山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学(理)试卷 含解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）理科数学（新课标I ）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =ð（ ）A. (1,2)B. (]1,2C. (1,3)D. (,2]-∞【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A,B ,根据补集，交集的运算求解即可.【详解】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =ð(]1,2，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，涉及指数不等式和二次不等式，属于中档题.2.已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ） A. 0 B. 1-C. 1D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，计算z ，根据对应点在在直线上可得出a .【详解】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x =上，所以12(1)a a -=+，解得13a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数对应的点，属于中档题.3.小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）A. 5500B. 6000C. 6500D. 7000【答案】A【解析】【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的10%，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750⨯=元则目前的月就医费为：750200550-=元∴目前的月工资为：55010%5500÷=元本题正确选项：A【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.4.设,a b均为不等于1的正实数，则“1a b>>”是“log2log2b a>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先通过对数运算可判断出1a b>>时，log2log2b a>，得到充分条件成立；当log2log2b a>时，可根据对数运算求出10b a>>>或1a b>>或01b a<<<，得到必要条件不成立，从而可得结果. 【详解】由1a b>>，可得：lg lg0a b>>，则lg2lg2lg lga b<，即log2log2b a>可知“1a b>>”是“log2log2b a>”的充分条件由log2log2b a>可知lg2lg2lg lga b<，则11lg lglg lg lg lgb aa b a b--=<lg lg 0lg lg 0b a a b ->⎧∴⎨<⎩或lg lg 0lg lg 0b a a b -<⎧⎨>⎩10b a ∴>>>或1a b >>或01b a <<<可知“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的不必要条件综上所述：“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的充分不必要条件 本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，关键是能够通过对数运算来进行判断. 5.若2sin 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A.19 B. 19-C.59D. 59-【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及角之间的关系，2242ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，2))si c 2n 2cos(os 2(4ππααα-==+-+，可利用余弦的二倍角公式求解. 【详解】因为241212sin 124499cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2))si c 2n 2cos(os 2(4ππααα-==+-+，所以1sin 29α=-，故选B. 【点睛】本题主要考查了角变换，诱导公式，属于中档题.6.已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 2B. C.322D.【答案】B 【解析】 【分析】由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(42521.5)f f ⨯+=，即可计算. 【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T =，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)22f f ⨯+== B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】 初如值n=11,i=1, i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1. 输出i=16.选C 。

8.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()g x 31 B. 函数()g x 的最小正周期为πC. 函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】函数()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；3x π=时，66x ππ-=，则3x π=不是()g x 的对称轴，可知C 错误；当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,62x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线2y x =在第一象限交于点P ，若抛物线2y x =在点P处的切线过双曲线的左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 4C.171- D.171+ 【答案】D 【解析】 【分析】 设2(,)P mm ，求函数导数，利用导数的几何意义及切线斜率公式建立方程关系求出2m =，根据双曲线的定义求出,a c 即可. 【详解】设2(,)P mm , 左焦点(4,0)F -,抛物线在第一象限对应的函数为()(0)f x x x =>，函数的导数()2f x x'=，则在P 处的切线斜率221()22k f m mm '===， 又切线过焦点，所以2142m m m=+，解得2m =，则 (4,2)P ，设右焦点坐标为(4,0)A ，则2||||684171)a PF PA =-==，即171a =，所以171c e a +==D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，双曲线的定义、离心率，属于中档题.