数值计算(数值分析)试题与答案

++中的待定系数

A f

(1)(0)

武汉理工大学研究生课程考试标准答案

用纸

课程名称：数值计算（A）任课教师：

一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分）

3.14159265358979的近似值

绝对误差和相对误差分别是多少？

3分）

2分）

2.已知()8532f x x x =+-，求01

83,3,

,3f ⎡⎤⎣⎦，019

3,3,,3f ⎡⎤⎣⎦.

(5分）

3.确定求积公式

1

0120

()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰

中的待定系数，使其代

数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,

,

m f x x x =使积分公式对尽可能

大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。 由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =

解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）

此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求

积公式的最高代数精度为2次。 (2分）

4.求矩阵101010202A -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

的谱半径。 解 ()()1

01

01

0132

2

I A λλλλλλλ--=

-=---

矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）

5. 设10099,9998A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.

解：**

1

9899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭

⎝⎭

矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则

1222

()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）

1

()199********

cond A A A

-∞∞

∞

=

⨯=⨯= (3分）

二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）

解：根据三次Hermite 插值多项式：

22

0011301

01011010

2

2010011

0110

()(12

)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）

并依条件1

(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得

2222

331

()(12)(1)2(32)(1)2(1)2

11

122

H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）

2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：注意到：

()0120121200102021101201220212

1,1,2;2,1,1()()(1)(2)

()()6()()(1)(2)

()()2()()(1)(1)

()()3

(1)(2)(1)(2)()2162n

j j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==-=====----==

----+-==

-----+-=

=

----+-==⨯+⨯-∴∑()2

(1)(1)1

3

1386

x x x x +-+⨯=

-+3.3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合

解: x a a x P 10)(+=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

=+=+∑∑∑∑∑=====m i m

i i i m i i i m i m

i i

i y x a x a x y a x ma 1

1112011

10)()()( (5分）

⎩⎨

⎧=+=+25

14612

641010a a a a 419010.,.==a a ，x x P 4190..)(+= (5分）

4.用Jacobi 迭代法求解方程组1231231

23202324

812231530

x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，取初值()

()00,0,0T x =，计算

迭代二次的值；（2分）

问Jacobi 迭代法是否收敛？为什么？（2分）

若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-？（提示

：

问Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？（1分）

解：先将方程组化成便于迭代的形式，以20,8,15分别除以三个方程两边得

1

23213

3

2313610205133882212155x x x x x x x x x ⎧=--+⎪⎪

⎪=--+⎨⎪⎪=-++⎪⎩ ， 迭代矩阵13010

20110,882301515

B ⎛⎫

--

⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪

⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

由于1

||||1,3

B q ∞=

=<或者因为原方程组系数矩阵严格对角占优，故Jacobi 迭代法收敛、且