第五章 数字滤波器的结构
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数字滤波器的基本结构(3)-sw_OK
8
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
15
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
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5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
数字滤波器的基本结构 ppt课件
算子zw-11(表n) 示b0，x(n它) 表w5示(n)单 b位0x延(n)时 a。1y(n 1) a2 y(n 2)
y(n) w2 (n) w1(n)
y(n) a1 y(n 1pp)t课件a2 y(n 2) b0x(n)
6
第5章 数字滤波器的基本结构
5.2 IIR滤波器的基本结构
入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的
数字序列，因此它本身就是一台数字式的处理设备。
数字滤波器一般可用两种方法实现：1)根据描述数字滤
波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一台
专门的设备，构成专用的信号处理机；2)直接利用通用
计算机，将所需要的运算编成程序让计算机来执行，
即用软件来实现数字滤波器。
M
N
M
ak y(n k) bk x(n k)
bk x(nk1k) k 0
N
k 点 共（M+N）个延时单元
实现系统函数极点
图5-4 实现N阶差p分pt课方件 程的直接I型结构
9
第5章 数字滤波器的基本结构
二、直接Ⅱ型（典范型、正准型）结构
方框图表示法
信号流图表示法
图 5-1 基本运算的方框图表示及信号流图表示
ppt课件
5
第5章 数字滤波器的基本结构
二阶数字滤波器： y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
源节点或 输入节点
阱节点或 输出节点
加法器
●
分支节点
输入支w2(路n) 的 y信(n)号值等于这一支路起点处节点信号值 乘值以，支www则354(((路认nnn))) 上为信 来 方aww1的其23w向号 代((3nn传(传，流 表n)11输有图一))输a向是条系2系yyw线((一支4数nn数(段n种路。)12为上)有，) 如a标1向箭1y，果注(图头n而出支的，1支延)方它路路向用迟a上2的代箭y支不(传n表头路标输信的2)值则传号有。用输流向动线延系的段数迟
第5章数字滤波器的基本结构
1、横截型（卷积型、直接型）
差分方程:
2、级联型
将H(z)分解成实系数二阶因式的乘积形式:
级联型的特点
• 每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的 传输零点
• 系数比直接型多，所需的乘法运算多
3、频率抽样型
N个频率抽样H(k)恢复H(z)的内插公式：
子系统： 是梳状滤波器
在单位圆上有N个等间隔角度的零点：
5.3 FIR数字滤波器的基本结构
• FIR数字滤波器的特点： 系统函数：
有N-1个零点分布于z平面 z=0处 是N-1阶极点
1）系统的单位抽样响应 h(n)有限长，设长度为N
2）系统函数H(z)在
处收敛，有限z平面只
有零点，全部极点在 z = 0 处（因果稳定系统）
3）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构
• 原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和 输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。
例：设IIR数字滤波器差分方程为：
试用四种基本结构实现此差分方程。 解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：
得直接Ⅰ型结构：
典范型结构：
将H(z)因式分解： 得级联型结构：
将H(z)部分分式分解： 得并联型结构：
频率响应：
子系统：
单位圆上有一个极点：
与第k个零点相抵消，使该频率 率响应等于H(k)
Hale Waihona Puke 处的频频率抽样型结构的优缺点
• 调整H(k)就可以有效地调整频响特性
• 若h(n)长度相同，则网络结构完全相同，除了 各支路增益H(k)，便于标准化、模块化
• 有限字长效应可能导致零极点不能完全对消， 导致系统不稳定
对其进行傅氏变换得:
数字滤波器的基本结构
H (z)
A
m1 N1
m1 N2
(1 ck z1) (11k z1 2k z2 )
k 1
k 1
将单实根因子看作二阶因子的特例：
46
M 1 2
(1 1m z1 2m z2 )
H (z) A m1 N 1 2 (1 1k z1 2k z2 ) k 1
：表示取整。
其中
Hi
(z)
1 1i z1 11i z1
2i 2i
z 2 z 2
,
级联结构：
i 0,1,..., m
X(n) H1（Z）
H2（Z）
。。。
Y(n) Hm（Z）
