(10份试卷合集)湖北省武汉市华中师大一附中2019年数学高一下学期期末模拟试卷
2018-2019学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）在△ABC中.若cosA=sinBsinC.则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形2.（单选题.5分）预测人口的变化趋势有多种方法.“直接推算法”使用的公式是P n=P0（1+k）n （k＞-1）.其中P n为预测期人口数.P0为初期人口数.k为预测期内年增长率.n为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1＜k＜0.那么在这期间人口数（）A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变3.（单选题.5分）若a＞b＞0.c＜d＜0.则一定有（）A. ac ＞bdB. ac ＜bdC. ad ＞bcD. ad ＜bc4.（单选题.5分）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥.已知圆台的上、下底面半径之比为1：3.母线长为6cm.则已知圆锥的母线长为（）cm．A.8B.9C.10D.125.（单选题.5分）如图是棱长为a的正方体的平面展开图.则在这个正方体中直线MN.EF所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π26.（单选题.5分）设l为直线.α.β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A.若l || α.l || β.则α || βB.若α || β.l || α.则l || βC.若l⊥α.l || β.则α⊥βD.若α⊥β.l || α.则l⊥β7.（单选题.5分）将正整数1.2.3.4.…n…按第k组含k+1个数分组：（1.2）.（3.4.5）.（6.7.8.9）….那么2019所在的组数为（）A.62B.63C.64D.658.（单选题.5分）已知下列各命题：① 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；② 直线a不平行于平面α.则直线a与平面α有公共点；③ 若两个平面垂直.则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；④ 若两个二面角的两个面分别对应垂直.则这两个二面角相等或互补．则其中正确的命题共有（）个A.4B.3C.2D.19.（单选题.5分）长方体共顶点的三个相邻面面积分别为√2 . √3 . √6 .这个长方体的顶点在同一个球面上.则这个球的表面积为（）A.6πB.8πC.12πD.24π10.（单选题.5分）如图.边长为2的正方形ABCD 中.点E 是AB 的中点.点F 是BC 的中点.将△AED .△DCF 分别沿DE.DF 折起.使A.C 两点重合于A 1.则直线A 1D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A. √24B. 2√23C. √33D. 1311.（单选题.5分）三棱锥A-BCD 的高AH=3 √3 .若AB=AC.二面角A-BC-D 为 π3 .G 为△ABC 的重心.则HG 的长为（ ）A. √5B. √6C. √7D. √1012.（单选题.5分）已知△ABC 的周长为20.内切圆的半径为 √3 .BC=7.则tanA 的值为（ ）A. √33B.1C. √3D.213.（填空题.5分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若存在实数x.y.z.使向量 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则x+2y+3z=___ ．14.（填空题.5分）在△ABC中.已知A＞B.则下列四个不等式中.正确的不等式的序号为___ ．① sinA＜sinB ② sinA＞sinB ③ cosA＜cosB ④ cosA＞cosB15.（填空题.5分）如图所示.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1各核长均为1．则一动点从A出发沿表面移动到点D1时的最短路程为___ ．.n∈N*.则：16.（填空题.5分）设S n为数列{a n}的前n项和.S n=（-1）n a n- 12n（1）a3=___ ；（2）S1+S2+…+S100=___ ．17.（问答题.10分）在△ABC中.a.b.c分别为内角A.B.C的对边.且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．（1）求A的大小：.求△ABC的面积S．（2）若a=2 √3 .B= π418.（问答题.10分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.点E．F分别是棱B1C1.C1D1的中点．（1）证明.四边形BDFE是一个梯形；（2）求几何体BCD-EC1F的表面积和体积．19.（问答题.12分）某公司为了变废为宝.节约资源.新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算.该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y= {13x3−80x2+5040x，x∈[120，144)12x2−200x+80000，x∈[144，500).且每处理一吨生活垃圾.可得到能利用的生物柴油价值为200元.若该项目不获利.政府将给予补贴．（Ⅰ）当x∈[200.300]时.判断该项目能否获利？如果获利.求出最大利润；如果不获利.则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时.才能使每吨的平均处理成本最低？20.（问答题.12分）如图.已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC.等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直.且∠ACB= π2.设AC=2.BC=1．（1）求证：B1C1⊥AB1且B1C1⊥A1C1；（2）求二面角A-VB-C的余弦值．21.（问答题.12分）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.底面边长为1.侧棱长为2．（1）求证：平面ACD1⊥平面BB1D1D；（2）求直线AA1与平面ACD1所成的角的正弦值：（3）设H为截面△ACD1内一点（不包括边界）.求H到面ADD1A1.面DCC1D1.面ABCD的距离平方和的最小值．22.（问答题.14分）设数列{a n}的前n项和为S n.满足（n-1）a n+1-na n=-2（n∈N*）.且a6=S3.数列{b n}满足.对任意n∈N*且n≥2.S n-1+b n.S n+b n.S n+1+b n成等比数列.其中b1=2．（1）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（2）记c n= √a n2b n+1（n∈N*）.证明：当n∈N*且n≥2时.2 √n+5 - 11√66＜c1+c2+c3+…+c n＜2（√n+1 -1）（n∈N*）．2018-2019学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：150.则△ABC的形状为（）1.（单选题.5分）在△ABC中.若cosA=sinBsinCA.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【正确答案】：B【解析】：利用两角和公式对原等式整理求得cosA的值.判断出三角形的形状．【解答】：解：整理原等式得sinCcosA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC.∴sinCcosA=0.∵sinC≠0..∴cosA=0.A= π2∴三角形为直角三角形.故选：B．【点评】：本题主要考查了两角和公式的运用．属于基础题．2.（单选题.5分）预测人口的变化趋势有多种方法.“直接推算法”使用的公式是P n=P0（1+k）n （k＞-1）.其中P n为预测期人口数.P0为初期人口数.k为预测期内年增长率.n为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1＜k＜0.那么在这期间人口数（）A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变【正确答案】：B【解析】：由题设知P n+1-P n=P0（1+k）n+1-P0（1+k）n=P0（1+k）n（1+k-1）=P0（1+k）n•k.由-1＜k＜0.知0＜1+k＜1．所以（1+k）n＞0．由此能求出P n+1＜P n．【解答】：解：P n+1-P n=P0（1+k）n+1-P0（1+k）n=P0（1+k）n（1+k-1）=P0（1+k）n•k. ∵-1＜k＜0.∴0＜1+k＜1．∴（1+k）n＞0．又∵P0＞0.k＜0.∴P0（1+k）n•k＜0．即P n+1-P n＜0.∴P n+1＜P n．故选B．解法二：由题意.k为预测期内年增长率.如果在某一时期有-1＜k＜0.即年增长率为负.故这期间人口数呈下降趋势.故选B【点评】：本题考查数列的应用.是中档题．解题时要认真审题.注意题设中的隐含条件.合理地进行等价转化．3.（单选题.5分）若a＞b＞0.c＜d＜0.则一定有（）A. ac ＞bdB. ac ＜bdC. ad ＞bcD. ad ＜bc【正确答案】：D【解析】：利用特例法.判断选项即可．【解答】：解：不妨令a=3.b=1.c=-3.d=-1.则ac =−1 . bd=−1 .∴A、B不正确；a d =−3 . bc=- 13.∴C不正确.D正确．解法二：∵c＜d＜0.∴-c＞-d＞0. ∵a＞b＞0. ∴-ac＞-bd.∴ −accd ＞−bdcd.∴ a d ＜bc．故选：D．【点评】：本题考查不等式比较大小.特值法有效.导数计算正确．4.（单选题.5分）把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥.已知圆台的上、下底面半径之比为1：3.母线长为6cm.则已知圆锥的母线长为（）cm．A.8B.9C.10D.12【正确答案】：B【解析】：利用圆锥与圆台的特征.列出关系式.求解即可．【解答】：解：由题意画出轴截面图形.可知CDAB =SDSB= 13.BD=6.可得SD=3.所以圆锥的母线长为：3+6=9（cm）．故选：B．【点评】：本题考查圆锥的简单性质.轴截面的性质的应用.是基本知识的考查．5.（单选题.5分）如图是棱长为a的正方体的平面展开图.则在这个正方体中直线MN.EF所成角的大小为（）A. π6B. π4C. π3D. π2【正确答案】：C【解析】：由展开图上的端点的恢复正方体后如图所示.做平行的直线.可得相交直线所成的角为异面直线所成的角．【解答】：解：由展开图可得如图所示的正方体.连接ED.则ED || MN.可得∠DEF为异面直线所.成的角.在等边三角形中.∠DEF= π3故选：C．【点评】：本题考查求异面直线所成的角.属于中档题．6.（单选题.5分）设l为直线.α.β是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A.若l || α.l || β.则α || βB.若α || β.l || α.则l || βC.若l⊥α.l || β.则α⊥βD.若α⊥β.l || α.则l⊥β【正确答案】：C【解析】：借助于长方体中的线面关系直观判断.恰当选取长方体中的线与面来表示题目中涉及到的线、面.然后进行判断．【解答】：解：对于A项.在长方体中.任何一条棱都有和它相对的两个平面平行.但这两个平面相交.所以A不对；对于B项.若α、β分别是长方体的上下底面.在下底面所在平面中任选一条直线l.都有l || α.但l⊂β.所以B不对；对于D项.在长方体中.令下底面为β.左边侧面为α.此时α⊥β.在右边侧面中取一条对角线l.则l || α.但l与β不垂直.故D不对；对于C项.设平面γ∩β=m.且l⊂γ.∵l || β.所以l || m.又∵l⊥α.所以m⊥α.由γ∩β=m得m⊂β.∴α⊥β．故选：C．【点评】：在选择题中考查空间线面关系中的平行与垂直关系的判断问题.一般会借助于长方体中的线面来直观判断．7.（单选题.5分）将正整数1.2.3.4.…n…按第k组含k+1个数分组：（1.2）.（3.4.5）.（6.7.8.9）….那么2019所在的组数为（）A.62B.63C.64D.65【正确答案】：B【解析】：因为数字是连续的正整数.且各组数字个数构成等差数列.所以设2019在第n组.只要表示出前n-1组总的数字个数.让其小于2019.求出最大的n即可．【解答】：解：各组的数字个数构成以2为首项.公差为1的等差数列.设2019在第n组．＜2019（n∈N*）令前n-1组的数字个数之和2(n−1)+(n−1)(n−2)2即n2+n＜4040解得n≤63.n∈N*故2019在第63组．故选：B．【点评】：本题考查了归纳推理和等差数列求和的知识与方法．问题的关键在于找出各组数字的个数关系以及所有这些数字依次构成自然数列.从而将问题转化为利用数列求和后.再构造不等式求解的问题．8.（单选题.5分）已知下列各命题：① 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；② 直线a不平行于平面α.则直线a与平面α有公共点；③ 若两个平面垂直.则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；④ 若两个二面角的两个面分别对应垂直.则这两个二面角相等或互补．则其中正确的命题共有（）个A.4B.3C.2D.1【正确答案】：B【解析】：在① 中.由不共线的三点确定一个平面.得两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；在② 中.直线a不平行于平面α.直线a与平面α相交或直线a在平面α内；在③ 中.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.这无数直线可能都是平行线；在④ 中.这两个二面角可能既不相等.也不互补．【解答】：解：在① 中.由不共线的三点确定一个平面.得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.故① 正确；在② 中.直线a不平行于平面α.直线a与平面α相交或直线a在平面α内.则直线a与平面α有公共点.故② 正确；在③ 中.若两个平面垂直.则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.这无数直线可能都是平行线.故③ 正确；在④ 中.若两个二面角的两个面分别对应垂直.则这两个二面角可能不相等且不互补．两个二面角的半平面分别对应垂直.那么这两个二面角角相等或互补”（面与二面角的性质）例：正方体ABCD-A1B1C1D1中.二面角D-AA1-F与二面角D1-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的.但是这两个二面角既不相等.也不互补．故选：B．【点评】：本题考查命题真假的判断与应用.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．9.（单选题.5分）长方体共顶点的三个相邻面面积分别为 √2 . √3 . √6 .这个长方体的顶点在同一个球面上.则这个球的表面积为（ ） A.6π B.8π C.12π D.24π【正确答案】：A【解析】：根据题意可得长方体的三条棱长.再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线.求出长方体的对角线.即可得到球的直径.进而根据球的表面积公式求出球的表面积．【解答】：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是 √2 . √3 . √6 .设三条棱长分别为x.y.z. 则 {xy =√2xz =√3yz =√6.解可得.z= √3 .x=1.y= √2 .∴又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上. 所以长方体的对角线就是圆的直径.