天津市津南区2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试第三次适应性考试联考试卷-理数试题(含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试联考理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，若复数2i1im +-(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．3C ．1D ．1-【答案】C 【解析】复数()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i m m m ⨯++=+=-+--⨯+， 因为复数2i1im +-(m ∈R )是纯虚数，所以10m -=，解得1m =， 故选C ．2．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},2xB x y y ==，则集合AB 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】依题意，集合A B 中元素的个数，即2220212020x y +=与2xy =图象交点个数， 如图：所以一共有两个交点，所以集合AB 中元素的个数为2，故选C ．3．已知()()()()52501251121212x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则1a =（ ） A ．516B ．532C ．15D ．5【答案】B【解析】令12x t +=，则111122t t x -++=+=， 所以525012512t a a t a t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以541515C 232a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选B ． 4．如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，则容器中水的体积V 是水面高度x 的函数()V f x =，若正数a ，b 满足1a b +=，则()()f a f b +的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】A【解析】因为半径和高都是1，所以水的半径和高都是x ，2311()ππ33V f x x x x ==⋅=，因为1a b +=，所以1b a =-， 又a ，b 为正数，所以01a <<， 所以333232111()()ππ(1)π(122)333f a f b a a a a a a a a +=+-=+-+--+22111ππ3212a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当12a =时，()()f a f b +最小值为π12，故选A ． 5．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到组样本数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，则下列说法不正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+必经过样本中心点(),x yB ．相关指数2R 越大，残差的平方和越小，其模型的拟合效果越好C ．若线性回归方程为ˆ0.610yx =+，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.6个单位D ．相关系数r 越接近1，变量x ，y 相关性越强 【答案】D【解析】由定义知回归直线方程ˆˆˆybx a =+必经过样本中心点(),x y ，故A 正确； 由相关指数2R 的定义知，2R 越大模型拟合效果越好，由残差的平方和的定义知，残差的平方和越小模型的拟合效果越好，故B 正确； C 选项是回归直线方程的应用，故C 正确；相关系数r 的范围为11r -≤≤，由定义知r 越接近1，变量x ，y 相关性越强，故D 错误， 故选D ．6．在平行四边形ABCD 中，已知12DE EC =，12BF FC =，2AE =6AF =，则AC BD ⋅=（ ） A ．9- B ．92-C ．7-D ．72-【答案】B 【解析】∵12DE EC =，12BF FC =， ∴13AE AD DE AD AB =+=+，13AF AB BF AD AB =+=+，而2AE =6AF =，∴1=23AD AB +，1=63AD AB +， ∴2221239AD AD AB AB +⋅+=，2212693AD AD AB AB +⋅+=， 两式相减得2288499AD AB -=-，∴2292AD AB -=-， ∴()()2292AC BD AB AD AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-=-，故选B ． 7．函数()12ln 41x xxf x +⋅=+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由122ln ln ()4122x x xx xx f x +-==++，知()f x 为偶函数， (1)0f =，11221ln 4()0222f --=<+，故排除B 、C 选项； 44ln16(4)0.1722f -=≈+，55ln 25(5)0.1022f -=≈+，易知()f x 在随着x 增大过程中出现递减趋势，且趋近于x 轴，故A 正确， 故选A ．8．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()g x x =的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意知：()f x 的周期为2，关于1x =对称，且(2(2))()(2)()f x f x f x f x -+=-=+=，∴()f x 为偶函数，即可得()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 交于(1,1)-，(0,0)，(1,1)三点，故选C ．9．已知(2,0)A ，(0,1)B 是椭圆22221x y a b+=的两个顶点，直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若6ED DF =，则斜率k 的值为（ ） A ．38B ．23C ．38或23D ．34【答案】C【解析】由题可知，椭圆的方程为2214x y +=，直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =． 设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，其中12x x <，联立()222211444x y k x y kx⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩，故21x x =-=． 由6ED DF =，得()()01200212156677x x x x x x x x -=-⇒=+==． 由点D 在直线AB 上，得00022212x kx x k+=⇒=+，所以223242560128k k k k =⇒-+=⇒=+或23，故选C ．10．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><【答案】D 【解析】i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，29a a ∴+或者29a a 或者92a a 是该数列中的项， 又数列{}n a 是递增数列，1239a a a a ∴<<<<，299a a a ∴+>，299a a a >，只有92a a 是该数列中的项，同理可以得到93a a ，94a a ，，98a a 也是该数列中的项，且有99919872a a a a a a a a <<<<<， 955a a a ∴=，53a ∴=或53a =-（舍），63a ∴>， 根据11a =，53a =，99a =，同理易得1423a =，1233a =，3443a =，5463a =，3273a =，7483a =，94912914133613S a a a -∴=+++=<-，故选D ．11．已知函数()sin()0,02πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列四个结论： ①π4ϕ=；②93()2k k ω=+∈N ； ③02πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； ④直线3πx =-是()f x 图象的一条对称轴， 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】由题设，知()f x 关于π2x =轴对称，关于π(,0)6中心对称， ∴12πππ22ππ6k k ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，12(,)k k ∈Z ，即12ππ()π32k k ω=-+，1233()2k k ω=-+， ∴2131()π224k k ϕ=--， 又0ω>，0π2ϕ<<，即12k k ≥， 当12k =，21k =时，有π4ϕ=，此时92ω=，则9π()sin()24x f x =+， ∴π9πsin()02π44f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，而ππ3π5π()sin()sin 13424f -=-=-≠±， 故3πx =-不是()f x 图象的一条对称轴，故选B ． 12．在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、AD 的中点，则平面1D EF 与正方体1111ABCD A B C D -外接球的交点轨迹长度为（ ）A ． BC πD ．4π【答案】C【解析】如图所示，连接111,B D B E ，取11B D 的中点N ，EF 的中点M ，BD 的中点Q ，连接,,MN MQ NQ ，其中O 为正方体1111ABCD A B C D -的中心， 作OP MN ⊥，垂足为P ，因为NQ ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以NQ EF ⊥，因为四边形ABCD 为正方形且,E F 为,AB AD 的中点，,M Q 为,FE DB 的中点， 可得FE MQ ⊥， 又因为FE NQ ⊥，MQ NQ Q =，且,MQ NQ ⊂平面MNQ ，所以EF ⊥平面MNQ ，因为OP ⊂面MNQ ，所以EF OP ⊥， 又由OP MN ⊥，MNFE M =，且,MN FE ⊂平面11D B EF ，所以OP ⊥平面11D B EF ，因为面11D B EF 和面1D EF 是同一面，所以OP ⊥平面1D EF ，在直角MNQ △中，1MQ =，NQ =3MN =， 所以1sin 3MNQ ∠=，又因为ON =NPO △中，可得sin 3OP NO MNQ =⋅∠=， 由平面截球的轨迹为圆，其中P 是截面圆的圆心，O 为球心，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为OS =根据截面圆的性质，可得PS ==所以截面的周长为2πPS ⋅=C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．总体由编号为00，01，，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从下列随机数表第1行的第9列开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为_________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 3990 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35【答案】58【解析】由题意，从随机数表第1行的第9列数字0开始，从左到右依次选取两个数字的结果为00，18，00(舍去)，18(舍去)，38，58， 故选出来的第4个个体编号为58，故答案为58． 14．若5π4sin 85α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________． 【答案】725【解析】由5ππππ4sin sin cos 82885ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则2ππ167cos 22cos 121482525αα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为725．15．已知,x y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若(0)Z ax y a =+>的最大值是16，则a 的值为_________． 【答案】2【解析】画出满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩的平面区域，如图示：由2040x y y --=⎧⎨-=⎩，解得(6,4)A ；由34040x y y +-=⎧⎨-=⎩，解得(0,4)B ，当直线y ax Z =-+过(0,4)B 时，416Z =≠， 由Z ax y =+，得y ax Z =-+，当直线y ax Z =-+过(6,4)A 时，Z 最大， 此时6416a +=，解得2a =， 故答案为2．16．在ABC △中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC △的面积为__________．【答案】2【解析】∴由正弦定理πsin sin 6BD AD B =，πsin sin 6DC ADC =， 即π1sin sin 6sin AD BD B B =⋅=，π1sin sin 6sin AD DC C C=⋅=，而3BC =，∴113sin sin B C+=，∵sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠1sin C AB =，1sin B AC=，∴112AC AB +=，即2AB AC AC AB +=⋅， 又由余弦定理知2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=， ∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=， 令x AC AB =⋅，∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去），∴1sin 2ABC S AC AB BAC =⋅⋅∠=△故答案为2．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）数列{}n a 满足：123a =，()()()21*12122n n n n a a n +++-=-∈N ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12n a a a ++⋅⋅⋅+．【答案】（1）()()122121n n n n a +=--；（2）112221n n ++--．