠BDA ∴M,N ′,D,A 四点共圆 ∴∠CAN ′=∠BDM ∵B,M,N ′,C 四点共圆 ∴∠MBD=∠N ′CA ∴∠BMD=∠CN ′A ∵∠BMD=∠ANC ∴∠ANC=∠AN ′C ∴N,M,B,C 四点共圆例5．在以C 为圆心，以MN 为直径的半圆上有A 、B 两个不同的点，点P 在CN 上，而且∠CAP =∠CBP =10 ，如果 40MA，求 BN 的度数．（提示：连结AB ） 连接AB∵∠CAP=∠CBP ∴A,C,P,B 四点共圆 ∴∠ABP=∠ACM=40° ∴∠ABC=30° ∵AC=BC∴∠ACB=100°PMNCN ′∴∠BCM=20° ∴ BN=20° 例6．四边形ABCD 内接于圆，通过M 和N 分别表示直线AB 和CD ，BC 和AD 的交点；设B 1是已知圆同过点B 、M 、N 三点的圆异于B 的交点；求证：直线B 1D 平分线段MN ．（提示：先平行四边形NDMK ，KD 与过A B C 、、三点的圆交于1B ，连结1BB ）过N 作CM 的平行线与过M 作DN 的平行线交于K ∴NDMK 为平行四边形 ∴∠NKM=∠NDM=∠ADC ∵∠B+∠ADC=180° ∴∠B+∠NKM=180° ∴B,N,K,M 四点共圆又∵∠BB 1D=∠BCD, ∠BB 1K=∠BNK=∠BCD ∴∠BB 1D==∠BCK ∴B 1，D,K 共线∴B 1D 与BK 重合于平行四边形NKMD 的对角线DK 上， ∴B 1D 平分MN三、巩固练习10 （以下两道题的解答要回发到邮箱jylingbin@ ）1．P 是△ABC 的外接圆上一点，由P 向各边BC 、CA 、AB 引垂线PD 、PE 、PF ，求证：三个垂足D 、E 、F 共线．连接PC∵∠BFP=∠BDP=90° ∴F,B,P,D 四点共圆 ∴∠FDB=∠FPB同理D,P,E,C 四点共圆 ∴∠CDE=∠CPE∵四边形ABPC 为内接四边形 ∴∠FBP=∠PCE又∵∠BFP=∠E=90° ∴∠BPF=∠EPC ∴∠FDB=∠CDE∵∠FDB+∠FDC=180° ∴∠CDE+∠FDC=180° ∴D,E,F 共线2．设在△ABC 三边BC 、CA 、AB 所在直线上各任取一点X 、Y 、Z ，求证：三个圆AYZ 、BZX 、CXY 共点． 设⊙AYZ 与⊙BZX 交于异于Z 点的O,连结OX,OZ,OY∵四边形OZBX 为⊙BZX 内接四边形 ∴∠OXC=∠BZO 同理∠BZO=∠AYO ∴∠OXC=∠AYO∴O,X,C,Y四点共圆∴O在⊙CXY上即⊙AYZ, ⊙BZX, ⊙CXY共点。
高中数学竞赛平面几何讲四点共圆问题
高中数学竞赛平面几何讲座四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路。
作为判断四点共圆的方法除了定义外，还有以下定理：定理1若四边形的两个对角互补，则四点共圆。
定理2若四边形的一个外角等于它的内对角，则四点共圆。
定理3两三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，则四点共圆。
定理4（相交弦定理的逆定理）若两条线段AB和CD相交于点E，且AE·EB=CE·ED,则A,B,C,D四点共圆。
定理5（切割定理的逆定理）若相交于点P的两条线段PB,PD上各有一点A,C,且PA·PB=PC·PD,则A,B,C,D四点共圆定理6（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积，即AB·CD+BC·DA=AC·BD,则A,B,C,D四点共圆。
1 “四点共圆”作为证题目的2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等题2．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直题3．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M .求证：∠BMO =90°..(3)判断图形形状例4．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.题5.凸四边形ABCD 有内切圆,该内切圆切边AB,BC,CD,DA 的切点分别为1111,,,.A B C D 连接11111111,,,,A B B C C D D A 点,,,E F G H 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点。
圆的内接四边形和四点共圆(学生版)