48
H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的级联形式。每个二阶节用典范型实现：
Z-1
Z 1 a1
y(n 1)
Z 1
a2
y(n 2)
Z 1 bM
x(n M )
Z 1
aN 1
y(n N 1)
Z 1
aN
y(n N)
实现N阶差分方程的直接I型结构
36
M=N
37
1）可直接差分方程或系统函数的标准形式画 出。两个网络级联：第一个横向结构M节延 时网络实现零点（分子，输入），第二个有 反馈的N节延时网络实现极点（分母，输 出） 。需要N+M级延时单元。
32
◦ 系统函数 ◦ 差分方程
M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
Y (z) X (z)
k 1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
(完整版)数字信号处理习题集(5-7章)
第五章 数字滤波器一、数字滤波器结构填空题:1．FIR 滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）.解：不一定计算题：2．设某FIR 数字滤波器的冲激响应，,3)6()1(,1)7()0(====h h h h6)4()3(,5)5()2(====h h h h ，其他n 值时0)(=n h 。
试求)(ωj e H 的幅频响应和相频响应的表示式,并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。
解： {}70,1,3,5,6,6,5,3,1)(≤≤=n n h ∑-=-=10)()(N n nj j e n h e H ωω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++++=---------------ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω2121272323272525272727277654326533566531j j j j j j j j j j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e e ee e e e e e e )(27)(27cos 225cos 623cos 102cos 12ωφωωωωωωj j e H e=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 所以)(ωj e H 的幅频响应为ωωωωωω2727cos 225cos 623cos 102cos 12)(j eH -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= )(ωj e H 的相频响应为ωωφ27)(-=作图题:3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：2112113699.00691.111455.11428.26949.02971.114466.02871.0)(------+-+-++--=z z z z z z z H 2112570.09972.016303.08557.1---+--+z z z请采用并联型结构实现该系统。
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
5 第五章_数字滤波器结构-2
8 16 20 z 1 H ( z ) 16 1 1 0.5z 1 z 1 0.5z 2
将上式中的每一部分画成直接型结构，再进行并联，最 后得到IIR并联型结构如图所示。
8 16 20 z 1 H ( z ) 16 1 1 0.5z 1 z 1 0.5z 2
1 1 1 1将上式写成来自面形式:式中1 0.3z 1 1 0.4 z 1 H ( z) H1 ( z ) H 2 ( z ) 1 1 1 0.6 z 1 0.5z
1 0.3z 1 1 0.4 z 1 H1 ( z ) , H 2 ( z) 1 1 0.6 z 1 0.5z 1
这里H1(z)和H2(z)分别是IIR一阶网络，将它们进行级 联, 得到级联型网络结构。
1 0.3z 1 1 0.4 z 1 H ( z) H1 ( z ) H 2 ( z ) 1 1 1 0.6 z 1 0.5z
x (n ) z－ 1 0.6 x (n ) z－ 1 0.6 0.4 (b ) z－ 1 0.3 (a ) y (n ) z－ 1 y (n )
[例] 设IIR数字滤波器差分方程为
y ( n) 8 x ( n) 4 x ( n 1) 11x ( n 2) 2 x ( n 3) 5 3 1 y (n 1) y (n 2) y (n 3) 4 4 8
试用四种基本结构实现此差分方程。 解 对差分方程两边取z变换，得系统函数
1
1
2
• 上式中的第一部分是IIR一阶网络，它的系数决定一对 零极点； 第二部分是 IIR 二阶网络，它决定一对零点 和一对极点。这两部分相互级联起来，构成IIR级联型 网络结构。
数字信号处理课件(第五章 数字滤波器的基本结构)
