2018年人教版中考数学考点跟踪突破23：圆的基本性质(含答案)
圆的基本性质(解析版)2018年数学全国中考真题-2
2018年数学全国中考真题圆的基本性质（试题二）解析版一、选择题1. （2018广西省柳州市，8，3分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙A ＝60°，⊙B ＝24°，则⊙C 的度数为( )第8题图 A ．84° B．60°C ．36°D ．24°【答案】D【解析】∵AD 所对的圆周角是∠B 和∠C ，∴∠C ＝∠B ＝24°.【知识点】圆周角定理2. （2018广西贵港，9，3分）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是 A ．24° B ．28° C ．33° D ．48°【答案】A【解析】∵∠A ＝66°，∴∠BOC ＝2∠A ＝132°，又OC ＝OB ，∴∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝24°，故选A ．3. （2018贵州铜仁，5，4）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ） A.55° B.110° C.120° D.125°【答案】D ，【解析】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA 、EB ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB 的度数.【解答过程】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA 、EB ，如图， ∵∠AOB=110°，∴∠AEB=12∠AOB=55°，∴∠ACB=180°-∠E=125°.4. （2018江苏苏州，7，3分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点．若∠BOC＝40°，则∠D 的度数为 A ．100° B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】 本题解答时要利用等腰三角形的性质和圆的内接四边形的对角互补的性质进行计算.∵OC =OB ，∠BOC =40゜，∴∠B =70゜，∴∠D =180゜-70゜=110゜，故选B .5. （2018内蒙古通辽，7，3分）已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对圆周角的度数是 A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 【答案】D【解析】如答图，连接OA 、OB ，∵OC ⊥AB ，∴OC ＝5，OA ＝OB ＝10，又OC ＝12OA ，∴cos ∠AOC ＝12，∴∠AOC ＝60°∴∠AOB ＝120°，∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°． 故选D ．6.（湖北省咸宁市，7，3）如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别为∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD =6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8 C． D．【答案】【解析】解：作OF ⊥AB 于F ，作直径BE ，连接AE ，如图， ∵∠AOB+∠COD=180°， 而∠AOE+∠AOB=180°， ∴∠AOE=∠COD ， ∴AE DC ，∴AE=DC=6，∵OF ⊥AB ， ∴BF=AF ， 而OB=OE ，∴OF 为△ABE 的中位线， 由勾股定理可得AF=4，∴AB=8，故选择B ．【知识点】圆周角定理；垂径定理；三角形中位线性质7. (2018湖北黄石，8，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为( )第8题图A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π FE【答案】D 【解析】连接OD ，则∠AOD ＝2∠B ＝60°，∴∠BOD ＝120°.∴l BD ＝120180π×4＝83π.8. (2018湖南邵阳，6，3分)如图(二)所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°图(二)【答案】B ，【解析】根据“圆内接四边形的对角互补”可得∠BCD ＋∠A ＝180°，因为∠BCD ＝120°所以∠A ＝60°．又根据“在同圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”，所以∠BOD ＝2∠A ＝120°．故选B ．9.（2018四川眉山，6，3分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠P ＝36°，则∠B 等于（ ）A ．27°B ．32°C ．36°D ．54°【答案】A ，【解析】由P A 是⊙O 的切线，可得⊙OAP ＝90°，∴∠AOP ＝54°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B ＝27°10. （2018辽宁锦州，7，3分）如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF 、CF ，若∠EDC=135°，CF=22，则AE 2+BE 2的值为A 、8B 、12C 、16D 、20D【答案】C，【解析】：如图，∠EDC=1350，∠ACB=90°，得△ACB是等腰直角三角形，ECF是等腰直角三角形，得△AEC与△BFC是全等三角形，AE=BF,△EBF是直角三角形，AE2+BE2=FE2=2FC2.二、填空题100，则弧AB所对的圆周角是°.1.（2018广东省，11，3）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是【答案】50°【解析】同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆心角为100°，所以圆周角为50°.【知识点】圆周角、圆心角关系2. （2018海南省，18，4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（20，0），点B 的坐标是（16，0），点C ， D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为________．【答案】（2，6）【思路分析】过点M 作MN ⊥CD ，垂足为点N ，连接CM ，过点C 作CE ⊥OA ，垂足为点E ，由题意可知OB 及圆的半径长，OB =CD ，由垂径定理可求得MN 的长，CN =EM ，从而求出OE 的长，进而得到点C 的坐标．【解题过程】过点M 作MN ⊥CD ，垂足为点N ，连接CM ，过点C 作CE ⊥OA ，垂足为点E ，点A 的坐标是（20，0），所以CM =OM =10，点B 的坐标是（16，0），所以CD =OB =16，由垂径定理可知，821==CD CN ，在Rt⊙CMN 中，CM =10，CN =8，由勾股定理可知MN =6，所以CE =MN =6，OE =OM ﹣EM =10﹣8=2，所以点C 的坐标为（2，6）．【知识点】垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质3. （2018黑龙江省龙东地区，6，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝＝1，则⊙O 的半径为________．【答案】5【解析】连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ，∵CD ＝6，∴CE ＝3．设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∵EB ＝1，∴OE ＝4，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴（r －1）2＋32＝r 2，解得r ＝5，∴⊙O 的半径为5．D【知识点】垂径定理；勾股定理4.（2018黑龙江绥化，16，3分）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是．（结果用含π的式子表示）【答案】4π-.【解析】解：连接OA，OB，OC，过O点作OD⊥BC于点D.∵△ABC为等边三角形，∴∠OBD=30°.∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴OD=1，∴∴S△ABC=3S△OBC=3×12BC·OD=D∴S阴影=4π-故答案为：4π-【知识点】含30°角的直角三角形的性质，垂径定理，三角形面积计算，圆的面积计算5.（2018黑龙江绥化，20，3分）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm【答案】10或70.【解析】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC=12AB=30，在Rt△OBC中，当水位上升到圆心以下时水面宽80 cm则OC′，水面上升的高度为：40-30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70.【知识点】垂径定理，勾股定理6.7.（2018浙江嘉兴，14，4）如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为cm．【解析】根据题意，抽象出数学图形根据题意可知：AD ＝10，∠AOD ＝120°，由OA ＝OD ，∴∠DAO ＝30°，设OE ＝x ，则OA ＝2x ，∵OE ⊥AD ，∴AE ＝DE ＝5，在Rt △AOE 中，x 2+52＝（2x ）2，解得：xCE ＝OE8. （2018贵州省毕节市，19，3分）如图,AB 是⊙O 的直径，C 、D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ， ∠ACE 的度数为______.【答案】30°．【解题过程】∵AB 是⊙O 的直径,C 、D 为半圆的三等分点，∴∠A ＝∠BOD ＝13×180°＝60°，又∵CE ⊥AB ，∴∠ACE ＝90°－60°＝30°．【知识点】圆的性质；直角三角形的性质9.（2018吉林省，13, 2分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，=⌒BC ，，若∠AOB=58°，则∠BDC=___ 度．BO【答案】29【解析】连接CO，根据同圆中，等弧所对圆心角相等，则∠COB=∠AOB=58°，∴∠BDC=29°【知识点】圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系10.（2018江苏扬州，15，3）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．2【答案】2【思路分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解题过程】连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为2．【知识点】三角形的外接圆和外心，圆内接四边形对边互补，圆周角的性质11.（2018青海，9，2分）如图5，A、B、C是⊙O上的三点，若∠AOC=110°,则∠ABC= . 【答案】125°．