因为长方体的体对角线的长是 √1+2+3 = √6 =2R. 故球的表面积S=4πR 2=6π． 故选：A ．【点评】：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征.以及球的内接多面体的有关知识.球的表面积公式.而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线.考查计算能力.空间想象能力.此题属于基础题．10.（单选题.5分）如图.边长为2的正方形ABCD 中.点E 是AB 的中点.点F 是BC 的中点.将△AED .△DCF 分别沿DE.DF 折起.使A.C 两点重合于A 1.则直线A 1D 与平面DEF 所成角的正弦值为（ ）A. √24B.2√23C. √33 D. 13【正确答案】：D【解析】：取EF 的中点O.连接A 1O.DO.由已知证明A 1D⊥平面A 1EF.可得A 1D⊥A 1O.求解三角形可得 A 1O =√92−4=√22.过A 1作A 1G⊥OD .垂足为G.则∠A 1DO 为直线A 1D 与平面DEF 所成角.由等面积法求得A 1G.则直线A 1D 与平面DEF 所成角的正弦值可求．【解答】：解：如图. 取EF 的中点O.连接A 1O.DO.由已知可得A 1D⊥A 1E.A 1D⊥A 1F.则A 1D⊥平面A 1EF.∴A 1D⊥A 1O. 由正方形ABCD 的边长为2.可得DO= 3√22. ∵A 1D=2.∴ A 1O =√92−4=√22.过A 1作A 1G⊥OD .垂足为G.则∠A 1DO 为直线A 1D 与平面DEF 所成角. 由等面积法求得 A 1G =2×√2232√2=23.∴sin ∠A 1DO =A 1G A 1D=232=13．即直线A 1D 与平面DEF 所成角的正弦值为 13． 故选：D ．【点评】：本题考查直线与平面所成角的求法.考查数形结合的解题思想方法.寻找线面角是关键.是中档题．11.（单选题.5分）三棱锥A-BCD的高AH=3 √3 .若AB=AC.二面角A-BC-D为π3.G为△ABC的重心.则HG的长为（）A. √5B. √6C. √7D. √10【正确答案】：C【解析】：由题意画出图形.取BC中点E.连接AE.HE.可得∠AEH为二面角A-BC-D的平面角.利用余弦定理求解．【解答】：解：如图.AH⊥底面BCD且AH=3 √3 .AB=AC.取BC的中点E.连接AE.则AE⊥BC.连接HE.可得HE⊥BC.则∠AEH为二面角A-BC-D为π3.∴EH=AH•cot π3 = 3√3×√33=3 .AE=6.又G为△ABC的重心.∴EG= 13AE=2 .由余弦定理可得GH= √22+32−2×2×3×cosπ3=√7．故选：C．【点评】：本题考查棱锥的结构特征.二面角的问题.考查学生逻辑思维能力.是中档题．12.（单选题.5分）已知△ABC的周长为20.内切圆的半径为√3 .BC=7.则tanA的值为（）A. √33B.1C. √3D.2【正确答案】：C【解析】：设AB=x.AC=y.由已知可得△ABC 的面积S= 12×20×√3 =10 √3 .由三角形的面积公式及余弦定理可得： 12 xysinA=10 √3 .x 2+y 2-2xycosA=49.由x+y=13.可得：x 2+y 2=169-2xy.整理可得xy （1+cosA ）=60.可得 sinA 1+cosA = √33 .求得tan A 2 = √33 .利用二倍角的正切函数公式可求tanA 的值．【解答】：解：设AB=x.AC=y.则由△ABC 的周长为20及BC=7.可得x+y=13.由△ABC 的周长为20.内切圆的半径为 √3 .可得△ABC 的面积S= 12×20×√3 =10 √3 . 由三角形的面积公式及余弦定理可得： 12 xysinA=10 √3 . ① .x 2+y 2-2xycosA=49. ② 由x+y=13.可得：x 2+y 2=169-2xy.代入到 ② 中.整理可得xy （1+cosA ）=60. ③ 由 ① ÷ ③ 整理可得： sinA 1+cosA = √33.即tan A2 = √33.tanA=2tanA 21−tan 2A2= √3 ．故选：C ．【点评】：本题主要考查了三角形的面积公式.余弦定理以及三角函数恒等变换的应用.考查了转化思想.属于中档题．13.（填空题.5分）如图所示.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若存在实数x.y.z.使向量 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则x+2y+3z=___ ．【正确答案】：[1] 72【解析】：根据向量加法、数乘的几何意义.向量加法的平行四边形法则.以及相等向量和相反向量的定义即可得出 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .然后根据空间向量基本定理即可得出x.y.z 的值.然后即可求出x+2y+3z 的值．【解答】：解： BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +zAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ x =−12，y =12，z =1 . ∴ x +2y +3z =−12+1+3=72． 故答案为： 72 ．【点评】：本题考查了向量加法和数乘的几何意义.向量加法的平行四边形法则.相等向量和相反向量的定义.空间向量基本定理.考查了计算能力.属于基础题．14.（填空题.5分）在△ABC 中.已知A ＞B.则下列四个不等式中.正确的不等式的序号为___ ． ① sinA ＜sinB ② sinA ＞sinB ③ cosA ＜cosB ④ cosA ＞cosB 【正确答案】：[1] ② ③【解析】：因为△ABC .且A ＞B.所以只可能出现两种情况.A 、B 均为锐角和A 为钝角.B 为锐角.然后分两类讨论三角函数值的大小即可．【解答】：解：当A 、B 均为锐角时.sinA ＞sinB.cosA ＜cosB ； 当A 为钝角.B 为锐角时.sinA ＞sinB.cosA ＜0＜cosB ． 综上所述.正确的不等式序号为 ② ③ . 故答案为： ② ③ ．【点评】：本题考查利用三角函数线比较三角函数值的大小.考查学生的分析能力.属于基础题． 15.（填空题.5分）如图所示.正六棱柱ABCDEF-A 1B 1C 1D 1E 1F 1各核长均为1．则一动点从A 出发沿表面移动到点D 1时的最短路程为___ ．【正确答案】：[1] √5+2√3【解析】：将所给的正六棱柱如图2的表面按图1部分展开.可得一动点从A 沿表面移动到点D 1时的最短路程【解答】：解：将所给的正六棱柱如图2的表面按图1部分展开． 算得AD′1= √9+1 = √10 ； AD 1= √1+(1+√3)2= √5+2√3 ；∵AD′1＞AD 1.故从A 点沿正侧面和上底面到D 1的路程最短.为 √5+2√3 ． 故答案为： √5+2√3 ．【点评】：本题考查了几何体的展开图.以及线段的性质：两点之间线段最短.解决立体几何两点间的最短距离时.通常把立体图形展开成平面图形.转化成平面图形两点间的距离问题来求解． 16.（填空题.5分）设S n 为数列{a n }的前n 项和.S n =（-1）n a n - 12n .n∈N *.则： （1）a 3=___ ；（2）S 1+S 2+…+S 100=___ ．【正确答案】：[1]- 116 ; [2] 13(12100−1)【解析】：（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论.由此求出首项和n≥2时的关系式 a n =(−1)n a n +(−1)n a n−1+12n ．对此关系式再分n 为偶数和奇数分别得到当n 为偶数和奇数时的通项公式.则a 3可求；（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入 S n =(−1)n a n −12n.n∈N *.则利用数列的分组求和和等比数列的前n 项和公式可求得结果．【解答】：解：由 S n =(−1)n a n −12n.n∈N *. 当n=1时.有 a 1=(−1)1a 1−12.得 a 1=−14．当n≥2时. a n =S n −S n−1=(−1)n a n −12n −(−1)n−1a n−1+12n−1 ． 即 a n =(−1)n a n +(−1)n a n−1+12n ． 若n 为偶数.则 a n−1=−12n (n ≥2) ．所以a n=−12n+1（n为正奇数）；若n为奇数.则a n−1=−2a n+12n =(−2)•(−12n+1)+12n= 12n−1．所以a n=12n（n为正偶数）．所以（1）a3=−124=−116．故答案为- 116；（2）因为a n=−12n+1（n为正奇数）.所以- a1=−(−122)=122.又a n=12n （n为正偶数）.所以a2=122．则−a1+a2=2×122．−a3=−(−124)=124. a4=124．则−a3+a4=2×124．…−a99+a100=2×12100．所以.S1+S2+S3+S4+…+S99+S100= (−a1+a2)+(−a3+a4)+⋯+(−a99+a100)−(12+122+⋯+12100)= 2(14+116+⋯+12100)−(12+122+⋯+12100)= 2•14(1−1450)1−14−12(1−12100)1−12= 13(12100−1)．故答案为13(12100−1)．【点评】：本题考查了数列的求和.考查了数列的函数特性.解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项.当n为奇数时求出偶数项的通项.此题为中高档题．17.（问答题.10分）在△ABC中.a.b.c分别为内角A.B.C的对边.且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．（1）求A的大小：（2）若a=2 √3 .B= π4.求△ABC的面积S．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理化简已知的等式.再由余弦定理表示出cosA.将得出的等式变形后代入cosA中.求出cosA的值.由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由三角形的内角和定理.两角和的正弦函数公式可求sinC的值.利用正弦定理可求b的值.进而根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：（1）由已知.根据正弦定理得：2a2=（2b-c）b+（2c-b）c.整理可得：b2+c2-a2=bc.∴cosA= b2+c2−a22bc = 12.∵0＜A＜π. ∴A= π3；（2）∵由（1）可知A= π3 .又a=2 √3 .B= π4.∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA= √32×√22+ 12×√22= √2+√64.∵又正弦定理asinA =bsinB.可得b= a•sinBsinA= 2√3×√22√32=2 √2 .∴S△ABC= 12 absinC= 12×2√3×2√2×√2+√64=3+ √3．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理.三角形的内角和定理.两角和的正弦函数公式.三角形的面积公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．18.（问答题.10分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.点E．F分别是棱B1C1.C1D1的中点．（1）证明.四边形BDFE是一个梯形；（2）求几何体BCD-EC1F的表面积和体积．【正确答案】：【解析】：（1）由已知证明EF || BD.结合EF= 12BD可得四边形BDFE是一个梯形；（2）直接由棱台的表面积公式及体积公式求解．【解答】：（1）证明：连接EF.B1D1.∵E.F分别是棱B1C1.C1D1的中点.∴EF || B1D1.又B1D1 || BD.∴EF || BD.则四边形BDFE为平面四边形.又EF=12B1D1=12BD .∴四边形BDFE是一个梯形；（2）解：由（1）知.几何体BCD-EC1F是棱台. ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.∴棱台的表面积：S= 12a2+12×12a×12a+2×12×(12a+a)×a+12×(√22a+√2a)×√a2+(√24a)2= 134a2；体积V= 13a×(18a2+12a2+√18a2×12a2) = 724a3．【点评】：本题考查平面的基本性质及其应用.考查棱台体积与表面积的求法.考查计算能力.是中档题．19.（问答题.12分）某公司为了变废为宝.节约资源.新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算.该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y= {13x3−80x2+5040x，x∈[120，144)12x2−200x+80000，x∈[144，500).且每处理一吨生活垃圾.可得到能利用的生物柴油价值为200元.若该项目不获利.政府将给予补贴．（Ⅰ）当x∈[200.300]时.判断该项目能否获利？如果获利.求出最大利润；如果不获利.则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时.才能使每吨的平均处理成本最低？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先确定该项目获利的函数.再利用配方法确定不会获利.从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（Ⅱ）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数.分别求出分段函数的最小值.即可求得结论．【解答】：解：（Ⅰ）当x∈[200.300）时.该项目获利为S.则S=200x-（12 x2-200x+80000）=- 12（x-400）2.∴当x∈[200.300）时.S＜0.因此.该项目不会获利当x=300时.S取得最大值-5000.所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（Ⅱ）由题意可知.生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x = {13x2−80x+5040，x∈[120，144)12x+80000x−200，x∈[144，500)．当x∈[120.144）时. yx = 13（x-120）2+240所以当x=120时. yx取得最小值240；当x∈[144.500）时. yx = 12x+ 80000x-200≥2 √12x•80000x-200=200当且仅当12 x= 80000x.即x=400时. yx取得最小值200因为240＞200.所以当每月处理量为400吨时.才能使每吨的平均处理成本最低．【点评】：知识点基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用.考查函数模型的构建.考查函数的最值.考查利用数学知识解决实际问题.解题的关键是确定函数关系式．20.（问答题.12分）如图.已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC.等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直.且∠ACB= π2.设AC=2.BC=1．（1）求证：B1C1⊥AB1且B1C1⊥A1C1；（2）求二面角A-VB-C的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）推导出BC⊥AC .从而BC⊥平面ABC 1.推导出BC || B 1C 1.AC || A 1C 1.从而B 1C 1⊥平面ABC 1.AC⊥BC .由此能证明B 1C 1⊥AB 1且B 1C 1⊥A 1C 1．（2）以C 为原点.CA 为x 轴.CB 为y 轴.过C 作平面ABC 的垂线为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角A-VB-C 的余弦值．【解答】：解：（1）证明：∵等边△AB 1C 所在的平面与底面ABC 垂直.