正弦稳态分析(基本电路理论)

基本电路理论上海交通大学本科学位课程第七章正弦稳态分析电子信息与电气工程学院2004年7月第七章正弦稳态分析在正弦信号激励下电路的稳态响应是电路理论中的重要课题，这是因为正弦信号比较容易产生和获得，在科学研究和工程技术中，许多电气设备和仪器都是以正弦波为基本信号的。

根据富里叶级数和富里叶积分的数学理论，周期信号能够分解为一系列正弦信号的迭加。

利用线性电路的迭加性，可以把正弦稳态分析的方法推广到非正弦周期信号激励的线性电路中去。

因此也可以说，知道了正弦稳态响应后，原则上就知道了任何周期信号激励下的响应。

基本要求：正弦量的振幅（最大值）、角频率、相位和初相位正弦量的瞬时值、有效值、相位差随时间按正弦规律变化的电压和电流，称正弦电压和正弦电流。

y(t) = A m sin(ωt+ϕ)A m 最大值，ω角频率，ϕ初相位, (-180︒＜ϕ＜180︒)若正弦量为电流i(t)，则i(t)=I m sin(ωt+ϕ)其中I m 是正弦电流最大值，I 是正弦电流有效值。

最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。

三要素确定后，正弦量就被唯一确定。

tϕωsin()m A t ωϕ+mA 0有效值也称均方根值，即()21T I i t dt T =⎰以上情况同样适合于正弦电压()sin()2sin()m v t V t V t ωϕωϕ=+=+()21T V v t dt T =⎰实验室的交流电压表、电流表的表面标尺刻度都是有效值，包括交流电机和电器上的铭牌。

有效值0.7072m mI I I ==0.7072mmV V V ==正弦量的平均值则是指在一周期内其绝对值的平均值，或者说其正半波的平均值。

202sin 0.6372Ta m m mI I tdt I I T πω===⎰其中I m sin ωt= i(t)为正弦电流，对电压也同样适用。

平均值20.637a m mI I I π==有效值大于其平均值根据欧拉公式cos sin j e j θθθ=+当θ是t 的函数时，正弦量A m sin(ωt+ϕ)可用复值函数来表示()sin()Im()Im()Im()j t j j tj tm m m m A t A eA e e A e ωϕϕωωωϕ++===基本要求：正弦量与相量的变换、相量图同相、超前和落后的概念其中()sin()Im()Im()Im()j t j j tj tm m m m A t A eA e e A e ωϕϕωωωϕ++===j m m A A eϕ是t=0时的复值常数，称相量称旋转相量，j tm A eω称旋转因子j teω相量可表示为j m m m A A e A ϕϕ==∠作为复数，相量又常用s 复平面上的有向线段表示。

这样的图称相量图。

设111j m m A A eϕ=222j m m A A e ϕ=且A m1= A m2 = A m ，ϕ1= ϕ2同相1m A2m Aϕj+1+0ϕ1＞ϕ21m A2m A超前θ角度2m A落后1m Aθ角度θ= 90︒12222(90)1902(cos90sin 90)j j m m m j j j m m j m m A A e A e A e eA ej jA ej A ϕϕϕϕϕ+====+==2111m m m A A A j ==-一个相量乘一个j ，向逆时针方向旋转90︒，乘一个-j ，向顺时针方向旋转90︒，所以称90j j e =90︒旋转因子1m A2m Aθj+1+01m Aθ2m Aj+1+0旋转相量和正弦量之间的关系是一一对应关系sin()Im()j tm m A t A e ωωϕ+⇔cos()Re()j tm m A t A e ωωϕ+⇔j+1+02t ωψF ∙2mF F ∙∙=0ψ2t ω2πtω()f t根据数学知识，任意个相同频率的正弦量的代数和，这些正弦量的任意阶导数的代数和，仍然是同频率的正弦量。

因此，相量j mmA A e ϕ=完全能用来表示已知频率的正弦量。

但相量并不等于正弦量，只有旋转相量才和正弦量有一一对应关系。

m A也称最大值相量。

最大值与有效值之间的关系2m A A=()sin()2sin()Im(2)Im(2)m j t j tA t A t AeA eωϕωωϕωϕ++=+==其中j A Aeϕ称有效值相量，且2m A A=正弦量与相量间属一种变换，称相量法变换phj 。

相量法变换phj 为已知正弦量变换成相量。

[sin()][2sin()]m A phj A t phj A t A ωϕωϕϕ=+=+=∠[sin()]m m m A phj A t A ωϕϕ=+=∠相量法反变换phj -1为已知相量，变换成正弦量。

112sin()sin()[][]m A t A t phj A phj A ωϕωϕϕ--+=+==∠11sin()[][]m m m A t phj A phj A ωϕϕ--+==∠几个定理定理1若α为实数，Z(t)为任何实变数t的复值函数，则Im[αZ(t)] = αI m[Z(t)]实数与复值函数相乘后取虚部等于复值函数取虚部后与实数相乘。