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A.2 B.3 C.5 D. 22【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知该棱锥的一条侧棱垂直底面，且高为2，由三视图所给数据可知相邻的两个侧面是全等的等腰直角三角形，其外接圆圆心为斜边中点，故可找到球心，且球心到底面距离为1，由正弦定理求底面外接圆半径，利用22R d r +. 【详解】由三视图可知三棱锥的直观图如图：由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径225R d r =+ C.【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球，球的截面圆的性质，三视图，属于中档题.11.设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ） A. (0,4) B. (2,3) C. (22,23) D. (22,4)【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得022A π<<且32A ππ<<,解得A 的范围，可得cos A 的范围，由正弦定理求得由正弦定理可求得12cos 2b b A a ==,根据cos A 的范围确定出b 范围即可. 【详解】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 2A ∴<< 2,2a B A ==,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A = 224cos 23A ∴<则b 的取值范围为(22,23),故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦函数的性质，属于中档题.解题关键是根据三角形为锐角三角形，求出角A 的取值范围.12.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [0,)+∞D. (,0]-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令()()xg x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>， 又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题.13.()5212x x +-展开式中的6x的系数为_______【答案】30 【解析】【分析】利用组合知识，5个212x x +-相乘，其中含6x 的项，可以5个括号中3个取22x -，剩余2个取1，也可以2个取22x -剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，还可以5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含6x 的项可以分3种情况取得，第一种取3个22x -，剩余两个取1，即3235(2)C x - .第二种选2个括号提供22x -，剩余的3个括号中选2个取x ，剩余1个取1，即2222253(2)C x C x -，第三种5个括号选一个取22x -，剩余4个取x ，即124454(2)C x C x -，合并同类项，系数为80+1201030--=，故填30.【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题.14.若向量(2,),(2,1)a x b ==-不共线，且()()+⊥-a b a b ，则⋅=a b ______ 【答案】3- 【解析】 【分析】先计算+a b ，-a b 的坐标，根据向量垂直，可知向量的数量积等于0，即可求出. 【详解】因为+a b =(0,x +1), -a b =(4,x -1)，且()()+⊥-a b a b ， 所以04+(1)(1)0x x ⨯+-=，解得1x =或1x =-， 因为 向量(2,),(2,1)a x b ==-不共线，所以1x =-不成立， 所以2(2)113⋅=⨯-+⨯=-a b ，故填3-.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的垂直，向量的数量积运算，属于中档题.15.已知实数,x y 满足约束条件2020x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若2(0)z ax y a =->的最大值为1-，则实数a 的值是______ 【答案】1 【解析】 【分析】作出可行域，当22a z y x =-在y 轴上的截距越小时，z 越大，平移2ay x =，观察图象即可求解. 【详解】作出可行域如图：由2(0)z ax y a =->可得22a zy x =-， 平移直线2ay x =，当直线过点A 时，z 有最大值1-， 由20x y x a +-=⎧⎨=⎩得(,2)A a a -2max 2(2)1z a a =--=-，解得1a = 或3a =-（舍去），故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，属于中档题.16.如图，在四面体ABCD 中，3,34AB CD AD BD AC BC ======，，用平行于,AB CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则该四边形EFGH 面积的最大值为______【答案】94【解析】 【分析】根据线面平行的性质可知//,//,//,//GH AB EF AB GF CD EH CD ,因为34AD BD AC BC ====，，故A B C ⊥,所以四边形为矩形，设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.【详解】因为直线AB//平面EFGH ，且平面ABC 交平面EFGH 于HG ,所以HG//AB ，同理//EF AB ，//,//GF CD EH CD ，所以四边形EFGH平行四边形又34AD BD AC BC ====，，可证明AB CD ⊥ 所以四边形EFGH 为矩形.设:::,(01)BF BD BG BC FG CD x x ===≤≤，3,3(1)FG x HG x ==-2119(1)9[()]24EFGH S FG HG x x x =⨯=-=--+ ，当12x =时，有最大值94.故填94.【点睛】本题主要考查了四面体ABCD 中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n T .【答案】(1) 21n a n =-，12n n b -= (2) n T (23)23n n =-+.【解析】 【分析】(1) 根据等差数列等比数列的通项公式列方程组求解即可； (2) 由等差数列求出2n S n =，求出1(21)2n n c n -=-，利用错位相减法可以求和.