mm10-差分模型及层次分析模型

数学建模 差分模型及层次分析建模方法 11
减肥计划
某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量， 某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量， 100公斤 20000千卡热量 体重维持不变。现欲减肥至75公斤。 75公斤 体重维持不变。现欲减肥至75公斤。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少， 第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少， 直至达到下限（10000千卡 千卡）； 直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限， 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。 给出达到目标后维持体重的方案。
= 12000 − 200 k
≥ C m = 10000
k ≤ 10
第一阶段10周 每周减1公斤 公斤， 周末体重90公斤 第一阶段 周, 每周减 公斤，第10周末体重 公斤 周末体重 吸收热量为
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c(k + 1) = 12000 − 200k , k = 0,1,L9
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数 学 建 模
——从自然走向理性之路 ——从自然走向理性之路
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差分模型及层次分析建模方法
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第十讲
差分模型 及层次分析建模方法
【主要内容】介绍市场经济中的蛛网模型，减肥 主要内容】介绍市场经济中的蛛网模型， 模型， 模型，层次分析方法 【主要目的】了解差分方法及层次分析方法在数 主要目的】 学建模中的应用
n
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每周跳舞 小时或自行车10小时 运动量 γt=24 (每周跳舞 小时或自行车 小时 共14周。 每周跳舞8小时或自行车 小时), 周
差分模型及层次分析建模方法 17
3）达到目标体重75公斤后维持不变的方案 ）达到目标体重 公斤后维持不变的方案 每周吸收热量c(k)保持某常数 ，使体重 不变 保持某常数C，使体重w不变 每周吸收热量 保持某常数
g f x
f 0 x0 x
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差分模型及层次分析建模方法
背景
肥目标，或不能维持。 肥目标，或不能维持。
▲ 多数减肥食品达不到减
通过控制饮食和适当的运动， ▲ 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提 下，达到减轻体重并维持下去的目标
分 析
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▲体重变化由体内能量守恒破坏引起
饮食（吸收热量） ▲饮食（吸收热量）引起体重增加
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基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
w(k +1) = w(k) +αc(k +1) − β w(k)
α = 1 8000(公斤/千卡） β ~ 代谢消耗系数(因人而异) 代谢消耗系数(因人而异)
1）不运动情况的两阶段减肥计划 • 确定某甲的代谢消耗系数 每周吸收20000千卡 =100公斤不变 每周吸收20000千卡 w =100公斤不变 20000
蛛网模型
时段商品数量； xk ~ 第 k 时段商品数量；yk ~ 第 k 时段商品价格
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需求函数： 需求函数： 供应函数： 供应函数：
yk = f ( xk )
减函数 增函数
x k +1 = h ( y k )
y k = g ( x k +1 )
y
f与g的交点 0(x0,y0) ~ 平衡点 与 的交点 的交点P
方程模型
y k = f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0)
x k +1 − x 0 = β ( y k − y 0 ) ( β > 0)
k
xk+1 = h( yk )
x k +1 − x 0 = −αβ ( x k − x 0 )
f g P0 x0
y0 0
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一旦 xk = x0，则 yk = y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
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x
偏离x 设x1偏离 0
x1 → y1 → x2 → y2 → x3 →L
xk × x0 , y k → y 0 → ×
P →P →P →L→P 1 2 3 0
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差分模型及层次分析建模方法
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（Analytic Hierarchy Process, AHP） 数学用于研究自然与社会现象的方法主要有： 数学用于研究自然与社会现象的方法主要有： 机理分析——用经典的数学工具分析现象的因果关系； 机理分析——用经典的数学工具分析现象的因果关系； ——用经典的数学工具分析现象的因果关系 统计分析——以随机数学为工具， 统计分析——以随机数学为工具，通过大量观测数据寻 ——以随机数学为工具 求统计规律。 求统计规律。 近年来发展起来的第三种方法称为系统分析 系统分析， 近年来发展起来的第三种方法称为系统分析，层次 分析是系统分析的工具之一， 分析是系统分析的工具之一，它是美国运筹学教授 Saaty 于 70 年代初期提出来的。它把人的思维过程层次化、数 年代初期提出来的。 把人的思维过程层次化、 量化，并用数学方法为分析、决策、 量化，并用数学方法为分析、决策、 预报或控制提供定 定性与定量相结合的方法 量的依据。这是一种定性与定量相结合的方法。 量的依据。这是一种定性与定量相结合的方法。
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2）第二阶段增加运动的减肥计划 ） 根据资料每小时每公斤体重消耗的热量 γ (千卡 千卡): 千卡 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 基本 模型 3.0 2.5 w( k + 1) = w( k ) + α c ( k + 1) − ( β + αγ t ) w( k ) 4.4 7.9 t~每周运动
w = w +αc − βw
20000 β= = = 0.025 w 8000 ×100
αc
20000/100=200千卡 即每周每公斤体重消耗 20000/100=200千卡
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• 第一阶段 w(k)每周减 公斤 c(k)减至下限 第一阶段: 每周减1公斤 减至下限10000千卡 每周减 公斤, 减至下限 千卡
w(k +1) = w(k) +αc(k +1) − (β +αγ t)w(k)
w = w + α C − ( β + αγ t ) w
• 不运动 C = 8000 × 0.025 × 75 = 15000 ( 千卡 ) • 运动 内容同前 C = 8000 × 0.028 × 75 = 16800 (千卡 ) 运动(内容同前 内容同前)
75 = 0.975 (90 − 50) + 50
n
lg ( 2 5 / 4 0 ) n = = 19 lg 0 .9 7 5
第二阶段19周 每周吸收热量保持10000千卡, 10000千卡 第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 19 减少至75公斤。 75公斤 w(n) = 40 × 0.975n + 50 (n = 1,2,L19) 减少至75公斤。
w(k) − w(k +1) = 1
c ( k + 1) = 1
w(k + 1) = w(k ) + α c(k + 1) − β w(k ) w(k ) = w(0) − k
α = 1 8000 β = 0.025
α
[ β w ( k ) − 1]
β 1 c ( k + 1) = w ( 0 ) − (1 + β k ) α α
P0是稳定平衡点
y y2 y3 y1 0 y0 f P3 P2 x2 x0 x3 g P4 P0
× P → P2 → P →L→ P0 1 3
P0是不稳定平衡点
y P3 f P0 P1 x0 x
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曲线斜率
K f < Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
Kf > Kg
P2
数学建模
差分模型及层次分析建模方法
α β < 1 经济稳定
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经济不稳定时政府的干预 1. 使 α 尽量小，如 α=0 尽量小， 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 2. 使 β 尽量小，如 β =0 尽量小， 供应曲线变为竖直 以行政手段控制数量不变 以行政手段控制数量不变
数学建模
y y0 0 y g
时间(小时) 时间(小时)
取αγ t = 0.003,即γ t = 24
β (= 0.025) → β ′ = β + αγ t (= 0.028)
αCm α Cm ]+ β′ β′ n = 14
w ( k + n ) = (1 − β ′ ) n [ w ( k ) −
75 = 0.972 (90 − 44.6) + 44.6
x k +1 − x 0 = (−αβ ) ( x1 − x 0 )
P0稳定 P0不稳定
αβ < 1
xk → x0 xk → ∞
K f < Kg
K f > Kg
1/ β = Kg
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