且∠ACB= π2 . ∴BC⊥AC .∴BC⊥平面ABC 1.∵平面A 1B 1C 1平行于三棱锥V-ABC 的底面ABC.∴BC || B 1C 1.AC || A 1C 1.∴B 1C 1⊥平面ABC 1.AC⊥BC .∵AB 1⊂平面ABC 1.∴B 1C 1⊥AB 1且B 1C 1⊥A 1C 1．（2）解：以C 为原点.CA 为x 轴.CB 为y 轴.过C 作平面ABC 的垂线为z 轴.建立空间直角坐标系.∵AC=2.BC=1.∴A （2.0.0）.B （0.1.0）.C （0.0.0）.B 1（1.0. √3 ）.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.0）. CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.0. √3 ）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.1.0）. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0. √3 ）.设平面AVB 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0n ⃗ •AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3z =0.取z=1.得 n ⃗ =（ √3 .2 √3 .1）. 设平面VBC 的法向量 m ⃗⃗ =（a.b.c ）.则 {m ⃗⃗ •CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b =0m ⃗⃗ •CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +√3c =0 .取a= √3 .得 m ⃗⃗ =（ √3 .0.-1）. 设二面角A-VB-C 的平面角为θ.则cosθ= |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = 2√16•√4= 14 ． ∴二面角A-VB-C 的余弦值为 14 ．【点评】：本题考查线线垂直的证明.考查二面角的余弦值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．21.（问答题.12分）在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中.底面边长为1.侧棱长为2．（1）求证：平面ACD 1⊥平面BB 1D 1D ；（2）求直线AA 1与平面ACD 1所成的角的正弦值：（3）设H 为截面△ACD 1内一点（不包括边界）.求H 到面ADD 1A 1.面DCC 1D 1.面ABCD 的距离平方和的最小值．【正确答案】：【解析】：因为本题给了一个长方体.并且底边长和侧棱长都已知.可以直接建立空间直角坐标系.利用坐标法解决问题．（1）只需证出AC⊥平面BB 1D 1D 即可．（2）求出平面的法向量和直线的方向向量代入公式计算即可；（3）根据空间点的坐标意义.可知H 到三个平面距离的平方和就是其坐标的平方和.也就是该点到原点距离的平方.所以只需要求出原点到该面的距离即可获解．【解答】：解（1）因为正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1.所以底面是正方形ABCD.所以AC⊥BD 又因为DD 1⊥面ABCD.所以DD 1⊥AC .∵DD 1∩BD=D .所以AC⊥平面BB 1D 1D.又AC⊂平面ACD 1.所以平面ACD 1⊥平面BB 1D 1D ．（2）因为正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中.底面边长为1.侧棱长为2.故以D 为原点.DA 、DC 、DD 1所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．所以D （0.0.0）.A （1.0.0）.B （1.1.0）.C （0.1.0）.D 1（0.0.2）．在平面ACD 1中. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，1，0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，2) .设该平面的法向量 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) .∴ {AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗ AD 1⊥m ⃗⃗.∴ {−x +y =0−x +2z =0 .令x=1.得 m ⃗⃗ =(1，1，12) . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)设直线AA 1与平面ACD 1所成的角为θ.所以 sinθ=|cos ＜m ⃗⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=12√1+1+14×1 = 13． （3）由题意可知H 到面ADD 1A 1.面DCC 1D 1.面ABCD 的距离分别为H 点的纵坐标、横坐标、竖坐标．故距离平方和即为H 点到原点距离的平方.显然其最小值即为D 点到平面ACD 1的距离h 的平方．易知 AC =√2，AD 1=CD 1=√5 .又AO=OC= 12AC .所以D 1O⊥AC .∴ D 1O =√AD 12−AO 2=√5−12=√2 S △ACD 1=12AC •D 1O =12×√2×√2=32 ． 由等体积法可知 V 三棱锥D−ACD 1=V 三棱锥D 1−ACD .所以13×12×AD×DC×DD1 = 13S△ACD1×ℎ .所以12×1×1×2=32×ℎ .解得h= 23．故所求的值为49．【点评】：本题考查了面面垂直的判定.以及利用坐标法求空间角的方法步骤.同时考查了学生将空间论证问题转化为坐标运算问题的能力和计算能力．属于中档题．22.（问答题.14分）设数列{a n}的前n项和为S n.满足（n-1）a n+1-na n=-2（n∈N*）.且a6=S3.数列{b n}满足.对任意n∈N*且n≥2.S n-1+b n.S n+b n.S n+1+b n成等比数列.其中b1=2．（1）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（2）记c n= √a n2b n+1（n∈N*）.证明：当n∈N*且n≥2时.2 √n+5 - 11√66＜c1+c2+c3+…+c n＜2（√n+1 -1）（n∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）将（n-1）a n+1-na n=-2中的n换为n+1.作差.结合等差数列的定义和通项公式可得所求a n；运用等比数列的中项性质和等差数列的求和公式.计算可得所求b n；（2）化简c n.先证不等式的右边.运用√n(n+1)(n+2)＜√n+1=2√n+1√n+1+√n=2（√n+1 -√n）.运用裂项相消求和可得；再证不等式的左边.由√n(n+1)(n+2)√n+4+√n+5=2（√n+5 -√n +4 ）.运用裂项相消求和可得.进而得到证明．【解答】：解：（1）（n-1）a n+1-na n =-2.可得na n+2-（n+1）a n+1=-2.作差有n （a n +a n+2）=2na n+1.即a n +a n+2=2a n+1.又n=1时.a 1=2.可得{a n }为首项为2的等差数列.由a 6=S 3.即a 1+5d=3a 1+3d.解得d=2.则a n =2+2（n-1）=2n ；则S n = 12 n （2+2n ）=n 2+n.S n-1=n 2-n.S n+1=（n+1）（n+2）.S n-1+b n .S n +b n .S n+1+b n 成等比数列.可得（S n +b n ）2=（S n-1+b n ）（S n+1+b n ）.即b n = S n 2−S n−1S n+1S n−1+S n+1−2S n =n （n+1）.n≥2. 上式对n=1即b 1=2也成立.故b n =n （n+1）.n∈N*；（2）证明：c n = √a n 2b n+1 = √2n 2(n+1)(n+2) = √n(n+1)(n+2) . 先证不等式的右边.由 √n (n+1)(n+2) √n+1 = 2√n+1 ＜ √n+1+√n =2（ √n +1 - √n ）. 则c 1+c 2+c 3+…+c n ＜2（ √2 -1+ √3 - √2 +…+ √n +1 - √n ）=2（2（ √n +1 -1）； 再证不等式的左边.由n∈N*且n≥2时. √n 2+5n + √n 2+4n ＞2 √n 2+3n +2 .即 √n (n+1)(n+2) ＞ √n+4+√n+5 =2（ √n +5 - √n +4 ）.可得c 1+c 2+c 3+…+c n ＞ √16 +2（ √7 - √6 + √8 - √7 +…+ √n +5 - √n +4 ）=2（2（ √n +5 - √6 ）+ √66 =2 √n +5 - 11√66． 综上可得.当n∈N*且n≥2时.2 √n +5 -11√66 ＜c 1+c 2+c 3+…+c n ＜2（ √n +1 -1）（n∈N*）成立．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查数列的裂项相消求和.以及不等式的证明.考查运算能力、推理能力.属于难题．。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{0,1,2,3}U =，{1,3}A =，则集合UA =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．函数()f x ）A ．[20]-，B ．(20)-，C ．(]20-，D ．()2-+∞，3．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限4．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,a -，若120α︒=，则a 的值为（ ）A ．-B ．±C ．D 5．函数2()ln 8f x x x =+-的零点所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①()()0D D x =； ②对任意x ∈R ，恒有()()D x D x =-成立； ③任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立；④存在三个点()()11,A x D x 、()()22,B x D x 、()()33,C x D x ，使得ABC 为等边三角形；其中真命题的序号为（ ） A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③7．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．)2⎡-⎣ B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、填空题9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 10．下列说法正确的有（ ） A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件 C ．命题2:,0p x R x ∀∈>，，则2:,0⌝∃∈<p x R x D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 11．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b <<，则2ab b > B ．若0a b >>，则b aa b> C ．若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2 D ．若0a >，0b >， 1a b +=，则11a b+的最小值为4 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域内的x ∀，都有()()0f x f x +-=；②对于定义域内的1x ∀，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“颜值函数”.下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A ．()sin f x x =B ．()2f x x=C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩D ．()3f x x =-三、多选题13．设(){1,2,3}n X n n N *=∈，对n X 的任意非空子集A ，定义(A)f 为A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的(A)f 的和为n S ，则5S =_________． 14．已知1b a >>，若3log log 2a b b a -=，b a a b =，则a b -=____________.15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，其耗氧量至少需要______个单位．四、解答题17．已知集合{}{}|321,|53A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，全集U =R . （1）当1a =时，求()U A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()y f x =的最大值以及取最大值时对应的x 的值． 19．已知函数()4xf x =，12xg x.（1）求不等式()()222f x g -<的解集；（2）若()()12f x g x =，且12x x ≠，求211x x +的最小值； 20．对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将a 视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，记将y 表示成x 的函数为()f x .（1）求函数()f x 的解析式，并作出其图象；（2）若0m n >>且均不等于1，且满足()()f m f n =，求证：243m n +≥. 21．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数,01()1sin ,12a bx x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩(0a >，0b >).（1）若1b =，且()f x 是减函数，求a 的取值范围；（2）若1a =，关于x 的方程3|()2|(1)2f x b x -=--有三个互不相等的实根，求b 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】 根据补集定义求出UA .【详解】因为{0,1,2,3}U =，{1,3}A = 根据补集定义可得{}U0,2A =，故选：C. 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．C 【分析】根据题意求出使对数和根式有意义的x 的范围. 【详解】由题意可得：21log (2)020x x -+≥⎧⎨+>⎩ 即022x <+≤， 解得：20x -<≤，所以原函数的定义域为(]20-，， 故选：C. 3．B 【分析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩由三角函数在各个象限的符号可求角α的终边所在象限. 【详解】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 故选：B. 【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题. 4．C 【分析】根据终边经过点()2,a -，且120α︒=，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为终边经过点()2,a -，且120α︒=，所以tan 1202a︒==-解得a = 故选：C 5．