圆的内接四边形和四点共圆（学生版）【知识展示】圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．模块一：辅助圆思想平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．几何条件：OA OB OC ==．辅助圆：以O 为圆心、OA 为半径作圆O ⊙．∵OA OB OC ==，∴点B 、C 在O ⊙上．几何条件：OC OD =,2COD CAD ∠=∠．辅助圆：以O 为圆心、OC 为半径作圆O ⊙．∵OC OD =，2COD CAD ∠=∠，∴点A 、D 在O ⊙上．模块二：四点共圆的判定（一）若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABD ACD ∠=∠=90︒，则A 、B 、C 、D 在以AD 中点E 为圆心、EA 长为半径的圆上（可证EA EB EC ED ===）．若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABC ADC ∠=∠=90︒，则A 、B 、C 、D 在以AC 中点E 为圆心、EA 为半径的圆上（可证EA EB EC ED ===）．若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ADB ACB ∠=∠，则A 、B 、C 、D 四点共圆．证明条件：线段同侧张角相等．若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABC ADC ∠+∠=180︒，则A 、B 、C 、D 四点共圆．证明条件：1．四边形对角互补；2．四边形外角等于内对角．模块三：四点共圆的判定（二）两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于H ，若AH CH BH DH ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ，若PA PB PD PC ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.模块四：四点共圆的应用模块五：四点共圆的构造【典型例题】【例1】（1）如图1-1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ∠=︒，13BDC ∠=︒，则CBD ∠=_____，BAC ∠=__________．（2）如图1-2，已知四边形ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ===，BC b =，且2a b >，求BD 的值．图1-1图1-2【例2】如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦，且CD AB ⊥于K ．E 为劣弧AC 上的一点，连接AE 交DC 延长线于F ．求证：E 、F 、B 、K 四点共圆．【例3】（1）如图6-1，BC AE ⊥，ED AB ⊥，且BC 、DE 相交于G ．H 为AE 延长线上的一点，CH AC =．求证：B 、G 、E 、H 四点共圆．（2）如图6-2，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 边上，已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 也四点共圆．图6-1图6-2【例4】AD 、BE 、CF 是ABC △的三条高，相交于垂心H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？【例5】（1）如图1-1，若过相交两圆的公共弦上一点P 作一个圆的弦CD ，另一圆的弦EF ．求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．（2）如图1-2，AD 为ABC △中BC 边上的高线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：B 、C 、F 、E 四点共圆．图1-1图1-2【例6】（1）如图3-1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线于E ，求证：AM EM =．（2）如图3-2，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:14PA PB =，求PB 的长．图3-1图3-2【例7】（1）如图4-1，在五边形ABCDE 中，ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠．求证：BAC DAE ∠=∠．（2）如图4-2，锐角ABC △，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线，DG CE ⊥于G ，EF BD⊥于F ．