3.1 第2课时 函数的极值 课件(北师大版选修2-2)
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高二数学北师大版选修2-2(陕西专用)课件3.1.2 函数的极值
典例提升 2
求下列各函数的极值: (1)f(x)=x2· e-x; (2)y=
1+3������ 4+5������2
.
思路分析:按照求极值的方法,首先从方程 f'(x)=0 入手,求出函数 f(x)在 定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值.
探究一
探究二
探究三
解:(1)函数 f(x)的定义域为 R, f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=x(2-x)e-x, 令 f'(x)=0,得 x=0 或 x=2, 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
极大值 ↘
极小值 ↗
从上表可以看出: 当 x=-1 时,函数有极大值,且 f(-1)=10, 当 x=3 时,函数有极小值,且 f(3)=-22.
探究一
探究二
探究三
探究一求函数的极值点
一般地,求函数 y=f(x)的极值点的方法是: 解方程 f'(x)=0,当 f'(x0)=0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0,右侧 f'(x)<0,那么 x=x0 是极大值点. (2)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,那么 x=x0 是极小值点.
1
2
做一做 1
f'(x0)=0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 f'(x)=0 时,必须 f'(x)在 x0 的左右两侧异号才能在 x0 处取得极值; 反之,当函数 f(x)在 x0 处取得极值时,也可能 f(x)在 x0 处不存在导数,所以也 不一定有 f'(x0)=0. 所以 f'(x0)=0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的既不充分也不必要条件,故 选 D. 答案:D
北师版数学高二选修2-2课件 函数的极值
(2)函数的单调性与极值 ①如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是 增加 的，在区间(x0，b)上是_减__少__ 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. ②如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少 的，在区间(x0，b)上是_增__加__ 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
解答
命题角度2 含参数的函数求极值 例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；
解答
(2)讨论f(x)的极值. 解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值. 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
跟踪训练3 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在 原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
解答
(2)求函数的递减区间.
解 由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2). 由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0，2).
第三章 §1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的极值点和极值
思考1
观察y＝f(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值.
本课结束
答案
梳理 求函数极值点的步骤
(1)求出导数 f′(x)； (2)解方程 f′(x)＝0， (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号 (即f(x)的单调性)，确定极值点 . ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点 . ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点 . ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是 极值点.
数学北师大版高中选修2-23.1.2《函数的极值》课件(北师大版选修2-2)
f(x)=(x-a)2(x+b)ex,b∈R,x=a是f(x)的一个极大值点.求b的
取值范围.ห้องสมุดไป่ตู้
【解题提示】可利用函数取得极大值的条件，求 b的范围.
【解析】f′(x)=ex(x-a)［x2+(3-a+b)x+2b-ab-a］, 令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a, 则Δ=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0,
根据x1,x2列表分析f′(x)的符号和f(x)的单调性和极值点
由上表可知，函数图像的极大值点坐标为 (1,2), 即b=1,c=2,又ad=bc,所以ad=2.
3.（2010·湛江模拟）函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小
值，则(
(A)0<b<1 (C)b>0
)
(B)b<1 (D)b< 1
f′(x0)=0,则x0一定是极值点吗？判断函数
极值点还有哪些注意事项？
提示：（1）f′(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处取极值的必要而 不充分条件，只有再加上x0左、右两侧导数的符号相反，才能 判定在x=x0处取得极值,如f(x)=x3,f′(0)=0.但x=0不是极值 点. (2)在区间上的单调函数没有极值. （3）区间的端点不能成为极值点，函数的极值点一定出现在 区间的内部.
③当Δ=4-4k>0，即当0<k<1时，方程x2-2x+k=0有两个不相等 的实数根x1=1-1-k,x2=1+1-k. 当x∈(-∞,1- 1-k )时，g′(x)>0,故g(x)在(-∞,1- 1-k )上 是增加的； 当x∈(1- 1-k ,1+ 1-k )时，g′(x)<0，故g(x)在(1- 1-k, 1+ 1-k )上是减少的；
取值范围.ห้องสมุดไป่ตู้
【解题提示】可利用函数取得极大值的条件，求 b的范围.
【解析】f′(x)=ex(x-a)［x2+(3-a+b)x+2b-ab-a］, 令g(x)=x2+(3-a+b)x+2b-ab-a, 则Δ=(3-a+b)2-4(2b-ab-a)=(a+b-1)2+8>0,
根据x1,x2列表分析f′(x)的符号和f(x)的单调性和极值点
由上表可知，函数图像的极大值点坐标为 (1,2), 即b=1,c=2,又ad=bc,所以ad=2.