B 【分析】先判断()f x 的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，且为定义域上的增函数，()()()170,2ln 240,3ln310f f f =-<=-<=+>， ()()230f f ⋅<，故零点所在区间是()2,3.故选：B 6．C 【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证x 为无理数和x 为有理数时()()D D x 的值； 命题②和命题③：分x 为无理数和x 为有理数两种情况进行验证； 命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.【详解】当x 为无理数时，()0D x =，所以()()()01D D x D ==； 当x 为有理数时，()1D x =，所以()()()11D D x D ==， 所以对任意x ∈R ，恒有()()1D D x =，①错误； 当x 为无理数时，x -也为无理数，所以()()0D x D x =-=；当x 为有理数时，x -也为有理数，所以()()1D x D x =-=，②正确；对任意实数x ，任取一个不为零的有理数T ，若x 为无理数时，则x T +也为无理数， 所以()()0D x D x T =+=；当x 为有理数时，x T +也为有理数，所以()()1D x D x T =+=， 所以任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立，③正确；取1230,x x x ===()()()1310,1,0D x D x D x ===，此时(),0,1,A B C ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，三点恰好构成等边三角形，④正确. 故选：C. 7．D 【分析】先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->可得2sin sin 40t t θθ-+>，由当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1012t <<，102t <和112t≥三种情况求解即可 【详解】解：()f x 的定义域为R ，因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=+-+-==， 所以()f x 为奇函数，因为函数3,lg(y x y x ==在[0,)+∞上均为增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--， 所以()()2sin 4sin f t f t θθ>-+，所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>， 当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin [0,1]θ∈，令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈ 当0t =时，()0g x x =-≤，舍去，当0t ≠时，对称轴为12x t=， 当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t =->，解得14t >，所以12t >， 当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以t ∈∅， 当112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152t <≤， 综上，1(,)5t ∈+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题 8．B 【分析】根据“隐对称点"的定义可知()f x 图象上存在关于原点对称的点，转化为求2()2,0f x x x x =+<关于原点的对称函数与()2,0f x mx x =+≥ 有交点即可.【详解】由“隐对称点"的定义可知, ()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在关 于原点对称的点,设函数g (x )的图象与函数22,0y x x x =+<的图象关 于原点对称.令0x >，则220,()()2()2,x f x x x x x -<-=-+-=- 所以2()2g x x x =-+，故原题意等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有实根, 故22m x x=--+，而222()222x x x x --+=-++≤-=-当且仅当x ,取得等号,所以2m ≤-故实数m 的取值范围是(,2-∞-, 故选：B 【点睛】关键点点睛：求出函数在0x <时关于原点对称的函数解析式2()2g x x x =-+，转化为2()2g x x x =-+与()2,0f x mx x =+≥相交是关键.二、填空题9．ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证. 10．ABD 【分析】解分式不等式可知A 正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B ，D 正确；含有全称量词命题得否定，2:,0p x R x ⌝∃∈≤，故C 错误. 【详解】 由212103131--->⇒>++x x x x ，(2)(31)0x x ++<，123x -<<-，A 正确； 1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立,因此“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件，B 正确；命题2:,0p x R x ∀∈>，则2:,0p x R x ⌝∃∈≤，C 错误；5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断选项A 、B 的正误；求出1y x x=+的最小值可得实数m 的范围，可判断选项C ；利用基本不等式求最值可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：若0a b <<，则2ab b >，故选项A 正确； 对于选项B ：若0a b >>，则1b aa b<<，故选项B 不正确； 对于选项C ：若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x +≥恒成立，则min 1m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，因为0x >，所以12y x x =+≥当且仅当1x =时1y x x =+的最小值为2，所以2m ≤，所以实数m 的最大值为2，故选项C 正确； 对于选项D ：若0a >，0b >，1a b +=，则()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即12a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为4，故选项D 正确，故选：ACD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．CD 【分析】由条件得出“颜值函数”在定义域内为奇函数、减函数，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意知，函数()f x 是定义域上单调递减的奇函数， A 选项，()sin f x x =在是定义域上不是单调递减，故错误；B 选项，()2f x x =不是奇函数，故错误；C 选项. 作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩的图象，如下根据图象，函数()f x 在定义域内为奇函数且为减函数，所以是“颜值函数”.则C 正确. D 选项, ()2f x x =-在定义域内为奇函数且为减函数, 所以是“颜值函数”，则D 正确. 故选: CD.三、多选题 13．129【分析】由题意分析得：n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，利用错位相减法求和即可.【详解】 由(){1,2,3}n X n n N *=∈，n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，故()01212122212n n n S n n --=⨯+⨯++⨯-+⨯， ∴()12122122212n n n S n n -=⨯+⨯++⨯-+⨯，两式相减得12112222n n n S n --=++++-⨯，所以12221212nn n n n S n n --=-⨯=--⨯-， 故()121nn S n =-⋅+， 所以()555121129S =-⨯+=.故答案为：129. 【点睛】关键点睛：本题是集合和数列结合的题.分析出“n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个.”是解题的关键.14．2-【分析】解方程求得log a b ，再利用指数运算求解 【详解】313log log log 2log 2a b a a b a b b -=∴-=，因为1b a >>，故log a b =22,a b a ∴==，则22bb a a a b b b b a ⇒=∴==，解得2,4a b == ，则2a b -=-故答案为：2- 【点睛】本题考查对数与指数的运算，考查方程思想，意在考查计算能力，是基础题15．704【分析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 16．80 【分析】由初始值求得a ，然后再由2v ≥求得Q 的最小值． 【详解】 由题意220log 010a +=，1a =-，即21log 10Q v =-+， 由21log 210Q-+≥，解得80Q ≥． 故答案为：80 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，再根据要求列式求解即可．四、解答题17．（1）{}|52x x -≤<-；（2）4a 或21a -≤≤.【分析】（1）求出集合A 从而求UA ，再与集合B 取交集即可；（2）分A φ=和A φ≠两种情况讨论根据A B ⊆列出不等式（组）求a 的取值范围.【详解】（1）依题意，当1a =时，{}|23A x x =-≤≤，则|2UA x x =<-｛或3}x >，又{}|53B x x =-≤≤， 则()|2U A B x x =<-｛或{}{}|53|3}52x x x x x -≤≤->=≤<-.（2）若A B ⊆，则有{}{}|321|53x a x a x x -≤≤+⊆-≤≤，于是有： 当A φ=时，A B ⊆显然成立，此时只需321a a ->+，即4a ；当A φ≠时，若A B ⊆，则35221313214a a a a a a a -≥-≥-⎧⎧⎪⎪+≤⇒≤⎨⎨⎪⎪-≤+≥-⎩⎩，所以：21a -≤≤ 综上所述，a 的取值范围为：4a 或21a -≤≤.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数时注意以下两点：（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论. 18．(1)π，[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.【分析】(1)利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间； (2)利用正弦函数的性质，分析计算作答. 【详解】(1)因函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ，则()f x 最小正周期22T ππ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)依题意，当sin(2)16x π+=时，max ()2f x =，此时，22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6=+∈x k k Z ππ，所以max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.19．（1）{}|11x x -<<；（2） 【分析】（1）先根据已知条件表示出所解不等式，化为同底的，再利用指数函数的单调性即可求解 （2）由()()12f x g x =得出12,x x 之间的关系，且10x ≠，将211x x +用同一个变量表示，再利用函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：22211442x --⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 因为4x y =在R 上单调递增，所以221x -<-，即21x <， 解得：11x -<<，所以原不等式的解集为：{}|11x x -<<，（2）若()()12f x g x =，则21142x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即12222x x -=，所以122x x =-，所以221212x x x x +=+， 令20x t =>，则()2f t t t=+，任取()12,0,t t ∈+∞且12t t <，则()()()()121212121212121222222t t t t f t f t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1t，2t 120t t -<，1220t t -<，此时()()120f t f t ->，()()12>f t f t ()2f t t t=+在(上单调递减，当1t，2t >120t t -<，1220t t ->，此时()()120f t f t -<，()()12<f t f t ()2f t t t=+在)+∞上单调递增，所以t 时，()min f t == 所以211x x +的最小值为 20．（1）1()ln f x x=，作图见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对y x e =两边取对数，并化简即得到1ln y x =，即得到函数1()ln f x x=及图象； （2）结合图象化简关系得到ln ln n m -=，即1mn =，22144m n n n+=+，再构造函数21()4(01)g x x x x=+<<，结合单调性求其最小值为3，即得证，或者拼凑22211144422m n n n n n n+=+=++，利用三项的基本不等式证明结果即可. 【详解】（1）解：由(0,1)y x e x x =>≠两侧取以e 为底的对数，得ln ln y x e =，即1ln y x=， 所以1()ln f x x=，其图象如图所示.（2）证明：因为|()||()|f m f n =，且0m n >>， 所以(0,1),(1,)n m ∈∈+∞，且ln ln n m -=， 即ln ln 0,ln()0m n mn +==，故1mn =，则22144m n n n+=+. 法一：记21()4(01)g x x x x=+<<.任取12,x x ，且1201x x ，因为()()()2222121212121211114444g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212211212144x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=+-+=-⋅， 因为1201x x ，所以21120,0x x x x ->>. 当12102x x ≤<<时，()121241x x x x +<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >； 当12112x x ≤<<时，()121241x x x x +>，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <. 