定理2若Z1(t)和Z2(t)为任何实变数t的复值函数，则Im[Z1(t)+ Z2(t)] = I m[Z1(t)]+ I m[Z2(t)]。

复值函数相加后取虚部等于各复值函数取虚部后相加定理3设Z 为复数，其极坐标形式是j m Z eϕIm()Im Im()j t j t j td d Ze Ze j Ze dt dt ωωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭取虚部和求导的运算可互换；复值函数j tm Z e ω对t 的导数等于该函数与j ω的乘积。

定理4设Z 1、Z 2为复数,ω为角频率。

若所有时刻12Im()Im()j tj tZ eZ eωω=则Z 1=Z 2。

反之，若Z 1=Z 2，则在所有时刻12Im()Im()j t j tZ e Z e ωω=两角速度相同的旋转相量在所有时刻在虚轴上的投影都相等，则这两相量相等。

•用相量法求微分方程特解10111sin()nn n n m n n d y d y dya a a a y A t dt dt dtωϕ---++++=+ 其中a 0，a 1，⋯，a n 及A m ，ω，ϕ均是实数。

方程特解为与输入同频率的正弦量。

因为sin()Im()j tm m A t A e ωωϕ+=()j m m A A e ϕ其中微分方程特解可表示为()sin()Im()j tp m m y t Y t Y e ωωψ=+=其中()j m m Y Y e ψ按经典法，将特解代入原方程，进行一系列的正弦量的微分和繁琐的三角公式运算。

现在用相量法求特解，即定常数Y m 和ψ。

将y p (t)代入原方程10111sin()nn n n m n n d y d y dya a a a y A t dt dt dtωϕ---++++=+ 0Im()Im()Im()nj t j t j tm n m m n d a Y e a Y e A e dtωωω++= 根据定理10Im()Im()Im()n j t j t j tm n m m n d a Y e a Y e A e dtωωω++= 根据定理30Im[()]Im()Im()nj tj tj tm n m m a j Y e a Y e A e ωωωω++=根据定理20Im{[()]}Im()nj tj tn m m a j a Y e A e ωωω++=根据定理40[()]nn m ma j a Y A ω++=由此得到代数方程0[()]nn m ma j a Y A ω++=101()()()mm n n n nA Y a j a j a j a ωωω-=++++2232213()()mm n n n n A Y a a a a ωωωω---=-++-+偶次方奇次方311322tan n n n n a a a a ωωψϕω-----+=--+ 所以特解()sin()p m y t Y t ωψ=+用相量法求正弦激励下的微分方程的特解，是原来的微分方程转换成复数代数方程。

对一阶电路求特解01sin()2sin()m dy a a y A t A t dtωϕωϕ+=+=+方法12210()mm A Y a a ω=+101tana a ωψϕ-=-所以m m Y Y ψ=∠()sin()p m y t Y t ωψ=+方法2 对一阶电路方程两边取相量法正变换01a j Y a Y A ωϕ+=∠2210010111022101()tantan()A A Y a a j a a a a a Aa a a ϕϕωωωωϕω--∠=∠=++∠=∠-+取相量法反变换110221012()()sin(tan )()p a Ay t phj Y t a a a ωωϕω--==+-+01sin()2sin()m dy a a y A t A t dtωϕωϕ+=+=+§7.3 线性定常电路的正弦稳态基本要求：正弦稳态响应的概念正弦稳态分析的概念•正弦稳态响应一个具有正弦激励的线性定常电路，其全响应的形式为y(t)=y h (t)+y p (t)。

其中y h (t)是齐次解，y p (t)是方程的特解。

若电路变量y(t)的所有固有频率是不同的（也就是特征多项式没有多重零点），则有1()i ns th i i y t k e==∑其中s i 为y 的固有频率，k i 是由初始条件确定的积分常数。

y p (t)作为方程的特解，是一个与输入同频率的正弦量，可以用相量法求得。

•固有频率s i 都位于s 平面的开左半平面上(不包括虚轴)，所有的e sit 都是衰减因子，当t →∞，y h (t)→0。

所以y(t) ⇒y p (t) = Y m sin(ωt+ψ)这表明不管电路的初始条件如何，随着t→∞，电路响应变成与激励同频率的正弦量。

这样的电路称渐近稳定电路，这个响应称正弦稳态响应。

•固有频率s i 中有一个或几个位于s 平面的开右半平面上，响应中含有增长因子e sit ，通常说，t→∞，y h (t)→∞，电路是不稳定的。

•固有频率s i 大部分位于s 平面的开左半平面上，有一些落在虚轴上(即一些纯虚数的固有频率j ωi )ⓐ位于虚轴上的是多重固有频率s 1 = s 2 = j ω0，s 3 = s 4 = -j ω0(总以共轭形式出现),则齐次解中必定含有001234()()j tj tk k t ek k t eωω-+++或用余弦表示成k 1sin(ω0t+ϕ1)+k 2tsin(ω0t+ϕ2)显然，t→∞，y h (t)→∞，电路是不稳定的。