求证：FG//BC ．图4-1图4-2【例8】（1）如图6-1，在四边形ABCD 中，98DAC ∠=︒，82DBC ∠=︒，70BCD ∠=︒，BC AD =，则ACD ∠=______________．（2）如图6-2，在ABC △的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠．求证：BQ CP =．图6-1图6-2【经典练习】1.（1）如图5-1，四边形ABCD 内接于O ⊙，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AD 的中点．连接PQ 与DA 的延长线交于S ，连接PR 与CB 延长线交于T ．求证：S 、T 、Q 、R 四点共圆．（2）如图5-2，ABC △中，以AB 为直径作圆，交BC 于H ，交BAC ∠的平分线于D ，作CK AD ⊥于K ，M 为BC 中点．求证：D 、M 、K 、H 四点共圆．图5-1图5-22.如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，点M 、E 、N 、F 分别为AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，下列说法：①当AC BD =时，M 、E 、N 、F 四点共圆．②当AC BD ⊥时，M 、E 、N 、F 四点共圆．③当AC BD =，且AC BD ⊥时，M 、E 、N 、F 四点共圆．其中正确的是_____________．3.过两圆交点A 、B 之一的点A ，引两条直线CAD 、PAQ ，分别与两圆交于C 、D 、P 、Q ，设CP 与DQ 的交点为R ，求证：B 、C 、R 、D 四点共圆．4.如图，P 是O ⊙外一点，PA 和PB 是O ⊙的切线，A 、B 为切点，PO 与AB 交于点M ，过M 任作O ⊙的弦CD ．求证：C 、O 、D 、P 四点共圆．5.在四边形ABCD 中，25BAC ∠=︒，20BCA ∠=︒，50BDC ∠=︒，40BDA ∠=︒，求DBA ∠．6.如图，已知ABC △中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD AB ⊥，TE AC ⊥．求证：（1）AHD AHE ∠=∠；（2）BH CH BD CE=．7.圆内接四边形ABCD 为平行四边形，则cos A ＋cos B ＋cos C ＋cos D ＝______.8.(创新拓展)试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．。
圆的内接四边形与四点共圆教学设计与反思
圆的内接四边形与四点共圆教学设计与反思word 文档可自由复制编辑例题 1、在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，AB >CD ，K ，M 分别在 AD ， BC 上， ∠ DAM ＝∠CBK 。
求证： ∠DMA ＝ ∠ CKB 。
（教师引导分析，学生完成证明）课堂练习 2 正方形 ABCD 的中心为 O ，面积为 1989CM 2 , P 为正方形内一点，且∠ OPB=4°5 ， PA ：PB=5：14。
则 PB= _____ _。
（教师引导分析，学生完成证明）分析：连接 OA ，OB. 易知 O ，P ，A ，B 。
四点共圆，则有 ∠APB=∠AOB=教师点拨 问题解答 思路 例2、例1、 例3、E例4、90 °。
故 PA 2 +PB 2=AB 2=1989 。
由于 PA:PB=5:14 ，可求 PB 。
答案是 PB通过定 =42 ㎝。
理的应 用，进 word 文档 可自由复制编辑过教师 讲授，学 生倾听 方式认 识新知识。
通过教 师指导 运用合 情推理 与演绎 推理认 知新事 物，构建 新知识 。
word 文档可自由复制编辑2、定理法、圆内接四边形的判定定理法定理1 对角互补的四边形内接于圆。
定理2 外角等于内对角的四边形内接于圆。
定理3同底同侧张等角四点共圆。
即：且都在△ABC 和△ABD 的公共边AB 的同侧，则A、B、C、D 共圆交弦定理逆4 即MA·MC=M·B MD ，则A、B、C、D 共圆．九、教学反思本节课让学生置身于知识的发生、发展、形成过程中，让学生在观察、猜测、验证、推理、交流等数学活动中感悟和体会，体现了以问题解决为中心的自主、合作、探究的学习方式，真正实现了“以生为本”的教学理念。
具体说，有以下特点：1. 通过问题探究，突出过程教学，为学生自主探索、合作交流搭建多彩舞台。
圆内接四边形判定的学习，是学生类比角平分线的性质与判定；线段垂直平分线的性质与判定得到的，该节课运用了讲授法，学生探究的时空少了一点，学困生显得难以接受。