所以21()4(01)g x x x x =+<<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以当12x =时，min ()3g x =，所以243m n +≥. 法二：22223111114443432222m n n n n n n n n n+=+=++⋅⋅=≥（当且仅当2142n n =即12n =时取“=”），所以243m n +≥.21．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈.（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.【分析】(1)先根据()f x 是减函数,需要ay x x =+在0<x<1上是减函数和1sin x y aπ=+在[]1,2上是减函数,且11sina aπ+>+,解方程即可;(2)分别作出12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩和3()(1)(02)2h x b x x =--<≤的图像,根据交点个数判断. 【详解】解：（1）,01()1sin ,12a x x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，当0a >时，函数ay x x=+在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 所以1a ≥，所以1a ≥. 函数1sinx y aπ=+的周期22T a =≥，且3,22a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以12322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得423a ≤≤.当423a ≤≤时，满足11sina aπ+>+，所以a 的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）设12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩， 3()(1)(02)2h x b x x =--<≤， 由题意，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点.①当1b >时，12,01()1sin ,12bx x g x x x x π⎧+-<<⎪=⎨⎪-≤≤⎩， 则()g x 在0,b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在,1b b ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()h x 在(0,2]上单调递减，如图1所示.当b x ⎛∈ ⎝⎭时，因为113(1)044h g b b b ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，25342h g⎫-=+>⎪⎭⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在⎛⎝⎭上存在一个交点；当31,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g-=>，331222bh g+⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点；当3,22x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，33()1222bh x h⎛⎫<=-<⎪⎝⎭，()(2)1g x g≥=，所以()g x与()h x的图象在3,22⎛⎤⎥⎝⎦上不存在交点.因此，要满足题意，()g x与()h x的图象在⎫⎪⎪⎣⎭上必存在一个交点，所以13212b+->，即52b>，所以，当52b>时，()g x与()h x的图象有三个不同的交点.②当1b=时，()g x与()h x的图象有两个不同的交点，不合题意，舍去.③当01b<<时，设关于x的方程120bxx+-=在(0,1)内的根为m，1,12m⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12,0()12,11sin,12bx x mxg xbx m xxx xπ⎧+-<≤⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-≤≤⎩，所以()g x在(0,]m和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在(,1)m和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()h x在(0,2]上单调递减，如图2所示.当(0,]x m ∈时，因为3()()(1)02h m g m b m -=-->， 1110442b h g -⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在(0,]m 上存在一个交点，当(,1)x m ∈时，因为3()(1)2h x h >=， 13()2112g x b b <--+=-<， 所以()g x 与()h x 的图象在(,1)m 上不存在交点； 当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g -=>， 3310222b h g +⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点. 因此，要满足题意，()g x 与()h x 的图象在3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上必存在一个交点， 所以(2)(2)h g ≥，即102b <≤. 所以，当102b <≤时，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点， 综上，b 的取值范围是150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 【点睛】已知函数零点个数(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．。
华中师大一附中2018-2019学年度高一下学期期末考试数学试题参考答案
高一年级下学期期末检测数学试题参考答案二、填空题 13．7214．②③15 16．10011-132（） 三、解答题17．解：（1）由已知，根据正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =-+-…（2分）222a b c bc ⇒=+-，由余弦定理：2222cos a b c bcA =+-1cos 2A∴=，又0,3A A ππ<<∴=………………………………………（5分）（2）在ABC ∆中：,34A aB ππ===∴由正弦定理得到：sin sin a Bb A==6分）A B C π++=sin sin()sincos cos sin 34344C A B ππππ∴=+=+=…………（8分） 11sin3224S ab c ∴==⨯⨯⨯=10分）18．解：（1）证明：连结11B D,E F 分别是正方体1AC 的棱1111,B C C D 的中点EF ∴ 1112B D ，11B D BD ，EF ∴ 12BD ∴四边形BDFE 是一个梯形…………………………………………………（4分） （2）由（1）设DF BE P =，则P ∈面1BC 且P ∈面1DC而面1BC 面111,DC CC P CC =∴∈，∴几何体1BCD EC F -为台体…………（5分）= ∥ =∥ = ∥正方体1AC 的棱长为a，,BD EF ∴==。
∴梯形BEFD的高4h a == ∴几何体1BCD EC F -的表面积222111113)()2242284S a a a a a a a =+⨯++++=表………………（8分）几何体1BCD EC F -的体积222311117()324824V a a a a a =⨯⨯++=…………（10分） 19．解：（1）当[200,300]x ∈时，设该项目获利为S 元，则由已知：2211200(20080000)(400)22S x x x x =--+=--∴当[200,300]x ∈时，0S <，因此该项目不能获利,当300x =时，S 取得最大值5000-， ∴政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏.………………………………（5分）（2）由题意可知：生活垃圾每吨的平均处理成本为：21805040,[120,144)3180000200,[144,500)2x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩当[120,144)x ∈时，21(120)2403y x x =-+ ∴当120x =时，yx取得最小值240………………………………………………（7分） 当[144,500)x ∈时，1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000([144,500))2x x x=∈，即400x =时，等号成立. ∴此时当400x =时，yx取得最小值200…………………………………………（10分）200<240。
湖北省武汉市华师一附中2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)
华中师大一附中2018--2019 学年度下学期高一期末检测一、选择题：1.在ABC中，cosA ，则ABC的形状为（）sinCA. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 正三角形【答案】A【解析】【分析】sinB在ABC 中，由cosA ，变形为sinB cos Asin C ，再利用内角和转化为sinCsin A C cos Asin C ，通过两角和的正弦展开判断【详解】在ABC中，因为cosA sin B，sinC所以sinB cosAsinC ，所以sin A C cos A sinC ，所以sin AcosC 0 ，所以C ，2 所以ABC 直角三角形.故选：A【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n P0 1 k n（k 1），P n为预测人口数，P0 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有 1 k 0 ，那么在这期间人口数A. 呈下降趋势B. 呈上升趋势C. 摆动变化D. 不变【答案】A【解析】【分析】可以通过P n与P0 之间的大小关系进行判断．【详解】当 1 k 0 时， 0 1 k 1，0 1 k n1，4.把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为 1: 3 ，母线长为 6cm ，则己知圆锥的母线长为（ ） cm .A. 8B. 9C. 10D. 12【答案】 B【解析】 【分析】设圆锥的母线长为 l ，根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为 1: 3来求解 .【详解】设圆锥的母线长为 l ，因为圆台的上、下底面半径之比为 1:3， 所以 l 6: l 1:3 ， 解得 l 9.故选： B 【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题 .5. 如图是棱长为 a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线 MN, EF 所成角的大小为（所以 P nnP 0 1 kP 0 ，呈下降趋势．【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．3. 若 a b 0,c d0,则一定有（）a ba ba baA.B.C.D.c dc dd cd【答案】 D【解析】本题主要考查不等关系．已知 a b 0,c d,所以 1 10 ，所以 a b，dcdcb c故 d a c b ．故选 D在正方体中， MN //EG ，所以 FEG 直线 MN, EF 所成角， 由正方体的性质，知 EF EG FG ， 所以 FEG .3故选： C 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题6. 设 l 为直线， ， 是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A.6 B. 4 C. 3D.2【答案】 C 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解详解】观察规律，第一组最后一个数是 2=2 ，A. 若 l P ,l P ，则 ∥B. 若 ∥ ,l ∥，则l ∥C. 若 l ,l P，则D. 若,l P ，则 l【答案】 C【解析】【分析】画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项 A ，在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以 A不正确；对于选项 B ，若 ， 分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线 l ，都有 l P ，但 l ，所以B 不正确；对于选项 D ，在长方体中，令下底面为 ，左边侧面为 ，此时 ，在右边侧面中取一条对角线 l ，则lP ，但 l 与 不垂直，所以 D 不正确；所以 ，所以 C 正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题答案】 B 解析】 分析】观察规律， 看每一组的最后一个数与组数的关系， 可知第 n 组最后一个数是 2+3+4+⋯..+ n+1= n n 3 ，然 2 后再验证求解对于选项 C ，设平面 Im ，且 l，因为 l ∥ ，所以 l Pm ，又 l，所以 m ，又 m7.将正整数 1,2,3,4,L ,n,L 按第 k 组含 k 1个数分组：1,2 , 3,4,5 , 6,7,8,9 ,L ,那么 2019所在的组数为（ ）A. 62B. 63C. 64D. 65第二组最后一个数是 5=2+3 ， 第三组最后一个数是 9=2+3+4 ，当 n 62 时， n n 3 2015 ，所以 2019所在的组数为 63.2故选： B【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题8.已知下列各命题：① 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：② 若真线 a 不平行于平面 a ，则直线 a 与平面 a 有公共点：③ 若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线： ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补 . 则其中正确的命题共有（ ）个A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】 B 【解析】 【分析】①利用平面的基本性质判断 .②利用直线与平面的位置关系判断 .③由面面垂直的性质定理判断 例来判断 .【详解】①两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确 .②若真线 a 不平行于平面 a ，则直线 a 与平面 a 相交或在平面内，所以有公共点，故正确 . ③若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面，垂直另一平面内所有直线， 不垂直与交线，也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条，故正确 . ④若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：依此，第 n 组最后一个数是 n n 32+3+4+⋯ ..+ n+1=2.④通过举反在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角 D-AA 1-F 与二面角 D 1-DC-A 的两个半平面就是分别对应垂直的，但是 这两个二面角既不相等，也不互补．