【解析】（1）由()()2112122n n n n a a +-+-=-，得1122222122121n n n n n n a a ++++--==⋅--，()()123111221131123121212121322222212121212121n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ------+-+-------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=------，即()()()()111132*********n nn n n n n n a a a -++⋅=⇒=----． （2）()()1121121212121n n n n n n a +-==-----， ∴1212231111111212121212121n n n a a a +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+------- 11112212121n n n +++-=-=--． 18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，π2APB ∠=，π3ABC ∠=，PB =24PA AD PC ===，点M 是AB 的中点．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAB ； （2）求二面角--B PC M 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）13． 【解析】（1）在PAB △中，因为π2APB ∠=，PB =2PA =， 所以4AB =，因为点M 是AB 的中点，所以2BMPM ==，在BMC △中，π3MBC ∠=，得CM =， 所以222BM CM BC +=，所以AB CM ⊥， 在PMC △中，2PM =，CM =4PC =， 满足222PM CM PC +=，所以PM CM ⊥， 而ABPM M =，所以CM ⊥平面PAB ，因为CM ⊂平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAB ．（2）以AM 的中点O 为原点，以OB 为x 轴，平行于MC 的直线为y 轴，OP 为z 轴，如图建立O xyz -坐标系，则P，(1,0)C ，(3,0,0)B ，(1,0,0)M ，所以(2,BC =-，(BP =-，(0,MC =，(MP =-， 设平面BPC 的一个法向量(,,)x y z =m ，平面MPC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即2030x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，可得=m ； 则00MC MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，可得=n，cos ,||||13⋅<>==⋅m n m n m n ， 所以二面角--B PC M的余弦值为1319．（12分）拉拉裤又叫成长裤，是等宝宝调皮了自己会解纸尿裤了或者换尿裤的时候总动来动去使用的，拉拉裤不但有防尿功能，且具有普通短裤的功能，拉拉裤易于穿着、方便活动，能减轻妈妈的劳累，让宝宝轻轻松松学步，渗透性能是体现其功能的重要指标，对渗透性能的考量又分滑渗量、回渗量、渗漏量三个方面，其中，回渗量是一个直接与孩子健康挂钩的指标，国家在这方面有严格规定，要求不得超过10克．某品牌拉拉裤的生产商为了测量某批新产品的回渗量，从该批产品中随机抽取了1000片，得到如下频率分布直方图：注：以频率作为概率，该品牌拉拉裤的生产商规定回渗量小于220毫克为合格品． （1）从这批拉拉裤中随机抽取4片，记合格片数为ξ，求ξ的分布列与期望； （2）从这批拉拉裤中随机抽取m 片，全是合格品的概率不低于60%，求m 的最大值； （3）为提高新产品的质量，该厂商研发部拟订了Ⅰ，Ⅱ两种技术更新方案，试验结果如下：方案Ⅰ，随机抽取100片，合格片数的期望是96；方案Ⅱ，随机抽取120片，合格片数的期望是115．试问该厂商应按哪个改进方案投入生产？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为3.6；（2）最大值为4；（3）应选择方案Ⅰ． 【解析】（1）由频率分布直方图可知， 所抽取拉拉裤是不合格品的频率为()0.0040.001200.1+⨯=，所以所抽取拉拉裤是合格品的频率为10.10.9-=， 即所抽取拉拉裤是合格品的概率为910． 从这批产品中随机抽取4片，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则()41101010000P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31491361C 101010000P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()2224914862C 101010000P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3349129163C 101010000P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()49656141010000P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以ξ的分布列为所以数学期望()1364862916656101234 3.61000010000100001000010000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）从这这批拉拉裤中随机抽取m 片，全是合格品的概率为910m⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为490.656110⎛⎫= ⎪⎝⎭，590.5904910⎛⎫= ⎪⎝⎭， 依题意得90.610m ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则m 的最大值为4．（3）按方案Ⅰ，设随机抽取一个产品合格的概率是a ，随机抽取100片， 合格品个数()100,XB a ；按方案Ⅱ，设随机抽取一个产品合格的概率是b ，随机抽取120片， 合格品个数()120,Y B b ，依题意()10096EX a ==，()120115E Y b ==，解得2425a =，2324b =． 因为24232524>，所以应选择方案Ⅰ． 20．（12分）已知抛物线()220:y p C x p =>经过点()1,2． （1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设过点()2,0的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若2AB AM =，MN y ⊥轴．垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-；（2）证明见解析．【解析】（1）由抛物线22y px =经过点()1,2，得42p =，即2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-．（2）证明：由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为2x my =+． 将2x my =+代入24y x =，消去x ，得2480y my --=，显然216320Δm =+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，128y y =-． ∵12AM AB =，∴M 是线段AB 的中点，设(),M M M x y ， 则()1221242222M m y y x x x m +++===+，1222M y y y m +==，∴()222,2M m m +，又MN y ⊥轴，所以垂足N 的坐标为()0,2Nm ．设以MN 为直径的圆恒经过点()00,D x y ， 则()20022,2DMm x m y =+--，()00,2DN x m y =--，由0DM DN ⋅=，得()()220002220x m x m y -+-+-=，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，①因为对任意的实数m ，①式要恒成立，所以00220004204020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，解得0020x y =⎧⎨=⎩，所以以MN 为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为()2,0． 21．（12分）已知函数()ln f x a x x =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明：()xxf x e <．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 定义域是(0,)+∞，由题意()1a a x f x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，0x a <<-时，()0f x '<；x a >-时，()0f x '>，()f x 在(0,)a -上递减，在(,)a -+∞上递增．（2）令()1ln x x x ϕ=--，则1()1x xϕ'=-， 01x <<时，()0x ϕ'<；1x >时，()0x ϕ'>，即01x <<时，()ϕx 递减；1x >时，()ϕx 递增，所以min ()(1)0x ϕϕ==，所以()1ln 0x x x ϕ=--≥，（1x =时，等号成立）， 所以1ln x x -≥，1a =时，不等式()xxf x e <为2ln x x x x e +<，即2ln 0x x x x e +-<，令2()ln x g x x x x e =+-，(0,)x ∈+∞，则()ln 12xg x x x e '=++-， 令()()ln 12xh x g x x x e '==++-，则1()2x h x e x'=+-， 设1()2x H x e x =+-，则21()0x H x e x'=--<． 所以()h x '在(0,)+∞上是减函数，(1)30h e '=->，25(2)02h e '=-<， 所以()h x '在(0,)+∞上存在唯一零点0x ，0(1,2)x ∈，00x x <<时，()0h x '>；0x x >时，()0h x '<，所以()h x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x +∞上递减．0max 000()()ln 12x h x h x x x e ==++-，由(1)ln11230h e e =++-=->，得0()0h x >， 易知222222()21210e e h e ee e e ----=-++-=-+-<， 2225(2)ln 214ln 25ln 2502h e e ⎛⎫=++-=+-<+-< ⎪⎝⎭，所以()h x 在0(0,)x 上一个零点1x ，在0(,)x +∞上有一个零点2x ，且20(,2)x x ∈，10x x <<或2x x >时，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上递减； 12x x x <<时，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上递增，显然当01x <<时，2()ln ln 11ln 0xg x x x x e x x x x =+-<+-=<， 因此10x x <<时，()0<g x ，在1[,)x +∞上，2()g x 是()g x 的最大值，222222()ln x g x x x x e =+-， 又2222()ln 120x g x x x e '=++-=，222ln 12xe x x =++，因为212x <<，则210x ， 所以22222222222222222()ln ln 12(1)ln 21(1)21g x x x x x x x x x x x x x =+---=-+--<-+--22222242(2)0x x x x =-=-<，综上，0x >时，()0<g x 成立，所以()xxf x e <成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（,t t ∈R 为参数2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，3π,44πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求半圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，ABD △的面积为1+α的值．【答案】（1）c :os 1sin x y C ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数，(0,π)ϕ∈），π:tan 2,0,2l y x αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）π3α=． 【解析】（1）半圆C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（其中ϕ为参数，(0,π)ϕ∈），直线l 的直角坐标方程为πtan 2,0,2y x αα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． （2）由题意可知，可设(cos2,1sin 2)D αα+，其中2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以点D 到直线AB 的距离为d =sin cos2cos sin 23cos sin 3cos ααααααα=--=+，又2,0tan A α⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,2)B -，2sin AB α∴==，∴三角形ABD 的面积()1123sin 3cos 1122sin tan S AB d αααα=⋅⋅=⋅⋅+=+=，tan α∴=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π3α∴=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知215f xx x ．（1）解不等式()9f x <；（2）若a 、b 、c 均为正数，且24f af b f c，证明：2222b c a a b c++≥．【答案】（1）()5,1-；（2）证明解析． 【解析】（1）由题意可知215f x x x ，当21x ≥-时，21536f x x x x ，()9f x <，即369x ，解得112x -≤<；当152x -<<-，2154f x x x x ，()9f x <，即49x ，解得152x -<<-；当5x ≤-，21536f xx x x ，()9f x <，即369x ，无解，综上所述，()5,1x ∈-， （2）因为a 、b 、c 均为正数， 所以36f a a ，36f b b ，36f c c ，因为24f af bf c，所以36363624a b c ，化简得2a b c ++=，因为2222222b c a b c a a b c a b ca b c2222222222224b c a b c a a b c a b c b c a a b c a b c，当且仅当a b c ==时取“=”号，所以2222b c a a b c++≥成立．。
2021年新高考天津数学卷含答案解析
数学
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么 ．
•如果事件A、B相互独立，那么 ．
•球的体积公式 ，其中R表示球的半径．
15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
16.在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．
（I）求a 值；
10. 是虚数单位，复数 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】 .