和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两 合并得到实系数的二阶网络，则有
F Ai 0i 1i z 1 H ( z) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 (5-8) i 1 i 1 E
M 1
b
M
a
a
N 1
N
图 5-4 直接Ⅰ型结构
y (n N 1) 1 z y (n N )
第5章 数字滤波器的基本结构
5.2.2 直接Ⅱ型
直接Ⅱ型结构又称为典范型结构。由图5-4，直接Ⅰ型结构
的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入
信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把 y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即
若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其结构 如图5-5示。
输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量
y2 (n) ai y2 (n i ) x(n )
i 1
N
然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n)
y (n) bi y2 (n i )
z－1 x(n－N)
z－1 y(n－N)
图 5-4 直接Ⅰ型结构
…
第5章 数字滤波器的基本结构
x(n) a1 a2 z－1 z－1
y2 (n) y2 (n－1) y2 (n－2) z－1 z－1
b0 b1 b2
y(n)
… … …
b N－1 bN z－1
…
a N－1
…
－1 aN z
图 5-5 直接Ⅰ型的变形结构
对应的差分方程为
F Ai 0i 1i z 1 H ( z) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 (5-8) i 1 i 1 E
M 1
b
M
a
a
N 1
N
图 5-4 直接Ⅰ型结构
y (n N 1) 1 z y (n N )
第5章 数字滤波器的基本结构
5.2.2 直接Ⅱ型
直接Ⅱ型结构又称为典范型结构。由图5-4，直接Ⅰ型结构
的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入
信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把 y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即
若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其结构 如图5-5示。
输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量
y2 (n) ai y2 (n i ) x(n )
i 1
N
然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n)
y (n) bi y2 (n i )
z－1 x(n－N)
z－1 y(n－N)
图 5-4 直接Ⅰ型结构
…
第5章 数字滤波器的基本结构
x(n) a1 a2 z－1 z－1
y2 (n) y2 (n－1) y2 (n－2) z－1 z－1
b0 b1 b2
y(n)
… … …
b N－1 bN z－1
…
a N－1
…
－1 aN z
图 5-5 直接Ⅰ型的变形结构
对应的差分方程为
数字滤波器的基本结构
N 1
1 2 cos( 2 )z 1 z 2
N 1
实系数频率取样型结构流图
x[k] zN
1/N y[k]
1
z1
1
2 cos( 2 ) z1
N
1
z1 2 cos( 2 )
N
优点：1. H[m]零点较多时，实现较为简单。
2. 可以构成滤波器组，实现信号的频谱分析。
k 0
x[k]
z 1
z 1
z 1
1
1
1
z 1
z 1
1 z 1
z 1 1
h[0]
h[1]
h[2]
y[k]
h[ M 3] h[ M 1]
2
2
相同系数的共用乘法器，只需(M+1) /2个乘法器
三、 FIR 数字滤波器的级联型结构
将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘
第5章 数字滤波器的基本结构
IIR数字滤波器的基本结构 FIR数字滤波器的基本结构 格型结构
IIR数字滤波器的基本结构
直接型结构 级联型结构 并联型结构
一、IIR数字滤波器的直接型结构
Y (z)
M
bi z i
H2(z) W (z)
H(z)
i0 N
1 a j z j
第 p-1阶
e bp2 [k ]
e1f [k]
e0f [k]
第1阶
e1b [k ]
e0b [k ]
cp
c p1
c p2
c1
图中的方框是如下基本格型单元
c0 y[k]
e
f p
[k
]
e
1 2 cos( 2 )z 1 z 2
N 1
实系数频率取样型结构流图
x[k] zN
1/N y[k]
1
z1
1
2 cos( 2 ) z1
N
1
z1 2 cos( 2 )
N