3.（2010·湛江模拟）函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小
值，则(
(A)0<b<1 (C)b>0
)
(B)b<1 (D)b< 1
f′(x0)=0,则x0一定是极值点吗？判断函数
极值点还有哪些注意事项？
提示：（1）f′(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处取极值的必要而 不充分条件，只有再加上x0左、右两侧导数的符号相反，才能 判定在x=x0处取得极值,如f(x)=x3,f′(0)=0.但x=0不是极值 点. (2)在区间上的单调函数没有极值. （3）区间的端点不能成为极值点，函数的极值点一定出现在 区间的内部.
③当Δ=4-4k>0，即当0<k<1时，方程x2-2x+k=0有两个不相等 的实数根x1=1-1-k,x2=1+1-k. 当x∈(-∞,1- 1-k )时，g′(x)>0,故g(x)在(-∞,1- 1-k )上 是增加的； 当x∈(1- 1-k ,1+ 1-k )时，g′(x)<0，故g(x)在(1- 1-k, 1+ 1-k )上是减少的；
2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第三章 函数的极值
当 x 变化时，y′，y 的变化情况见下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0－
0
＋
y
54
－54
∴当 x＝－3 时，y 有极大值，且 y 极大值＝54；当 x＝3 时，y 有极小值， 且 y 极小值＝－54.
探究二 已知函数极值求参数的值 [例 2] 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值 3. (1)求 a，b 的值；(2)求函数 y＝f(x)的极小值．
2．结论：如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的， 则___x_0____是极大值点，__f_(_x_0)___是极大值． 如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则___x_0____ 是极小值点，__f_(_x_0)___是极小值．
当 a>1 时，函数 f(x)在 x＝0 处取得极大值 1，在 x＝a－1 处取得极小值 1－(a－1)3.
极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状 和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的 思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本 解题策略是解决综合问题的关键．
[双基自测] 1．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析：导数为零的点不一定是极值点，如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x ＝0 不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有 多个极值点．
(教师用书)高中数学 3.1.2 第2课时 函数的极值同步课件 北师大版选修22
由表可知：x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极 小值点． f(x)极大值＝f(－1)＝10，f(x)极小值＝f(3)＝－22. (2)∵f(x)＝x2ex， ∴f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)． 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
1．2
函数的极值
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现函数的极值及极值点，探索求函数极 值的方法和步骤； (2)简单运用导数法求函数的极值及极值点．
2．过程与方法 通过对函数极值的发现和探究，培养学生发现数学规 律的思维方法与能力；通过对导数法求极值的探究和应 用，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想 方法． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对函数的极值的探究学习，经历数学探究活动 的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的 规律，培养探索精神和创新意识； (2)通过本节的学习和运用实践，体会导数在研究函数 性质中的价值，学习用数学的思维方式解决问题．
3a＋2b＋c＝0， 则 3a－2b＋c＝0，
1 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，解得a＝ ，b＝0，c＝ 2 3 － . 2
1 3 3 3 2 3 3 (2)f(x)＝ x － x，∴f′(x)＝ x － ＝ (x－1)(x＋1)． 2 2 2 2 2 当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增加的，在 (－1,1)上是减少的． ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1， 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 即x＝－1是极大值点，x＝1是极小值点．
《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)
例 9 求函数
f ( x) x 3 (6 x 7) 2的单调区间和极值
解 f(x)的一阶导数为
4x 10 x 7 f ( x) (6 x 7) 3 3 6x 7 6x 7 7 / 令f ( x) 0, 得驻点x1 . 10 7 7 又x2 时，f ( x)不可导，即x2 是不可导点。 6 6
b a
推论1: 若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
推论2：如果函数 f ( x)和g ( x) 在区间(a,b)内可导， x 有 f / ( x) g / ( x) 则在(a,b)内 且对于(a,b)中任意 f ( x)与g ( x)仅相差一个常数，即f ( x) g ( x) c ， 其中c为常数。
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
x ln(1 x) x ( x 0) . 例6. 证明不等式 1 x 证法1: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 ( x 1) 2 x 3 3
2 x 5 5 3 3 x
2 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 ;
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5 2 ( 5 , )
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
3.1.2 函数的极值 课件(北师大选修2-2)
(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图 像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[精解详析] 令f′(x)＝0，
(1)∵f′(x)＝3x2－3，
解得x1＝－1，x2＝1，
∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1<x<1时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间为(－1,1)． 当x＝－1时，f(x)有极大值3；
(1)对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数
为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝
x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． (2)可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0， 且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同． (3)若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，
(1)按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端 点a，b. (2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立 即可． (3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一．
(4)在区间上单调的函数没有极值．
[例1]
求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； ln x (2)f(x)＝ x .