【解析】如图所示：优弧AC上任取一点D，连接AD、CD，∵∠AOC=110°，∴∠ADC=∠AOC=×110°=55°，∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣55°=125°．【知识点】圆内接四边形的性质，圆周角的性质12. （2018江苏镇江，9，2分）如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝________°．【答案】40°．【解析】如答图所示，连接B C ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°．∵∠BCD ＝∠BAD ＝50°，∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－50°＝40°．13. （2018内蒙古通辽，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 相交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是 ．【答案】52【解析】设M （a ，b ），则N （b ，a ），依题意，得：a 2＋b 2＝52……①（第9题答图）（第9题图）a 2－ab －12（a －b ）2＝3.5……②①、②联立解得a ＝572，b ＝432所以M 、N 的坐标分别为（572，432），（432，572） 作M 关于x 轴的对称点M ′，则M ′的坐标为（572，－432）， 则M ′N 的距离即为PM ＋PN 的最小值．由于M ′N 2＝（572－432）2＋（－432－572）2＝50， 所以M ′N ＝52，故应填：52．14. （2018山东莱芜，16，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2a ，E 为BC 边的中点，⌒AE 、⌒DE 的圆心分别在边AB 、CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点F ，则E 、F 间的距离为_______．【答案】32a【思路分析】先用勾股定理求出⌒DFE 的所在圆的半径，再由垂径定理求出EF 的长．【解题过程】解：如图，设⌒DFE 的圆心为G ，作GH ⊥EF 于H ，连接EG ．设⌒DFE 所在圆的半径为x ，在Rt △CEG 中，EG 2＝CG 2＋CE 2，则x 2＝(2a －x )2＋a 2，解得x ＝54a ；由垂径定理，得EF ＝2EH ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2－a 2＝32a ．故答案为32a ．【知识点】正方形的性质；勾股定理；垂径定理；15. （2018湖北随州12，3分）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40度，∠C ＝20度，则∠B ＝______度．EEA D【答案】60．【解析】如图，连接OA ，根据“同圆的半径相等”可得OA ＝OC ＝OB ，所以∠C ＝∠OAC ，∠OAB ＝∠B ，故∠B ＝∠OAB ＝∠OAC ＋∠BAC ＝∠C ＋∠BAC ＝20°＋40°＝60°．16.（2018湖北随州16，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝5，BC ＝CD 且BC ＞AB ，BD ＝8．给出下列判断：①AC 垂直平分BD ；②四边形ABCD 的面积S ＝AC ·BD ；③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为256； ⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F ，当BF ⊥CD 时，点F 到直线AB 的距离为678125．其中正确的是______________．（写出所有正确判断的序号）【答案】①③④．【解析】根据“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，A ，C 两点都在线段BD 的垂直平分线上，又“两点确定一条直线”，所以AC 垂直平分BD ，故①正确； 如图1，取AC ，BD 的交点为点O ，则由①知OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AC ·OB ＋12AC ·OD ＝12AC ·(OB ＋OD )＝ 12AC ·BD ，故②错误； 如图2，取AB ，BC ，CD ，AD 四边的中点分别为P ，Q ，M ，N ，则由三角形的中位线定理得PQ ∥AC ∥MN ，PQ ＝MN ＝12AC ，PN ∥BD ∥QM ，PN ＝QM ＝12BD ，于是知四边形PQMN 及阴影四边形都是平行四边形．又由①知AC ⊥BC ，所以可证∠AOB ＝∠QPN ＝90°，故四边形PQMN 为矩形．若AC ＝BD ，则有PQ ＝PN ，四边O ABCCBAO ABDC形PQMN 是正方形，所以顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形，故③正确；当A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上时，四边形ABCD 是这个圆的内接四边形，则∠ABC ＋∠ADC ＝180°．根据“SSS ”可证△ABC ≌△ADC ，所以∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则AC 是这个圆的直径．由①知BO ＝OD ＝12BD ＝4，在Rt △AOB 中，根据勾股定理，求得AO＝3．然后，证明△AOB ∽△ABC ，得到AB 2＝AO ·AC ，所以AC ＝253，该圆的半径为256，故④正确； 如图1，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，由折叠知，AE ＝2AO ＝6，BE ＝BA ＝5．由于BF ⊥CD ，AE ⊥BD ，可证得△BOE ∽△BFD ，所以BO BF ＝BE BD ，即4BF ＝58，BF ＝325．因为S △ABE ＝12AB ·EH＝12AE ·BO ，所以EH ＝645⨯＝245．又可证△BEH ∽△BFG ，所以EH FG ＝BE BF ，即245FG ＝5325，FG ＝768125，故⑤错误．17. （2018云南曲靖，10，3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝_________【答案】n °【解析】圆内接四边形的对角互补，所以∠BCD ＝180°－∠A ，而三点BCD 在一条直线上，则∠DCE ＝180°－∠BCD ，所以∠DCE ＝∠A ＝n °.18. （2018年浙江省义乌市，13，5）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB =120°，从A 到B 只有路AB ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB ．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B 走了_________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：图1GFEH OABDC 图21.732，π取3.142）【答案】15【解析】作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=12OA=10，，∴69（步）；而AB的长=12020180π⨯≈84（步），AB的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．故答案为15．【知识点】垂径定理；勾股定理19.（2018浙江舟山，14，4）如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为cm．BC【解析】根据题意，抽象出数学图形根据题意可知：AD ＝10，∠AOD ＝120°，由OA ＝OD ，∴∠DAO ＝30°，设OE ＝x ，则OA ＝2x ，∵OE ⊥AD ，∴AE ＝DE ＝5，在Rt △AOE 中，x 2+52＝（2x ）2，解得：x ，∴CE ＝OE．三、解答题1. （2018年江苏省南京市，26，8分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE .过点A 作AF DE ⊥，垂足为F .⊙O 经过点C 、D 、F ，与AD 相交于点G .（1）求证AFG DFC ∽△△；（2）若正方形ABCD 的边长为4，1AE =，求O 的半径.【思路分析】（1）欲证明△AFG ∽△DFC ，只要证明∠FAG=∠FDC ，∠AGF=∠FCD ； （2）首先证明CG 是直径，求出CG 即可解决问题；【解题过程】（1）证明：在正方形ABCD 中，90ADC ∠=. ∴90CDF ADF ∠+∠=. ∵AF DE ⊥. ∴90AFD ∠=.∴90DAF ADF ∠+∠=. ∴DAF CDF ∠=∠.∵四边形GFCD 是⊙O 的内接四边形， ∴180FCD DGF ∠+∠=. 又180FGA DGF ∠+∠=，O∴FGA FCD ∠=∠. ∴AFG DFC ∽△△. （2）解：如图，连接CG .∵90EAD AFD ∠=∠=，EDA ADF ∠=∠， ∴EDA ADF ∽△△. ∴EA DA AF DF =，即EA AFDA DF=. ∵AFG DFC ∽△△， ∴AG AFDC DF =. ∴AG EADC DA=. 在正方形ABCD 中，DA DC =，∴1AG EA ==，413DG DA AG =-=-=.∴5CG ===.∵90CDG ∠=， ∴CG 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的半径为52.【知识点】相似三角形的判定和性质 正方形的性质 圆周角定理及推论2. （2018江苏徐州，28，10分） 如图，将等腰直角三角形ABC 对折，折痕为CD ．展平后，再将点B 折叠再边AC 上，（不与A 、C 重合）折痕为EF ，点B 在AC 上的对应点为M ，设C D 与EM 交于点P ，连接PF ．已知BC ＝4．（1）若点M 为AC 的中点，求CF 的长；（2）随着点M 在边AC 上取不同的位置．①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围.第28题图【解答过程】 解：（1）根据题意，设BF ＝FM ＝x ，则CF ＝4－x ，∵M 为AC 中点，AC ＝BC ＝4，∴ CM ＝12AC ＝2，∵∠ACB ＝90°，∴CF 2+CM 2＝FM 2，∴(4－x )2+22＝x 2，解得x ＝52，∴CF ＝4－52＝32； （2）①△PFM 的形状不变，始终是以PM 、PF 为腰的等腰直角三角形，理由如下：∵等腰直角三角形ABC 中，CD ⊥AB ，∴AD ＝DB ，CD ＝12AB ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝45°，由折叠可得∠PMF ＝∠B ＝45°，∴∠PMF ＝∠DCB ，∴P 、M 、F 、C 四点共圆，∴∠FPM +∠FCM ＝180°，∴∠FPM ＝180°－∠FCM ＝90°，∠PFM ＝90°－∠PMF ＝45°＝∠PMF ，∴△PFM 的形状不变，始终是以PM 、PF 为腰的等腰直角三角形； ②当M 与C 重合时，F 为BC 中点，CF ＝12BC ＝2，PM ＝PF ＝cos 45CF=︒此时△PFM 的周长为2＋当M 与A 重合时，F 于C 重合，E 与D 重合，FM ＝AC ＝4，PM ＝PF ＝ACcos45°＝，此时△PFM 的周长为4＋B 不与A 、C 重合，所以△PFM 的周长的取值范围是大于2＋且小于4＋.3. (2018辽宁葫芦岛，25，12分)在△ABC 中，AB ＝BC ，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点(点P 不与点A ，O ，C 重合)．