优点：1. H[m]零点较多时，实现较为简单。
2. 可以构成滤波器组，实现信号的频谱分析。
k 0
x[k]
z 1
z 1
z 1
1
1
1
z 1
z 1
1 z 1
z 1 1
h[0]
h[1]
h[2]
y[k]
h[ M 3] h[ M 1]
2
2
相同系数的共用乘法器，只需(M+1) /2个乘法器
三、 FIR 数字滤波器的级联型结构
将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘
第5章 数字滤波器的基本结构
IIR数字滤波器的基本结构 FIR数字滤波器的基本结构 格型结构
IIR数字滤波器的基本结构
直接型结构 级联型结构 并联型结构
一、IIR数字滤波器的直接型结构
Y (z)
M
bi z i
H2(z) W (z)
H(z)
i0 N
1 a j z j
第 p-1阶
e bp2 [k ]
e1f [k]
e0f [k]
第1阶
e1b [k ]
e0b [k ]
cp
c p1
c p2
c1
图中的方框是如下基本格型单元
c0 y[k]
e
f p
[k
]
e
数字滤波器的结构
aN 1
y n
z 1
b2
b1
x n
z
1
z
1
z
a1 a0
1
aN
z
1
z
1
z
1
x n 1
b1 b2
bN 1
y n 1
z
1
aN 1
y n
x n
系数aibi 存储器
y n
z 1
z 1
运算器
z 1 z 1
输 出 寄 存 器
z 1
控制器 图5.1 硬件结构数字滤波器
z 1
4
第五章 数字滤波器的结构
同样这个运算也可以在 通用计算机上实现。 以一阶数字滤波器为例：
x 1 0 y 1 0
输入a0 b1 {x(n)}
8
第五章 数字滤波器的结构
x n (1) 直接型 一个N阶IIR滤波器的传递函数可 x n 1 以表达为
a0
z 1 z 1
y n
a1
a2
b1
b2
z 1 z 1
y n 1
y n 2
H ( z)
a z
i 0 i N i 1
N
1
x n 2
② a ⑥ b ⑤ 1 1
图5.5一阶数字滤波器的信号流图表达
可以看到，用信号流图表达数字网络的结构可以更简洁，我们在下面 将普遍采用信号流图的办法来分析数字滤波器的结构。
7
第五章 数字滤波器的结构
运算结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性 以及运算速度等许多重要的性能。对于无限长单位脉冲响应(IIR)滤 波器与有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器，它们在结构上各自有自己 不同的特点，下面将对它们分别加以讨论。
y n
z 1
b2
b1
x n
z
1
z
1
z
a1 a0
1
aN
z
1
z
1
z
1
x n 1
b1 b2
bN 1
y n 1
z
1
aN 1
y n
x n
系数aibi 存储器
y n
z 1
z 1
运算器
z 1 z 1
输 出 寄 存 器
z 1
控制器 图5.1 硬件结构数字滤波器
z 1
4
第五章 数字滤波器的结构
同样这个运算也可以在 通用计算机上实现。 以一阶数字滤波器为例：
x 1 0 y 1 0
输入a0 b1 {x(n)}
8
第五章 数字滤波器的结构
x n (1) 直接型 一个N阶IIR滤波器的传递函数可 x n 1 以表达为
a0
z 1 z 1
y n
a1
a2
b1
b2
z 1 z 1
y n 1
y n 2
H ( z)
a z
i 0 i N i 1
N
1
x n 2
② a ⑥ b ⑤ 1 1
图5.5一阶数字滤波器的信号流图表达
可以看到，用信号流图表达数字网络的结构可以更简洁，我们在下面 将普遍采用信号流图的办法来分析数字滤波器的结构。
7
第五章 数字滤波器的结构
运算结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性 以及运算速度等许多重要的性能。对于无限长单位脉冲响应(IIR)滤 波器与有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器，它们在结构上各自有自己 不同的特点，下面将对它们分别加以讨论。
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0
-1
y n
C
Y
1
1
设连接节点Xi和Yj的支路XjXi的支路传输为tji,则节点变量的值为
X Xt
i j i
ji
X
Z-1
1
c d
X
3X0来自bae
f
X
X
2
4
X z X
1 1 2 0
0
X aX bX eX
1
3
X cX dX fX
3 1 2
3
X X
4
2
5.2.2 信号流图的简化
数字滤波器的分类
递归型和非递归型
数字滤波器的性能
一个确定的滤波器有其确定的差分方程，也就有确定的 单位取样响应和确定的系统函数H（z）；但对同一系统 函数H(z)的实现却可以有不同的实现方法，画出不同的 算法结构。
性能的研究
不仅要研究系统函数，而且要研究各种不同的算法结构， 信号流图是表示算法结构直观而有效的方法，可以看到 系统运算的步骤，乘法、加法的运算次数及所用存储单 元的多少等。
1 1 2 2 1 2 2 1 3 2 3 4 4 3 3 4 5 5 4 4
5
