高考专题渐近线

1.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0, 由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.2.如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0……………①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82.3.已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)。

(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点。

(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1), 代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0………………(*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞23时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.4.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ， 求m 的取值范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4. (3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将k x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0 (k ≠0)即k =3625y 0(当k =0时也成立). 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0. ①②由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516. 解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为 y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0)③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.(当k =0时也成立) (以下同解法一).5.已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC ⋅=． （1）求双曲线G 的渐近线的方程； （2）求双曲线G 的方程；（3）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解：（1）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =， 则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以，12k =±． 双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±． （2）由（1）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33A B A B mx x x x ++==- （＊）∵ 2PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上，∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为221287x y -=． （3）由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a +=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+=所以，0024028x y a -=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，211122a =．所以，256a =，椭圆S 的方程为：2212856x y +=．点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．6.设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线．（1）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．解：（1）设抛物线的顶点为(),G x y ，则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．2=．所以，抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．（2）因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标，由MN 所唯一确定．所以，要求m 的取值范围，还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然，直线l 与坐标轴不可能平行，所以，设直线l 的方程为1:l y x b k=-+，代入椭圆方程得：222241240k bx x b k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，所以，()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭，即：()222410 0k k b k -+>≠．（＊）又线段MN 恰被直线12x =-平分，所以，2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以，2412k bk +=-．代入（＊）可解得：() 022k k -<<≠． 下面，只需找到m 与k 的关系，即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k =-+中，令12x =-，可解得：2011412222k y b k k k k+=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+，可得：32k m =-．所以，0m m <<≠． 从以上解题过程来看，求m 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由点,M N 为椭圆上的点，可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+= 又由于01121, 2,2M N M N M N M N y y x x y y y x x k-⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝，代入上式得：02y k =-． 又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上，所以，012y k m =-+．所以，001324m y k y =+=．由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上（B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点，如图），所以，'0B B y y y <<．也即：0y <<所以，044m m -<<≠点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说，“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．7.设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．又M 是其准线上一点．试证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在，并分别设为1k ，2k ，3k 点A 、B 、M 的坐标分别为A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），M （2p-，m ） 由“AB 过点F （2p，0）”得 AB l ：2p ty x += 将上式代入抛物线px y 22=中得：0222=--p pty y 可知 221p y y -=⋅又依“1212px y =及2222px y =”可知)(21222221211p y pp p y p x +=+=+)(22222222121214222p y y p p py p p p y p x +=+=+=+ 因此 22221121p x my p x m y k k +-++-=+ )()(2)()(2221122122112p y p m y p y p y p m y p +--++-=pm2-= 而p mp p m k -=---=)2(203故3212k k k =+即直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．8.已知=(x,0)，=(1，y)((⊥+(1)求点P(x ，y)的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y=kx+m(km ≠0)与曲线C 交于A 、B 两端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，试求m 的取值范围。