【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有1122()1a d a d +=+-，137a d +=， 解得1a 1,d 2==所以21n a n =-，设11n nb b q -=，由已知35242()b b b b +=+，可得2q =，由222n n b b =可得，21121122(2)n n b b --=，可得11b =，所以12n n b -=，（2）由（1）知，2(211)2n n n S n -+==，所以21212n n c c c n b b b +++=，2112121(1)(2)n n c c cn n b b b --+++=-≥L ， 两式相减可得，21nnc n b =-， 当1n =时，11c =满足上式，所以1(21)2n n c n -=-，0111232(21)2n n T n -=⋅+⋅++-，1221232(21)2n n T n =⋅+⋅++-两式相减可得，2122(21)2n n n T n -=+++--212(12)1(21)212n n n --=+---(32)23n n =--所以n T (23)23nn =-+.【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的通项公式，等差数列的求和公式，错位相减法，属于中档题.18.如图，在三棱锥V ABC -中，,90,2VC AB ABC AB BC ︒<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ︒∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.（1）若E 为AC 中点，求证：BE CV ⊥；（2）当DV 最小时，求二面角A BC V --的余弦值.【答案】(1)见证明；【解析】 【分析】(1)根据中点可得BE AC ⊥，再根据面面垂直的性质定理得BE ⊥面ACV ，即可证明结论(2)以B 为坐标原点，分别以射线,BC BA 和垂直于面ABC 向上的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-B xyz ，求出两个半平面的法向量，利用公式求其夹角余弦即可. 【详解】（1）在ABC ∆，因为90ABC ∠=,AB BC =，E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥，因为面ACV ⊥面ABC ，面ACV 面ABCAC =，所以BE ⊥面ACV ，又VC ⊂面ACV ，BE VC ⊥（2）以B 为坐标原点，分别以射线,BC BA 和垂直于面ABC 向上的方向为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-B xyz ，设BD t =，则有(0,0,0),(2,0,0),(0,,0)B C D t ，因为侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ∠=， 所以(1,1222t t V +-， 所以222232(1)(1)()344222tt t DV t t -=++-+=-+ 当2(0,2)3t =∈时，DV 最小， 此时2(0,,0)3D ，4222(,33V ，4222(2,0,0),(,33BC BV == 设(,,)x y z =n 为平面VBC 的一个法向量，则有0,0BC BV ==n n ，所以2042220333x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令2z =，则(0,2)=-n ， 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，所以cos,n m<>==，故二面角A BC V--3【点睛】本题主要考查了线线垂直，面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质，利用法向量求二面角，属于中档题.19.李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i ix y i =，如表所示：已知611606iiy y===∑.（1）若变量,x y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+；（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x对应的产品销量的估计值iy.当销售数据(),i ix y对应的残差的绝对值ˆ1i iy y-≤时，则将销售数据(),i ix y称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个子，求“好数据”个数ξ的分布列和数学期望()Eξ.（参考公式：线性回归方程中ˆˆ,b a的估计值分别为1221ˆˆˆ,)ni iiniix y nxyb a y bxx nx=-=-==--∑∑.【答案】(1) ˆ482y x=-+ (2)见解析【解析】【分析】(1) 根据所给数据，先计算出t ，计算1ni ii x y=∑，nx y ，21nii x=∑，2n x 代入公式求ˆb，再由ˆˆa y bx =-求ˆa即可 (2)利用回归方程计算销量的预测值，找到4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59)，于是可写出ξ的所有可能取值为1,2,3，计算即可.【详解】（1）由611606i i y y ===∑，可求得48t =，故11910ni ii x y==∑，=1980nx y ，21199ni i x ==∑，2=181.5nx ，代入可得122119101980704199181.517.5ni ii nii x y nx yb xnx==---====---∑∑，ˆˆ604 5.582ay bx =-=+⨯=， 所以所求的线性回归方程为ˆ482yx =-+． （2）利用（1）中所求的线性回归方程ˆ482yx =-+可得，当13x =时，170y =；当24x = 时，266y =；当35x =时，362y =；当46x =时，458y =；当57x =时，554y =；当68x =时，650y =．与销售数据对比可知满足||1(1,2,,6)i i y y i -≤=的共有4个“好数据”：(3,70)、(4,65)、(5,62)、(6,59)于是ξ的所有可能取值为1,2,31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ∴ξ 的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求法，运用，离散型随机变量的分布列、期望，属于中档题.20.已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为4x my =+,1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线可得1216y y m +=，1264y y =-，结合抛物线定义可得112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+,故12||||AC BD x x ⋅=化为纵坐标即可证出.（2）根据12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，1216x x =,化211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++，利用导数求最小值即可. 【详解】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x-+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，利用导数求函数最值，定值问题，属于难题.解决此类性问题，一般要联立方程组，根据根与系数的关系得到两个交点坐标之间的关系，特别注意涉及抛物线时，要主动考虑抛物线定义的使用.21.