故答案为： .
11.在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】160
【解析】
【分析】求出二项式的展开式通项，令 的指数为6即可求出.
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
12.若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
13.若 ，则 的最小值为____________．
14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
天津市津南区2021届新高考数学第三次调研试卷含解析
天津市津南区2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 232322πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.2．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】先研究511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项，再分()2x a +中，取2x 和a 两种情况求解.【详解】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()5151r r r r T C x -+=-，所以()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：()32320551112(1)0x C C x a a -+--=--=-，解得2a =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 4．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示，∵2PO =，1OE =，2OC OD ==，∴()1,2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，12EF =，1PE =，∴52PF =. 故选：D 【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.5．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．85【答案】D 【解析】 【分析】根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得12AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值.由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，所以12AC AB =，即1tan 2α=，所以sinαα==2cos sin 2αα+=48255+=. 故选：D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.6．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．C D 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值． 【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝≤． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．7．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模．44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 9．函数()f x =）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 10．已知α为锐角，且3sin 22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】由3sin 22sin αα=可得3cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为23sin cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且23m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m = 【答案】B 【解析】 【分析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D P ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设12AA =AB =122=，则5DF =，13C F =16C D 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236=⨯⨯. 故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.12．已知直线l ：320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB V 与OMN V 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x y -+=3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或3.解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2， 则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB V 与OMN V 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市津南区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市津南区2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 2．已知全集，，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】 由题意得，∵，∴．故选C ． 【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 3．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则如图的算法框图中输入的i-=（）m nA．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】【分析】根据程序框图判断出,n m的意义，由此求得,m n的值，进而求得m n-的值.【详解】由题意可得n的取值为成绩大于等于90的人数，m的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故m=，1224n=，所以241212-=-=.m n故选：D【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 5．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，可知()f x 的定义域为x ∈R ，通过定义法判断函数的奇偶性，得出()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，可排除,C D 选项，观察,A B 选项的图象，可知代入0x =，解得()00f >，排除B 选项，即可得出答案. 【详解】 解：因为()cos 22x xxf x -=+， 所以()f x 的定义域为x ∈R ， 则()()()cos cos 2222x x x xx xf x f x ----===++， ∴()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D 选项， 且当0x =时，()1002=>f ，排除B 选项，所以A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.6．过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>左焦点F 的直线l 交C 的左支于,A B 两点，直线AO （O 是坐标原点）交C 的右支于点D ，若DF AB ⊥，且BF DF =，则C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．2【答案】D 【解析】 【分析】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接2DF 并延长交右支于C ，连接FC ，设2DF x =，利用双曲线的几何性质可以得到2DF x a =+，4FC x a =+，结合Rt FDC ∆、2Rt FDF ∆可求离心率. 【详解】如图，设双曲线的右焦点为2F ，连接FC ，连接2DF 并延长交右支于C . 因为2,==FO OF AO OD ，故四边形2FAF D 为平行四边形，故2FD DF ⊥. 又双曲线为中心对称图形，故2F C BF =.设2DF x =，则2DF x a =+，故22F C x a =+，故4FC x a =+.因为FDC ∆为直角三角形，故()()()2224222x a x a x a +=+++，解得x a =. 在2Rt FDF ∆中，有22249c a a =+，所以5102c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于,,a b c 的方程，本题属于难题.7．二项式52x x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C xx ---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =，则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0.080.080.080.08log 0.042log 0.2log 0.2log10a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log 0.08,log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+上单调递减，且0.080.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为0.080.08log 0.2log0.081a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.9．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．已知向量(2,4)a =-r ，(,3)b k =r ，且a r 与b r的夹角为135︒，则k =（ ）A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k 的值. 【详解】解：由题意可得cos1352||||a b a b ︒⋅===-⋅r r r r ，求得9k=-，或1k =，故选：C. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．11．已知平面ABCD ⊥平面,,ADEF AB AD CD AD ⊥⊥，且3,6,AB AD CD ADEF ===是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ） A ．43B ．16C ．43π D ．8π【答案】C 【解析】 【分析】根据,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，判断出2MD AM =，建立平面直角坐标系，求得M 点的轨迹方程，由此求得点M 的轨迹长度. 【详解】由于平面ABCD ⊥平面ADEF ，且交线为AD ，,AB AD CD AD ⊥⊥，所以AB ⊥平面ADEF ，CD ⊥平面ADEF .所以BMA ∠和CMD ∠分别是直线,MB MC 与平面ADEF 所成的角，所以BMA CMD ∠=∠，所以tan tan BMA CMD ∠=∠，即AB CDAM MD=，所以2MD AM =.以A 为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则()0,0A ，()6,0D ，设(),M x y （点M 在第一象限内），由2MD AM =得224MD AM =，即()()222264x y x y-+=+，化简得()22224x y ++=，由于点M 在第一象限内，所以M 点的轨迹是以()2,0G-为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分.令0x =代入原的方程，解得23y =±，故()0,23H ，由于2GA =，所以3HGA π∠=，所以点M 的轨迹长度为4433ππ⨯=. 故选：C【点睛】本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(新高考)2021年5月第三次高考适应性考试-数学(含答案)
（新高考）2021年5月第三次高考适应性考试数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}32log 1A x y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．(1,2]-B ．[2,)+∞C ．[0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【解析】因为(){}{}32log 11A x y x x x ==-=>，{{}0B y y y y ===≥，所以(1,)AB =+∞，故选D ．2．若复数()i1im z m =∈+R ，且z =m =（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】D【解析】由i i(1i)i 1i (1i)(1i)22m m m mz -===+++-，得||||z m ===2m ∴=±，故选D ． 3．已知函数()3333x xx xf x ---=+，且()()522f a f a ->--，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，函数()3333x xx xf x ---=+，其定义域为R ， 又由()()33333333x x x xx x x xf x f x -------==-=-++，()f x 为奇函数，又()2191xf x =-+，函数91xy =+为增函数，则()f x 在R 上单调递增， ()()()()522522522f a f a f a f a a a ->--⇒->-+⇒->-+，解得23a >， 故选D ．4．已知点P 是抛物线22(0)y px p =>上一点，且点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和的最小值为，则p =（ ）A ．B ．4C ．D ．【答案】D【解析】如图所示，由题得准线方程为2p x =-， 点P 到点(0,2)A -的距离与到y 轴的距离之和为||||||22p p PA PF AF +-≥-， （当点P 在线段AF 与抛物线的交点时取等）||AF ==，2p=p =D ．5．已知数列{}n a 的通项公式21021n a n n =-+-，前n 项和为n S ，若m n >，则m n S S -的最大值是（ ） A ．5 B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】依题意12m n n n m S S a a a ++-=+++，所以要使m n S S -的值最大，则12n n m a a a +++++包含所有的正项，令210210n a n n =-+->，得46n ≤≤，代入得()456max 34310m n S S a a a -=++=++=，故选B ．6．在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出π的近似值为(精确到小数点后两位)（ ） A ．3.06 B ．3.12C ．3.20D ．3.24【答案】D【解析】由题意得，铁片的圆心在图中两个圆内为获胜，则22122π2π15π2π40100r r O O r ==+⋅+， 所以200π60015π=+，解得600π 3.24185=≈，故选D ．7．如图，四边形ABCD 是正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2AB =，60AFC ∠=︒，则多面体ABCDEF 的体积为（ ）A ．43B ．3C ．3D ．163【答案】D【解析】连接BD ，AC ，四边形BDEF 为矩形，BF BD ∴⊥， 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，BF ⊂平面BDEF ，BF ∴⊥平面ABCD ，又AB平面ABCD ，BFAB ∴⊥，设BF x =，则AF FC ==又60AFC ∠=︒，AFC ∴△为等边三角形，AF AC ∴====2x =，四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥， 平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面BDEF ，∴多面体ABCDEF 体积11233A BDEF C BDEF BDEFV V V SAC --=+=⋅=⨯⨯163=， 故选D ．