X G X G X H X H X X 0 X X G X 0 H X X G X 0 H X X 0
1 2 2 1 5 1 2 1 2 2 3 3 4 3 3 4 4 5 4 4 5
操作步骤：
（1）找出流图中所有的环路；
(2) 找出每两个、三个、……不相接触的环路；
（3）写出Δ ； （4）找出由源点到所求节点的所有通路； （5）找出与此通路不接触的单个、每两个互不接触的、每三个互 不接触的环路,写出gi和Δi； （6）代人mason 公式求解系统函数。
-Y2
Vg Y2 1 I2
5
2
G 0 0 H 1 0 0 1 1 G 0 0 H 0
3
X 0 X 0
5
1 H H 0 0 0
1 2
G H 1
2 1
0 0
0 0
3
G H 0
1
1
3
0 0
1 H
4
0 0
1 0 0
1 G H 1
3
0 G
4
0
H
4
1
所以
X YX
5 5 5
Y X H X X
Z1 2 6
2
13 V1
Z1
Y 12 I 1 3
1
R4 4 10 -G3 11
V
V4
G3
5
Z
V6 Z 7 -G3 1 I
8
9 -G3
R4
(1)所有环路
（2）两两不相接触的环路，三个或三个以上…… a和b b和c 0 0 0
a. 2,13 b. 10,11 c. 3,12 d. 8,9 e. 6,7,8,13 f. 8,3,4,11
-Y2
Vg
接触的环路传输乘积之和）
Y2
1 I2 Z1 2 6
2
13 V1
Z1
Y 12 I 1 3
1
R4
4 10 -G3
V
V4
G3
5
Z
V6 Z 7 -G3 1
8
9 -G3
R4 11
I 图5.11 一个电路网络的信号流图
mason公式的应用
求信号流中任一节点与源点之间的传输函数（系统函数）
5 5
1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 3 2 2 4 4
H
HHHH 1 H G H G H G G H H H H G H G H G H G
2 2 3 3 4 4
5.2.4 Mason formula
通路传输：通路边界间各支路传输之积。 环路传输：绕环路一周各支路传输之积。 不接触：两条环路间或两个环路间或一通路与一 环路间无公共节点。 Mason formula：从源点到汇点的传输函数（系 统函数）为
1.支路的合并：相加和相乘
a X1 b X2 X1 a+b X2
X1
a X2
b
ab
X3
X1
X3=bX2=abX1
2.节点的吸收
X3 b a X1 c X2 X4 ab X3
X1
ac X4
3.自环的消除
X bX baX cX
3 2 1
3
X3
X
3
ab X 1 bc
X1
1
a X1 X2
如图可见，Y=X5，所以只需求得X5即可，可由克莱姆法则求解。
Gramer law
第i个未知 数的值
X
i
Δ中第i列换做 常数项列而得到 的行列式
i
方程组系数行 列式
行列式的值： 等于其任一行（列）的元素与其 对应代数余子式乘积之和
因此有
YX
5
2
5
1 其中 H H 0
Z-1 a (a) 图5.12 信号流图的转置 a (b)
c
X(z) Y(z)
c Z-1
Y(z) X(z)
上图中（a) 和（b）的传输函数分别为
H ( z) Y ( z) c X ( z ) 1 acz
1
H ( z )
Y ( z) c X ( z ) 1 acz
1
可见，转置后的流图和原流图有相同的传输函数。 一个系统的传输函数有不同的形式，对应不同的信号流图结构， 又对应与之等效的转置流图，也就是说对于同一个系统有各种不同的 实现方案。
乘法器、加法器 及延时器的数目 灵敏度 性能
数学运算的 复杂程度
实现 方案
5.3 IIR数字滤波器的结构
概述:
许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都 要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广 泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列 通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方 法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。 可以分为 IIR（Infinite Impulse Response）和 FIR （ Finite Impulse Response）。 IIR数字滤波器都是递归 型的，而FIR数字滤波器一般是非递归型的，当也可以用 递归算法来实现。
构成一个横向结构网络。 第二部分是一个对输出y(n)的N阶延时链的横向
结构网络，是由输出到输入的反馈网络。该结构的实现需结构需要M+N个 延时器和M+N+1个乘法器；当M=N时，需要2N个延时器和2N+1个乘法器。
无反馈网络 实现了滤波器的零点
应用mason公式可以得到其系统函数
5.3.1 直接型
IIR数字滤波器的差分方程的一般形式
y(n) a x(n 1) b y(n i)
i 0 i i 1 i
M
N
求双边Z变换
Y z a z X z b z Y z
M i N i i 0 i i 1 i