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ． （1）如图1，请直接写出线段OE 与OF 的数量关系；（2）如图2，当∠ABC ＝90°时，请判断线段OE 与OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）若｜CF －AE ｜＝2，EF ＝POF 为等腰三角形时，请直接写出线段OP 的长．【思路分析】（1）连接OB ，则OB ⊥AC ，进而得A 、E 、O 、B 四点共圆，B 、F 、O 、C 四点共圆．由同弧所对的圆周角相等得∠OEB ＝∠OAB ，∠OFC ＝∠OBC ．又因为∠OFE ＝90°－∠OFC ，∠ACB ＝90°－∠OBC ，所以∠OFE ＝∠OCB ，又因为∠OAB ＝∠OCB ，所以∠OE B ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ；（2）类比（1）可得OE ＝OF ；由∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，可得∠OAB ＝∠OCB ＝∠OEB ＝∠OFE ＝45°，所以OE ⊥OF ．（3）取EF的中点为M，则EM＝FMAM并延长交CF于D，连接OM．由△AME≌△DMF，｜CF－AE｜＝2，得OM＝1．进而得OF＝2．由sin∠OFM＝12，得∠OFM＝30°．因为点P在EF上，所以OP＜OE＝OF；因为AE⊥EF，∠APE、∠OPF均为锐角，故PF≠PO．当PF＝OF＝2时，PM＝2理得OP＝【解答过程】（1）OE＝OF；（2）OE＝OF，OE⊥OF．理由：连接OB，则OB⊥AC．∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴进而得A、E、O、B四点共圆，∴∠OEB＝∠OAB．∵∠BFC＝∠BOC＝90°，∴B、F、O、C四点共圆．∴∠OFC＝∠OBC．又∵∠OFE＝90°－∠OFC，∠ACB＝90°－∠OBC，∴∠OFE＝∠OCB，又∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OAB＝∠OCB＝45°．∴∠OE B＝∠OFE＝45°．∴OE＝OF，OE⊥OF．（3）OP＝223．4.（2018上海，25，14分）已知圆O的直径AB=2，弦AC与弦BD，交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．(1)图11，如果AC=BD，求弦AC的长；(2)如图12，如果E为BD的中点，求∠ABD的余切值(3)联结BC、CD、DA，如果BC是圆O的内接正n边形的一边，CD是的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积．【思路分析】(1)连结CB．可以证明弧AD、弧DC、弧CB相等，从而得到∠ABC=60°．在△ABC中求出AC长．(2)运用中位线及全等转化求出CB长，再把直角三角形OBE中的两个直角边求出，即可∠ABD的余切值．(3)根据“BC是圆O的内接正n边形的一边，CD是的内接正(n+4)边形的一边”求出n值，从而求出∠AOD=45°，可得各线段长，再求△ACD的面积．【解答过程】（1）连结CB．∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，∵OD⊥AC，∴弧AD=弧DC=12弧AC，∴弧AD=弧DC=弧CB，∴∠ABC=60°在Rt△ABC中, ∠ABC=60°，AB=2，∴AC=3（2）∵OD⊥AC，∴∠AFO=90°，AF=FC∵AO=OB，∴FO∥CB，FO=12 CB∵E为BD的中点，∴DE=EB∵FO∥CB，∴△DEF≌△BEC，∴DF=CB=2FO∴FO=13，CB=23在Rt △ABC 中，AB =2，CB =23，∴AC ，∴EC ∴EB ，∵E 为BD 的中点，OD =OB ，∴∠OEB =90°，∴EO cot ∠ABD =EB EO ． （3）∵BC 是圆O 的内接正n 边形的一边，∴∠COB =360n° ∵CD 是的内接正(n +4)边形的一边，∴∠COD =3604n +° ∵弧AD =弧DC ，∴∠AOD =3604n +° ∵∠COB +∠COD +∠AOD =180°，∴360n +3604n ++3604n +=180，解得n =4 ∴∠AOD =∠COD =3604n +°=45°∵OD =OA =OC =1，∴AC ，OF ，DF =1，∴S △ACD =12×AC ×DF =2－12．5. （2018黑龙江哈尔滨，26，10）已知:⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 在弧AB 上，连接BE 、DE ，点F 在弧AD 上，连接BF 、DF 、BF 与DE 、DA 分别交于点G 、点H ，且DA 平分∠EDF ．(1)如图1，求证:∠CBE ＝∠DHG ;(2)如图2，在线段AH 上取一点N (点N 不与点A 、点H 重合)，连接BN 交DE 于点L ，过点H 作HK //BN 交DE 于点K ，过点E 作EP ⊥BN ，垂足为点P ，当BP ＝HF 时，求证:BE ＝HK ;(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF ＝2DF 时，延长EP 交⊙O 于点R ，连接BR ，若△BER 的面积与△DHK 的面积的差为47，求线段BR 的长．图1 图2 图3【思路分析】（1）问利用同弧和等弧所对圆周角等与三角形外角性质易证的结论．（2）过H 作HM ⊥KD ，易证得HM ＝BP ，加上直角条件，可导出第三个全等条件，得到△BEP ≌△HKM ，所以BE ＝HK ．（3）连接BD 后根据条件3HF ＝2DF 可得到tan ∠ABH ＝tan ∠ADE ＝ABAH ＝32，过点H 作HS ⊥BD 后再设边计算就能求出tan ∠BDE ＝tan ∠DBF ＝BSHS ＝51，在ER 上截取ET ＝DK ，连接BT 易证得△BET ≌△HKD ，这时21BP ·ER 21-HM ·DK ＝21BP (ER －DK )＝21BP (ER －ET )＝47，易求得BP ＝1，PR ＝5，BR ＝22RP BP +＝2251+＝26【解答过程】（1）证明:∵四边形ABCD 是正方形∴∠A ＝∠ABC ＝90°∵∠F ＝∠A ＝90°∴∠F ＝∠ABC∵DA 平分∠EDF ∴∠ADE ＝∠ADF ∵∠ABE ＝∠ADE ∴∠ABE ＝∠ADF又∵∠CBE ＝∠ABC ＋∠ABE ，∠DHG ＝∠F ＋∠ADF ∴∠CBE ＝∠DHG（2）证明:过H 作HM ⊥KD 垂足为点M ∵∠F ＝90°∴HF ⊥FD 又∵DA 平分∠EDF ∴HM ＝FH∵FH ＝BP ∴HM ＝BP ∵KH ∥BN ∴∠DKH ＝∠DLN ∵∠ELP ＝∠DLN ∴∠DKH ＝∠ELP∵∠BED ＝∠A ＝90°∴∠BEP ＋∠LEP ＝90°∵EP ⊥BN ∴∠BPE ＝∠EPL ＝90°∴∠LEP ＋∠ELP ＝90°∴∠BEP ＝∠ELP ＝∠DKH ∵HM ⊥KD ∴∠KMH ＝∠BPE ＝90°∴△BEP ≌△HKM ∴BE ＝HK(3)解:连接BD ∵3HF ＝2DF ，BP ＝FH ∴设HF ＝2a ，DF ＝3a ∴BP ＝FH ＝2a由(2)得HM ＝BP ，∠HMD ＝90°∵∠F ＝∠A ＝90°∴tan ∠HDM ＝tan ∠FDH ∴DM HM ＝DF FH ＝32 ∴DM ＝3a ∴四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°∵∠ABF ＝∠ADF ＝∠ADE ，∠DBF ＝45°－∠ABF ，∠BDE ＝45°－∠ADE ∴∠DBF ＝∠BDE ∵∠BED ＝∠F ，BD ＝BD ∴△BED ≌△DFB ∴BE ＝FD ＝3a 过点H 作HS ⊥BD 垂足为点S ∵tan ∠ABH ＝tan ∠ADE ＝ABAH ＝32 ∴设AB ＝32m ，AH ＝22m ∴BD ＝2AB ＝6m DH ＝AD －AH ＝2m sin ∠ADB ＝DHHS ＝22 ∴HS ＝m ∴ DS ＝22HS DH -＝m ∴BS ＝BD －DS ＝5m ∴tan ∠BDE ＝tan ∠DBF ＝BS HS ＝51 ∵∠BDE ＝∠BRE ∵tan ∠BRE ＝PR BP ＝51∵BP ＝FH ＝2a ∴RP ＝10a 在ER 上截取ET ＝DK ，连接BT 由(2)得∠BEP ＝∠HKD ∴△BET ≌△HKD ∴∠BTE ＝∠KDH ∴tan ∠BTE ＝tan ∠KDH ∴PT BP ＝32 ∴PT ＝3a ∴TR ＝RP －PT ＝7a ∵S △BER －S △KDH ＝47∴21BP ·ER 21-HM ·DK ＝47 ∴21BP (ER －DK )＝21BP (ER －ET )＝47∴21×2a ×7a ＝47 ∴a 2＝41，a 1＝21，a 2＝21-(舍去)∴BP ＝1，PR ＝5 ∴BR ＝22RP BP +＝2251+＝26。
2018年人教版中考6.1圆的有关性质-复习课件+检测试卷含真题分类汇编解析 共58页
A．点 P，M 均在圆 A 内 B．点 P，M 均在圆 A 外 C．点 P 在圆 A 内，点 M 在圆 A 外 D．点 P 在圆 A 外，点 M 在圆 A 内
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第27课时┃圆的有关性质 解析
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
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第27课时┃圆的有关性质
考点5 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_弧_____ 定理
相等，所对的__弦____也相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或 推论 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量也分别相等
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3
图 26－1
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第27课时┃圆的有关性质
解 析 ∵M 是⊙O 中弦 CD 的中点，根据垂径定理的推
论，得 EM⊥CD.又 CD＝4，∴CM＝12CD＝2. 设圆的半径为 x 米，连接 OC，在 Rt△COM 中，由勾
股定理，得 OC2＝CM2＋OM2，即 x2＝22＋(6－x)2，解得 x ＝130.
数学
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第六单元 圆 第27课时 圆的有关性质
第27课时┃圆的有关性质
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1．[九上 P89 习题 24.1 第 8 题改编] 如图 26－1 是一个隧道的 横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分．如果 M 是⊙O 中 弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交圆 O 于点 E，并且 CD＝4 m，EM ＝6 m，则⊙O 的半径为_1_0______m.
