数学中考复习专题解析及测试 专题1《数与式》

中考点击考点分析：要求Ⅰ：理解掌握要求Ⅱ：灵活运用命题预测：实数是初中数学的基础知识，也是其他学科的重要工具．因此在近年来各地的中考试题中一直占有重要的地位．这部分试题大多数十分重视基础知识的考察，试题的呈现形式多以贴近生活实际的形式，试题的难度不大．多数来源于教材的习题或稍加变通．题型主要是填空题、选择题也有计算题，但是，计算题的难度不大，没有繁杂的计算．近几年来，部分地区还设计了开放性探索题．预计今后的中考对实数的考察难度将依然控制在2006年的基础上．这部分的试题量一般占试题总量的2%——6%，分值占总分的3%——5%．代数式的知识在历年全国各地的中考试卷中始终占有一定的地位，并且与实数部分一样，试题多数为题型小、难度低、思维量少、一捂即得的填空题和选择题，基本上没有难题和怪题，虽然近年部分省、市出现了一些开放、猜想题、规律探索题、阅读理解题等创新题型，但是，多数都来源于教材，考生依然会感到得心应手．这部分考题一般在6%左右，分值占7%左右．综上所述，预计今年中考对本专题的内容除继承以往的优点外，还会继续加强源于教材而又活于教材的题型，考察学生灵活应用知识的能力．促进课堂教学对创新能力的培养，从而全面提高素质教育．●难题透视例1根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是( )000 110 010 111 001 111A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字0和1，要求能实现符号与数字的相互转化．【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看，因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ．【答案】选B．【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出一个答案．突破方法：根据表格中所提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填写的数字．解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义．例2用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图1-1方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖块，第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）．【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论．【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第1个图形，黑色瓷砖4块；第2个图形，黑色瓷砖7块；第3个图形，黑色瓷砖10块……不难看出，每幅图形中的黑色瓷砖依次增加3块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为1＋3，则第2个图形中的黑色瓷砖可表示为1＋3×2……所以第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．【答案】黑色瓷砖10块，第n个图形中的黑色瓷砖为1+3n．【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规律，结合图形，观察其变化规律．例3下列运算中，计算结果正确的是（）（1）（2）（3）……图1-1A .632x x x =⋅B .222+-=÷n n n x x xC . 9234)2(x x =D .633x x x =+【考点要求】本题考查整式运算公式．【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘．A 项结果应等于5x ，C 项结果应等于64x ，而D 项无法运算．【答案】选B ．【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习，熟悉乘法公式．例4我国自行研制的“神舟6号飞船”载人飞船于2005年10月12日成功发射，并以每秒约7.820185公里的速度，在距地面343公里的轨道上绕地球一圈只需90分钟，飞行距离约42229000km ．请将这一数字用科学记数法表示为________km ．(要求保留两位有效数字)．【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识．【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是10的指数，可归纳为指数n 等于原数整数部分的位数减一．所以这一数字可表示为4.2×107．【答案】4.2×107．【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于10的指数容易弄错．突破方法：掌握规律，记住幂的指数的确定方法．解题关键：科学记数法10n a ⨯中，a 是整数数位只有一位的数，10的指数是由小数点移动的位数决定的，也可以简单的记作用原数的数位减去1所得到的数值．例5分解因式：2212a a b -+-= ．【考点要求】本题考查多项式的因式分解．【思路点拨】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，本题应采用一三分组法进行分解．原式2222(12)(1)a a b a b =-+-=--(1)(1)a b a b =-+--．【答案】填(1)(1)a b a b -+--【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公式进行因式分解时，往往还会进行分组分解．解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时还需要对原式的各项进行必要的交换．例6有一道题“先化简，再求值：22241()244x x x x x -+÷+--，其中3x =-．”小玲做题时把“3x =-”错抄成了“3x =”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力．【思路点拨】把原式化简，可得2222444(4)44x x x x x x -++⨯-=+-． 因为22(3)(3)-=，所以无论是“3x =-”或“3x =”，代入化简后的式子中，所求得的值都是相等的．因而即使代错数值，结果仍然是正确的．【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累，熟悉各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题．解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解，再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因．例7已知,4a b m ab +==-，化简(2)(2)a b --的结果是（ ）A ．6B ．2m －8C ．2mD ．