重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分
类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌 握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合 问题的关键．
7．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上是
2015-2016学年高中数学 第3章 1第2课时 函数的极值课件 北师大版选修2-2
1.下列结论中，正确的是(
)
A．导数为零的点一定是极值点 B ．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么 f(x0) 是
极大值
C ．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么 f(x0) 是 极小值 D ．如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0) 是 极大值
[ 解析]
lnx 求函数f(x)＝ x 的极值． lnx 函数f(x)＝ x 的定义域为(0，＋∞)，
1－lnx 由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝ x2 . 解方程f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f ( x)
(0，e) ＋
e 0 极大值
函数极值的逆向问题 函数f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知x＝－2和x＝ 1为f(x)的极值点．
(1)求a和b的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
[ 解析]
(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x
＋2)＋x(3ax＋2b)， 又x＝－2和x＝1为f(x)的极值点， 所以f′(－2)＝f′(1)＝0.
号，如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左 负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值，如果左右都是正， 或者左右都是负，那么f(x)在这个根处无极值．
8 求函数y＝2x＋ x 的极值，并结合单调性、极值作出该函数 的图像．
[ 分析] 利用函数求极值的步骤：(1)先求函数的定义域；
[分析]
给出了y＝f ′(x)的图象，应观察图象找出使f ′(x)>0
优课系列高中数学北师大版选修22 3.1.2函数的极值 课件(16张)
答案：f(x)2x39x12 x
注意数 形结合
1、极值定义 ①可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0 . ②极值点左右两边的导数必须异号.
2、求极值的3个步骤 ①确定定义域 ②求f′(x)=0的根 ③列表判断
教师寄语
人的一生不可能是一帆风顺的，当 你正在经受磨难的时候，相信吧！愉快 的日子正向你走来！
吗？
注意
1、极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。 2、极值是一个局部概念。 3、函数的极值不一定是唯一的。 4、函数的极大值不一定大于极小值。 5、函数在极值点处的导数值为0。
（二）、极值与导数的关系
极大值与导数之间的关系
X
X1左侧
X1
f x
fx0
fx0
f x
极大植f(x1)
极小值与导数之间的关系
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
【数学】3.1.2 函数的极值 课件(北师大版选修2-2)
第三章 导数应用 3.1.2 函数的极值
复习:
利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f (x ) ;
③解不等式 f ( x ) >0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究 函数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) f(x)
+ ↗
0 极大值-2a
↘
↘
0 极小值2a
+ ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
/ 2
/
2
当x变化时， ( x )、f ( x )的符号状态如下： f
(-∞,-1)
f/(x) f(x) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
减
0 1
减
0 0
增
+
0 1
(1,+ ∞)
增
+
导数为零的点不一定是极值点！
x=-1, x=0,x=1;
y fx = x2-13+1
-1
O
1
x
x=0是函数极小值点y=0.
2.函数的极值注意事项：
(1) 导数为零的点不一定是极值点！
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的
小区间而言的,在函数的整个定义域可能有 多个极大值或极小值, 不唯一!
复习:
利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f (x ) ;
③解不等式 f ( x ) >0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究 函数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题.
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) f(x)
+ ↗
0 极大值-2a
↘
↘
0 极小值2a
+ ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a. 说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明 极值与最值是完全不同的两个概念.
/ 2
/
2
当x变化时， ( x )、f ( x )的符号状态如下： f
(-∞,-1)
f/(x) f(x) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
减
0 1
减
0 0
增
+
0 1
(1,+ ∞)
增
+
导数为零的点不一定是极值点！
x=-1, x=0,x=1;
y fx = x2-13+1
-1
O
1
x
x=0是函数极小值点y=0.
2.函数的极值注意事项：
(1) 导数为零的点不一定是极值点！
(2)函数的极值是就函数在某一点附近的
小区间而言的,在函数的整个定义域可能有 多个极大值或极小值, 不唯一!