故错误 .. 故选： B【点睛】本题主要考查了点、线、面 位置关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题 .9. 长方体共顶点的三个相邻面面积分别为 2, 3, 6 ，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）bc 6 a 2 1解得 c 2 3 ， b 2 2所以 r 1 a 2 b 2 c 2 6 ，22所以外接球的表面积 s 4 r 2 6 故选： A点睛】本题主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题在正方形中连接 BD ，交 EF 于点 G ， 在折叠图，连接 A G ， 因为 DA A E,DA A F,AE AF A ， 所以 DA 平面 AEF ，所以 DA EF ， 又因为 EF DG ， 所以 EF 平面 ABG ， 又因为 EF 平面 DEF ， 所以 A DG 平面DEF ，10.边长为 2的正方形 ABCD 中，点E 是 AB 的中点，点F 是BC 的中点，将 ED, DCF 分别沿 DE,DF折起，使 A,C 两点重合于 A 1 ，则直线 A 1D 与平面 DEF 所成角的正弦值为（）A. B. 2 2C. 3D.答案】 D 解析】 分析】在正方形中连接 BD ，交EF 于点 G ，根据正方形的性质， EF DG在折叠图中 DA 平面 AEF ，得到 DA EF ，从而 EF 平面 ABG ，面 ADG 平面 DEF，则 GD是 AD 在平面 DEF 上的射影，找到直线与平面所所成的角 .然后在直角三角 A DG 中求解 .详解】如图所示：则 GD 是 AD 在平面 DEF 上的射影， 所以 ADG 即为所求 .故选： D点睛】本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题11.三棱锥 A BCD 的高AH 3 3，若AB AC ，二面角 A BC D 为3，G 为 ABC 的重心，则HG 3的长为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 10答案】 C 解析】 分析】根据AB=AC ，取BC 的中点E ，连结AE ，得到AE ⊥BC ，再由由AH ⊥平面 BCD ，得到EH ⊥BC.，所以∠GEH 是二面角的平面角，然后在 △GHE 中，利用余弦定理求解 .∵AB=AC，∴AE ⊥BC ，且点 G 在中线 AE 上，连结 HE. ∵AH ⊥平面 BCD ，∴ EH ⊥BC.∴∠ GEH=60°. 在 Rt △AHE 中，∵∠ AEH=60°， AH=因为AGBG22AD2,DGAD 2 A G2 3 22sin ADGAG 1DG 3详解】 :如图所示：取 BC 的中点 E ，连结 AE ，∴EH=AHtan30°=3，1AE=6，GE=13AE=2由余弦定理得 HG 2=9+4-2 ×3×2cos60 °=7. ∴HG= 7 故选： C【点睛】本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题12.己知 ABC 的周长为 20，内切圆的半径为 3， BC 7， 则 tan A 的值为（）A. 3B. 1C. 3D. 2 3【答案】 C 【解析】 【分析】11根据 ABC 的周长为 20 ，内切圆的半径为 3，求得 S ABC AB BC AC r 20 3 10 3， 22再 利用 正弦定 理 S ABC 1AB ACsin A 10 3 ， 得到 AB AC 20 3 ， 然后代 入余 弦定理 2 sin ABC 2 AB 2 AC 2 2AB AC cos A ，化简得到 3sin A cosA 1求解.详解】因为 ABC 的周长为 20，内切圆的半径为 3 ， 所以 S ABC 1 AB BC AC r 1 20 3 10 3 ， ABC 2 2 又因为 S ABC 1 AB ACsin A 10 3，2所以3sin A cosA 1 ，1即 sin A，62所以AB AC20 3sin A由余弦定理得： BC 2AB 2AC 22AB AC cosA ，2AB AC 2AB AC 1 cosA ，所以49 169220 3sin A1 cos A ，因为 A 为内角，所以A , A ，6 6 3所以tanA 3 .故选：C点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题、填空题：13.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M 为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x, y, z，使向量uuuur uuur uuur uuurBM xAB yAD zAA1，则x 2y 3z _________________答案】72解析】分析】uuuur uuur uuur uuur在平行六面体中把向量用BM 用AB, AD, AA1表示，再利用待定系数法，求得x, y, z .再求解。
武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案
华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。
湖北省武汉市大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试卷含解析
湖北省武汉市大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则与b的大小关系为（）A.>bB.<bC. =bD. 与x的取值有关参考答案：A2. 函数在区间[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣5）∪[﹣4，+∞）B．（﹣5，﹣4] C．（﹣∞，﹣4] D．[﹣4，0）参考答案：B【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=g（x）=2x2﹣ax+3，则t=log t为减函数，若函数在区间[﹣1，+∞）上是减函数，则等价为t=g（x）在区间[﹣1，+∞）上是增函数，且满足g（﹣1）＞0，即，即，即﹣5＜a≤4，故选：B．【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合一元二次函数的单调性的性质是解决本题的关键．3. 已知集合,则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先求集合A和集合B，然后取交集即可.【详解】,,则,故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.4. 记= ( )A． B． C． D．参考答案：A5. 函数的大致图象是( )A. B. C. D.参考答案：A6. 已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若，则直线AP一定过△ABC的（）A. 重心B. 垂心C. 外心D. 内心参考答案：A7. 如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x| D．y=﹣|sinx|参考答案：C【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．8. 设是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则,,的大小顺序是( )A. B.C. D.参考答案：D9. 设在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范( )A.[ -,+∞)B.(-∞,-3]C.(-∞,-3]∪[-,+∞)D.[-, ]参考答案：C略10. 四边形OABC中，，若，，则=（）A．B．C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是 .参考答案：12. 已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣3）= ．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性，转化求解即可．【解答】解：函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32﹣2×3）=﹣3．故答案为：﹣3．13. 已知函数f（x）= ，则f（f（e））=．参考答案：2【考点】函数的值．【分析】先求出f（e）=﹣lne=﹣1，从而f（f（e））=f（﹣1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（e）=﹣lne=﹣1，f（f（e））=f（﹣1）=（）﹣1=2．故答案为：2．14. 已知f ()=，则的解析式是．参考答案：f (x)= (x≠0)15. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点在以为半径的圆弧上，如图所示，若其中,则________；________.参考答案：16. 两等差数列{a n}和{b n}前n项和分别为S n，T n，且，则=__________。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC=5:11:13，则()A. sinA=5，sinB=11，sinC=13B. a=5，b=11，c=13C. A:B:C=5:11:13D. a:b:c=5:11:132.若各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，则a4⋅a3a2⋅a1的值等于()A. 4B. 8C. 16D. 643.若关于的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥C. 用平行于圆台底面的平面截圆台，其截面是圆面D. 直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥5.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A. √55B. 2√55C. 2√25D. −2√256.已知：α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列说法正确的是()A. l//ml⊥αm//β}⇒α⊥β B. l⊥mm⊂α}⇒l⊥αC. l⊥ml⊥nm⊂αn⊂α}⇒l⊥α D. l//βm//β l⊂α m⊂α}⇒α//β7.已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于2第m行、第n列的数记为a mn，如a21=4，a42=16.若a mn=248，则m+n=()A. 20B. 21C. 29D. 308.下列说法中正确的个数是()(1)从一批产品取出三件产品，设事件A=“三件产品全是次品”，事件B=“三件产品全是正品”，事件C=“三件产品不全是次品”，A，B，C中任何两个均互斥；(2)已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“lna>lnb”的充要条件；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0．A. 0B. 1C. 2D. 39.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A. π6B. √23π C. 43π D. √32π10.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论正确的是()A. 二面角D−BC−E是直二面角B. 直线BM，EN是异面直线C. CM⊥END. 直线EN与平面MCB所成角的正弦值为√3411.下列说法中，正确的是()A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形C. 棱柱的各条棱都相等D. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱12.在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC的形状是A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知非零向量满足0，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为．14.函数值sin3π5，sin4π5，sin9π10从大到小的顺序为______ (用“>”连接)．15.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0,1]，给出以下五个命题：①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；②当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；③多面体ABCD−MENF的体积为12④四棱锥C′−MENF的体积V=V(x)为常函数；⑤直线MN与直线CC′的夹角正弦值的范围是[√63,1]以上命题中正确的有______ (天上所有正确命题的序号)16.已知a1=5，a n=2a n−1+3(n≥2)，则a6=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?18. 如图所示，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2ED=2a，F是BC的中点．(1)求证：DF//平面EAB；(2)设动点P从F出发，沿棱BC，CD按照F→C→D的线路运动到点D，求这一运动过程中形成的三棱锥P−EAB体积的最小值．19. 设二次函数满足条件：(1)当时，都有且成立;(2)当时，；(3)在上的最小值为0．(1)求的值及的解析式；(2)求最大的实数，使得存在，只要，就有成立．20. 在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，已知AB=AC=AA 1=，BC=4，点A 1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E，使得OE⊥平面BB 1C 1C，并求出AE的长；(2)求平面A 1B 1C与平面BB 1C 1C夹角的余弦值．21. 如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF和FCDE是全等的等腰梯形，其中AB//FC//ED，FC=2，点O为FC的中点，点G是AB的中点．且AB=BC=12(Ⅰ)求证：OG⊥平面FCDE；(Ⅱ)请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO垂直，并给出证明；(Ⅲ)在线段CD上是否存在点，使得BH//平面EGO？如果存在，求出DH的长度；如果不存在，请说明理由．22. 已知数列{a n}、{b n}、{c n}，对于给定的正整数k，记b n=a n−a n+k，c n=a n+a n+k(n∈N∗).若对任意的正整数n满足：b n≤b n+1，且{c n}是等差数列，则称数列{a n}为“H(k)”数列．(1)若数列{a n}的前n项和为S n=n2，证明：{a n}为H(k)数列；(2)若数列{a n}为H(1)数列，且a1=1，b1=−1，c2=5，求数列{a n}的通项公式；(3)若数列{a n}为H(2)数列，证明：{a n}是等差数列．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查正弦定理在三角形中的应用，是基础题．直接运用正弦定理求解即可．解：由正弦定理可知sinA=a2R ，sinB=b2R，sinC=c2R，(其中R为△ABC外接圆的半径)，sinA:sinB:sinC=a2R:b2R:c2R=a:b:c=5:11:13，故选：D．2.答案：C解析：解：∵各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，∴a n+1a n=2，∴a n=a1⋅2n−1，∴a4⋅a3a2⋅a1=a1⋅23⋅a1⋅22a1⋅2⋅a1=16．