8．已知函数3()x f x e -=，()1ln g x x =+，若()()f m g n =，则n m -的最小值为（ ）A ．ln 2-B ．ln 2C ．2D ．2-【答案】D 【解析】令()()tf mg n ==，则3m e t -=，1ln n t +=，∴3ln m t =+，1t n e -=，即13ln t n m et --=--，若1()3ln t h t et -=--，则11()(0)t h t e t t-'=->，∴()0h t '=，有1t =，当01t <<时，()0h t '<，()h t 单调递减；当1t >时，()0h t '>，()h t 单调递增， ∴0min ()(1)3ln12h t h e ==--=-，即n m -的最小值为2-，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．己知向量()2,1=a ，()3,1=-b ，则（ ）A ．()+⊥a b aB ．向量a 在向量b 上的投影向量是2-C ．25+=a bD ．与向量a 方向相同的单位向量是⎝⎭【答案】ACD【解析】由向量()2,1=a ，()3,1=-b ，A ，()1,2+=-a b ，所以()12120+⋅=-⨯+⨯=a b a ，所以()+⊥a b a ，故A 正确；B ，向量a 在向量b 上的投影向量为()23111cos ,102⨯-+⨯⋅⋅=⋅==-b a b b a a b b b b b b ，故B 错误；C ，()()()22,16,24,3+=+-=-a b ，所以25+==a b ，故C 正确；D ，与向量a 方向相同的单位向量)52,15==⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=a e a ，故D 正确， 故选ACD ．10．下列结论中，所有正确的结论有（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．当x ∈R 时，4sin 4sin x x+≥ C ．若a ∈R 22D ．若,a b +∈R ，22a b +=，则1492a b +≥+【答案】AD【解析】A ：因为22ac bc >，不等式两边同乘以21c， 因为210c>，不等式两边不等号不变，所以a b >成立，故A 正确； B ：∵x ∈R ，令sin t x =，∴[]sin 1,1t x =∈-，当[)1,0t ∈-时，40t t+<，故B 错误；C 22==t =≥1t t+，根据函数的定义域可得1t t+≥，错误； D ：因为22a b +=，则14114124(2)922b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19(922≥⨯+=+，正确， 故选AD ．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【解析】A ．连接11A C ，1BC ，1A B ，BD ，1C D ，1A D ，1B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知MN BD ∥，1NP C D ∥，1MP BC ∥， 且平面MNP ∥平面1BC D ，又已知三棱锥11A BC D -，所以三棱锥11A BC D -为正四面体，所以1A 到平面1BC D =， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ， 同理可得11C D AC ⊥，且111BC C D C =，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC =，所以1A 到平面PMN的距离∈⎝，且433<<确；B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '，因为CP CM =，且1CP DD ∥，CM AD ∥，则1CP CM CQDD DA DQ=='， 所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ， 所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知1MP BC ∥，11BC AD ∥，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面MNP ∥平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ， 所以1BD ∥平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12PP MP ∥交11B C 于2P ，过2P 作21P N MN ∥交11C D 于1N ， 以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形， 根据题意可知：平面121212PP N N M M ∥平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为)31x ⎤+-=⎦故选ABD ．12．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ） A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点 B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在2π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的取值范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 的图象关于π4x =对称，且在5π,1836π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【解析】令4πt x ω=+，由[]0,2πx ∈，可得出π4π,24πt ω⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间ππ,2π44ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点， A 选项正确；对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4π2π5π4πω≤+<，解得151988ω≤<，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω≤<，则2π19π21540π4π6πω≤+<+，所以，函数()f x 在区间2π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于π4x =对称，则()ππππ442k k ω+=+∈Z ，()14k k ω∴=+∈Z ． 5π236π1ππ812T ω∴=≥-=，12ω∴≤， ()41k k ω=+∈Z ，max 9ω∴=．当9ω=时，()sin 9π4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5π,1836πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3ππ3π9442x <+<， 此时，函数()f x 在区间5π,1836π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确， 故选ACD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设6(x的展开式中x 3的系数为a ，则a 的值为________． 【答案】60【解析】6(x-的展开式的通项是()3662166C C 2kkk k k k k T x x --+⎛==- ⎝， 令3632k-=，解得2k =， 因此，x 3的系数为()26260C 2a -==，故答案为60． 14．请你举出与函数2 ()1xf x e=-在(0,0)处具有相同切线的一个函数___________．【答案】()22g x x x =+ (答案不唯一)【解析】由题，()22x f x e '=，故()0022f e '==， 故函数2 ()1xf x e=-在原点()0,0处的切线方程为2y x =，故可考虑如函数()2g x ax bx =+，此时()2g x ax b '=+，故()02g b '==， 取1a =，此时()22g x x x =+．故答案为()22g x x x =+(答案不唯一)．15．有7个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有______种不同的坐法． 【答案】320【解析】先排甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1，2，3，4号位置， 因为甲、乙两人都在丙的同侧，当丙在1号位置有33A 6=种排法，当丙在2号位置有22A 2=种排法，当丙在3号位置有22A 2=种排法，当丙在4号位置有33A 6=种排法，共有16种排法；又因为有且仅有两个空位相邻，将两个空位捆在一起，与剩余一个空位插入甲、乙、丙、丁形成的5个空位中，有25A 20=种排法，所以共有1620320⨯=种排法，故答案为320．16．方程log xa a x =（0a >且1a ≠）最多______个根，当此方程无根时的取值范围是_______．【答案】3，1ea e >【解析】当1a >时，xy a =单调递增，和其反函数log a y x =的图象如果有交点， 则交点一定在直线y x =上，所以函数xy a =图象与函数log a y x =图象的交点个数， 只需要考虑xy a =图象与直线y x =交点的个数，当y x =与xy a =相切时，设切点()00,x y ，则ln xy a a '=，所以00000|ln 1x x x x y a a y a x =⎧===='⎪⎨⎪⎩，解得01ln x e a ==，所以1e a e =， 所以当1ea e >时，xy a =与log a y x =图象没有交点， 当1ea e =时，xy a =与log a y x =图象有一个交点， 当11e a e <<时，xy a =与log a y x =图象有2个交点，当01a <<时，设xy a =与log a y x =图象相切于点()11,x y ，则切点在直线y x =上，且直线log a y x =或xy a =在点()11,x y 处切线斜率为1-，所以()000log |1x x x a a x x =⎧=⎪⎨'=-⎪⎩，即00011ln x a x x a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以011ln 1e ax e ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1e a e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当1ea e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时两条曲线相切于点11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭，所以有：当1ea e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，xy a =与log a y x =图象有1个交点，当11ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，xy a =与log a y x =图象有1个交点， 当10ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，xy a =与log a y x =图象有3一个交点，综上所述：10ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，方程log x a a x =有3个根，当1ea e ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，方程log xa a x =有1个根，当11ea e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，方程log xa a x =有1个根， 当11ea e <<时，方程log xa a x =有2个根， 当1e a e =时，方程log xa a x =有1个根， 当1ea e >时，方程log xa a x =没有根，故答案为3，1ea e >．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，424S =，10120S =． （1）求n S ；（2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34n T <．【答案】（1）22n S n n =+；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n dS na -=+， ∴由题意，有4110146241045120S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，得13a =，2d =，∴2232n S n n n n n =+-=+．（2）211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴12311111111111232435n n T S S S S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ 11111211111131112224212n n n n n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+-+-<+= ⎪ ⎪ ⎪⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦．18．（12分）在①(cos ,2)B c b =-m ，(cos ,)A a =n ，且//m n ，②cos sin b a C A =，③2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．已知ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， ． （1）求A 的值； （2）若a =ABC △M 是BC 的中点，求AM 的长度． (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【答案】条件选择见解析；（1）π3；（2）2．【解析】选①：由//m n ，得cos (2)cos a B c b A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin()2sin cos B A C A +=， 又sin()sin B A C +=，sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 又0πA <<，所以π3A =．②因为cos sin b a C A =+，根据正弦定理得sin sin cos sin 3B AC C A =+，所以sin()sin cos sin sin 3A C A C C A +=+，所以sin cos cos sin sin cos sin 3A C A C A C C A +=+，所以cos sin sin 3A C C A =．因为sin 0C ≠，所以tan A = 又0πA <<，所以π3A =． ③因为2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=， 所以cos [cos()cos()]sin sin A B C C B B C -++-=， 所以2cos sin sin sin sin A B C B C =．因为(0,π)B ∈，(0,π)C ∈，所以sin sin 0B C ≠，所以1cos 2A =， 又0πA <<，所以π3A =．（2）在ABC △中，由a =π3A =，得223b c bc +-=．由ABC △的面积为2，得2bc =，所以225b c +=． 因为M 是BC 的中点，所以()12AM AB AC =+， 从而()()22222117||||2444AM AB AC AB AC b c bc =++⋅=++=，所以2AM =． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，M ，N 分别是棱BC ，PC 的中点，且AB AC PA ==．