第9章 弯曲内力

解：1. 求约束力
Me FA l
Me , FB l

2. 列剪力方程和弯矩方程 此简支梁的两支座之间 无集中荷载作用，故作用于 AC段梁和BC段梁任意横截
FS(x) x
面同一侧的集中力相同，从
而可知两段梁的剪力方程相 同，即
FS(x)
M x
x
M x
Me FS x FA l
F (c)
M
FS FRB
剪力、弯矩符号的规定
FS FS FS (a) (b) FS M M M M
(a)
(b)
1．剪力符号规定 截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动 的趋势则为正，反之为负。 2．弯矩符号规定 截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受 拉为正，反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为 负。
FS ( x) q( x)dx FS ( x) dFS ( x) 0
整理后得
dFS ( x) q ( x) dx
几何意义为：剪力图上某点处的切线斜率等于该 点处荷载集度的大小。 又由
M
O
0
（矩心O为微段右侧截面的形心）得:
2
M ( x) dM ( x) M ( x) FS ( x)dx q( x)dx dx 0
3.
(b)
(c)
如图b及图c。由图可见，在b > a的情况下，AC段梁在 Fb F 0<x<a的范围内任一横截面上的剪力值最大， S,max ； l 集中荷载作用处( x=a)横截面上的弯矩值最大，M max Fab。 l
4. 讨论 由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约
束力)作用处剪力图有突变，
FS 0
剪力方程是x的一次函数，所以剪 力图是一条倾斜直线段。 而两支座内侧截面上的剪力值最大，
FS, max ql 2
(0 x l )
(0 x l )
。
ql/2
0.5l (c) M图l 1 M ( x) FA x qx2 x qx2 2 2 2
第九章 梁的内力
§9-1 概述
§9-2 梁的内力及其求法
§9-3 内力图——剪力图和弯矩图 §9-4 荷载、剪力和弯矩间的关系
§9-5 叠加原理作剪力图和弯矩图
§9-1 概述
一、 弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线
的横向外力或外力偶作用。
变形特点： 杆件的轴线由直线变为曲线。
整理后得
dM ( x) FS ( x) dx
几何意义为：弯矩图上某点处的切线斜率等于该
点处剪力的大小。
由上两式可以得到
d 2 M ( x) q( x) 2 dx
(c) M图
例题9-4
图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁
F
a C B l
的剪力图和弯矩图。
A FRA
，
x
b
FRB
解：1. 求约束力
FRA
b F l
FRB
a F l
2.
列剪力方程和弯矩方程
此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横 截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力 方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。 对于AC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为 b FS ( x) F (0 x a) l
面上的弯矩绝对值最大， Mb 为 M max e （负值)。弯 l 矩图在集中力偶作用处有突
变，也是因为集中力偶实际 上只是作用在梁上很短长度
范围内的分布力矩的简化。
§9-4 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系
1. M(x)、FS(x)、q(x)间微分关系导出
q(x) q(x) F FS(x)
A
B
二、内力计算
F m (a) A x FRA m l B FRB
梁在截面m−m上内力可由脱离体的 平衡条件求得。根据左段梁的平衡条 件，由平衡方程：
F
y
0
FRA FS 0
可得
(b)
FRA F (c) FS
M
FS FRA
对截面m−m的形心O取矩
M
FS FRB
M
可得
O
0
FRA x M 0
（图d，e）
（4）梁的荷载
1）集中力。
作用在梁上某点的横向力，常用单位为N或kN。
Me F
2）集中力偶。
作用在梁轴线上某点处，且矩矢垂直于梁的 纵向对称平面（常用单位为Nm或kNm）。 3）分布力。
沿梁长度方向连续分布的横向力。分布 荷载的大小可用单位长度上的荷载，即荷 载集度q来表示，其常用单位为N/m或kN/m。
FS (a) F1 M (b) M FS M2 F2
M1
左端脱离体
右端脱离体
§9-3 梁的内力图
一、 列方程作内力图
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上剪力 和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力或弯 矩随截面位置的变化规律。
FS FS ( x)
M M (x)
例题9−2 图a所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布 荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
1 ql 1 M ( x) FA x qx2 x qx2 2 2 2 (0 x l )
（3）最后由内力方程作内力图。
（a）剪力图
q
FS ( x) FA qx
B l FRB
(a)
A x FRA ql/2
ql qx 2
(0 x l )
(b) FS图
FS ( x) FA qx ql qx 2
0 x l
至于两段梁的弯矩方程则不同：
AC段梁：
FS(x) x
M x
Me M x FA x x l
0 x a
CB段梁：
FS(x) x
M x
Me M x FA x M e x Me l M e l x a x l l
F2 FS M (b) F1
(a)
M
FS
左端脱离体
右端脱离体
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上
外力对该截面形心的力矩之代数和。 1） 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均 将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。 2）截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯 矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧 梁段上的外力偶引起的弯矩，其正负与之相反。
B
FRB D FSD MD B FRB
解得
FRB F 2
A
C FRC
FRC
3F 2
(d)
MD D FSD
（2）计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD
F
得
y
0
, FRC F FSD 0
F
FSD FRC F
F 2
(a)
A l/2
C
l/2 C FRC
D l/2
B
F
(b) A F
纵向对称面 F1 F2
A
B
FA
FB
梁：以弯曲为主要变形形式的构件称为梁。 梁的纵向对称面：梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组 成的平面。
二、工程实例
楼板
F F
梁 墙
（a） 楼板
（b） 传动轴
三、弯曲的分类
平面弯曲： 当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生弯曲 变形后，轴线也将保持在此对称平面内，梁的轴线 成为一条平面曲线，这种弯曲叫做对称弯曲，也称 为平面弯曲。（本章只解决平面弯曲问题） 非对称弯曲：
3. 作剪力图和弯矩图
Me FS x l
M x
0 x l
Me x l 0 x a
Me l x M x l a x l
如图可见，两支座之间 所有横截面上剪力相同，均 为 FS M e 。在b>a的情况 l 下，C截面右侧(x=a+)横截
x (a) A a FRA C
F B b
（3）最后由内力方程作内力图。
l
FRB
两段梁的剪力图各为一条平 行于梁轴线的直线段。
(b) FS图
在集中力作用处剪力图发生突变，并 且此突变值等于集中力的大小。 两段梁的弯矩图各为一条斜直线 段。由图可见，集中力作用处横截 面上的弯矩值为最大.
M max Fab l
若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有 纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，这种 弯曲统称为非对称弯曲。
四、 梁的计算简图
(1) 支座的基本形式
FRx FRy FRy
FRx M FRy
(a)可动铰支座
(b)固定铰支座
(c)固定端
(2) 梁的基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
(3) 静定梁和超静定梁 静定梁——在竖直荷载作用下，所示梁的内力和反力均可 由静力平衡方程求出。（图a，b，c） 超静定梁——内力和反力不能完全由静力平衡方程确定。
弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。 梁在梁跨中横截面上的弯矩值最大，为 M ql 2
max
8
例题9−3 图a所示的简支梁，在C点处受集中力F 的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
x (a) A F C l B b FRB
a
FRA
解：（1）画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡 方程求得
对于BC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为
b M ( x) Fx l
(0 x a )
b a FS ( x) F F F (a x l ) l l b a M ( x) Fx F ( x a) F (l x) (a x l ) l l