－2m【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也是数学解题中常用的一种技巧．【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为2()4ab a b -++，再将,4a b m ab +==-代入，可得－2m ．【答案】选D ．【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出a 、b 的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另一种是会用含m 的式子表示a 、b ，但解题过程较繁琐，且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原式乘开后可用含a b +和ab 的式子表示，再将已知条件代入即可．解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值．例8如图1-2，时钟的钟面上标有1，2，3…12共计12个数，图1-2一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力．【思路点拨】钟面上的数字之和为78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只能为78÷3=26，而图中钟面上的1、2、11、12之和已经为26，所以所画的这条线只能在图中这条直线的下方，即过4和5，8和9之间画直线．【答案】3、4、9、10，5、6、7、8．【误区警示】本题部分学生不知从何处入手，或者漫无目标的尝试去画，这样费时较多，而且容易达到目标．突破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数．例9我们把分子为1的分数叫做单位分数．如12，13，14…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如111236=+，1113412=+，1114520=+，… （1）根据对上述式子的观察，你会发现1115=+O ，请写出□，○所表示的数； （2）进一步思考，单位分数n 1（n 是不小于2的正整数）＝11+∆，请写出△，⊙所表示的式，并加以验证． 【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用．【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为n ，则右边第一个分母为（n ＋1），第二个分母为n （n ＋1）．所以问题（1）中，□表示的数为6，○表示的数为30；问题（2）中，△表示的式为1+n ，⊙表示的式为)1(+n n ．验证：)1(1)1()1(111+++=+++n n n n n n n n nn n n 1)1(1=++=，所以上述结论成立． 【答案】（1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为1+n ，⊙表示的式为)1(+n n ．【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难．解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息．例10阅读下面的材料，回答问题：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1-3，AB OB b a b ===-；当A 、B 两点都不在原点时： （1）如图1-4，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；（2）如图1-5，点A 、B 都在原点的左边， ()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-；（3）如图1-6，点A 、B 在原点的两边，()AB OA OB a b a b a b a b =+=+=+-=-=-．综上，数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-．回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的O （A ）bB 图1-3O0 b B 图1-4aA BbaA 图1-5O 0 b a A 图1-6O 0两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ．（2）数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ．如果2AB =，那么x = ．【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点A 、B 的距离公式AB a b =-，再引出相关问题，考查学生阅读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力．【思路点拨】依据阅读材料，所获得的结论为AB a b =-，结合各问题分别代入求解．（1）253,2(5)3,1(3)4-=---=--=；（2）(1)1AB x x =--=+；因为2AB =，所以12x +=，所以12x +=或12x +=-．所以1x =或3x =-．【答案】（1）3，3，4；（2）1x =或3x =-．【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材料，从中获取重要结论，帮助解题．●难点突破方法总结实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几点：1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习影响大，不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆．2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能．3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法．整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注意如下内容：1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注简单整式和分式的运算．2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用公式或法则进行计算．3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算．4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用．5.此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略．●拓展演练一、填空题1． （21）2007·（－2）2008＝ ． 2． 如果数轴上不同的两点A 、B 所表示的数的绝对值相等，那么A 、B 两点所表示的数可以是 （只写出一组即可）．3． 若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，则（a ＋b ）－cd ＝ ．