2018年中考数学(浙江)总复习练习：考点跟踪突破23圆的基本性质
考点跟踪突破23 圆的基本性质A 组 基础闯关一、选择题 1．(2017·乐山)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的，根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )A ．2米B ．2.5米C ．2.4米D ．2.1米,第1题图) ,第2题图)2．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB 上一点，则∠APB 的度数为( D )A ．45°B ．30°C ．75°D ．60° 3．(2016·杭州)如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与点A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E.若∠AOB ＝3∠ADB ，则( D )A ．DE ＝EB B .2DE ＝EBC .3DE ＝DOD ．DE ＝OB 4．(2017·广州)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连结CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )A ．AD ＝2OB B ．CE ＝EOC ．∠OCE ＝40°D ．∠BOC ＝2∠BAD,第3题图) ,第4题图) ,第5题图)5．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵上，且不与点M ，N 重合，当点P 在MN ︵上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( A )A ．不变B ．变小C ．变大D ．不能确定二、填空题 6．(2017·包头)如图，点A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC ＝2∠AOB ，∠BAC ＝40°，则∠ACB ＝__20__度．,第6题图) ,第7题图)7．(2017·株洲)如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D ，E ，∠BMD ＝40°，则∠EOM ＝__80°__．8．(2017·十堰)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为__8__．9．(2017·襄阳)在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为__15°或105°__．三、解答题10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)．(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．解：(1)作图如图所示：(2)连结AB ，OB ，OC.设OC 交AB 于点D ，∵AB ＝80 m ，C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB.∴AD ＝BD ＝40 m ，CD ＝20 m ．设OB ＝r m ，则OD ＝(r －20)m.在Rt △OBD 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，∴r 2＝(r －20)2＋402，解得r ＝50，∴AB ︵所在圆的半径是50 m.11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连结BD.(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝12，且AD ∶CD ＝1∶2时，求⊙O 的半径．解：(1)证明：连结AE ，DE ，∵AB 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC.∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线，∴DE ＝EB.∴ED ︵＝EB ︵，即点E 是BD ︵的中点．(2)设AD ＝x ，则CD ＝2x ，∴AB ＝AC ＝3x ，∴BD 2＝(3x )2－x 2＝8x 2.在Rt △CDB 中，(2x )2＋8x 2＝122，∴x ＝23，∴OA ＝32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.B 组 能力提升12．(2017·潍坊)如图，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连结BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°,第12题图) ,第13题图)13．(2017·凉山州)如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝__43__．14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.(1)求证：AO 平分∠BAC ；证明：连结OB.在△AOB 与△AOC 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，OB ＝OC ，AO ＝AO ，∴△AOB ≌△AOC (SSS )，∴∠BAO ＝∠CAO ，∴AO 平分∠BAC.(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，求AC 和CD 的长．解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ， ∴sin ∠BAC ＝CE AC ＝35.设AC ＝5m (m ＞0)，则CE ＝3m ，∴AE ＝AC 2－CE 2＝（5m ）2－（3m ）2＝4m ，BE ＝AB －AE ＝AC －AE ＝5m －4m ＝m.在Rt △CBE 中，∠BEC ＝90°，BC ＝6，BE ＝m ，CE ＝3m ，∴m 2＋(3m )2＝62. 解得m ＝3105，m ＝－3105(舍去)．∴AC ＝5m ＝5×3105＝310.C 组 拓展培优15．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.(1)如图①，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图②，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．解：(1)连结OQ ，如图①，∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tan ∠B ＝OP OB ，∴OP ＝3tan30°＝3，在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，∴PQ ＝OQ 2－OP 2＝ 6.(2)连结OQ ，如图②，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时OP ⊥BC ，则OP ＝12OB ＝32，∴PQ 长的最大值为9－（32）2＝332.。
考点跟踪突破-第六章圆
第六章圆第一节圆的基本性质基础过关1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(D)A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D第1题图第2题图2．(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为(A) A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m3．(2019·滨州)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(B)A．60°B．50°C．40°D．20°第3题图第4题图4．(2019·镇江)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC＝CB .若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于(A)A．55°B．60°C．65°D．70°5．(2019·宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(A)A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°第5题图第6题图6．(2019·安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(D)A ．13B ．2 2C ．223D ．247．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上，且AB 为50°，则∠E ＋∠C ＝__155__°.第7题图第8题图8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__．9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，则cos ∠OCB 的值是2__．第9题图第11题图10．(2019·陕西)若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为__6__．11．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE∶DE＝3∶5，则AC∶BD＝__3∶5__．12．(2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为__(－1，－2)__．13．(2018·玉林)小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是__10__cm.14．(2018·呼和浩特)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．15．(2019·南京)如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.证明：连接AC，∵AB＝CD，∴AB＝CD，∴AB＋BD＝BD＋CD，即AD＝CB，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC.满分冲刺16．(2019·梧州)如图，在半径为13 的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是(C)A ．2 6B ．210C ．211D ．4 3第16题图第17题图17．(2019·安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为．18．(2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为__12__．19．(2019·苏州)如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F.(1)求证：DO ∥AC ； (2)求证：DE·DA ＝DC 2；(3)若tan ∠CAD ＝12，求sin ∠CDA 的值．(1)证明：∵D 是BC 的中点，∴CD ＝DB ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CAB ＝2∠BAD.在⊙O 中，∠DOB ＝2∠BAD.∴∠CAB ＝∠DOB.∴DO ∥AC.(2)证明：∵点D 是BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴∠CAD ＝∠DCB ，∴△DCE ∽△DAC ，∴CD 2＝DE·DA ；(3)解：连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∴∠ACB ＝90°，∵DO ∥AC ，∴∠OFB ＝∠ACB ＝90°，∴∠BFD ＝90°.∵∠CAD ＝∠CBD(同弧所对的圆周角相等).∴tan ∠CBD ＝tan ∠CAD ＝12 ，∴DF BF ＝12 .设DF ＝k(k ＞0)，则BF ＝2k ，设OB ＝OD＝r ，则OF ＝OD －DF ＝r －k.在Rt △BOF 中，有OF 2＋BF 2＝OB 2.即(r －k)2＋(2k)2＝r 2，化简得r ＝52 k.∴OF ＝OD －DF ＝r －k ＝32 k ，∴sin ∠CBA ＝OF OB ＝32k 52k ＝35.∵∠CDA ＝∠CBA(同弧所对的圆周角相等)，∴sin ∠CDA ＝sin ∠CBA ＝35.第二节与圆有关的位置关系基础过关1．(2019·广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到⊙O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(C)A．0条B．1条C．2条D．无数条2．(金昌模拟)如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，边AB切⊙O于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝34°，则∠BAC的度数为(B) A．20°B．22°C．34°D．68°第2题图第3题图3．(2019·杭州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝(B)A．2 B．3 C．4 D．54．(2019·福建)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于(B)A．55°B．70°C．110°D．125°第4题图第5题图5．(2019·嘉兴)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 的延长线于点P ，则PA 的长为(B)A ．2B ． 3C ． 2D ．126．(2019·台州)如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为(A)A ．2 3B ．3C ．4D ．4－ 3第6题图第7题图7．(2019·河池)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝38°，则∠P ＝__76__°.8．(2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为__2__．9．(2018·连云港)如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ，已知∠OAB ＝22°，则∠OCB ＝__44__°.10．(2019·眉山)如图，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝4 2 .⊙O 的半径为2，点P 是AB边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ(点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为．第10题图第11题图11．(2018·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作⊙O 的切线FG ，交AB 于点G ，则FG 的长为__125__．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P.若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．证明：连接AC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠COB ＝2∠ACO ，又∵∠COB ＝2∠PCB ，∴∠ACO ＝∠PCB.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°.∴∠PCB ＋∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP.∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，与AB 交于点E ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F.(1)求证：AE ＝AF ；(2)若DE ＝3，sin ∠BDE ＝13 ，求AC 的长．(1)证明：连接OD.∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED.∵直线BC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥BC.∴∠ODB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴OD ∥AC.∴∠ODE ＝∠F.∴∠OED ＝∠F.∴AE ＝AF ；(2)解：连接AD.∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°.∵AE ＝AF ，∴DF ＝DE ＝3.∵∠ACB ＝90°.∴∠DAF ＋∠F ＝90°，∠CDF ＋∠F ＝90°，∴∠DAF ＝∠CDF ＝∠BDE.在Rt △ADF 中，DF AF ＝sin ∠DAF ＝sin ∠BDE ＝13 ，∴AF ＝3DF ＝9.在Rt △CDF 中，CF DF ＝sin ∠CDF ＝sin ∠BDE ＝13 ，∴CF ＝13DF ＝1.∴AC ＝AF －CF ＝8.14．(2019·十堰改编)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且∠CDE ＝12∠BAC.(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AB ＝3BD ，CE ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)DE 是⊙O 的切线．理由：如解图，连接OD ，AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝12 ∠BAC ，∵∠CDE＝12 ∠BAC ，∴∠CDE ＝∠CAD.