故选C．由各项均不为零的数列{a n}满足a n+1=2a n(n∈N+)，知a n+1a n =2，所以an=a1⋅2n−1，由此能求出a4⋅a3a2⋅a1．本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的灵活运用．3.答案：A解析：试题分析：设，因为，所以的最小值为；由的解集为空集知．故选B．考点：绝对值不等式的性质．4.答案：C解析：解：在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B 中，由棱锥的定义得：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥， 由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体，故B 不正确； 在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面，C 正确； 在D 中，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个对底面的两个圆锥，故不正确．因此D 不正确． 故选：C ．在A 中，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱；在B 中，由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体；在C 中，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面；在D 中，分直角三角形绕它的一条直角边和斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体可能是圆锥，可能是两个对底面的两个圆锥，进而可判断出，本题考查命题真假的判断，考查棱柱、棱台等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：C解析：本题考查的知识点是异面直线夹角问题.建立空间坐标系，属于简单题．建立空间坐标系，求出异面直线AC 1与B 1C 的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案． 解：∵直三棱锥ABC −A 1B 1C 1底面三边长AC =3，BC =4，AB =5，AC ，BC ，CC 1两两垂直．如图建立坐标系，则C(0,0，0)，A(3,0，0)，C 1(0,0，4)，B 1(0,4，4)， ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，4)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)， 设异面直线AC 1与B 1C 所成角为θ， 则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=20√2=2√25， ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为2√25， 故选：C ．6.答案：A解析：本题考查了面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理的运用；熟练掌握定理的条件是关键．利用面面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理对四个选项分别分析选择正确答案．解：对于A，设过m的平面与β交于直线n，则m//n，又l//m，则l//n，又l⊥α，所以n⊥α，n⊂β，所以α⊥β；故A正确；对于B，l⊥m，m⊂α，直线l有可能在α内，所以B错误；对于C，如果直线m，n平行，直线l可能在α内；故C 错误；对于D，如果直线m，l平行，平面α，β可能相交；故D错误；故选A．7.答案：A解析：解：前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以m+n=16+4=20，故选：A．前15行共有15×162=120个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，根据规律求出即可．考查归纳推理，基础题．8.答案：B解析：解：(1)事件C=“三件产品不全是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，B⊂C，故B，C不互斥，(1)错误；(2)当a=1，b=0时，有√a>√b此时ln b无意义，故(2)错误；(3)若命题p：∃x∈(0,π2)，x−sinx<0，则￢p：∀x∈(0,π2)，x−sinx≥0，故(3)正确．∴正确的说法只有(3)．故选：B．由互斥事件的概念判断(1)；举例说明(2)错误；写出全程命题的否定判断(3)．本题考查命题的真假判断与应用，考查互斥事件的概念，考查充分必要条件的判定方法，注意全称命题的否定的格式，是基础题．9.答案：A解析：解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长1，则球的半径R =12则球的体积V =43⋅π⋅R 3=π6 故选：A ．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和球的结构特征，可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键．10.答案：D解析：解：点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，如图，构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点，在A 中，∵二面角D −BC −G 是直二面角，∴二面角D −BC −E 是锐二面角，故A 错误；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，∴MN//BE ，∴BM 与EN 是相交线，故B 错误； 在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =2，则B(0,2，0)，C(0,0，0)，D(2,0，0)，E(1,0，√3)，M(32,0，√32)，E(1,0，√3)，N(1,1，0)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32≠0，∴CM 与EN 不垂直，故C 错误； 在D 中，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,√32)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面MCB 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32x +√32y =0n⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,0)，设直线EN 与平面MCB 所成角为θ， 则sinθ=|EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√34． ∴直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值为√34.故D 正确．故选：D ．构造长方体ABCD −PQGH ，则E 是GH 中点．在A 中，二面角D −BC −E 是锐二面角；在B 中，连结BD ，MN ，则N 是BD 中点，MN//BE ，从而BM 与EN 是相交线；在C 中，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CG 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出CM 与EN 不垂直；在D 中，求出平面MCB 的法向量，利用向量法能求出直线EN 与平面MCB 所成角的正弦值．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：D解析：本题考查了棱柱的定义，几何性质，属于基础题． 运用棱柱的定义，性质判断即可．解：∵棱柱的侧面可以是四边形，不能是三角形， ∴棱柱的侧面是平行四边形，而底面可以是平行四边形，棱柱的各条棱不一定都相等，因为底面的边长与侧棱不一定相等， 故ABC 都是错的； 故选：D ．12.答案：D解析：由于sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ，化简可得cosAsinB =0，又sinB ≠0，故有cosA =0，解得A =90°，即三角形为直角三角形，故选D ．13.答案：解析：试题分析：，所以所以夹角为考点：1.向量的数量积公式；2.夹角公式．14.答案：sin3π5>sin4π5>sin9π10解析：解：∵π2<3π5<4π5<9π10<π，且函数y=sinx在[π2,π]上单调递减，∴sin3π5>sin4π5>sin9π10，故答案为：sin3π5>sin4π5>sin9π10，利用y=sinx在[π2,π]上单调性进行判断即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，结合y=sinx的单调性是解决本题的关键．比较基础．15.答案：②③④⑤解析：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．①判断周长的变化情况．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③计算两个多面体的体积关系．④求出四棱锥的体积，进行判断．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大．解：①易证EF⊥面BDD′B′因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0,12]时，EM的长度由大变小．当x∈[12,1]时，EM的长度由小变大．所以当x=0或x=1时周长都为最大值．所以①错误．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=12时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=D′N，DN=B′M，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的．所以③正确．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C′EF的距离是个常数，所以四棱锥C′−MENF的体积V=ℎ(x)为常函数，所以④正确．⑤当x=0或x=1时，直线MN与直线CC′的夹角最小，正弦值为√2√3=√63，x=12时，直线MN与直线CC′的夹角最大，正弦值为1，所以⑤正确．故答案为：②③④⑤．16.答案：253解析：由已知数列递推式可得数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a n，则a6可求．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档题．解：由a n=2a n−1+3(n≥2)，得a n+3=2(a n−1+3)(n≥2)，又a1+3=5+3=8≠0，∴数列{a n+3}是以8为首项，以2为公比的等比数列，则a n+3=8×2n−1=2n+2，∴a n=2n+2−3．∴a6=28−3=253．故答案为：253．17.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．18.答案：(1)证明：取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=12AC.又∵ED//AC，∴ED//NF且ED=NF，四边形ENFD是平行四边形．∴DF//EN，而EN⊂平面EAB，DF⊄平面EAB，∴DF//平面EAB．(2)解：过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，∵ED//AC，∴ED//l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，又∵l⊂平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥13×2a×12×√3a×a=√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=13×DC×S△PAE=√33×12×AB×y P≥√33a×12×2a×a=√33a3．∴三棱锥P−EAB体积的最小值为√33a3．解析：(1)取AB的中点N，连接DF、NF、EN，则FN//AC，NF=12AC，取AC的中点M，连接EM、EC，由已知得四边形EMCD为矩形，四边形ENFD是平行四边形，由此能证明DF//平面EAB．(2)当P在CD上时，V P−EAB=V E−PAB=13×AB×S△PAE≥√33a3，当P在FC上时，V P−EAB=V E−PAB=1 3×DC×S△PAE≥√33a3.由此能求出三棱锥P−EAB体积的最小值．本题考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.答案：(1)；；(2)9．解析：试题分析：(1)由当x∈(0,5)时，都有恒成立可得f(1)=1；由可得二次函数的对称轴为x=−1，于是b=2a，再由，可得c=a，从而可求得函数f(x)的解析式；(2)可由，求得：−4≤t≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m．试题解析：(1)因为且，所以．由得对称轴，由(1)(2)(3)解得：所以6分(2)由，因为，所以于是有，即因为当时恒有，所以显然，所以由题意知：使上式成立，所以即的最大值是9 14分．考点：二次函数的性质．20.答案：(1)证明：连接AO，在△AOA 1中，作OE⊥AA 1于点E，因为AA 1//BB 1，得OE⊥BB 1，因为A 1O⊥平面ABC，所以A 1O⊥BC．因为AB=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA 1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB 1C 1C.又，，得．(2)解：如图，分别以OA，OB，OA 1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,2，0)，C(0,−2,0)，A 1(0,0，2)，由得点E的坐标是，由(1)得平面BB 1C 1C的法向量是，设平面A 1B 1C的法向量n=(x，y，z)，由得令y=1，得x=2，z=−1，即n=(2,1，−1)，所以，即平面BB 1C 1C与平面A 1B 1C的夹角的余弦值是．解析：略21.答案：证明：(Ⅰ)∵四边形ABCF是等腰梯形，点O为FC的中点，点G是AB的中点，∴OG⊥FC，又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，∴OG⊥平面FCDE．解：(Ⅱ)F、D点为所求的点．∵FD⊂平面FCDE，∴OG⊥FD，又ED.//FO，且EF=ED，∴EFOD为菱形，∴FD⊥EO，∵EO∩OG=O，∴FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，由ED.//OC，得EOCD是平行四边形，∴EO//DC，∵EO⊂平面EOG，∴DC//平面EOG，又BH∩DC=H，∴平面EOG//平面BCD，∴BC//平面EOG，∴BC//OG，∴GBCO是平行四边形，∴GB=CO，矛盾，∴不存在点H，使得BH//平面EOG．解析：(Ⅰ)推导出OG⊥FC，由此利用平面ABCF⊥平面FCDE，能证明OG⊥平面FCDE．(Ⅱ)F、D点为所求的点，推导出OG⊥FD，FD⊥EO，由此能证明FD⊥平面EGO．(Ⅲ)假设存在点H，使得BH//平面EOG，推导出EO//DC，从而DC//平面EOG，进而平面EOG//平面BCD，推导出GBCO是平行四边形，从而GB=CO，矛盾，由此得到不存在点H，使得BH//平面EOG．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面垂直的两点的判断与证明，考查满足线面平行的点是否存在的与求法，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．22.答案：证明：(1)当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1．当n=1时，a1=S1=1符合上式，则：a n=2n−1所以：b n=a n−a n+k，整理得：b n=−2k，c n=a n+a n+k=4n−2k−2．则b n≤b n+1，c n+1−c n=4．对任意的正整数n满足b n≤b n+1，且数列{c n}，是公差为4的等差数列，所以：数列{a n}为H(k)数列；(2)由于a1=1，b1=−1，c2=5，由数列{a n}为H(1)数列，则数列{c n}是等差数列，且c1=3，c2=5，所以：c n=2n+1．即a n+a n+1=2n+1所以：a n+1−(n+1)=a n−n，则{a n−n}是常数列所以：a1−1=0，则：a n=n．验证：b n=a n−a n−1=−1，所以：b n≤b n+1对任意正整数n都成立所以：a n=n．附：a n+a n+1=2n+1①，a n+1+a n+2=2n+3②，②−①得：a n+2−a n=2所以：a2k−1=a1+2(k−1)=2k−1．a2k=a2+2(k−1)=2k，所以：a n=n．证明：(3)由数列{a n}为H(2)数列可知：{c n}是等差数列，记公差为dc n+2−c n=(a n+2+a n+4)−(a n+a n+2)=−b n−b n+2=2d，所以：−b n+1−b n+3=2d．则：(b n−b n+1)+(b n+2−b n+3)=2d−2d=0又b n≤b n+1，所以：b n=b n+1，所以：数列{b n}为常数列，则b n=a n−a n+2=b1所以：c n=a n+a n+2=2a n−b1．由c n+1−c n=2(a n+1−a n)=d，．所以：a n+1−a n=d2所以：{a n}是等差数列．解析：(1)直接利用定义法证明数列为H(k)数列．(2)利用赋值法和定义法进行证明，进一步求出数列的通项公式．(3)直接利用代换法和定义法证明数列为等差数列．本题考查的知识要点：数列的定义的应用，赋值法的应用，定义性数列的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．。
