九年级数学圆心角,弧,弦,弦心距的关系课件人教版

O M A C N B
如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O
的半径，弦BE∥OA,
⌒ ⌒ 求证：AC=AE
C
A
O
E
B
O
·
Ｎ
Ｂ
Ｃ
例2：已知如图（1）⊙O中，AB、CD为⊙O的弦， ∠1= ∠2，求证：AB=CD B C
变式练习1： 如图（1），已知弦AB=CD， 求证： ∠1= ∠2
A
2 1
O
D
（1） 变式练习2：如图（2）， ⊙O中，弦AB=CD， 求证：BD=AC A D
变式练习3：如图（2）， ⊙O中，弦BD=AC， 猜测∠A与∠D的数量关系。
∴ 与A’B’ 重合，AB与A′B′重合． AB ∴
AB=A’B’
AB A ' B '.
三、圆心角与弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等。
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 相等 _____， 所对的弦________；
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 条弧、两条弦中 有一组量相等， 相等 相等 ______，所对的弧_________． 它们所对应的其 余各组量也相等．
O B （２） C
例3：已知：如图（1），已知点O在∠BPD的角平分线PM 上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D， 求证：AB=CD B
A P C D O M
（1） 变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与 A、B、C、D，AB=CD 求证：点O在∠BPD的平分线上
A P
B
O C D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB A
A
证明： ∵ AB=AC． ∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形.
B O
·
C
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
练习1
如图，已知AB、CD为 ⊙O的两条弦， AD=BC ，求证AB＝CD.
C B O D A
练习2
已知：AB是⊙O的直径，M.N是AO.BO的 中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于 C.D点。 求证：AC=BD Ｄ Ａ Ｍ
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD AB CD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________．
（2）如果
AOB COD AB=CD AB CD ，那么____________，_____________．
AB=CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． AB CD
第 3 课时
弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的相等关系 相等 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦 相等 ______．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
相等 相等 角________，所对的弦也________． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 相等 相等 角________，所对的弧也________．
·
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 AOB AOB 根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
AB AB
A
A
⌒
⌒
O
B
B
例1：如图，在⊙O中， 11111111AC=BD，1 45, 求∠2的度数。
解： ∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B
O
A
D
B
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。① Nhomakorabea②
③
④
二、 探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B B′ B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
AB=CD
（在同圆中，相等的弧所 对的圆心角相等）
∴ ∠1=∠2=45°
一.判断下列说法是否正确：
1相等的圆心角所对的弧相等。（ × ） 2相等的弧所对的弦相等。（ × ） 3相等的弦所对的弧相等。（ × ） 二.如图，⊙O中，AB=CD，
B 1 C D 2 O A
1 50

o 2 ____. 50
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE OF , E B A 证明： OE AB, OF CD 1 1 AE AB, CF CD O 2 2 D 又 AB＝CD AE＝CF F 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF C OE OF .
Ａ
Ｏ
Ｃ
o
B
4.如图：已知OA.OB是⊙O中的两条半径，
且OA⊥OB,D是弧AB上的一点，AD的延长 线交OB延长线于C。已知∠C=250，求圆心 角∠DOB的度数， Ａ Ｄ Ｏ Ｂ Ｃ
四、例题选讲
例1 如图, 在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
E D C
= DE
∵
BC = CD
= DE

A
O
·
BOC=COD=DOE=35
B
AOE 180 3 35


75

七、思考
如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，
⌒ ⌒
AD=BC, 求证AB=CD
C B O D A
如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C ⌒ 为AB的中点，M、N分别为OA、OB的 中点，求证：MC=NC
练习1
1.下列命题中真命题是（ ） A。相等的弦所对的圆心角相等。 B、圆心角相等，所对的弧相等。 C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。 D、长度相等的弧所对的圆心角相等。
2、在⊙O中， AB = AＣ ，∠B=70°，则∠A= ＿＿＿
Ｂ ３、如图：AB为⊙O的直径， = CD = DE ， BC ∠COD=35°， 则∠AOE=＿＿＿＿度。 A E D C
P O (3) B 变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中还 存在相等的弦吗？ B C P A D O
（４）
思考
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相 等，∠A=70°， A 则∠BOC=＿＿＿度。
O
B
C
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径，BC = CD ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：