∵OA ＝OD ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∵∠ADO ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵AB ＝3BD ，∴AC ＝3DC ，设DC ＝x ，则AC ＝3x ，∴AD ＝AC 2－DC 2 ＝2 2 x.∵∠CDE ＝∠CAD ，∠DEC ＝∠AED ，∴△CDE ∽△DAE ，∴CE DE ＝DC AD ＝DE AE ，即2DE ＝x 22x ＝DE 3x ＋2，∴DE ＝4 2 ，x ＝143 ，∴AC ＝3x ＝14，∴⊙O 的半径为7.满分冲刺15．(2019·菏泽)如图，直线y ＝－34 x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是__(－73 ，0)或(－173，0)__．16．(2019·德州)如图，∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3 .(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A 、C 两点分别与射线PB 和PD 相切；(要求：写出作法，并保留作图痕迹)(2)根据(1)的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； (3)求所得的劣弧与线段PA 、PC 围成的封闭图形的面积．解：(1)如解图；(2)已知：∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3 ，过A 、C 分别作PB 、PD 的垂线，它们相交于点O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，OC ⊥PD，求证：PB、PC为⊙O的切线．证明：∵∠BPD＝120°，∠PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL)，∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；(3)∵∠OAC＝∠OCA＝90°－30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2 3 ，∠AOC＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝33×2 3 ＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO －S扇形AOC＝2×12×2 3 ×2－60π·（23）2360＝4 3 －2π.第三节与圆有关的计算基础过关1．(2019·长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(C)A．2πB．4πC．12πD．24π2．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则BD的长为(D)A. 23πB.43πC. 2πD.83π第2题图第4题图3．(2019·湖州)已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是(B)A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm24．(2019·绍兴)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2 2 ，则BC的长为(A)A．πB． 2 πC．2πD．2 2 π5．(2019·南充)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)A．6πB．3 3 πC．2 3 πD．2π第5题图第6题图6．(2019·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2 3 ，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A ．534 －π2B ．534 ＋π2C ．2 3 －πD ．4 3 －π27．(2019·天门)75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm ，则此弧所在圆的半径是__6__cm . 8．(2019·十堰)如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝6，将半圆绕点A 顺时针旋转60°，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为__6π__．第8题图第9题图9．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2 3 ，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC 的长为__2π__．(结果保留π)10．(2019·哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是__110__度．11．(2019·贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是．第11题图第13题图12．(2019·无锡)已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2，则这个圆锥的底面圆半径为__3__cm .13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BC 边于点E ，若E 恰为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为2 －23π__．14．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD 的中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E ，F 分别是AD ，BA 的延长线与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积为__π－1__．(结果保留π)15．(2019·安顺)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为__6__．第15题图第16题图16．(2019·重庆)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为3．(结果保留π)17．(2019·邵阳)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求图中阴影部分的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝ 3 AD ＝6 3 ，∴BC ＝2BD ＝12 3 ，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12 ×6×123 －120π·62360＝36 3 －12π；(2)设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝120π·6180 ，解得r ＝2，h ＝62－22＝4 2 .18．(2018·湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC.(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC 的长．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD ，∴AE ＝ED ；(2)解：∵OC ⊥AD ，∴AC ＝CD ，∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°，∴AC 的长＝72π×5180＝2π.满分冲刺19．(2018·云南)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD ＝∠BAC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若∠D ＝30°，BD ＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB ＝60°，∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2 3 ，易求S△AOC ＝12×2 3 ×1＝ 3 .S扇形OAC＝120π×4360＝4π3，∴阴影部分面积为43π－3 .。
中考试题考点跟踪突破23 圆的基本性质.docx
考点跟踪突破23 圆的基本性质一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2015·兰州)如图，已知经过原点的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB ＝( B )A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定,第1题图) ,第2题图)2．(2015·淮安)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A ＝70°，则∠C 的度数是( B ) A ．100° B ．110° C ．120° D ．130° 3．(2015·黔南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 且相交于点E ，则下列结论中不成立的是( D )A ．∠A ＝∠DB .CB ︵＝BD ︵C ．∠ACB ＝90°D ．∠COB ＝3∠D,第3题图) ,第5题图)4．(2015·襄阳)点O 是△ABC 的外心，若∠BOC ＝80°，则∠BAC 的度数为( C ) A ．40° B ．100° C ．40°或140° D ．40°或100°5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC ︵的中点，点D 是优弧BC ︵上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝6 3 cm ；③sin ∠AOB ＝32；④四边形ABOC 是菱形．其中正确的序号是( B )A ．①③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2015·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE＝1，则⊙O 的半径为__52__．,第6题图) ,第7题图)7．(2015·六盘水)如图所示，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40__°.8．(2015·山西)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点．若∠A ＝40°，则∠B ＝__70__度．,第8题图) ,第9题图) 9．(2015·淄博)如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠DCB ＝28°，则∠ABC ＝__28__度． 10．(2015·义乌)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为__3或73__．三、解答题(共40分) 11．(8分)(2014·湖州)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图)． (1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．(1)证明：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ，∴BE －DE ＝AE －CE ，即AC ＝BD (2)解：由(1)知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，连接OC ，OA ，∵OE ＝6，∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62＝27，AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，∴AC ＝AE －CE ＝8－2712．(8分)(2015·滨州)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.(1)求BC ︵的长； (2)求弦BD 的长．解：(1)连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵cos ∠BAC＝AC AB ＝510＝12，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°，∴BC ︵的长＝120×π×（10÷2）180＝103π (2)∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴∠AOD ＝∠BOD ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAD ＝45°，在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×sin 45°＝10×22＝5 213．(8分)(2015·佛山)如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F. (1)若∠E ＝∠F 时，求证：∠ADC ＝∠ABC ； (2)若∠E ＝∠F ＝42°时，求∠A 的度数；(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．解：(1)∠E ＝∠F ，∵∠DCE ＝∠BCF ，∴∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF ，∴∠ADC ＝∠ABC (2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC ，∵∠EDC ＝∠ABC ，∴∠EDC ＝∠ADC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°(3)连接EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A ，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E ＋∠F ＝180°，∴2∠A ＋α＋β＝180°，∴∠A ＝90°－α＋β214．(8分)(2015·烟台)如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC ，BC 的交点分别为D ，E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．解：(1)△ABC 为等腰三角形．理由如下：连结AE ，∵DE ︵＝BE ︵，∴∠DAE ＝∠BAE ，即AE 平分∠BAC ，∵AB 为直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形 (2)∵△ABC 为等腰三角形，AE⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝12×12＝6，在Rt △ABE 中，∵AB ＝10，BE ＝6，∴AE ＝102－62＝8，∵AB为直径，∴∠ADB ＝90°，∴12AE·BC ＝12BD·AC ，∴BD ＝8×1210＝485，在Rt △ABD 中，∵AB ＝10，BD＝485，∴AD ＝AB 2－BD 2＝145，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝14510＝725 15．(8分)(2015·永州)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 上的一点，使CF ∥BD.(1)求证：BE ＝CE ；(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长．(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE (2)四边形BFCD 是菱形．证明：∵AD 是直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∵CF ∥BD ，∴∠FCE ＝∠DBE ，在△BED 和△CEF 中，⎩⎨⎧∠FCE ＝∠DBE ，BE ＝CE ，∠BED ＝∠CEF ＝90°，∴△BED ≌△CEF ，∴CF ＝BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD ，∴四边形BFCD 是菱形 (3)解：∵AD 是直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∴CE 2＝DE·AE ，设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10，∴42＝x(10－x)，解得x ＝2或8(舍)，在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
【精品】各地2018年中考数学试卷精选汇编 圆的有关性质【含答案】