（1）证明：平面AMN ⊥平面PAD ；（2）求平面AMN 与平面PAB 所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）∵AB AC =，M 是棱BC 的中点，∴AM BC ⊥， 又//BC AD ，∴AM AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴PA AM ⊥， 又PAAD A =，∴AM ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PAD ． （2）由题知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 中，AM BC ⊥， 则,,AM AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AM AD AP 分别为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设2AB AC PA ===，又45ABC ∠=︒，易得AM BM MC ===∴()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，)M，,22N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面APB 与平面AMN 的法向量分别为()111,,x y z =m 和()222,,x y z =n ，则00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即111200z =⎧⎪-=，令11x =，可得()1,1,0=m ；则00AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即22220022x y z =++=⎩，令2y =()1=-n ，∴cos ,⋅==⋅>=<m n m n m n设平面AMN 与平面PAB 所成二面角为θ，则sin θ==， ∴平面AMN 与平面PAB．20．（12分）某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40)，[40,50)，⋅⋅⋅，[90,100]，整理得到如下频率分布直方图．根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：（1）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率； （2）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以X 表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.6；（2）分布列见解析，期望为65． 【解析】（1）由频率分布直方图可知满意度的分数[30,60)的频率为()0.0050.010.025100.4++⨯=，满意度的分数[60,100]的频率为()0.030.0150.010.005100.6+++⨯=， 故从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率为0.6． （2）依题意可知32,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则X 的可能取值为0、1、2， 所以()202340C 1525P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()1233121C 15525P X ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭，()2392525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为：所以()255E X =⨯=． 21．（12分）已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C的上顶点，点2A 到直线1A B 的距离为7，椭圆C 过点3⎛ ⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ △的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x +-=或360x -=． 【解析】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ， 则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=， 所以点2A 到直线1A B的距离d ==2234b a =．① 又椭圆C过点3⎛⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22x x my =-⎧⎨=+⎩，解得24x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即42,P m ⎛⎫--⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 联立222(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+．由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434mm x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++，所以2PA Q △与PEQ △的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号． （在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧） 故当2PA Q △与PEQ △的面积之差取得最大值时， 直线2A P的方程为360x +-=或360x -=． 22．（12分）已知函数2()()xf x e mx m =-∈R ．（1）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ex e =-+，求m 的值； （2）若存在0[0,1]x ∈，使得()02f x ≥，求m 的取值范围． 【答案】（1）m e =，（2）2m e ≤-．【解析】（1）因为函数2()()xf x e mx m =-∈R ，所以()2xf x e mx '=-，(1)2f e m '=-，由于曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ex e =-+， 由导数的几何意义可知(1)2f e m e '=-=-，解得m e =．（2）因为存在0[0,1]x ∈，使得()02f x ≥，即0202xe mx -≥，又当00x =时，上式不成立，所以存在0(0,1]x ∈，使得0202x e mx -≥，参变分离得0202x e m x -≤， 令22()((0,1])x e h x x x -=∈，2432(2)24()x x x x e x x e xe e h x x x⨯-⨯--+'∴==， 令()24x x x xe e ϕ=-+，所以()(1)xx x e ϕ'=-，因为(0,1]x ∈，且0x e >恒成立，所以()0x ϕ'<， 所以()x ϕ在(0,1]单调递减，(1)40e ϕ=->，即()0x ϕ>在(0,1]上恒成立，即()0h x '>， 所以22()x e h x x -=在(0,1]x ∈上单调递增，max ()(1)2h x h e ==-， 因为存在0(0,1]x ∈，使得0202x e mx -≥， 参变分离得0202x e m x -≤，即max ()2m h x e ≤=-， 综上：m 的取值范围为2m e ≤-．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2021年高三第三次模拟考数学(理)试题 含答案
2021年高三第三次模拟考数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，集合，则图中阴影部（A）（B）（C）（D）2．已知i为虚数单位，则（A）（B）（C）（D）3．已知是第四象限角，且，则（A）（B）（C）（D）4．已知实数满足，则目标函数的最大值为（A ）-4 （B ）1 （C ）2 （D ）35. 已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.023，则P (－1≤ξ≤3)等于 （A ）0.977（B ）0.954（C ）0.628（D ）0.4776．等于 （A ）（B ）（C ）（D ）7．现有三个函数：①，②，③的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 （A ）①②③（B ）③①②（C ）②①③（D ）③②①8．已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则判断框内的条件可以是 （A ）（B ） （C ） （D ）OyxOyxOyx开始k=1 S =1S = 3S +2k = k +1 否输出S 结束是（第9题图）（第8题图）9．一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（A）20 （B）18 （C）（D）10．边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是（A）（B）（C）（D）11．已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（A）（B）（C）（D）12．若存在直线l与曲线和曲线都相切，则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；②曲线和曲线是“相关曲线”；③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.其中正确命题的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。
天津市津南区2021届新高考第三次模拟数学试题含解析
天津市津南区2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题 ①()g x 的值域为(0,1]②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭④()g x 存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】 由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可求得值域；利用代入检验法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,21cos 2()sin 2x f x x -==, 则向右平移12π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭ cos 2[1,1]6x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭Q ,()g x ∴的值域为[0,1],①错误； 当12x π=时,206x π-=,所以12x π=是函数()g x 的一条对称轴,②正确； 当3x π=时,226x ππ-=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛⎫'=-∈- ⎪⎝⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.2．若复数12bi z i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．3B ．3±C ．3-D ．【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】()221125b b i bi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.3．设a r ，b r 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-r r r r 成立，则A ．//a bB ．a b ⊥v vC ．()-⊥r r r a b aD ．()-⊥a b b r r r 【答案】D【解析】【分析】 画出a r ，b r ，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-r r 的几种情况，由数形结合可得结果.【详解】由题意，得向量()a b -r r 是所有向量()a b λ-r r 中模长最小的向量，如图，当AC BC ⊥，即()-⊥a b b r r r 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-r r r r ，对于任意的R λ∈， 所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.4．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】化简得到34z i =--，得到答案.【详解】 ()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i i z i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C .【点睛】 本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.5．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】C【解析】【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系.【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==- 设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈；若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+； ()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.6．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A【解析】【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21x f x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.7． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为ABC．D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） ABC ．2 D【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.【详解】解：()()()2121111iz ii i i-===-++-，则112z=+=.故选：D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.9．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.10．在平面直角坐标系xOy中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎫⎪⎪⎝⎭，则sin24πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A 2B10C72D310【答案】A【解析】【分析】根据单位圆以及角度范围，可得m，然后根据三角函数定义，可得sin,cosθθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：2251m+=⎝⎭，又θ为锐角所以0m >，5m =根据三角函数的定义：sin θθ== 所以4sin 22sin cos 5θθθ== 223cos 2cos sin 5θθθ=-=- 由sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以43sin 24525210πθ⎛⎫+=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】 本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.11．若两个非零向量a r 、b r 满足()()0a b a b +⋅-=r r r r ，且2a b a b +=-r r r r ，则a r 与b r 夹角的余弦值为（ ） A ．35 B ．35± C ．12 D ．12± 【答案】A【解析】【分析】设平面向量a r 与b r 的夹角为θ，由已知条件得出a b =r r ，在等式2a b a b +=-r r r r 两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求.【详解】设平面向量a r 与b r 的夹角为θ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r Q ，可得a b =r r ， 在等式2a b a b +=-r r r r 两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，化简得3cos 5θ=. 故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240 C ．280 D ．320【答案】C【解析】【分析】 首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解.【详解】 由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.故选：C【点睛】 本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年天津市高考数学三模试卷(理科)及答案解析