湖北省武汉市华中师大一附中2018-2019学年语文《15份试卷合集》高一下学期期末模拟试卷.doc
高一下学期语文期末模拟试卷含答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、现代文阅读(36分)（一）论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1-3题。
阙就是宫殿外门两旁高出的建筑物。
《周礼》中的“象魏”，《春秋》中的“两观”，《左传》中的“观台”，都是阙。
古代王宫有五门，最外面为皋门，雉门为第二道门，阙在雉门之外。
郑玄注《周礼》说：“大宰以正月朔日，布王治之事于天下，至正岁，又书而县于象魏，振木铎以徇之，使万民观焉。
”汉代北阙的政治意义，应溯源于此。
汉刚建立时，各地割据势力还没有剪除，萧何负责营建未央宫时，依据厌胜这种辟邪祈吉的方术压制凶顽，只建立了东阙和北阙。
西汉时北阙的政治意义越来越被看重，在这里发生了一些重要的政治事件。
如汉昭帝时这里曾发生过冒充卫太子的事件，曾引起很大轰动；汉哀帝死后，董贤曾在此免冠徒跣诣阙谢罪，太后诏书也在阙下宣读给董贤等。
萧何这样建阙，还和政治史观有关。
《史记》记载，秦的上帝祠中独缺黑帝，而传说中有五帝。
刘邦认为自己就是黑帝，建立了黑帝祠，并沿用秦的水德之制。
水德之制，是战国时的邹衍创立的“五德终始说”的重要内容。
“五德终始说”被历代新王朝建立者信奉，来阐释其政权的合法性。
秦始皇统一六国后，曾据此进行了一系列改革。
刘邦则沿用秦的水德之制，水在五行中代表北方，东方为木，水生木。
而南方是火，西方为金，火和金与水和木是相克的关系，这也是萧何只建北阙和东阙的原因所在。
汉武帝在太初改制时，改汉水德尚黑为土德尚黄。
到了西汉中后期，士人利用汉高祖为赤帝子，当为火德之说，极力鼓吹五行相生说。
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2018-2019学年高一下学期数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
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一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 过点(1，0)且与直线022=--y x 平行的直线方程是A.012=--y xB.012=+-y xC.022=-+y xD.012=-+y x 2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且2223a bc c b =++，则∠A 为A.60°B.30°C.120°D.150°3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体 的体积是Ａ.34000cm 3Ｂ.38000cm 3Ｃ.32000cm Ｄ.34000cm4. 直线0cos =++b y x α的倾斜角的取值范围是 A ．),0[π B ．]43,2()2,4[ππππ C ．]43,4[ππ D ．),43[]4,0[πππ 5. 空间四边形SABC 中，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 、AB 的中点，那么EF=A.1B.2C.22D.216. 下列结论正确的是正视图侧视图俯视图A.当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B.21,0≥+>xx x 时当C.x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D.当xx x 1,20-≤<时无最大值 7. 已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是A.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nB.若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC.若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD.m 、n 是两异面直线，若m ∥α，m ∥β，且n ∥α，n ∥β，则α∥β8. 设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 9. 在圆x 2+y 2＝5x 内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差]31,61[∈d ，那么n 的取值集合为A.{4，5，6，7}B.{4，5，6}C.{3，4，5，6}D. {3，4，5} 10. 已知{a n }的前n 项和S n = n 2-4 n +1,则|a 1|+| a 2|+…+| a 10|=A.68B.67C.61D.60 11. 已知数列{a n }满足a 1＝0, a n ＋1＝133+-n n a a （n ＝1, 2, 3, …）, 则a 2008等于A.0B.3C.3-D.212. 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是A. [1,1-+B. [1-+C. [1-D. [1第Ⅱ卷(非选择题，满分90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上. 13.已知ABC ∆中，3=c ，1=a ，A b B a cos cos = ，则ABC ∆面积为---------14. 若点),(y x P 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤3330y x y x 表示平面区域内一动点，且不等式02≥+-a y x恒成立，则实数a 的取值范围是----------15. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3、5、15，则它的外接球的表面积为_________。
16. 已知 ()00,x y 是 21x y k +=- 与 圆22223x y k k +=+-的 公 共 点，则 当 k = 时，00x y 最小三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）17. （本题满分10分）已知直线l 1：60x my ++=，l 2：(2)320m x y m -++=.求当m 为何值时，l 1，l 2 (1) 平行；(2) 相交；(3) 垂直.18. （本题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且B a A b cos 3sin =（1）求∠B 的大小；（2） 若3=b ， A C sin 2sin =，求a 及c19. （本题满分12分）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a20. （本题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面B 1ED 交A 1D 1于F 。
（1）指出F 在A 1D 1上的位置，并说明理由； （2）求直线A 1C 与DE 所成的角的余弦值；21 （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈(1) 证明：{}1n a -是等比数列；(2) 求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由。
（9.13252log 65≈） 22 （本题满分12分）已知圆C ：4)3(22=-+y x ，一动直线l 过)0,1(-A 与圆C 相交于,P Q .两点，M是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N . （Ⅰ）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （Ⅱ）当32=PQ 时，求直线l 的方程；（Ⅲ）探索⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.数学参考答案 ADBDB 6--10BDCAB 11—12 AC 一、选择题：1—5 二、填空题：13.4314.3≥a 15, 9π 16三、解答题：17. (本小题满分10分)解：(1) 由13(2)0m m ⨯-⨯-=得：m = – 1或m =3当m = – 1时，l 1：60x y -+=，l 2：3320x y -+-=，即3320x y -+=∵ 116332-=≠- ∴ l 1∥l 2当m = 3时，l 1：360x y ++=，l 2：360x y ++=，此时l 1与l 2重合 ∴ m = – 1时，l 1与l 2平行(2) 由13(2)0m m ⨯-⨯-≠得：m ≠– 1且m ≠3 ∴ m ≠– 1且m ≠3时，l 1与l 2相交 (3) 由1(2)30m m ⨯-+⨯=得：12m = ∴ 12m =时，l 1与l 2垂直 18．(本小题满分12分)解：(1) 由B a A b cos 3sin =及正弦定理BbA a sin sin =得 B B cos 3sin =所以3tan =B ，所以3π=B ----------6分；（2）由A C sin 2sin =及Cc A a sin sin =得a c 2=，由3=b 及余弦B ac c a b cos 2222-+= 得ac c a -+=22932,3==∴c a ----------12分；19．(本小题满分12分)解：（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d. 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d=1.所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=nn a ----------6分（II ）证明因为nn n n n a a a 2121111=-=-++， 所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+.1211211212121<-=-⨯-=n n ---------12分； 20．(本小题满分12分)解：（1）F 为A 1D 1的中点证明：由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， 面ABCD//面A 1B 1C 1D 1，面B 1EDF∩面ABCD=DE面B 1E DF∩面A 1B 1C 1D 1=B 1F ∴B 1F//DE ，同理：B 1E//DF ∴四边形DEB 1F 为平行四边形 ∴B 1F=DE ，又A 1B 1=CD ，Rt △A 1B 1F ≌Rt △CDE ∴A 1F=CE=112121D A = ∴F 为A 1D 1的中点（2）过点C 作CH//DE 交AD 的延长线于H ，连结A 1H ，则A 1C 与DE 所成的角就等于A 1C 与CH 所成的锐角即∠A 1CH （或其补角） 由于正方体的棱长为1，E 为BC 中点 ∴可求得A 1C=25,213,31==CH H A 在△A 1CH 中，由余弦定理得： 151525324134532cos 1212211=⋅-+=⋅⋅-+=∠CH C A H A CH C A CH A21．(本小题满分12分)解：（1）当n=1时，a 1=-14；当n≥2时，a n =S n -S n-1=-5a n +5a n-1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；---------5分(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(nÎN*)；解不等式S n <S n+1，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，当n≥15时，数列{S n }单调递增； 同理可得，当n ≤15时，数列{S n }单调递减；故当n=15时，S n 取得最小值. ----------12分22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ） l 与m 垂直，且31-=m k ，3=∴l k ，又3=AC k ， 所以当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .（Ⅱ）①当直线l 与x 轴垂直时, 易知1-=x 符合题意②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为)1(+=x k y ，即0=+-k y kx ， 因为32=PQ ，所以134=-=CM ，则由11|3|2=++-=k k CM ，得34=k ∴直线l ：0434=+-y x . 从而所求的直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x （Ⅲ）因为CM ⊥MN, ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅ ①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,)3N --，则5(0,)3AN =-,又(1,3)AC =,5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，则由⎩⎨⎧=+++=063)1(y x x k y ，得N （36,13k k --+k k 315+-）,则55(,)1313kAN k k --=++AM AN AC AN ∴⋅=⋅=51551313kk k--+=-++ 综上，AN AM ⋅与直线l 的斜率无关，且5-=⋅AN AM . ：2018-2019学年高一下学期数学期末模拟试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。