2018数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版资料
平面几何（四点共圆）冲刺讲义________班 _______ 号姓名 ________________一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1. 欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线.此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。
此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点②九点圆的半径是的外接圆半径的.3. 三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；②，；③（角平分线定理）；④（“鸡爪”定理）.二、例题分析例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证：.证明：过作取中点而是的平行线分别交、于、，连接、、、.，四点共圆，而由，有，四点共圆 .，而，的中点，是的中点，.，则..，.. .例 2. 等腰梯形的一点，中，，∥ ，，的外接圆交分别是的延长线于，.的内心，是直线上证明：．证明：，故共圆，则，因此，而，所以，，由此，．例是3.在关于点中，的对称点，，内心为是关于点，内切圆在的对称点.，边上的切点分别为，，设求证：四点共圆.证明：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则．设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以∽，且相似比为，熟知：。
又∽，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上．例 4. 设 A、B 为圆上两点，X为在A和B处切线的交点，在圆上选取两点C、 D 使得 C、D 、X 依次位于同一直线上，且CA⊥BD ，再设 F 、 G 分别为CA 和 BD 、 CD 和 AB 的交点， H为 GX 的中垂线与 BD 的交点．证明： X、 F、 G、 H 四点共圆．证明：设 O 为圆心， AB∩XO = M．∵△XOA∽△XAM，∴OX·XM = XA 2 = XC·XD ．∴O、M、 C、D 四点共圆．∴∠XMO = ∠OCD = ∠ODC = ∠OMC ．∴∠CMG = ∠GMD ．在 CM 上选取一点 E 使 MX∥DE，则 MD = ME．．在 GX 上取点 X ，使∠GFD = ∠DFX ，在 X F 上取 W 使 CF∥GW．由得 CG·X D = X C·GD．由上面两式得= ，故 X = X ．∴∠GFD = ∠XFD．又∵= < 1 和∠XPB = ∠CDF < 1．∴H 和 B 在 CX 的同一侧．设 H 为直线 BF 与△GFX 外接圆的交点，则∠H XG=∠H FG=∠H FX=∠H GX．∴H G=H X，∴H =H．∴X、 F、 G、 H 四点共圆，得证．注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证 .例 5. △ABC 中， E、 F 分别为 AB、 AC 中点， CM 、 BN 为高， EF 交 MN 于 P， O、H 分别为三角形的外心与垂心．求证：AP⊥OH．证明：由∠BMC = ∠BNC = 90 知 B、 C、 N、M 四点共圆．∴AM·AB = AN·AC．又 AE = AB, AF = AC，∴AM ·AE = AN·AF，即 E、 F、 N、 M 共圆．注意到由∠AMH = ∠ANH = ∠AEO = ∠AFO = 90 知AH 、 AO 分别为△AMN 、△AEF 外接圆的直径．过 AH 中点 H 与 AO 中点 O 分别为△AMN 与△AEF 的外心，且易知O H ∥OH．∴只需证 AP ⊥O H ，只需证A、 O 为△AMN 、△AEF 外接圆的等幂点即可．注意到 A 为两圆公共点，而由E、F 、 N、 M 共圆知PM·PN = PE·PF ．故 P 也为等幂点．综上所述，原命题成立．例 6. 设△ABC 内接于圆O，过 A 作切线 PD， D 在射线 BC 上， P 在射线 DA 上，过 P 作圆 O 的割线PU，U在BD上， PU交圆O 于Q、T且交AB、 AC于R、 S．证明：若QR = ST，则PQ = UT ．证明：过 O 作 OK⊥PU = K， OF⊥BU = F，连结 AK 延长交⊙O 于另一点E，过 C 作 CH∥PU 交 AE 于 G，交 AB 于 H，连 GF、 OP、 OU 、 OA、 OE．