二重积分的概念及计算讲解

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高等数学第九章课件.ppt

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z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积,
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
(二) 平面薄片的质量
设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域
D ,在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ,假定 ( x, y)在D 上连续,平面薄片的质量为多少?
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体,它的曲 顶为
它的底为
于是,
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体, 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是,立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
(一) 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点:平顶. 柱体体积=? 特点:曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法,如下动画演示.
步骤如下:
先分割曲顶柱体的底,并 取典型小区域,
间的关系:
x=rcos , y=rsin ,
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1(),r=r2()围成.
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成.

二重积分通俗理解

二重积分通俗理解

二重积分通俗理解一、什么是二重积分?1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一,用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。

它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作,可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。

1.2 符号表示一般来说,用符号∬来表示二重积分。

对于一个函数f(x,y),其在区域D上的二重积分可以表示为:∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域,dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。

二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中,我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。

对于一个小矩形R i,其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i,其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。

然后,我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗),计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗),并乘以该矩形的面积ΔA i。

将所有小矩形的贡献相加,即可得到二重积分的近似值。

当矩形的宽度和高度趋近于零时,即Δx i和Δy i趋近于零,这时我们可以得到准确的二重积分。

用极限的形式表示为:∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中,二重积分的计算可以更加简化。

对于一个区域D,我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。

其中r表示极径,θ表示极角,dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。

则二重积分的计算公式为:$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题,通过转换到极坐标系可以简化计算过程。

三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。

对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况,可以通过以下公式计算曲面的面积S:S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。

二重积分的定义和计算方法

二重积分的定义和计算方法

二重积分的定义和计算方法引言:二重积分在数学中扮演着重要的角色,用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。

本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法,帮助读者更好地理解和应用二重积分。

一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。

其定义如下:设函数f(x,y)在闭区域D(边界为C)上连续,其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。

将D划分为m×n个小区域,区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij,并任选ΔSij上一点(xi,yi)。

当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时,若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在,且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关,则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中,dS表示面积元素。

二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时,二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行:步骤一:确定积分区域D的范围和边界方程。

根据题目的描述或者所给的图形,确定积分区域D的边界曲线的方程。

可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。

步骤二:建立二重积分的积分式,计算积分。

根据所给的积分区域D,在直角坐标系下建立对应的积分式,然后进行计算。

根据题目需求,可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。

2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时,二重积分的计算可以通过以下步骤进行:步骤一:确定积分区域D的范围和边界方程。

根据题目给出的信息或者图形,确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。

步骤二:建立二重积分的积分式,计算积分。

二重积分的算法

二重积分的算法

二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一,它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。

二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤,下面将介绍二重积分的算法。

一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。

设函数f(x,y)在闭区域D上有定义,其中D是一个有界闭区域,D的边界可以用一组参数方程x=x(t),y=y(t),a≤t≤b表示。

则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为:∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种,常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。

1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加,按照积分的定义逐个计算。

具体步骤如下:(1)确定积分区域D的范围和方向;(2)将二重积分转化为两个一重积分,先对y进行积分,再对x进行积分;(3)根据积分区域D的范围和方向,确定积分的上下限;(4)按照一重积分的定义计算每个一重积分;(5)将两个一重积分的结果相加,得到二重积分的结果。

2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。

具体步骤如下:(1)确定积分区域D的范围和方向;(2)通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分;(3)根据积分区域D的范围和方向,确定极坐标下的积分范围和方向;(4)按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分;(5)得到极坐标下的一重积分后,根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。

3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外,还有其他一些特殊情况下的计算方法,如利用对称性、变量替换等方法进行计算。

具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。

三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质,包括线性性、保号性、保序性、可加性等。

这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用,可以简化计算过程和提高计算效率。

二重积分知识点

二重积分知识点

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容,是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具,也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面,全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义,D 由有向闭曲线C 围成,且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ,对于任意给定的正数ε,都存在正数δ,使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ,对应的任意代点ξij ,总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分,记作I =∬f D(x,y )dσ其中,Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积,Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和,即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域,并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和,最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ,若c为常数,则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2,则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理(累次积分)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中,(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续,则存在(ξ,η)∈D,使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中,σ(D)表示闭区域D的面积。

二重积分与累次积分

二重积分与累次积分

二重积分与累次积分在微积分中,二重积分与累次积分是重要的概念和计算工具。

它们在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍二重积分与累次积分的概念和计算方法,并探讨它们之间的关系。

