函数的极值 ppt课件1
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《函数极值》课件
三、求函数极值的步骤
y
o
x0
极值点
y
xo
x0
x
极值点
y
y
o
xo
极值点
x0
x
不是极值点
三、求函数极值的步骤
y
y
y
y
o
x0
xo
x0
xo
xo
x0
x
（1）求函数f(x)的定义域
(2) 求导数f/(x)，找出f(x)的所有驻点及导数不存在的点；
（3）用驻点及导数不存在的点划分定义域区间成若干子区间
判定导数f/(x)在每个区间的符号及函数在每个区间的单调性；
函数的极值及求法
问题引入：
在连绵群山之中，各个山峰 的顶端，虽然不一定是群山的最 高处，但它却是其附近所有点的 最高点．同样，各个谷底虽然不 一定是群山之中的最低处，但它 却是附近所有点的最低点．
一、函数的极值定义
y
我在这里哦！
ao
()
x0 b x
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点，如果 对x0附近的所有点x(x≠x0)，都有
（4）根据定理，判定驻点和导数不存在的点是否为极值点，从而 求出函数的极值。
练习题
函数y=1 +3x－x3有( D ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3
1.极值的定义： 2.y=f(x)在x0处有极值的判定： 3.求极值的步骤:
函数的极大值与极小值统称为极值， 极大值点与极小值点统称为极值点
思考
极大值一定大于极小值吗？
极值是对某一点附近的小区间而言的 极大值与极小值没有必然关系，极大 值可能比极小值小，如图所示。
《函数的极值和导数》课件
Part
05
导数的计算方法
导数的四则运算规则
01
加法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v-uv'}{v^2}$
复合函数的导数计算
最小成本问题
总结词
利用极值理论寻找最小成本
详细描述
在生产和经营活动中，也常常需要寻求最小成本。通过建立数学模型，利用函数的极值和 导数，可以找到使得成本最小的生产量、原材料采购量等决策变量。
实例
某公司需要采购原材料，每次采购的成本包括固定成本5万元和变动成本与采购量的比例 系数0.1万元/单位。求该公司的最小总成本。通过建立函数并求导，可以找到使得总成本 最小的采购量。
Part
03
极值在实际问题中的应用
最大利润问题
01
总结词
利用极值理论寻找最大利润
02 03
详细描述
在生产和经营活动中，常常需要寻求最大利润。通过建立数学模型，利 用函数的极值和导数，可以找到使得利润最大的生产量、价格等决策变 量。
实例
某公司生产一种产品，其固定成本为100万元，每生产一个单位的产品 ，成本为2万元，售价为5万元。求该公司的最大利润。通过建立函数并 求导，可以找到使得利润最大的产量。
Part
04
导数的几何意义
导数在平面上的表示
切线斜率
函数的极值-课件
函数的极值-PPT课件
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
这份PPT课件介绍了函数的极值，包括引言、函数的极值点、函数的极值定理、 函数的极值应用等内容。通过本课件，你将深入了解这一重要数学概念的定 义、分类和应用。
一、引言
函数的极值是指函数在特定范围内的最大值或最小值。本节将讨论函数的极 值的定义以及不同类型的极值。
二、函数的极值点
极大值点和极小值点的定义
极大值点是函数在某个范围内的最大值，极小值点是函数在某个范围内的最小值。
函数求极值的步骤
求函数的极值需要确定函数的驻点和临界点，并通过对函数求导来判断是极大值还是极小值。
三、函数的极值定理
第一极值定理
如果函数在某个区间内连续且可导，那么在这个区 间内一定存在至少一个极值点。
六、参考文献
1 数学分册
数学分册中关于函数和极 值的相关章节提供了更深 入的理论和应用。
2 数学课程
数学课程中有关函数极值 的教材和讲义提供了更详 细的学习材料。
3 数学学习资料
网络上有很多关于函数的 极值的学习资料，可以进 一步加深对这一概念的理 解。
第二极值定理
如果函数在某个区间内可导，并且在驻点处的导数 不等于零，那么这个驻点必定不是极值点。
四、函数的极值应用
数学实际问题中的应 用
函数的极值在物理、经济学等 领域中的实际问题中有着广泛 的应用，如求解最大利润、最 小费用等。
OA题型解析
函数的极值常出现在各类OA题 目中，掌握函数的极值求解方 法有助于解答相关题目。
PSAT、SAT、GRE题 型解析
函数的极值是PSAT、SAT、GRE 等考试中经常出现的题型，熟 悉函数的极值概念和求解方法 对应试有帮助。
五、总结
1 函数的极值常见考点
函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解：因为 = − − + , 所以′ = − −
令��′() = ，解得 = − ，或 = .