圆的有关性质一、选择题1.（2018•山东枣庄•3分）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD 交AB 于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD 的长为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】作OH⊥CD于H，连结 OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到 HC=HD，再利用 AP=2，BP=6 可计算出半径 OA=4，则 OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含 30 度的直角三角形的性质计算出 OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CD 于 H，连结 OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH 中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC 中，∵OC=4，OH=1，∴CH== ，∴CD=2CH=2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含 30 度的直角三角形的性质．2.（2018•四川凉州•3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．【解答】解：△AOB 中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．3.（2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂径定理，可得= ，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得= ，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°． ∴∠3=64°，在 Rt△OBE 中，∠OEB=90°， ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°， 故选：D ．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出 = ，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．4. （2018•江苏盐城•3分）如图， 为 的直径， 是 的弦， ，则的度数为（ ）A. 7.【答案】C 【考点】圆周角定理B.C.D.【解析】【解答】解：∵ ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°， 故答案为：C，∠ADC 与∠B 所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠ CAB=90°-∠B 即可求得。
2018届中考数学复习 专题31 圆的基本性质试题(a卷,含解析)
专题31 圆的基本性质一、选择题1. （ 山东聊城，9，3分）如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且»»DFBC =，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为A 、45°B 、50°C 、55°D 、60° 【答案】B 【逐步提示】第一步先利用圆的内接四边形对角互补的性质求出∠ACD 的度数，第二步利用等弧所对的圆周角相等求出∠DCE ，第三步利用三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和求出∠E 的度数.【详细解答】解：因为，四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°，又因为»»DFBC =，所以∠DCE=∠BAC=25°，又因为∠ADC=∠DCE+∠E ，所以∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°，故选择B .【解后反思】本题考查了圆内接四边形及性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，并结合三角形内外角关系解决问题．等弧所对的圆周角相等；圆内接四边形对角互补；三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和. 【关键词】圆内接四边形及性质 ；圆心角、圆周角定理；与三角形有关的线段、角；；2.（ 山东泰安，10，3分）如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O于点F ，则∠BAF 等于（ ）A ．12．5°B ．15°C ．20°D ．22．5° 【答案】B 【逐步提示】本题考查了垂径定理及等边三角形的判定及性质，解题的关键是利用圆的有关性质及平行四边形的AOC B F 第10题图性质判定三角形的形状．连接OB ，由四边形ABCO 是平行四边形，可知AB OC ∥，再由半径相等可得△ABO 为等边三角形，由OF ⊥OC 可得OF ⊥AB ，从而知道∠BOF 的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可以计算出∠BAF 的度数．【详细解答】解：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AB OC ∥，∵OA ＝OB ＝OC ，∴AB ＝OB ＝OA ，∴△ABO 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°．又∵OF ⊥OC ，∴OF ⊥AB ，∴∠BOF ＝12∠AOB ＝30°，∴∠BAF ＝12∠BOF ＝15°．故选择B .【解后反思】(1)圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来即在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等弧所对的圆心角的一半；(2)圆中任意两条半径和弦组成的三角形都是等腰三角形．此题利用平行四边形对边平行且相等的性质，并结合圆中半径都相等，得到一个等边三角形，从而求得一个60°的角，这是解决问题的关键所在．【关键词】平行四边形的性质；等边三角形；圆心角、圆周角定理．3. （ 山东泰安，17，3分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连接AE ，则ADE CDB S S ∆∆：的值等于（ ）A ．1．1．1：2 D ．2：3【答案】D 【逐步提示】本题考查了圆的有关性质及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握有关的性质及图形之间的联系．因为可以知道△ADE ∽△CDB ，面积比就等于相似比的平方．所以求出相似比AEBC即可．因为AB 是⊙O AOCB F 第10题图AB第17题图的直径，∠B ＝30°，可知BC ＝AB cos30°，再找出AE 与AB 的关系就可以了．因为CE 平分∠ACB ，连接BE 可知△AEB 为等腰直角三角形，AE ＝AB cos45°．这样就知道了AEBC，问题解决．【详细解答】解：连接BE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠AEB ＝90°，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴BC ＝AB cos30°AB ．∵ CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ＝45°，∵∠BCE ＝∠BAE ，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝AB cos45°＝AB，∴AB AE BC，∵∠BCE ＝∠BAE ，∠ADE ＝∠CDB ，∴△ADE ∽△CDB ，∴ADE CDB S S ∆∆＝223＝ 故答案为D .【解后反思】求两个三角形的面积关系首先判断两个三角形是否相似，如果相似可以用相似三角形的性质：两个相似三角形面积比等于相似比的平方去解决．此题解题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到两个直角三角形，然后通过特殊角的三角形函数值找到线段AE 与BC 的等量关系．【关键词】圆周角定理 ；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定；相似三角形的性质4. （ 山东潍坊，9，3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A （8，0）．与y 轴分别交于点B （0，4）与点C （0，16）．则圆心M 到坐标原点O 的距离是（ ） A ．10 B．．．【答案】D【逐步提示】本题考查了垂径定理及图形与坐标，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理进行解答．过点M 作MN ⊥BC ，交BC 于点N ，连接OM 、BM ，先利用垂径定理求出BN 的长度，再利用勾股定理求出⊙M 的半径，然后利用勾股定理求OM 的长度.【详细解答】解：过点M 作MN ⊥BC ，交BC 于点N ，连接OM 、BM ，AB第17题图由A（8，0）、B（0，4）、C（0，16）可得：OA=8，BC=16－4=12.∴MN=OA=8，BN=12BC=6∴在Rt△MNB中，BM10==，即⊙M的半径为10.∴ON=10.在Rt△OMN中，OM===故选择D .【解后反思】垂径定理与勾股定理联系密切，解此类题时需注意构造直角三角形，利用勾股定理进行解答.【关键词】垂径定理；勾股定理；平面直角坐标系；5.（山东省烟台市，10，3分）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D.若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）【答案】D【逐步提示】由于不明确等腰三角形的边和腰，所以要分两种情况进行讨论：当BC为底边时，当BC为腰时，分别求出∠BCD的度数，即可求解.在求解过程中要注意：点C在以AB为直径的圆上，所以点D在量角器上对应的度数等于2∠BCD的度数.【详细解答】解：∵∠ACB=90°，∴点C在以AB为直径的圆上.分两种情况进行讨论：当BC为底边时，∠BCD=∠ABC=40°，∴点D在量角器上对应的度数是40°⨯2=80°，当BC为腰时，∠BCD=240180︒-︒=70°，∴点D在量角器上对应的度数是70°⨯2=140°，故选择D .【解后反思】解此题的关键是掌握圆心角、圆周角定理和等腰三角形的定义和性质．1.圆周角定理的推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．2.已知顶角求底角的方法：底角＝1802－顶角．3.解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，然后利用圆周角定理以及推论求解，特别地，当有直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质；或是当有直角时，往往要用到90°的圆周角所对的斜边是直径.．4.没有明确等腰三角形的底或腰时，一定要注意分类讨论．分类讨论是一种重数学思想，在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准，且要做到不重不漏. 【关键词】等腰三角形；圆周角；弧；分类讨论思想；6.(浙江杭州，8，3分)如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ．C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E ．若∠AOB ＝3∠ADB ，则( )A ．DE ＝EB B ．2DE ＝EBC ．3DE ＝DOD ．DE ＝OB【答案】D ．【逐步提示】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质与判断，解题的关键是充分利用半径相等、等腰三角形的两底角相等及等角对等边等有关性质．由四个选项中都是线段DE 与相关线段的大小比较，且题目中条件为角之间的倍数关系，这样就联想到通过三角形之间的边角关系来探索相关线段的数量关系了：不妨连接OE ，首先由OB ＝OE ，得到∠B ＝∠OEB ；再由三角形的外角性质，得到∠AOB ＝∠B ＋∠D ，∠OEB ＝∠EOD ＋∠D ，加上已知条件∠AOB ＝3∠ADB ，就不难推导出∠DOE ＝∠D ，最后由等角对等边，得到DE ＝EO ＝OB ． 【解析】连接OE ，如下图． ∵OB ＝OE ， ∴∠B ＝∠OEB ．∵∠AOB ＝∠B ＋∠D ，∠OEB ＝∠EOD ＋∠D ，∠AOB ＝3∠ADB ， ∴∠B ＝∠OEB ＝2∠D ． ∴∠DOE ＝∠D ． ∴DE ＝EO ＝OB ． 故选择D ．【解后反思】本题是一道探究题，由两个角之间的3倍关系去探索线段DE 与图中相关线段的数量关系．如何充分利用已知条件与图形中隐含的条件，是解题的关键．连接OE 后，就容易利用圆的半径相等，加上等腰三角形的性质与判定定理及三角形的外角性质，得到图中两组相等的角及这两组角的对边也相等的结论，从而就探究出DE 与圆的半径相等的正确结论了．【关键词】圆的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角性质第8题图第7题图7.(浙江金华，9，3分)足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB 的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点A,B,C,D,E 均在格点上,球员带球沿CD 方向进攻，最好的射点在( )A.点CB.点D 或点EC.线段DE (异于端点) 上一点D.线段CD (异于端点) 上一点【答案】C【逐步提示】认真审题确定解题思路，过A ． B ．D 三点作圆，可以根据圆内角、圆周角及圆外角的性质确定各射点到球门AB 的张角，比较各张角的大小，确定答案．【解析】连接EB ．AD ．DB ．AC ．CB ，作过点A ．B ．D 的圆，可以确定点E 在圆上，点C 在圆外，根据圆周角及圆外角的性质可以确定∠AEB=∠ADB>∠ACB ,所以最好的射点是线段DE (异于端点) 上一点，故选择C.【解后反思】解题的关键在于构造圆，然后根据圆周角、圆内角及圆外角的性质确定各张角的大小，进而得出结论．【关键词】圆周角；“网格”数学题型8.(淅江丽水，10，3分)如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC 上一点，BD 交AC 于点E ，若BC=4,AD=45，则AE 的长是A.3B.2C.1D.1.2 【答案】【逐步提示】确定AC=BC ，△CBE ∽△DAE ，根据相似比判断各选项中的数据是否正确．（第9题图）【解析】由题意得AC=BC=4,BD=285，△CBE∽△DAE，所以AE：BE=DE：CE=AD：CB=45：4=15，所以BE˙DE=AE˙CE，若AE=3,则BE=15>285,错误；若AE=2,则BE=10>285,错误；若AE=1,则BE=5,DE=35,CE=4-1=3,此时满足BE˙DE=AE˙CE，故AE=1；若AE=1.2,则BE=6>285,错误,故选择C.【解后反思】根据题意确定图形中各线段间的关系，然后根据已知条件对所给选项进行验证得出正确的结论．【关键词】圆；相似三角形的性质；验证法；；9.（四川达州，7，3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为第7题图A.13B.2 2C.24D.223【答案】C【逐步提示】本题主要考查了圆中有关计算.解题的关键是把∠OBC的正切值转化到直角三角形中求解．解题是：如图，连接CD，则CD是⊙A的直径，且∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中可求得tan∠ODC.【详细解答】解：连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径，∠OBC＝∠ODC，在Rt△OCD中，OD=62-22=42，∴tan∠ODC=242＝24故选择C.【解后反思】解答这类问题时，往往将坐标系内的点坐标转化为线段的长度，进而化归到直角三角形中，应用三角函数定义求得三角函数值．求锐角三角函数的方法：（1）直接定义法；（2）构造直角三角形；（3）借助三角函数关系求值．【关键词】圆周角定理及推论；三角函数10.（四川乐山，7，3分）如图4，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB= ( )．A．10°B．20°C．30°D．40°图4【答案】B．【逐步提示】欲求∠CAB，在Rt△ABC中，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，所以只需知道∠ABC的度数，在⊙O中，∠ABC=∠ADC，这样在等腰三角形ACD中，由∠ACD=40°可得解．【详细解答】解：∵CA=CD，并且∠ACD=40°，∴∠ADC=70°．在⊙O中，∵AB为直径，∠ACB=90°，∵∠ABC 与∠ADC是⊙O中»AC的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=70°，∴∠CAB=∠AC B-∠ABC= 90°-70=20°，故选择B．【解后反思】对于圆的有关性质的考查，一般会将圆周角、圆心角，弧、弦、弦心距等量之间的关系合并考查，解题的关键是明确相关性质．本题涉及到的有：①在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；②直径其所对的圆周角是90°．【关键词】等腰三角形性质；圆周角定理11.（四川省自贡市，5，4分）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是A．15° B．25° C．30° D．75°【答案】C【逐步提示】∠B为圆周角，可以考虑将其转移，再利用三角形的内外角关系求解即可.【详细解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=30°，∴∠B=30°，故选择C.【解后反思】求角度数问题，通常手段就是转移和分解，本题在第一步是将角分解求出∠C，再利用转移的方法求出∠B.【关键词】三角形的内角和；圆心角、圆周角定理二、填空题1. .（山东青岛，11，3分）如图，AB是⊙O的直径，C , D是⊙O上的两点，若∠BCD = 28° ,则∠ABD= °.【答案】62【逐步提示】∠ABD 和∠ACD 都是弧AD 所对的圆周角，故只要求出∠ACD 的度数即可；根据“直径所对的圆周角是直角”可知∠ACB ＝90°，进而由∠BCD 的度数可求得∠ACD 的度数，问题得解. 【详细解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°.