一、二重积分的概念和计算方法1. 二重积分的概念二重积分是对二元函数在某个区域上的积分。

设二元函数为f(x, y),被积区域为D,那么在D上的二重积分可以表示为:∬Df(x, y)dA其中dA表示面积元素。

2. 二重积分的计算方法计算二重积分时,可根据积分区域的不同选择适合的计算方法,如直角坐标系下的矩形坐标系法和极坐标系法,或者采用参数方程表示等。

计算时,需要将被积区域D划分成小区域,然后求和逼近。

二、累次积分的概念和计算方法1. 累次积分的概念累次积分是一种通过多次积分来求解多元函数的方法。

对于二元函数f(x, y),首先对其中一个变量进行积分,然后再将结果作为另一个变量的函数进行积分。

2. 累次积分的计算方法计算累次积分时,需要按照一定次序进行积分。

对于二元函数f(x, y),首先对其中一个变量进行积分得到一个函数,再对该函数另一个变量进行积分。

计算时可利用基本微积分知识和积分换元法、分部积分法等方法。

三、二重积分与累次积分的关系二重积分与累次积分是密切相关的。

在一些情况下,二重积分可以通过累次积分来计算,而累次积分也可以通过二重积分来计算。

1. 二重积分通过累次积分计算当被积函数在积分区域上具有一定的连续性条件时,可以通过累次积分来计算二重积分。

即先对其中一个变量进行积分,再对另一个变量进行积分。

2. 累次积分通过二重积分计算当累次积分无法直接计算时,可以通过二重积分来计算。

先将累次积分转化为二重积分形式,然后利用二重积分的计算方法进行求解。

四、应用举例二重积分和累次积分在实际问题中有广泛的应用。

以下举例说明。

1. 计算曲线与坐标轴围成的面积通过累次积分计算曲线与坐标轴围成的面积时,可以将其转化为二重积分,然后利用二重积分的计算方法来求解。

二重积分计算方式

二重积分计算方式

二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一,用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。

在本文中,我们将介绍二重积分的计算方式和应用。

一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。

在二重积分中,被积函数的两个自变量分别为x和y,积分区域为D。

1. 定义:设函数f(x,y)在区域D上有定义,D是xy平面上的一个有界闭区域,将D分成许多小区域,记作ΔD。

选取ΔD中任意一点(xi,yi),作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi,其中ΔAi为ΔDi的面积。

如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关,那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分,记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质:二重积分具有线性性质和可加性质,即对于任意常数a和b,函数f(x,y)和g(x,y),以及区域D和E,有以下性质:- 线性性质:$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质:$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时,常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。

1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下,二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。

假设被积函数为f(x,y),积分区域为D,可以将二重积分表示为以下形式:$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围,c(x)和d(x)为y的范围。

二重积分的概念与计算

二重积分的概念与计算

二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念,在数学和物理学等领域有广泛应用。

本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法,帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。

通常表示为∬_Df(x,y)dxdy,其中D为积分区域。

二重积分的结果是一个实数。

二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集,即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)},则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。

具体计算步骤如下:步骤1:计算内层积分将变量y看作常数,将二元函数f(x,y)带入到内层积分中,进行y 的积分运算。

得到一个关于x的函数。

步骤2:计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中,进行x的积分运算。

得到最终的结果。

2. 通过坐标变换计算在某些情况下,二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。

常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。

以极坐标变换为例,如果积分区域D可以用极坐标表示,则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。

具体计算步骤如下:步骤1:进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示,并计算坐标变换的Jacobi行列式。

步骤2:计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算,得到最终结果。

三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景:1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。

对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1,在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。

2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布,二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。

质心的坐标可以通过以下公式计算:x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。

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1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3x x y 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
(x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
Page 14
例2. 判断积分
解: 分积分域为D1, D2 , D3, 则
1
(
k
,
k
)
k
x
(k ,k ) k
Page 6
两个问题的共性:
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
k
1
(
k
,
k
)
k
Page 7
二、二重积分的定义及可积性
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
age 12
7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
m
1
D
f
(x,
y) d
M
由连续函数介值定理, 至少有一点
f
( ,
)
1
D
f
(x,
y) d
因此
在闭区域D上 使
使
Page 13
例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 3 x2 y2 1 d x d y D2
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
d xd y D1
猜想结果为负 但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
Page 15
例3. 判断 ln(x2 y2 ) d x d y ( 0) 的正负.
小曲顶柱体
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点

Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
Page 3
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1 ,P2 k

max 1 k n
( k )
n
V
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f (x, y) dxdy.
引例1中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
Page 9
二重积分存在定理: (证明略)
lim
0
k 1
f (k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
Page 4
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M

非常数 , 仍可用
y D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
解决.
dxd y
I D 100 cos2 x cos2 y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 50(三角形面积) 4 200 10
由于
D
10 o 10 x
1
1
1
102 100 cos2 x cos2 y 100
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
Page 8
如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
二重积分不存在 .
Page 10
三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
D1 d D d
Page 11
5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
x y 1
y
解:当 x y 1 时,
1
D
0 x2 y2 ( x y)2 1 1 o 1 x

ln(x2 y2 ) 0
1
又当 x y 1时,ln(x2 y2 ) 0
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
Page 16
例4. 估计下列积分之值
给定曲顶柱体:
底: xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面:以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
Page 2
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
定理1. 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2. 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : 0 x 1
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
D o 1x
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
Page 5
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“近似和”
y
n
(k , k ) k
k 1
4)“取极限”

max(
1k n
k
)
n
M
lim
0
k
第10章 重积分
§10.1 二重积分
一、引例 二、二重积分的定义及可积性 0011 0010 1010 1101 000三1 0、10二0 1重01积1 分的性质
1 四、曲顶柱体体积的计算
2 五、利用直角坐标计算二重积分
六、利用极坐标计算二重积分
4 七、二重积分换元法 1
一、引例
1.曲顶柱体的体积
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