当变化时，′() ， 的变化情况如下表所示 .
x
(−∞, −)
′
+
y
单调递增
-1
(-1,3)
3
(, +∞)
0
-
0
+
单调递减
极小值
y
且 0 = 0 ，可知 d=0 .
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负.
O
x
又 ′ = 3 2 + 2 +
∴ a<0
且 = 0 是在增区间内，即f ′ 0 > 0,
则c>0,对称轴 −
b
2a
> 0,可知b>0
综上， a<0，b>0，c>0，d=0 .
总结
函数的极值
函数f(x)，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做
（2）如果在 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > ，那么( )是极小值.
课堂检测
判断正误
(1) 函数的极大值一定比极小值大．(
×)
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(
×
)
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧′ < ，右侧′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
y
a
O
令��′() = ，解得 = − ，或 = .
当变化时，′() ， 的变化情况如下表所示 .
x
(−∞, −)
′
+
y
单调递增
-1
(-1,3)
3
(, +∞)
0
-
0
+
单调递减
极小值
y
且 0 = 0 ，可知 d=0 .
∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负.
O
x
又 ′ = 3 2 + 2 +
∴ a<0
且 = 0 是在增区间内，即f ′ 0 > 0,
则c>0,对称轴 −
b
2a
> 0,可知b>0
综上， a<0，b>0，c>0，d=0 .
总结
函数的极值
函数f(x)，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做
（2）如果在 附近的左侧 ′ < ，右侧 ′ > ，那么( )是极小值.
课堂检测
判断正误
(1) 函数的极大值一定比极小值大．(
×)
(2) 对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(
×
)
(3) 函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(
′ = ；而且在点 x=a 附近的左侧′ < ，右侧′ > .
把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；
y
a
O
《函数极值》课件
详细描述
举例
考虑函数$f(x) = x^3$，其一阶导数 为$f'(x) = 3x^2$，在$x=0$处，一 阶导数由正变负，故函数在$x=0$处 取得极小值。
当一阶导数在某点的左右两侧由正变 负或由负变正时，函数在该点取得极 值。
二阶导数判定法
总结词
通过判断二阶导数的正负来判断 函数在某点的极值。
01
02
03
04
梯度下降法
通过计算目标函数的梯度，沿 着梯度负方向寻找最小值。
牛顿法
通过构造目标函数的Hessian 矩阵，求解方程组得到最优解
。
遗传算法
模拟生物进化过程的自然选择 和遗传机制，通过迭代搜索最
优解。
模拟退火算法
模拟固体退火过程的随机搜索 算法，能够在全局范围内找不同的分类标准，可以将极值分为两类。第一类极值 是相对较小的极值，而第二类极值则是相对较大的极值。
单侧极值和双侧极值
根据定义，单侧极值是指函数在某一点的左侧或右侧存在 单调性改变的极值点；而双侧极值则是指函数在某一点的 两侧都存在单调性改变的极值点。
02
极值的判定
一阶导数判定法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 在某点的极值。
在物理领域的应用
运动轨迹分析
在物理学中，极值原理可以用于分析物体的运动轨迹。例如，在分析行星的运动 轨迹时，可以利用极值原理确定行星在各个时刻的位置和速度。
能量最小化
在力学和电磁学等领域，极值原理可以用于寻找系统能量的最小值。例如，在分 析弹簧振荡器的运动时，可以利用极值原理确定振荡器的平衡位置和能量最小值 。
详细描述
当二阶导数在某点的左右两侧符号 相反时，函数在该点取得极值。
《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！
新教材高中数学第五章第1课时函数的极值pptx课件新人教A版选择性必修第二册
令 ′ = 0 ，解得 = 2 或 = 2 .
①当 = 1 时, 2 = 2 ，因此 ′ = − 2
2
≥ 0 ，故 在 上单调递增，函数不
存在极值.
角度2.含参数的函数求极值
②当 < 1 时, 2 < 2 ，当 变化时， , ′ 随 的变化情况如下表：
知识点1 函数极值的概念
>
/m
<
名师点睛
1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极
（1） =
解
2
;
e
函数 的定义域为 , ′ =
2
e
′ = 2 − e−
令 ′ = 0 ,得 2 − ⋅ e− = 0 ,解得 = 0 或 = 2 .
当 变化时, ′ , 的变化情况如下表:
0
2
-
0
0
单调递减
极小值0
个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一
般地,当函数 在区间 [, ] 上连续且有有限个极值点时,函数 在区间 [, ] 上的
极大值点\,极小值点是交替出现的.
过关自诊
1.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示 不一定.如图所示,
极大值 1 小于极小值 2 .