第一部分是一个对输入x(n)的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，
g H
i
i
1.代数方程法
H1 X X1 -G2 H2 X2
-G1
-G3
X3 H3 X 4
H4 X5 -G4
Y
图5.10 一个X为源点，Y为汇点的信号流图
X H X G X G X X H X X X G X X H X G X X H X
g G Z Y R G R ; 1 g Y Z G R Z Y G R ; 1
4 3 1 1 4 3 4 4 5 2 1 3 4 1 2 3 4 5
与通路A不接触的环路有a和b，而这两环路相互接触；与通路C接触的有 b,其他通路都没有不接触的环路。
得到
一个数字滤波器的实现需要三个基本的运算单元——加法器、 单位延时器和常数乘法器。这些基本单元有如下两种表示方 法——方框图法和信号流图法
基本运算的方框图及流图表示
有关术语和规则
节点 支路—权值（传输） a 源节点（输入节点） 汇点（输出节点） xn Z B X 混合节点 a A 开路径（通路） b 自环（环路） 节点变量的值（流入节点全部信号的叠加）
5.2 数字网络的信号流图
5.2.1 信号流图及其表示法
信号流图：由连接点的有效分支构成的网络，是表示信号流通过的几 何图形。可由系统的方框图或系统的线性代数方程得到。
a
x n
0
+
A
b
1
Z-1
B
a
1
+
y n
a
x n
0
Z-1
B
a
1
y n
A
b
1
C
图 5.1数字网络
图5.2 对应5.1的信号流图
1 3 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 4 2 4 2
g Y Z G R G R ; 1 Y Z 1
3 2 2 3 4 3 4 3 1 1
g Y Z G Z Y R G R ; 1
6 2 2 3 1 1 4 3 4 6
4
(4) 由Vg到V的所有通路及对应gi和Δ i值
A.5,10
B.1,2,3,4, C.1,6,7,10 D.5,8,3,4 E.1,2,9,10 F.1,6,7,8,3,4
-1
y n
C
Y
1
1
设连接节点Xi和Yj的支路XjXi的支路传输为tji,则节点变量的值为
X Xt
i j i
ji
X
Z-1
1
c d
X
3X0来自bae
f
X
X
2
4
X z X
1 1 2 0
0
X aX bX eX
1
3
X cX dX fX
3 1 2
3
X X
4
2
5.2.2 信号流图的简化
数字滤波器的分类
递归型和非递归型
数字滤波器的性能
一个确定的滤波器有其确定的差分方程，也就有确定的 单位取样响应和确定的系统函数H（z）；但对同一系统 函数H(z)的实现却可以有不同的实现方法，画出不同的 算法结构。
性能的研究
不仅要研究系统函数，而且要研究各种不同的算法结构， 信号流图是表示算法结构直观而有效的方法，可以看到 系统运算的步骤，乘法、加法的运算次数及所用存储单 元的多少等。
1 1 2 2 1 2 2 1 3 2 3 4 4 3 3 4 5 5 4 4
5
X G X G X H X H X X 0 X X G X 0 H X X G X 0 H X X 0
1 2 2 1 5 1 2 1 2 2 3 3 4 3 3 4 4 5 4 4 5
操作步骤：
（1）找出流图中所有的环路；
(2) 找出每两个、三个、……不相接触的环路；
（3）写出Δ ； （4）找出由源点到所求节点的所有通路； （5）找出与此通路不接触的单个、每两个互不接触的、每三个互 不接触的环路,写出gi和Δi； （6）代人mason 公式求解系统函数。
-Y2
Vg Y2 1 I2
5
2
G 0 0 H 1 0 0 1 1 G 0 0 H 0
3
X 0 X 0
5
1 H H 0 0 0
1 2
G H 1
2 1
0 0
0 0
3
G H 0
1
1
3
0 0
1 H
4
0 0
1 0 0
1 G H 1
3
0 G
4
0
H
4
1
所以
X YX
5 5 5
Y X H X X
Z1 2 6
2
13 V1
Z1
Y 12 I 1 3
1
R4 4 10 -G3 11
V
V4
G3
5
Z
V6 Z 7 -G3 1 I
8
9 -G3
R4
(1)所有环路
（2）两两不相接触的环路，三个或三个以上…… a和b b和c 0 0 0
a. 2,13 b. 10,11 c. 3,12 d. 8,9 e. 6,7,8,13 f. 8,3,4,11
-Y2
Vg
接触的环路传输乘积之和）
Y2
1 I2 Z1 2 6
2
13 V1
Z1
Y 12 I 1 3
1
R4
4 10 -G3
V
V4
G3
5
Z
V6 Z 7 -G3 1
8
9 -G3
R4 11
I 图5.11 一个电路网络的信号流图
mason公式的应用
求信号流中任一节点与源点之间的传输函数（系统函数）
5 5
1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 3 2 2 4 4
H
HHHH 1 H G H G H G G H H H H G H G H G H G
2 2 3 3 4 4
5.2.4 Mason formula
通路传输：通路边界间各支路传输之积。 环路传输：绕环路一周各支路传输之积。 不接触：两条环路间或两个环路间或一通路与一 环路间无公共节点。 Mason formula：从源点到汇点的传输函数（系 统函数）为