∵∠BCD =28°，∴∠ACD ＝90°-28°=62°，∴∠ABD ＝62°，故答案为62.【解后反思】与圆周角有关的知识点有：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是圆的直径；同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半. 【关键词】 圆周角；圆周角定理2. （ 山东省枣庄市，15，4分）如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，【答案】【逐步提示】本题考查了有关圆周角的性质，解题的关键是运用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等把∠D 与直角三角形联系起来．连接BC ，利用直径所对圆周角为直角，解Rt △ABC ，然后利用同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得tan D 的值．【详细解答】解：连接BC ，∵AB 为⊙O 直径，∠ACB ＝90°，又∵AB ＝2r ＝6，∴BC ＝∵BC ＝BC ，∴∠D ＝∠A ，∴tan D ＝tan A ＝BCAC＝，故答案为【解后反思】在圆中解决与角有关的问题时，常用的是弧、弦、圆心角的对应关系和圆周角定理，从而实现圆心角与圆周角、圆周角与圆周角的互换．若如涉及到三角函数，通常利用直径所对圆周角为直角，或构造垂径定理三角形求解．【关键词】 圆心角、圆周角定理；锐角三角函数值的求法DBD3.(重庆A，15，4分)如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC. 若∠AOB=120°，则∠ACB=_______度.【答案】60【逐步提示】∠AOB与∠ACB是同弧(AB)所对的圆心角和圆周角，则∠ACB=12∠AOB.【解析】∵∠AOB=120°，∠AOB所对的弧为AB，AB所对的圆周角为∠ACB，∴∠ACB=12∠AOB=12×120°=60°.故答案为60.【解后反思】在圆中，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.【关键词】圆心角、圆周角定理4.(重庆B，15，4分)如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB=40°，则∠C等于度．【答案】25【逐步提示】利用直角三角形的两个锐角互余，由∠OAB的度数可求得∠AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系求解．【解析】∵AB⊥CD，∠OAB=40°，∴∠AOB=50°. ∵∠C与∠AOB分别为AD所对的圆周角和圆心角，∴∠C=12∠AOB=25°. 故答案为25．【解后反思】在圆中，求角的度数时，首先要考虑要求的角是圆周角还是圆心角，再根据圆心角、圆周角的性质定理求解. 在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.【关键词】三角形的内角和；圆心角、圆周角定理5.（四川省巴中市，16，3分）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC=550，则∠A= .【答案】350.【逐步提示】本题考查了圆心角、圆周角定理及其推论，解题的关键是理解并能熟练运用圆心角、圆周角定理及其推论，在⊙O中，弧BC所对的圆心角和圆周角分别是∠BOC和∠BAC，在△BOC中，OB=OC，由∠OBC=550，可以求得圆心角∠BOC的度数，从而求得圆周角∠A的度数.【详细解答】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=550，∴∠BOC=700，∴∠A=12∠BOC=350，故答案为350. 【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解 【关键词】圆心角、圆周角定理；6. （ 四川省成都市，23，4分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC＝13，则AB ＝ ．【答案】392． 【逐步提示】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质等相关知识，解题的关键是利用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造相似三角形．延长CO 交⊙O 于点E ，连接AM ，证明△AMC ∽△HBA ，然后利用相似三角形的性质即可求出AB 的值．【详细解答】解：延长CO 交⊙O 于点M ，连接AM ．∵CM 是⊙O 的直径，∴∠MAC ＝90°，∵AH ⊥BC ，∴∠MAC ＝∠AHB ＝ 90°，又∵∠M ＝∠B ，∴△AMC ∽△HBA ，∴AC AH ＝CM AB ，∵CM ＝2OC ＝26，即2418＝26AB ，∴AB ＝182624⨯＝392． 【解后反思】在有关圆的问题中，有直径通常作直径所对的圆周角，构造直角三角形；有弧、弦中点，通常连弧、弦中点与圆心，应用垂径定理；有切线，连过切点的半径．【关键词】圆心角、圆周角定理 ；相似三角形的判定；相似三角形的性质7. （ 四川南充，15，3分）如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm )，直线l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm .【答案】50 【逐步提示】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合进行解答． 根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论． 【详细解答】解：设圆心为O,由题意知，点O 在l 上。
2018届中考数学复习《圆的有关性质》专项训练题含答案,推荐文档
2018届初三数学中考复习圆的有关性质专项复习练习1. 如图，已知O O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是()A. 5B. 6C. 4D. 32. 如图，AB是OO的直径，BC=CD= DE / COD= 34°,则/AEO勺度数是（）A. 51°B. 56°C. 68°D. 78°3. 如图是以厶ABC的边AB为直径的半圆Q点C恰在半圆上，过C作CDLAB3交AB于D,已知cos/ ACD= 5, BC= 4,贝卩AC的长为()204. 已知OO 的直径CD= 10 cm, AB 是OO 的弦，AB!CD 垂足为M 且AB= 8 cm, 则AC 的长为（）A. 2 5 cm B . 4- 5 cmC. 2 5 cm 或 4 5 cm D . 2 3 cm 或 4 3 cm5. 如图，在O O 中，OAL BC / AOB= 70°，则/ ADC 的度数为（）A. 30° B . 35° C . 45° D . 70°A. 1B. D. 16 y206. 如图，OO的直径AB垂直于CD / CAB= 36°，则/ BCD的大小是（）A. 18° B . 36° C . 54° D . 72°7. 如图，已知OO为四边形ABCD勺外接圆，O为圆心，若/ BCD= 120°, AB= AD= 2,则OO的半径长为（）-322 B. C. D.8. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB= CD= 0.25 米, BD= 1.5米，且AB CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A. 2 米 B . 2.5 米 C . 2.4 米 D . 2.1 米9. 如图，AB 是OO 的直径，弦CDLAB 于点E , / CDB= 30° O O 的半径为5 cm 则圆心O 到弦CD 的距离为（）10. 如图，O O 的直径AB 垂直于弦CD 垂足为E ,Z A = 15°，半径为2,则弦CD 的长为（）5 A. 2 cm B . 3 cm C . 3 3 cm D .6 cmA. 2 B 1 C. 2 D . 4411. 如图，AB 是OO 的直径，且经过弦CD 的中点H,已知cos / CDB= 5, BD= 5, 则OH 的长度为（）12. 如图，O O 的半径OD 垂直于弦AB,垂足为点C,连接AO 并延长交。
中考数学考点总动员 第21讲 圆的基本性质(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
第21讲圆的基本性质1．圆的基本概念及性质(1)基本概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.②弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦．③圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角．④圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角．⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧．(2)性质：①对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．②旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．2．垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应一个圆心角，对应无数圆周角．5．四边形和圆圆内接四边形的对角互补，如图，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°.考点1：垂径定理【例题1】（2018·某某某某·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm【答案】D【考点】垂径定理【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，BD=8cm ，AE=2cm ．在Rt △OEB 中，OE 2+BE 2=OB 2，即OE 2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt △EBC 中，BC=．∵OF ⊥BC ，∴∠OFC=∠CEB=90°． ∵∠C=∠C ，∴△OFC ∽△BEC ，∴，即，解得：OF=．故选D ．归纳：1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．3．事实上，过点E 任作一条弦，只要确定弦与AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．考点2：圆周角定理及其推论【例题2】．(2017·某某)如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E. (1)求证：DE ＝DB ；(2)若∠BAC＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径．【解析】：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE . ∴BD ︵＝CD ︵.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)连接CD.∵BD ︵＝CD ︵，∴CD＝BD ＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝BD 2＋CD 2＝4 2. ∴△ABC 外接圆的半径为2 2.归纳：利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角度的相关计算，常作的辅助线有：已知直径，作其所对的圆周角；已知90°圆周角作其所对弦，即直径．同圆的半径相等，有时需要连接半径，用它来构造等腰三角形， 再根据等腰三角形等边对等角以及三线合一来进行证明和计算. 考点3：圆内接四边形【例题3】如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠DOR 的度数是（ ）A ．60B ．65C ．72D ．75 【答案】D【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR 和∠POD ，二者的差就是所求．【解答】解：连结OD，如图，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ=PR=QR，∴∠POR=×360°=120°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠AOD=90°，∴∠DOP=×90°=45°，∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．故选D．归纳：1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．一、选择题：1. （2017某某眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= 5 cm．A．6B．4C．3D．5【答案】D【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5∴OC=5cm．故答案为5．2. （2018·某某某某·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70° B．55° C．35.5°D．35°【答案】D【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故选：D．3. （2018·某某临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）A ．63B ．62C ．33D ．32 【答案】A【解答】解：设OA 与BC 相交于D 点． ∵AB=OA=OB=6∴△OAB 是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA 平分BC ， 利用勾股定理可得BD=2263 =33 所以BC=63． 故选：A ．4. （2018•某某某某•3分）如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC=32°，则∠OBA 的度数是（ ）A ．64°B ．58°C ．32°D ．26° 【答案】D【解答】解：如图， 由OC ⊥AB ，得 =，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt △OBE 中，∠OEB=90°， ∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°， 故选：D ．5. 已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） A ．25cm B ．45cm C ．25cm 或45cm D ．23cm 或43cm 【答案】C【解答】解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ， ∴AM=21AB=21×8=4cm ，OD=OC=5cm ， 当C 点位置如图1所示时， ∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ， ∴OM=22AM OA -=2245-=3cm ， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm ， ∴AC=22CM AM +=2284+=45cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ， ∴MC=5﹣3=2cm ， 在Rt △AMC 中，AC=22CM AM +=2224+=25cm ．故选：C ．二、填空题：6. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80°．【答案】80【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．故答案为80°．7. （2018•某某）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是.【答案】100°【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，8. （2018•某某模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为．【答案】2【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．9. 已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．【答案】2或14．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．三、解答题：10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中，==，∵ON⊥CD，∴CD=2=2，∵OM⊥AB，∴AM=AB=x ， 在△AOM 中，OM==，∴OM=CD ．11. 已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC 的长；(2)如图2，若∠A＝45°：①求BC 的长；②若点C 是AB ︵的中点，求AB 的长；(3)如图3，若∠A＝135°，求BC 的长．图1图2 图3【点拨】 连接OB ，OC ，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．【解答】 解：(1)连接OB ，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形．∴BC＝OB ＝4.(2)①连接OB ，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形．∵OB＝OC ＝4，∴BC＝4 2.②∵点C 是AB ︵的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB 是⊙O 的直径．∴AB＝8.