4．已知分式)1)(2(12---x x x ，当x ＝ 时，分式的值为0． 5． 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）：第一行 11第二行 12 12第三行 13 16 13第四行 14 112 112 14 A B第五行 15 120 130 120 15 … …… …根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： ．6． 在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角 形．如图，在4×4的方格纸上，以AB 为边的格点三角形ABC 的面积为2个平方单位，则符合条件的C 点共有 个．7. 观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想:第n 个等式(n 为正整数)用n 表示,可以表示成_________________________.8. 若非零实数a ，b 满足2244a b ab +=，则b a= ． 9． 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称出它的质量为a ，再称其余的电线总质量为b ，则这捆电线的总长度是 ．10．已知二次三项式22x bx c ++分解因式为2(3)(1)x x -+，则b 、c 的值为 ．二、选择题11．按一定的规律排列的一列数依次为：111111,,,,,2310152635┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 （ ）A ．145B ．140C ．146D ．15012．当x ＜1时,的结果为( )A . x －1B . －x －1C . 1－xD . x ＋113．如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,•至第八个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( )A . 66B . 91C . 120D .15314．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n 个图案中正方形的个数是 （ ）A ．nB ．43n +C ．41n -D ．32n -15．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折n 次后折痕的条数是 （ ）A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋116．把多项式1-x 2+2xy -y 2分解因式的结果是 （ ）A .(1)(1)x y x y +--+B .(1)(1)x y x y --+-C .(1)(1)x y x y ---+D .(1)(1)x y x y +-++17．计算44()()xy xy x y x y x y x y-++--+的正确结果是（ ） A ．22y x - B ．22x y - C ．224x y - D ．224y x -18．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m 米长的铁丝．假设地球赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 的大小关系是 （ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m =nD ．不能确定三、解答题19．观察下列各式及其验证过程: ……验证: 验证：=验证: =(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n 为任意自然数,且n ≥2)表示的等式,并给出证明．20．阅读下列题目的计算过程：xx x +---12132 ＝)1)(1()1(2)1)(1(3-+---+-x x x x x x （A ） ＝（x －3）－2（x －1） （B ）＝x －3－2x ＋1 （C ）＝－x －1 （D ）（1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ．（2）错误的原因 ．（3）本题目正确的结论为 ．●习题答案一、填空题1. 【答案】2（点拨：原式=20072007200711()22(2)2222==．） 2. 【答案】（答案不唯一）3. 【答案】－1（点拨：a ，b 互为相反数，所a ＋b=0，c ，d 互为倒数，所cd =1．）4. 【答案】－1（点拨：由题意210x -=且(2)(1)0x x --≠，所以x =－1．）5. 【答案】16、130、160、160、130、16（点拨：每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值．）6. 【答案】3个7. 【答案】9(1)10(1)1n n n ⨯-+=-+8. 【答案】2（点拨：将原式改写为22440a ab b -+=，所以2(2)0a b -=，可求出b =2a ．） 9. 【答案】1b a+（点拨：先取1米长的电线，称出它的质量为a ，其余电线质量为b ，则其余电线的长度为b a 米，这捆电线的总长度为（1b a +）米．） 10. 【答案】－4，－6（点拨：将分解后的因式乘开，各项系数应与已知的二次三项式相等．）二、选择题11. 【答案】D （点拨：每个分数的分子均为1，分母为21n +或21n -（当n 为奇数时加1，当n 为偶数时减1），7为奇数，因而其分母为27150+=．）12. 【答案】C （点拨：开方的结果必须为非负数．）13. 【答案】C （点拨：每增加一层所多出的个数为原来最下面一层个数加4，列出前面几组数据，第一层：1，第二层：1＋（1＋4） ，第三层：1 ＋（1＋4）＋（1＋4×2）＋…＋[1＋4(n － 1)]=2(1)422n n n n n -+=-（n 表示第几个叠放的图形），当n =8时，共有2288120⨯-=.）14. 【答案】C （点拨：n =1，有3个正方形；n =2，有7个正方形；n =3，有11个正方形…，规律：n 每增加1，就多出4个正方形．）15. 【答案】C （点拨：除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍．）16. 【答案】A（点拨：22222121(2)1()(1)(1)x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=+--+．）17. 【答案】B （点拨：将括号内的式子分别通分．）18. 【答案】C （点拨：设地球仪赤道半径为r ，则2(1)22m r r πππ=+-=；设地球赤道半径为R ，则2(1)22n R R πππ=+-=，所以相等．）三、解答题19．【答案】．验证 (2)由题设及(1)的验证结果,•可猜想对任意自然数n (n ≥2)都有:证明：∵n ，∴ 20．【答案】（1）B ；（2）去分母；（3）23211x x x---+； 32(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x --=-+-+-322(1)(1)x x x x --+=+-11(1)(1)1x x x x--==+--．。