由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且 QR = ST．∴RK = KS 即 K 是 RS 的中点，且 CH∥PU．∴====1HG = GC．由中位线定理知FG ∥BH ．∴∠FGE = ∠BAE = ∠BCE F、 G、C、 E 共圆．∴∠EFC = ∠EGC = ∠AGH = ∠UKG ．∴∠EFO + ∠OKE = ∠OFC + ∠CFE + ∠OKE=90 + ∠UKG + ∠OKE=90 +90 =180 ．∴K 、O、 F、 E 四点共圆①又∵∠OKU + ∠OFU = 2 ×90 = 180 ，∴K 、O、 F、 U 四点共圆②结合①②知 K 、O、F、 E、 U 五点共圆，∴∠KUO = ∠KEO．又∵PA 为⊙O 切线OA⊥PA，且 OK ⊥PU∠KEO =∠KAO．∴∠KPO = ∠KUO OP = OU ．又∵OK⊥PU，∴PK = UK ．而 QK = TU，∴PQ = UT，得证．例 7. AB 、AC 为⊙O 切线， ADE 为一条割线， M 为 DE 中点， P 为一动点，满足M、 O、 P 三点共线，⊙P 为以 P 点为圆心、 PD 为半径的圆．证明： C 点在△BMP 外接圆与⊙P 的根轴上．证明：作 PR⊥AC，其延长线交BC 延长线于S．∵∠OMA = ∠OBA = ∠OCA = 90 ，∴A、 C、 O、 M、 B 五点共圆．∴∠BMP = ∠BMA + 90 = ∠BCA + 90= 180 －∠RSC．∴B、 M、P、 S四点共圆．∴C 对△BMP 外接圆的幂为－CB·CS =－2CA·CR．而 C 对⊙P 的幂为CP 2－PD 2 = CP 2－ AP 2－ AD·AE = CP 2－AP 2 + AC 2=CR2+ RP2－PR2－AR2+ AC 2=CR2－ CR+CA 2+CA2=－ 2RC·CA．∴C 点对⊙P 的幂等于 C 点到△BMP 外接圆的幂．∴C 点在上述两圆根轴上，得证．例 8. 设 H 为△ABC 的垂心， D 、E、 F 为△ABC 的外接圆上三点，使AD∥BE∥CF ，S、 T、 U 分别为D 、E、 F 关于边 BC、 CA、 AB 的对称点．求证：S、 T、 U、 H 四点共圆．证明：先证引理： ABC 外接圆⊙O 与它的九点圆引理的证明：设AH 、BH、 CH 分别交边⊙V 关于△ABC 的垂心 H 位似，且位似比为．BC、CA、AB 于 O、E、F，交⊙O 于 D 、E 、 F ．易知HD =HD ,HE=HE ,HF =HF ．∴△D E F 与△DEF 关于 H 位似，位似比为．∴△D E F 外接圆与△DEF 外接圆关于H 位似，即⊙O 与⊙V 关于 H 位似，位似比为．回到原题：设BC、 CA 、AB 中点分别为X、 Y、Z，过 D 作 DP ∥BC，交⊙O 于 P，设 PH 中点为 W．易知 SD⊥BC，设 PS 交 BC 于 X ，则由 SD 关于 BC 对称知 SX = X D ．∴X 为 BC 中点，即X 与 X 重合，即P与 S关于 X 对称．同理 P 与 U、T 分别关于 Z、Y 对称．∴四边形 USHT 与四边形 ZYWX 对称．由引理知Z、 X、 Y、 W 四点共圆．∴U 、T、 H、 S 四点共圆，得证．例 9. 给定锐角△ABC ，过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D ，记△ABC 的垂心为H，在△ABC 的外接圆上任取一动点P，延长 PH 交△APD 的外接圆于Q．求 Q 点的轨迹．解： Q 点轨迹为△ABC 的九点圆．如图，取AH、 BH 、 PH 的中点 M、 N、K ，延长 AD 交△ABC 外接圆于G．则熟知 HD = DG，连接 KN、MN、KD 、PB、PG．因为各取中点有∠NKD = ∠BPG, ∠NMD = ∠BAG．∴K 、N、 M、D 四点共圆．又 Q 在△APD 的外接圆上，∴PH·HQ = AH·HD ，即2KH ·HQ = 2MH ·HD ．∴KH ·HQ = MH ·HD．于是有 K、 D、 Q、 M、 N 五点共圆．又△DMN 外接圆为九点圆，所以Q 在九点圆上．反之，在如上所述九点圆上任取一点Q ，设 Q H 延长线交△ABC外接圆于P ，取P H中点R，同上可证R在九点圆上．故 2RH·HQ = 2 MH ·HD ，即 P H·HQ = AH·HD ．因此 Q 在△AP D 外接圆上．得证．。
初等几何研究补讲：圆内接四边形和四点共圆
M
P E
D C B F A 初等几何研究补讲：圆内接四边形和四点共圆
一、 知识点
1. 定义：四个顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形.