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f′(x)＝0 (3)对于方程_______________ 的每一个解 左、右两侧 x0，分析 f′(x)在x0_______________的符 号(即f(x)的单调性)，确定极值点： “左正右负” ①若f′(x)在x0两侧的符号 ______________ ，则x “左负右正” 0为极大值点； ②若f′(x)在x0两侧的符号 ________________ ，则 x0为极小值点； 相同 ③若f′(x)在x0两侧的符号___________， 则x0不是极值点．
8 求函数 y＝2x＋x的极值，并结合单调性、极值作出该函数 的图像．
[ 分析] 利用函数求极值的步骤：(1)先求函数的定义域；
(2)求导数 f′(x)；(3)求方程 f′(x)＝0 的根；(4)检查 f′(x)在方 程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根 处取得极大值，如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小 值．
知能自主梳理
1．如图所示，在包含x0的一个区间(a，b) 内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大 于x0点的函数值，称点 x0为函数y＝f( x)的 极大值点 极大值 ____________，其函数值f(x0)为函数的 ________．
图1
图2
如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内， 函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不小于x0 点的函数值，称点 x0为函数y＝f极小值 (x)的 极小值点 _________ ，其函数值f(x0)为函数的 极大值与极小值 _________． ___________________统称为极值，极大 值点与极小值点统称为极值点．
5．利用函数的导数求极值时，首先要确定 函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用 导数为零的点，将函数的定义域分成若干小 开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 开区间的符号．
思路方法技巧
利用导数求函数的极值
lnx 求函数 f(x)＝ x 的极值．
[ 解析]
lnx 函数 f(x)＝ x 的定义域为(0，＋∞)，
第三章
导数应用
第三章 §1 函数的单调性与极值
第三章 第2课时 函数的极值
1
知能目标解读
5
探索延拓创新
2
知能自主梳理
6
易错辨误警示
3
学习方法指导
7
课堂巩固训练
4
思路方法技巧
8
课后强化作业
知能目标解读
1．结合函数的图像，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件． 2．会用导数求有关函数的极值． 本节重点：利用导数的知识求函数的极值． 本节难点：函数的极值与导数的关系．
1－lnx 由导数公式表和求导法则得，f′(x)＝ x2 . 解方程 f′(x)＝0，得 x＝e.
当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0，e) ＋ e 0 极大值 (e，＋∞) －
1 故当 x＝e 时函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝e .
[点评] 讨论函数的性质要保持定义域优先 的原则，如本题若忽视了定义域，则列表时 易错将区间(0，e)写为(－∞，e)． 求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x)；第 二，令f′(x)＝0，求方程的根；第三，列表， 检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左 正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极 小值，如果左右都是正，或者左右都是负， 那么f(x)在这个根处无极值．
Байду номын сангаас
学习方法指导
1．正确理解极值的定义
如图所示，不难得出：曲线在极值点处切线 的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负，曲线在极小值点左侧切 线的斜率为负，右侧为正．
2．端点绝不是函数的极值点． 3．连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能 不止一个，也可能没有，函数的极大值与极 小值没有必然大小关系，函数的一个极小值 不一定比极大值小，极大值也不一定比极小 值大． 4．可导函数的极值点一定是它导数为零的 点，反之函数的导数为零的点，不一定是该 函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点 为极值点的必要条件，其充分条件是这点两 侧的导数异号．
[点评] (1)列表时应将定义域内的间断点 (如x＝0)考虑进去；(2)极大值不一定比极小 值大，这是因为极值是相对某一区间讨论的； (3)借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极 值、周期等)研究函数图像是重要手段．
函数极值的逆向问题
函数 f(x)＝x2ex－1＋ax3＋bx2，已知 x＝－2 和 x ＝1 为 f(x)的极值点． (1)求 a 和 b 的值； (2)讨论 f(x)的单调性．
增加 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，x 0)上是 ______ 的，在区间(x0，b)上是_____的， 减少 则x0是极大值点，f(x0)是极大值． 减少 如果函数 增加 y＝f(x)在区间(a，x0)上是_____的， 在区间(x0，b)上是_____的，则x0是极小值 点，f(x0)是极小值． 利用导数与函数单调性的关系，我们可以把 (a， ( x 0， . 极大值的问题通过下表表示出来 x x0 x 0) b) 0 f′(x) ＋ － y＝ 增加 极大 减少
[ 解析]
函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}．
8 y′＝2－x2，令 y′＝0，得 x＝± 2. 当 x 变化时，y′、y 的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) y′ y ＋ 0 －8 － － 0 8 ＋
因此当 x＝－2 时，y 取得极大值－8； 8 当 x＝2 时，y 取得极小值 8，由表易知 y＝2x＋x 的草图如 图所示．
极小值的问题通过下表表示出来. (a， ( x 0， x x0 x0) b) 0 f′(x) － ＋ y＝ 减少 极小 增加 f(x) 值
3.求函数极值点的步骤 一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函 数y＝f(x)的极值点： (1)求出导数f′(x)． f′(x)＝0 (2)解方程____________.