天津市高考数学三模试卷（理科）一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．12．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．24．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是______（用数字作答）．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为______cm3．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是______．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为______．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为______．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，∴，∴|z|=1．故选：D．2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，），此时z=×1+=2，故选：C3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得S=0，n=3执行循环体，M=，S=log2=2﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2=log25﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2=log26﹣log23，…不满足条件S∈Q，执行循环体，n=11，M=，S=log212﹣log23=log24=2，满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．故选：D．4．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB2=CE•CA，即可得到所求值．【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，由切割线定理可得，BD2=DF•DA，由AF=3，FD=1，可得BD2=1×（1+3）=4，解得BD=2，在直角三角形ABD中，AB===2，在直角三角形ABC中，AC===2，由BC为切线，可得CB2=CE•CA，即有16=（2﹣AE）•2，解得AE=．故选：B．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c，c2=a2+b2=4，解得a=2+，双曲线的离心率e==1+．故选：B．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】可得f（m）=2m+2﹣m=3，2m＞2，从而化简比较大小．【解答】解：∵f（m）=2m+2﹣m=3，m＞0，∴2m=3﹣2﹣m＞2，∴b=2f（m）=2×3=6，a=f（2m）=22m+2﹣2m=（2m+2﹣m）2﹣2=7，c=f（m+2）=2m+2+2﹣m﹣2=4•2m+2﹣m＞8，∴b＜a＜c；故选D．8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=f（x﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：y=k（x﹣2）+表示过（2，）点斜率为k的直线，由图可得：y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，当k=时，直线y=k（x﹣2）+过原点，此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；当k=6﹣时，直线y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象抛物线部分相切，此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；故当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，k∈（，6﹣），故选：C．二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为6+cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r==1．∴该几何体的体积=13+=+6．故答案为：6+．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．则|CA|=．则|PA|的取值范围是．故答案为：．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．故答案为：．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】在△ABD中使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC 中使用正弦定理计算BC．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，解得sin∠ADB=．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．∴∠C=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=．故答案为：．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．故答案为：﹣1．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，=cosxsinx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣，=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期为T=π，f（x）的最大值为1﹣．（2）由（1）可知，f（x）在[﹣，]上的单调递增，在[，]上的单调递减，而[，]⊆[﹣，]，[，]⊆[，]．∴函数f（x）在[，]上的单调递增，在[，]上的单调递减．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A与事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，∵事件A与事件B为对立事件，∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）3=．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，P（X=﹣10）=（）3=，P（X=10）==，P（X=20）=，P（X=30）=（）3=，∴X的分布列为：X ﹣10 10 20 30P∴E（X）=+10×++30×=﹣．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值．（Ⅲ）设存在点E，且，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（，，0），P（0，0，2），=（，，0），=（0，0，2），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），则，则，取y=﹣1，得=（），∵=（，﹣，0）=，∴∥，∴BC⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴=（0，1，1），∵平面PAC的一个法向量为=（），设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴cosθ==，tanθ==，∴AD与平面PAC所成角的正切值为．（Ⅲ）设存在点E，且，则，∴E（），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），∴=（），=（，0），设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），则，取y=1，得=（），设平面PDE的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，得=（），∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，∴==0，解得，∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意M（），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由a=b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由此能求出椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为，∴M（），整理，得a=，∴c==2b，∴椭圆的离心率e===．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=b，则直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由线段NS的中点T的坐标为（，），∵点T在直线AB上，且k NS•k AB=﹣1，∴，解得，∴a=3，∴椭圆E的方程为=1．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，由b3=6+b2．可得b3﹣b2=6．由数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，n≥2时，利用递推关系可得：a n=，可得a3==8．利用等比数列的通项公式可得a n．进而得到b n．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其}的前n项和为S n．“裂项求和”方法可得数列{cn（ii）n≤4时，c n＞0．当n≥5时，c n=＜0，即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵b3=6+b2．∴b3﹣b2=6．∵数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，∴n≥2时，a1a2…a n﹣1=，可得：a n=，∴a3===8．又a1=2，∴8=2q2，解得q=2（﹣2舍去）．∴a n=2×2n﹣1=2n．∴（）=21+2+…+n=，∴b n=n（n+1）．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣=﹣．（ii）c1=0，c2=，c3=，c4=﹣=．当n≥5时，c n=．由﹣=＜0，∴c n＜0．若S k≥S n恒成立，∴k=4．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，因为﹣（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（e x+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，因为e x﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．。
天津市六校2021届高三数学第三次模拟联考试题 文
天津市六校2021届高三数学第三次模拟联考试题 文 新人教版本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷两部份，共4页，总分150分，考试时刻120分钟。
答题时，将第I 卷答案填涂在答题卡上，将第II 卷答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。
第I 卷 注意事项：1.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本试卷共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
一. 选择题1．复数z 知足zi ＝1＋3i ，那么z 在复平面内所对应的点的坐标是 A ．(1，－3) B ．(－1,3) C ．(－3,1) D ．(3，－1)2．设变量,x y 知足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数231z x y =++的最大值为A ．11B ．10C ．9D ．8.5 3. 运行如下图的算法框图，那么输出的结果S 为 A ．1- B ．1C ．2-D ．24. 给出以下三个结论：（1）假设命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，那么命题“q p ∨”为假命题；（2）命题“若0xy =，那么0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，那么0x ≠或0y ≠”； （3）命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ ,20xx ∃∈≤R ”.那么以上结论正确的个数为 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个5．已知a =3log 2，b =4.08-，c =π512sin，那么a ，b ，c 的大小关系是A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a b c >>6. 函数()sin()()2f x x π=ω+ϕϕ<，其中的图象如下图，为了取得x x g ωcos )(=的图象，那么只要将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度7．曲线()02:21>=p px y C 的核心F 恰好是曲线()0,01:22222>>=-b a b y a x C 的右核心，且曲线1C 与曲线2C 交点连线过点F ,那么曲线2C 的离心率是A ．21-B ．212+C ．622+ D ．21+8．已知函数()y f x =的周期为2,当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-,若是()()g x f x =-5log 1x -，那么函数()y g x =的所有零点之和为A ．8B ．6C ．4D ．2第II 卷二. 填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．已知集合{}032|2≤--∈=x x R x A⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=11|x R x B 那么A B =________． 10．一个几何体的三视图如下图,且其侧视图是一个等边三角形,那么那个几何体的体积为________． 知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：01=--y x 被11．已截得的弦长为2，那么过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ________． 圆C 所12．如下图，已知⊙O1O1的切线交⊙10题图BE D O 1 O 2 AP C12题图O2于点C ，过点B 作两圆的割线，别离交⊙O1，⊙O2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P 。