(3)在优弧BC ︵上任取一点D ，连接BD ，CD ，连接BO ，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB ＝OC ＝4，∴BC＝4 2.12. （2017某某某某）如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，（1）求证：DE=DB ；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC 外接圆的半径．【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE ，∠BAE=∠CAD ，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD ，证出∠DBC=∠BAE ，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB ，即可得出DE=DB ；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC 是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC=22BD CD =42，即可得出△ABC 外接圆的半径．【解答】（1）证明：∵BE 平分∠BAC ，AD 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∠BAE=∠CAD ，∴，∴∠DBC=∠CAD ，∴∠DBC=∠BAE ，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC ，∠DEB=∠ABE+∠BAE ，∴∠DBE=∠DEB ，∴DE=DB ；（2）解：连接CD ，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC 是直径，∴∠BDC=90°，∴BC=22BD CD =42，∴△ABC 外接圆的半径=×42=22．13. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O 的半径为4，CD ＝43，求∠BAC 的度数；(2)若点E 为ADB ︵的中点，连接OE ，CE.求证：CE 平分∠OCD；(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由．【解析】：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，∴CH＝12CD ＝2 3. 在Rt △COH 中，sin ∠COH＝CH OC ＝32，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝12∠COH＝30°. (2)证明：∵点E 是ADB ︵的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC ，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠O CE ＝∠DCE，即CE 平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个．因为AC ︵上的点到直线AC 的最大距离为2，ADC ︵上的点到直线AC 的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，ADC ︵到直线AC 的距离为3的点有2个．。
2018年人教版中考数学考点跟踪突破23：圆的基本性质(含答案)
考点跟踪突破23 圆的基本性质一、选择题1．(2017·广东)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为( C ) A ．130° B ．100° C ．65° D ．50°,第1题图) ,第2题图)2．(2017·乐山)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )A ．2米B ．2.5米C ．2.4米D ．2.1米3．(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( B )A ．22＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5 D ．5＜r ＜29,第3题图) ,第4题图)4．(2017·苏州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D.E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵，连接OE.过点E 作EF ⊥OE ，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( C )A ．92°B ．108°C ．112°D ．124°5．(2017·广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝45，BD ＝5，则OH 的长度为( D )A.23B.56 C ．1 D.76,第5题图),第6题图)二、填空题6．(2017·盐城)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB ︵上，若∠ACB ＝70°，则∠ADB ＝__110__°.7．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为__90°__．,第7题图) ,第8题图)8．(2017·遵义)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA ＝45°，则弦CD 的长为__14__．9．(2017·湖州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是__140__度．,第9题图) ,第10题图)10．(2017·东营)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连接CD ，BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD ＝CD ；③CD 2＝CE ·CO ，其中正确结论的序号是__①②③__．三、解答题11．(2016·宁夏)如图，△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D ，BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (2)连接AE ，∵AB 为直径，∴AE ⊥BC ，由(1)知AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3，∵CE ·CB ＝CD ·CA ，AC ＝AB ＝4，∴3×23＝4CD ，∴CD ＝3212．(2016·福州)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM. (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∵M 为AD ︵中点，∴AM ︵＝DM ︵，∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵，即BM ︵＝CM ︵，∴BM ＝CM (2)∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π，∴BM ︵的长＝38×4π＝32π13．(2017·株洲)如图，AB 为⊙O 的一条弦，点C 为劣弧AB 的中点，E 为优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE ＝EF ，线段CE 交弦AB 于点D.(1)求证：CE ∥BF ；(2)若BD ＝2，且EA ∶EB ∶EC ＝3∶1∶5，求△BCD 的面积(注：根据圆的对称性可知OC ⊥AB)．解：(1)连接AC ，BE ，作直线OC 交AB 于G ，∵BE ＝EF ，∴∠F ＝∠EBF ；∵∠AEB ＝∠EBF ＋∠F ，∴∠F ＝12∠AEB ，∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEB ＝∠AEC ＋∠BEC ，∴∠AEC ＝12∠AEB ，∴∠AEC ＝∠F ，∴CE ∥BF (2)∵∠DAE ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△CBE ，∴AD CB ＝AE CE ，即ADCB＝35，∵∠CBD ＝∠CEB ，∠BCD ＝∠ECB ，∴△CBE ∽△CDB ，∴BD CB ＝BE CE ，即2CB ＝15，∴CB ＝25，∴AD ＝6，∴AB ＝8，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AG ＝BG ＝12AB ＝4，∴CG ＝CB 2－BG 2＝2，∴△BCD 的面积＝12BD ·CG ＝12×2×2＝214．(导学号：65244136)(2017·苏州)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F.(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求sin A 的值．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，∴∠DEO ＝∠ACB ，∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC (2)∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A ，∵∠A ＝∠BDC ，∴∠ODE＝∠BDC ，∴∠ODF ＝∠BDE (3)∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE S △ABC ＝(OD AB )2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1，∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1，∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1，∴BE＝12OE ，即OE ＝23OB ＝23OD ，∴sinA ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝23。
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考点跟踪突破23 圆的基本性质
一、选择题
1．(2017·广东)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA ＝DC ，∠CBE ＝50°，则∠DAC 的大小为( C )
A ．130°
B ．100°
C ．65°
D ．50°
,第1题图) ,第2题图)
2．(2017·乐山)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )
A ．2米
B ．2.5米
C ．2.4米
D ．2.1米
3．(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( B )
A ．22＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5 D ．5＜r ＜29
,第3题图) ,第4题图)
4．(2017·苏州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝56°.以BC 为直径的⊙O 交AB
于点D.E 是⊙O 上一点，且CE ︵＝CD ︵
，连接OE.过点E 作EF ⊥OE ，交AC 的延长线于点F ，则∠F 的度数为( C )
A ．92°
B ．108°
C ．112°
D ．124°
5．(2017·广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝4
5
，BD
＝5，则OH 的长度为( D )
A.23
B.56 C ．1 D.76
,第5题图)
,第6题图)
二、填空题
6．(2017·盐城)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB 上，点D 在AB ︵上，若∠ACB ＝70°，则∠ADB ＝__110__°.
7．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为__90°__．
,第7题图)
,第8题图)
8．(2017·遵义)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA ＝45°，则弦CD 的长为__14__．
9．(2017·湖州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC
＝40°，则AD ︵
的度数是__140__度．
,第9题图) ,第10题图)
10．(2017·东营)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连接CD ，BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD ＝CD ；③CD 2＝CE ·CO ，其中正确结论的序号是__①②③__．
三、解答题
11．(2016·宁夏)如图，△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D ，BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC.
(1)求证：AB ＝AC ；
(2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．
解：(1)∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (2)连接AE ，
∵AB 为直径，∴AE ⊥BC ，由(1)知AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝1
2
BC ＝3，∵CE ·CB ＝CD ·CA ，AC
＝AB ＝4，∴3×23＝4CD ，∴CD ＝3
2
12．(2016·福州)如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵
中点，连接BM ，CM. (1)求证：BM ＝CM ；
(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵
的长．
解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，∵M 为AD ︵中点，∴AM ︵＝DM ︵
，∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵，即BM ︵＝CM ︵
，∴BM ＝CM (2)∵⊙O 的半径为2，∴⊙O 的周长为4π，∴BM ︵的长＝38×4π＝32
π
13．(2017·株洲)如图，AB 为⊙O 的一条弦，点C 为劣弧AB 的中点，E 为优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE ＝EF ，线段CE 交弦AB 于点D.
(1)求证：CE ∥BF ；
(2)若BD ＝2，且EA ∶EB ∶EC ＝3∶1∶5，求△BCD 的面积(注：根据圆的对称性可知OC ⊥AB)．
解：(1)连接AC ，BE ，作直线OC 交AB 于G ，∵BE ＝EF ，∴∠F ＝∠EBF ；∵∠AEB ＝∠
EBF ＋∠F ，∴∠F ＝1
2
∠AEB ，∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEB ＝∠
AEC ＋∠BEC ，∴∠AEC ＝1
2
∠AEB ，∴∠AEC ＝∠F ，∴CE ∥BF (2)∵∠DAE ＝∠DCB ，∠AED
＝∠CEB ，∴△ADE ∽△CBE ，∴AD CB ＝AE CE ，即AD CB ＝3
5
，∵∠CBD ＝∠CEB ，∠BCD ＝∠ECB ，
∴△CBE ∽△CDB ，∴BD CB ＝BE CE ，即2CB ＝1
5
，∴CB ＝25，∴AD ＝6，∴AB ＝8，∵点C 为劣弧
AB 的中点，∴OC ⊥AB ，AG ＝BG ＝12AB ＝4，∴CG ＝CB 2－BG 2＝2，∴△BCD 的面积＝1
2
BD ·CG
＝1
2×2×2＝2
14．(导学号：65244136)(2017·苏州)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，点D 在⊙O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F.
(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；
(3)连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝2
7
，求sin A 的值．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，∴∠DEO ＝∠ACB ，∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC (2)∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝
∠A ，∵∠A ＝∠BDC ，∴∠ODE ＝∠BDC ，∴∠ODF ＝∠BDE (3)∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE
S △ABC
＝
(OD AB )2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1，∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ，即S △BOC ＝2S 1，∵S 1S 2＝27
，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝12OE ，即OE ＝23OB ＝2
3
OD ，∴
sinA ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝2
3。