1.支路的合并：相加和相乘
a X1 b X2 X1 a+b X2
X1
a X2
b
ab
X3
X1
X3=bX2=abX1
2.节点的吸收
X3 b a X1 c X2 X4 ab X3
X1
ac X4
3.自环的消除
X bX baX cX
3 2 1
3
X3
X
3
ab X 1 bc
X1
1
a X1 X2
如图可见，Y=X5，所以只需求得X5即可，可由克莱姆法则求解。
Gramer law
第i个未知 数的值
X
i
Δ中第i列换做 常数项列而得到 的行列式
i
方程组系数行 列式
行列式的值： 等于其任一行（列）的元素与其 对应代数余子式乘积之和
因此有
YX
5
2
5
1 其中 H H 0
Z-1 a (a) 图5.12 信号流图的转置 a (b)
c
X(z) Y(z)
c Z-1
Y(z) X(z)
上图中（a) 和（b）的传输函数分别为
H ( z) Y ( z) c X ( z ) 1 acz
1
H ( z )
Y ( z) c X ( z ) 1 acz
1
可见，转置后的流图和原流图有相同的传输函数。 一个系统的传输函数有不同的形式，对应不同的信号流图结构， 又对应与之等效的转置流图，也就是说对于同一个系统有各种不同的 实现方案。
乘法器、加法器 及延时器的数目 灵敏度 性能
数学运算的 复杂程度
实现 方案
5.3 IIR数字滤波器的结构
概述:
许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都 要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广 泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。 数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数字序列 通过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列。实现方 法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。 数字滤波器——线性时不变系统。 可以分为 IIR（Infinite Impulse Response）和 FIR （ Finite Impulse Response）。 IIR数字滤波器都是递归 型的，而FIR数字滤波器一般是非递归型的，当也可以用 递归算法来实现。
构成一个横向结构网络。 第二部分是一个对输出y(n)的N阶延时链的横向
结构网络，是由输出到输入的反馈网络。该结构的实现需结构需要M+N个 延时器和M+N+1个乘法器；当M=N时，需要2N个延时器和2N+1个乘法器。
无反馈网络 实现了滤波器的零点
应用mason公式可以得到其系统函数
5.3.1 直接型
IIR数字滤波器的差分方程的一般形式
y(n) a x(n 1) b y(n i)
i 0 i i 1 i
M
N
求双边Z变换
Y z a z X z b z Y z
M i N i i 0 i i 1 i
第一部分是一个对输入x(n)的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，
g H
i
i
1.代数方程法
H1 X X1 -G2 H2 X2
-G1
-G3
X3 H3 X 4
H4 X5 -G4
Y
图5.10 一个X为源点，Y为汇点的信号流图
X H X G X G X X H X X X G X X H X G X X H X
g G Z Y R G R ; 1 g Y Z G R Z Y G R ; 1
4 3 1 1 4 3 4 4 5 2 1 3 4 1 2 3 4 5
与通路A不接触的环路有a和b，而这两环路相互接触；与通路C接触的有 b,其他通路都没有不接触的环路。
得到
一个数字滤波器的实现需要三个基本的运算单元——加法器、 单位延时器和常数乘法器。这些基本单元有如下两种表示方 法——方框图法和信号流图法
基本运算的方框图及流图表示
有关术语和规则
节点 支路—权值（传输） a 源节点（输入节点） 汇点（输出节点） xn Z B X 混合节点 a A 开路径（通路） b 自环（环路） 节点变量的值（流入节点全部信号的叠加）
5.2 数字网络的信号流图
5.2.1 信号流图及其表示法
信号流图：由连接点的有效分支构成的网络，是表示信号流通过的几 何图形。可由系统的方框图或系统的线性代数方程得到。
a
x n
0
+
A
b
1
Z-1
B
a
1
+
y n
a
x n
0
Z-1
B
a
1
y n
A
b
1
C
图 5.1数字网络
图5.2 对应5.1的信号流图
1 3 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 4 2 4 2
g Y Z G R G R ; 1 Y Z 1
3 2 2 3 4 3 4 3 1 1
g Y Z G Z Y R G R ; 1
6 2 2 3 1 1 4 3 4 6
4
(4) 由Vg到V的所有通路及对应gi和Δ i值
A.5,10
B.1,2,3,4, C.1,6,7,10 D.5,8,3,4 E.1,2,9,10 F.1,6,7,8,3,4