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则z 的虚部是（ ） A ．B ．1C ．D ．i3．“”是“函数在上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（ ）（参考数据） A ．120个月B ．64个月C ．52个月D ．48个月6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．98．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（ ）{}ln 1A x x =>{B x y ==()A B =R {}21x x -≤≤{}2x x e -≤≤{}21x x -<≤{}2x x e -<≤2i z z -=1-i -0m ≤()ln f x x mx =-(]0,122sin 2cos 3y x x =+-1-112-5-v t t v a b =⋅a b 10%20%100%lg 20.3≈AB O C D AB AB =a AC =bAD 12-a b 12-a b 12+a b 12+a b 2(0xy aa -=>1a ≠A A 221x y m n+=m n +A B C D E A C BA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列的公比为q ，其前n 项和为，前n 项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．在中，如下判断正确的是（ ） A ．若，则为等腰三角形 B ．若，则C ．若为锐角三角形，则D ．若，则11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（ ）A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ） A ．0 B ． C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少个单位． 161331035{}n a n S n T 11a >201920201a a >20192020101a a -<-20192020S S <2019202110a a -<2020T {}n T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin cos A B >sin sin A B >A B >xOy P ()1F )2F 13P E ():2l y k x =-E A B E 2213x y -=E E 2221x y AB =l ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+a 12-1-13-ˆˆˆybx a =+(),x y r ˆ20.5yx =-ˆy 0.5其中说法正确的是__________． 14．若，则被4除得的余数为__________． 15．有以下四个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线； ②是偶函数；③在上不是单调函数； ④恰有两个零点．若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得， 则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．()20222202201220222x a a x a x a x +=++++0242022a a a a +++()f x R ()f x ()f x ()0,∞+()f x ()f x =()g x =()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-M 2x x e e y -+=M 8log (2)y x =+[0,]x t ∈M 510t =3sin 4x ay +=M 5a =226a b +=3311+=a b 312S =531T ={}n a {}n b {}n a n n S {}n b n n T 11a =11b ={}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n18．（12分）的内角，，的对边分别是，，． （1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E 与F 重合，如图2． （1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长．ABC △A B C a b c sin cos c B C -=B 3b =D AC 2BD =ABC △BD B D AC 202020205ˆˆˆybx a =+202012121003450ξξˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-x y ABCD ABE Rt △CDF Rt △2AB =ABE △CDF △,AB CD ABECDE l =//l CD A BE D --5AE21．（12分）已知函数，其中实数． （1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左焦点为F ，过F 的直线与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形． （1）求椭圆的方程；（2）若的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由． 答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，，所以，因为，故，故选B ．2．【答案】A【解析】设，因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是，故选A ． 3．【答案】A【解析】由可得， 若在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则， ()axf x e ex =-0a ≠()f x 0x ≥()()21f x x ≥-a 22221(0)x y a b a b+=>>0x -=MFO ABC △ABC △ABC △{}{}ln 1A x x x x e =>=>{|}A x x e =≤R{{}2B x y x x ===≥-(){}2A B x x e =-≤≤R ()i ,z a b a b =+∈R 2i z z -=()i i 2i 2i z z a b a b b -=--+=-=22b -=1b =-z 1-()ln f x x mx =-1()f x m x'=-()ln f x x mx =-(]0,1()0f x '≥(]0,11m x≤(]0,11m，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】，因为，所以当时等号成立， 所以函数的最大值是，故选C ． 5．【答案】C【解析】依题设有，解得，， 故．令，得，故，故选C ． 6．【答案】D【解析】连接、、，如图．由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，，则、均为等边三角形，，，，同理可知，(](],0,1-∞-∞0m ≤()ln f x x mx =-(]0,1()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-22112cos 2cos 12(cos )22x x x =-+-=---1cos 1x ≤≤－1cos 2x =22sin 2cos 3y x x =+-12-()()1224120.1240.2v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩1122b =0.05a =()1120.052tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭()1v t =112220t⎛⎫= ⎪⎝⎭()11212121210.3lg 201lg 2log205210.3lg 2lg 212t ⨯++===≈=CD ODOC C D AB 60BOD COD AOC ∠=∠=∠=︒OA OC OD ==AOC △COD △60OAC OCD ∴∠=∠=︒OAC BOD ∴∠=∠//OD AC ∴//CD AB所以，四边形为平行四边形，所以，， 故选D ． 7．【答案】D【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故选D ． 8．【答案】B【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明： （1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧， 故有种排法；（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，故有种排法；（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法； 所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；，，，，五个人站成一排有种排法，故和分别站在的两边的概率，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】AB【解析】当时，，不成立； 当时，，，不成立；故，且，，故，A 正确；AODC 12AD AO AC =+=+a b 1(0x y a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠21(0x y a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠2(0xy aa -=>1a ≠()2,1A A 221x y m n +=411m n +=0m >0n >()414559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4n mm n=6m =3n =A C B B B A C B B 1323C A 232112=⨯⨯⨯=B A C D E B B 11222222C C A A 222216=⨯⨯⨯=B A C B 12161240++=A B C D E 55A 54321120n ==⨯⨯⨯⨯=A C B 4011203P ==0q <22019202020190a a a q =<1q ≥20191a ≥20201a >20192020101a a -<-01q <<20191a >202001a <<20202019S S >，故B 正确；是数列中的最大值，C 、D 错误，故选AB ． 10．【答案】BCD【解析】选项A ．在中，若，则或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，故A 不正确； 选项B ．在中，若，则，由正弦定理可得，即，故B 正确； 选项C ．若为锐角三角形，则， 所以，所以，故C 正确； 选项D ．在中，若，由正弦定理可得， 即，所以，故D 正确， 故选BCD ． 11．【答案】CD【解析】令，即得，∴A 错误；又，，即，故B 错误， 由E 的渐近线为，而圆心为，半径为1，∴到距离为，故的渐近线与圆相切，故C 正确；联立曲线E 与直线的方程，整理得，，∴，，而代入整理2201920212020110a a a -=-<2019T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =2πA B +=ABC △ABC △A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >ABC △π2A B +>ππ022A B >>->πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ABC △sin sin A B >22a bR R>a b >A B >(,)P x y 13=221,3x y x -=≠a =2c =3e =y x =2221x y (2,0)(2,0)y =1d ==E 2221xy l 2222(13)123(41)0k x k x k -+-+=210Δk =+>21221231k x x k +=-21223(41)31k x x k +=-12|AB x x =-=22)|||31|k AB k +==-即有或(由与)，故，∴D 正确， 故选CD ． 12．【答案】BD【解析】画出函数的图象：函数有零点，即方程有根的问题． 对于A ：当时，，故，，故，，，， 故方程有4个不等实根； 对于B ：当时，，故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根； 对于C ：当时，， 故，，， 当时，由图象可知，有2个根， 当时，由图象可知，有2个根，21k =20k =0y =221,3xy x -=≠1k =±ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+(())0f f x a +=0a =(())0f f x =()1f x =-()1f x =0x =2x =-1=x ex e =(())0f f x a +=12a =-1(())2f f x =1()2f x =-()f x =()f x =1()2f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=1a =-(())1f f x =()0f x =()f x e =1()f x e=()0f x =()f x e =当时，由图象可知，有3个根， 故方程有7个不等实根； 对于D ：当时，， 故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根， 故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】①②④【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1， 所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得，根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的， 故答案为①②④． 14．【答案】1【解析】由题知，时，①，时，②，由①+②，得， 1()f x e=(())0f f x a +=13a =-1(())3f f x =2()3f x =-()f x =()f x =2()3f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=ˆˆˆybx a =+(,)x y ||r 744471x ⨯+==+()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦ˆ20.5yx =-x ˆy0.51x =-0123202120221a a a a a a -+-+-+=1x =2022012320223a a a a a +++++=()2022024********a a a a ++++=+故， 所以被4除得的余数是1，故答案为1．15．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．16．【答案】①③【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R ，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R ，， 当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为． 要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，202210110242022111()(31)(91)488a a a a ++++=+=+()()101101011110101010110111011101110111011C 118118C 8C 8C 188⎡⎤=++=+++++⎣⎦()010*******10101101110111011118C 8884C C =++++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-10x =∈R 2x ∈R ()()121f x f x =M 2x x e e y -+=12x xe e y -+=≥=0x =[)1,+∞1>0x ()11f x >()()121f x f x ⋅=()21f x <2x ∈R ()21f x <2x xe e y -+=M ()8log 2y x =+[]0,t []0,t ()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦M []10,x t ∈()()188log 2,log 2f x t ⎡⎤∈+⎣⎦[]20,x t ∈()()()()288188111,log 2,log 2log 2log 2f x t f x t ⎡⎤⎡⎤=∈⊆+⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≥⎪+⎪⎨⎪≤+⎪⎩8888log 2log (2)1log 2log (2)1t t ⨯+≤⎧⎨⨯+≥⎩()88log 2log 21t ⨯+=故，即，故，故③正确； ④若函数具有性质，定义域是R ，使得， 一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而， 故或，在此条件下， 另一方面，的值域是值域的子集．的值域为；的值域为， 要满足题意，只需，， 时，，即； 时，，即， 故，即， 即，即，故．故④错误， 故答案为①③．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）．【解析】选择①：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）()8821log 2log log 328t +===328t +=510t =3sin 4x ay +=M []sin 1,1x ∈-3sin 0x a +≠x []3sin 3,3x ∈-3a >3a <-43sin y x a =+3sin 4x ay +=3sin 4x a y +=33,44a a -+⎡⎤⎢⎥⎣⎦43sin y x a =+44,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦3434a a -≥+3434a a +≤-3a <-441,1334334a a a a ⋅≤⋅≥+-+-44133a a ⋅=+-3a >441,1334334a a a a ⋅≥⋅≤+-+-44133a a ⋅=+-44133a a ⋅=+-()()3316a a -+=2916a -=225a =5a =±32n a n =-12n nb -=()8682nn --+{}n a d {}n b ()0q q ≠11a =11b =226a b +=3311+=a b 2161211d q d q ++=⎧⎨++=⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯（1）（2），得， 所以， 所以，所以．选择②：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）（1）（2），得， 所以， 所以，所以．18．