名师点睛
导数等于0的点不一定是极值点；反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,
①当 = 1 时, 2 = 2 ，因此 ′ = − 2
2
≥ 0 ，故 在 上单调递增，函数不
存在极值.
角度2.含参数的函数求极值
②当 < 1 时, 2 < 2 ，当 变化时， , ′ 随 的变化情况如下表：
知识点1 函数极值的概念
>
/m
<
名师点睛
1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
3.若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极
（1） =
解
2
;
e
函数 的定义域为 , ′ =
2
e
′ = 2 − e−
令 ′ = 0 ,得 2 − ⋅ e− = 0 ,解得 = 0 或 = 2 .
当 变化时, ′ , 的变化情况如下表:
0
2
-
0
0
单调递减
极小值0
个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一
般地,当函数 在区间 [, ] 上连续且有有限个极值点时,函数 在区间 [, ] 上的
极大值点\,极小值点是交替出现的.
过关自诊
1.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示 不一定.如图所示,
极大值 1 小于极小值 2 .
名师点睛
导数等于0的点不一定是极值点；反之,若函数可导,则极值点一定是导数等于0的点,
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
在 = 1处取得极小值，故D正确.
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
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易见x=±1不是它的极值点。
例2、求函数
的极值
f ( x) 3x 3x 1
2
分析：首先对函数求导，求得 f '( x) ，再求方程 的根，检查 f '( x) 0
f '( x在方程根左右的值的符号。如果 )
左正右负，那么 f ( x在这个根处取得极大 ) 值；如果左负右正，那么 f ( x )
在这个根处取得极小值。
解： 令 当
f '( x) 9 x2 3 3(3x2 1)
f '( x) 0 ，解得
x 变化时，
3 x1 3
3 x2 3
f '( x)
f ( x)
的变化情况如下表：
x
f ( x)
3 (, ) 3
3 3 3 ( , ) 3 3 3
②如图，观察分析可得出结论：若x=x0 是y=f(x)的一个驻点，且在x=x0两边一 阶导数f'(x)的符号不同，则y=f(x)在 x=x0取得极值(若y'左正右负，取极大值； 若y'左负右正取极小值)。
③求可导函数f(x)的极值的方 法： A.求导数f'(x)； B.令f'(x)=0，求出f(x)的驻点； C.检查f'(x)在驻点左右的符号， 判别是否取得极值。
3 3
3 ( , ) 3
f '( x) ＋
０
2 3 1 3
－
０
2 3 1 3
＋
极大值
极小值
因此，当
3 x 3
时，
2 3 1 3
f ( x) 有极大值，并且极大值为
3 当 x 时， 3
f ( x)
2 3 1 3
有极小值，并且极大值为
函数的极值
(1)定义：如果函数y=f(x)在点x0处连 续，并且x0不是其定义区间的端点， 若对x0附近的所有点x(x≠x0)都有f(x) ＜f(x0)(或f(x)＞f(x0))，我们就说函数 f(x)在点x0处取极大值(或极小值)，或 说f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极 小值)，其中点x0称为f(x)的极大点(或 极小点)．极大值与极小值统称极值， 相应的x0也称极值点。
(2)可导函数的极值。使y'=0的点， 是f(x)的驻点；①不难看出可导函 数y=f(x)在极值点处的切线与x轴 平行，即y'=0．所以，极值点一 定是它的驻点，但是可导函数的 驻点是否一定是它的极值点呢？;=3x2=0，知 x=0是它的驻点，但在图形中， 我们可以清楚地看到，x=0并 不是函数的极值点，所以可导 函数的驻点是极值点的必要而 不充分条件。
例1 求函数f(x)=(x2－1)3＋1的极值。 解：f'(x)=3(x2－1)2· 2x=6x(x＋1)2(x－1)2， ①令f'(x)=0 得x=－1，0，1
∴ 当x=0时，f(0)=0为函数的极小值。 ②若设y=f(x)、可以写成，当x=0，y极小 =0。 在此题中，我们看到x=±1是其驻点，并 不是极值点。我们来看它的图象：
注意：①极值点是函数f(x)定义域中 的内点，因而端点绝不是极值点；② 极值是个局部概念，是讨论f(x)在x0 及其邻域点的函数值的大小情况，所 以连续函数f(x)在其定义域上极值点 可能不止一个，函数的一个极小值也 不见得比它一个极大值小，当然有的 函数也不见得有极值。
如图，函数y=f(x)在[a，b]连续，易 见x1，x2，x3，x4，都是y=f(x)的极值 点，y=f(x)在x=x4取极小值，y=f(x)在 x=x1取极大值，但是f(x4)＞f(x1)。