2. 圆内接四边形对角互补，外角等于它的内对角.
3. 证明四点共圆的一般方法：①证明四点和一定点距离相等；②过其中三点作辅助圆，再证另一点在所作圆上；③对角互补的四边形是圆内接四边形；④任一外角等于它的内对角的四边形是圆内接四边形；⑤若P 、Q 在直线AB 同侧，且∠APB =∠AQB ，则P 、A 、B 、Q 四点共圆；⑥相交弦定理的逆定理；⑦割线定理的逆定理；⑧利用转化思想，将圆共点的问题转化为共圆点的问题.
二、例题
例1 求证：三角形三边的中点,三高线的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆.通常称这个圆为九点圆（nine -point circle ），或欧拉圆、费尔巴哈圆.
例2 正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，CE ⊥BF ，BE =BM .求证：P 、M 、C 、D 四点共圆.
例3 如图，△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于H ，以AD 为直径作圆和AB 、AC 分别交于E 、F 点，EF 交 AD 于 G ，若 AG =16cm ，AH =25cm ，求 AD 的长．
例4 PC 、PD 为⊙O 的切线，M 为CD 的中点.AB 为过M 的任一弦.求证：PO 平分∠APB .
P。
赣县中学北校区高二数学竞赛平几讲义(三) (学生)
赣县中学北校区高二数学竞赛平几讲义（三）整理人：彭福星 2015-11-15一、托勒密定理及其逆定理1．托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。
已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD2．托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。
已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。
3．托勒密定理的推广：在四边形ABCD 中，恒有AB·CD+BC·AD≥AC·DB ，当且仅当四边形ABCD 内接于圆时等号成立。
二、应用托勒密定理以其简介而优美的形式著称，在有关圆内接四边形问题及证四点共圆时有其独特的功效。
（1）证线段的和、差关系。
例1．在△ABC 中，AB<AC<BC ，D 点在BC 上，E点在BA 的延长线上，且BD=BE=AC ，△BDE 的外接圆与△ABC 的外接圆交于F 点，求证：BF=AF+CF 。
（2）求最值例2.已知圆周被其上二定点A 、B （A ≠B ）分成两端狐，试指出弧上的动点P 在其中指定一段弧的哪个位置时，P A+PB 取最大值？证明你的结论并求出这个最大值。
（3）证四点共圆例3．已知D 为正△ABC 。
的∠ABC 内一点，且DA=DB+DC ，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。
（4）解方程例4．若a ≥b ≥c ＞0，且a ＜b +c ，解方程ax b x c c x b =-+-2222。
（5）证定值问题例5．如图，圆O 外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上的任意一点，求证PB PC PA +为定值。
（6）证不等关系例6．设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，21A A 延长交圆2C 于2B ，32A A 交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证：四边形4321B B B B 的周长≥2×四边形4321A A A A 的周长，并请确定等号成立的条件。
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第七讲和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆
一、知识要点：
（一）、和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。
圆周角是这五种角的核心。
1、定理1：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，圆周角的度数等于
它所对的弧的度数的一半。
定理2：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
定理3：直径（或半周）所对的圆周角是直角；圆周角是直角，它所对的弦是直径。
定理4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
2、圆内角：顶点在圆内的角叫做圆内角（圆心角是其特殊情形）；
定理5：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。
3、圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角；
定理6：圆外角的度数等于它所夹得两弧度数的差的绝对值的一半
4、弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做