【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：． 【解析】（1，，，，则有， 又因为，所以． -()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+{}n a d {}n b ()0q q ≠1q ≠11a =11b =312S =531T =()533121311d q q +=⎧⎨-=-⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯-()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+π3B =2ABC S =△8ABC S =△sin cos c B C -()sin sin cos B C C B B C +-=sin sin sin B C C B =sin 0C ≠tan B =()0,πB ∈π3B =（2）选择条件①为的平分线，因为为的平分线，所以， 又因为， 所以， 又根据余弦定理得，即， 则有，即，解得或(舍)， 所以． 选择②为的中点，则，，， 则有，可得， 又根据余弦定理得，解得， 则． 19．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元． 【解析】（1）由表格数据知，，， 由回归直线经过样本点的中心可知：，，则回归直线方程为， BD B BDB π6ABD DBC ∠=∠=ABC ABD BDC S S S =+△△△1π1π1πsin 2sin 2sin 232626ac a c =⨯+⨯()2a c =+2222cos b a c ac B =+-()293a c ac =+-()23934ac ac =-()24120ac ac --=6ac =2ac =-1sin 2ABCSac B ==D AC 32AD DC ==πBDA BDC ∠=-∠cos cos BDA BDC ∠=-∠22222233222233222222c a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯22252a c +=229a c ac +-=72ac =1sin 28ABC S ac B ==△9173ˆ22yx =+140.532521234535x ++++==90951051001101005y ++++==()()515222222221519029531054100511053100ˆ12345535i ii ii x y xy b x x==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-∑∑459102==(),x y 9ˆ10032a =⨯+173ˆ2a ∴=9173ˆ22yx =+预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，；；；；；；；，的分布列为：，即每件产品需要修复的平均费用为元．20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过E作于点O，则O是的中点，因为平面平面，平面，所以平面，以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，202012917312140.522⨯+=ξ050100150200250300350 ()31332432Pξ⎛⎫∴==⨯=⎪⎝⎭()3111502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()2231139100C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2231113150C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131139200C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131113250C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()31333002432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()31113502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ξ∴()05010015020025030032323232323232Eξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+135032⨯3252=3252//CD AB AB ABE CD⊂/ABE//CD ABECD⊂ECD ABE ECD l=//l CD//AB CD CD DE⊥AB DE⊥AB AE⊥AE DE E=AE⊂ADE DE⊂ADEAB⊥ADEAB ABCD ABCD⊥AED⊥EO AD ADABCD AED AD=EO⊂ADEEO⊥ABCDAB OD OEO xyz-设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量；，，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理可求得平面的一个法向量为， 所以，解得，当时，，二面角的平面角为钝角，舍去， 所以，此时，所以．21．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），当时，，故在上单调递减；EO h =(0,1,0)A -(0,1,0)D (2,1,0)B -(0,0,)E h (2,0,0)AB =(0,1,)AE h =(0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-ABE 1(,,)x y z =n 1100AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 200x y hz =⎧⎨+=⎩0,x y h ==1z =-ABE 1(0,,1)h =-n (0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-BDE 2222(,,)x y z =n 220ED BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220220y hz x y -=⎧⎨-+=⎩2x h =22,1y h z ==BDE 2(,,1)h h =n 121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 2h =3h =21212122cos ,0-⋅====<⋅n n n n n n A BE D --2h =(0,1,2)AE =5AE =AE [)1,+∞()axf x ae e '=-0a <()0f x '<()f x (),-∞+∞当时，令，解得． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）当时，，则．下证：当时，不等式在上恒成立即可．当时，要证，即，又因为，即只需证．令，， 令，则，解得．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，故．因此存在，使得．故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，故成立．综上，的取值范围为．22．【答案】（1）；（2，理由见解析．【解析】（1）直线过左焦点F，则有， 所以且右焦点， 又，得， 代入直线方程有，所以．∴为直角三角形且，由椭圆定义，知，即， ∴椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，0a >()0f x '=1ln e x aa=()f x 1,ln e a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x =0a e e -≥1a ≥1a ≥()2(1)f x x ≥-[)0,+∞1a ≥()()21f x x ≥-2(1)0axe x ex ---≥ax x e e ≥2(1)0x e x ex ---≥2()(1)(0)xg x e x ex x =---≥()22xg x e x e '=-+-()22xh x e x e =-+-()20xh x e '=-=ln 2x =()g x '()0,ln 2()ln 2,+∞(0)30g e '=->(1)0g '=()ln 20g <()00,ln 2x ∈()00g x '=()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞(0)0g =(1)0g =()0g x ≥a [)1,+∞2214x y +=0x -=(F c =F '124OMF M S y ==△12My =M x =12M ⎫⎪⎭FMF '△90MF F '∠=︒12||||42a MF MF '=+==2a =2214x y +=BC BC 1x x =若，则，∵O 为的重心，可知，代入椭圆方程，得，， 即有A 到BC 的距离为， ∴； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，由，得，显然， ∴，， 则，∵O 为的重心，可知， 由A 在椭圆上，得，化简得，∴，由重心的性质知：A 到直线的距离d 等于O 到直线距离的3倍，即，∴， 综上得，．()11,B x y ()11,C x y -ABC △()12,0A x -211x =2134y =1||2||BC y ==3d =11||322ABC S BC d =⋅==△BC BC y kx m =+()11,B x y ()22,C x y 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=0Δ>122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+()121222241my y k x x m k +=++=+ABC △2282,4141km m A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22441m k =+1222||||414BC x x k m =-===+BC BC d =1||2ABC S BC d =⋅=△ABC △。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天津市津南区2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()*3n x n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a，则aa-=（ ） A ．36π B ．812πC ．252πD ．25π【答案】C 【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===L ，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为1．所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.2．已知,a b r r 为非零向量，“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义可得220a a =>r r ,为实数,则由22a b b a =r r r r 可得22a b b a =r r r r ,根据共线的性质,可判断a b =r r ；再根据a a b b =r r r r 判断a b =r r ,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若22a b b a =r r r r 成立,则22a b b a =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b b a =r r r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r ； 若a ab b =r r r r ,则向量a r 与b r 的方向相同,且22a b =r r ,从而a b =r r ,所以a b =r r . 所以“22a b b a =r r r r ”为“a a b b =r r r r ”的充分必要条件.故选:B 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．25【答案】B 【解析】 【分析】先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，满足3a b -<”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：()2,3、()2,5、()2,7、12()()f x f x -、()2,13、()3,5、()3,7、()3,11、()3,13、()5,7、()5,11、()5,13、()7,11、()7,13、()11,13，共15种情况，其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，且3a b -<”包含的基本事件有：()2,3、()3,5、()5,7、()11,13，共4种情况，因此，所求事件的概率为415P =. 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 4．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题. 5．已知a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数求得()f x 的单调区间，由此判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意，得ln 33a ==，1ln e b e e -==，3ln 2ln888c ==.令ln ()x f x x=，所以21ln '()x f x x -=.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.所以max 1[()]()f x f e b e===，且(3)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.6．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，代入化简即可求解. 【详解】复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +1111i i=++- ()()()()111111i ii i i i -+=++--+11122i i-+=+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值，属于基础题.7．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 【解析】 【分析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D 【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 8．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20 B ．50C ．40D ．60【答案】B 【解析】 【分析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B. 【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.9．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=， 所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题.10．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴211111152a b a bab a b αβ+=+++=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.11．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 【答案】B 【解析】 【分析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.12．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A在第一象限，则cos2α=（ ） A ．5B ．35C ．79D ．235【答案】C 【解析】 【分析】作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，由题意sin AEABα=，由二倍角公式即得解. 【详解】由题意，02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线l ：2p y =-， 作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥， 设1BF BB t ==，故12AB AA t ==，AE t =，217sin cos212sin 39AE AB ααα==⇒=-=. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。