弦切角。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹得弧的圆心角的度数的一
半，弦切角的度数等于它所夹得弧的圆周角的度数。
（二）、圆内接四边形与四点共圆
1、圆内接四边形：在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的
四边形叫做圆内接四边形。
性质：（1）、圆内接四边形的对角互补；
（2）、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
（就是和它相邻的内角的对角）。
2、判定四点共圆的方法：
①、到一定点等距离的几个点在同一个圆上；
②、同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
③、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆；
④、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆； ⑤、如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个
顶点共圆；
⑥、四边形ABCD 的对角线相交于点P ，若
PA ·PC=PB ·PD,则它的
四个顶点共圆；
⑦、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P,若
PA ·PB=PC ·PD,则它的四个顶点共圆。
说明：上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也使成立的。
二、要点分析：
1、在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题，常常要用到和圆有关的角。
因此熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆的问题中极其重要的一环；
2、圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连接
共圆四点就成为圆内接四边形，这里涉及两个基本问题，其一是四点共圆的判定，其二是四点共圆的性质的应用。
证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似占有同等重要的地位，实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论，因此，证明四点共圆就给研究几何图形的性质，开拓了新的思路。
三、例题讲解：
例1、已知，如图，在等腰ABC ∆中，AB=AC,D 为腰AC 的中点，DE 平
分ADB ∠交AB 于E ,⊙ADE 交BD 于N,求证：BN=2AE
例2、如图，折线ACD 是⊙O 的一条折弦，点B 在⊙O 上，且弧AB=弧
BD,B M ⊥AC 于M,求证：AM=MC+CD.(阿基米德折弦定理)
例3、设AD 是ABC ∆的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任意一点，BP 、
CP 分别与AC 、AB 交于E 和F,则FDA EDA ∠=∠ A B C D E
P
F
例4、（1）、西姆松(Simson)定理：
∆的外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它的延长从ABC
线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。
∆的关于P点的西姆松线）（说明：过点D、E、F的直线叫做ABC
A
（2）、西姆松(Simson)定理的逆定理：
∆的三边或它们的延长线引垂线，若其垂足为D、从一点P向ABC
∆的外接圆上。
E、F在同一直线上，则点P在ABC
第七讲 和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆练习
1、已知，锐角ABC ∆内接于⊙O, 36,60=∠=∠BAC ABC ,作O E ⊥AB
交劣弧AB 于点E,连接EC,则OEC ∠=___________
2、已知，在直径7=AB 的圆上有两点M 、N, M 和N 在AB 的同侧，
AM 和BN 交于圆内一点P ，则_________=⋅+⋅BN BP AM AP
A B
3、已知，四边形ABCD 内接于圆（AC>AD ）,延长AD 到D ’,使AD ’=AC,BD ’
交圆于E,交AC 于C ’且AC ’=AD,
求证：（1）、ABE ∆为等腰三角形；（2）、AD AC AB ⋅=2
’
4、（1）、如图1，在⊙O 中，弦AC 和BD 相交于P 点，求证：PA ·PC=PB ·PD;
（2）、如图2，在⊙O 中，PA 为⊙O 的切线，切点为A,经过点P 的割线
交⊙O 于B 、C 两点，求证：PA 2=P B ·
PC;
P
（3）、如图3，过点P 的两条割线交分别交⊙O 于点A 、B 、C 、D ，
求证：PA ·PB=PC ·
PD
5、在锐角ABC 中，以BC 为直径作圆与BC 边上的高AD 及其延长线交
于M 、N,以AB 为直径作圆与AB 边上的高CE 及其延长线交于P 、Q,求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。
A
B C P
Q
M
N E D。