设函数()ln e x f x x x a =-，其中a ∈R ，e 是自然对数的底数. （1）若()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若22ea ≥，证明：()0f x <. 【答案】(1) 10a e<< (2)见证明【解析】 【分析】（1）()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0f x '=在(0,)+∞有两个根，分离参数ln 1e x x a +=，分析函数ln 1()xx g x e+=的单调性及极值，即可得出a 取值； 范围.（2）()0f x <即ln e 0xx x a -<，等价于e ln 0x a x x -<,令e ()ln xa F x x x=-，利用导数求函数的最值，证明最大值小于0即可.【详解】（1）由题意可知，0x >，()ln 10x f x x ae +-'==， ()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0f x '=在(0,)+∞有两个根，由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1e x x a +=，令ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()xx x g x e --'=，令1()ln 1h x x x=--， 可得211()h x x x'=--，当0x >时，()0h x '<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =， 当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞ 大于0趋向于0，要使()0f x '=在(0,)+∞有两个根，只需0(1)a g <<， 所以a 的取值范围为10a e<<； （2）证明：()0f x <即ln e 0xx x a -<，等价于e ln 0xa x x -<，令e ()ln xa F x x x=-,221(1)()x x x ae x ae x a x e F x x x x ---'=-=， 当01x <≤时，()0F x '>，单调递增，所以()(1)0F x F ae ≤=-<， 当1x >时，2(1)()[](1)x a x x F x e x a x -'=---，令()(1)x x G x e a x =--， 21()0(1)xG x e a x '=+>-，又222222(2)0()ae G e a a a e -=-=≥≥，取(1,2)m ∈，且使2(1)m e a m >-，即2211ae m ae <<-，则有22()0(1)mmG m e e e a m =-<-=-，因为()(2)0G m G <，故G()x 存在唯一零点0(1,2)x ∈，即()F x 有唯一的极值点且为极小值点0(1,2)x ∈，由0G()=0x 可得，000(1)x x e a x =-，故0001()ln 1F x x x =--， 因为020011()01F x x x '=+>-（），故0()F x 为(1,2)上的增函数， 所以20()(2)ln 2ln 2102ae F x F <=-≤-<22()a e ≥，所以3—4x x ．综上，当22a e≥时，总有()0f x <． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式，属于难题.解决此类问题，注意条件的恰当转化，转化后一般要利用导数研究新函数的极值最值，在研究过程中往往需要二次求导.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，>0a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 424πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动眯，当3a =P 到直线l 的距离的最小值； （2）若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）22（2）(0,215 【解析】 【分析】（1）将直线l 的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线距离公式构造出距离d 关于参数t 的三角函数关系式，利用三角函数值域可求得d 的最小值；（2）根据点在直线右下方可得：cos 2sin 80a t t -+>24)8a t ϕ+-<，从而利用三角函数范围得到关于a 的不等式，从而求得范围. 【详解】（1）由cos()424πρθ+=-(cos sin )8ρθθ-=-cos x ρθ=，sin y ρθ=∴直线l 普通方程为：80x y -+=设(23,2sin )P t t ，则点P 到直线l 的距离：|4sin()8||23cos 2sin 8|322t t t d π---+==22sin()2|3t π=-- 当sin()13t π-=时，min 22d =∴点P 到直线l 的距离的最小值为2（2）设曲线C 上任意点(cos ,2sin )P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，cos 2sin 80a t t ∴-+>对任意0a >恒成立)8t ϕ-<，其中2cos 4a ϕ=+，2sin 4a ϕ=+.248a +<由于0a >，解得：0215a <<即：(0,215a ∈【点睛】本题考查点到直线距离最值的求解、点与直线位置关系的应用，关键是能够将极坐标方程化为普通方程，利用参数方程中的参数来构造距离或不等关系.23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>. （1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()|2||1|f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭；（2）()0,2 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法分别在1x ≥、112x -≤<和21x <-上解不等式，取并集得到解集；（2）将问题转化为()()max min |2||1|f x t t <++-，利用绝对值三角不等式求得()min |2||1|3t t ++-=，分段可求得()f x 的解析式，可求出()max 2m f x f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，从而构造出关于m 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】（1）当1m =时，()1f x ≥为：1211x x --+≥当1x ≥时，不等式为：1211x x ---≥，解得：3x ≤-，无解 当112x -≤<时，不等式为：1211x x -+--≥，解得：13x ≤-，此时1123x -≤≤- 当21x <-时，不等式为：1211x x -+++≥，解得：1x ≥-，此时112x -≤<- 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++-因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立所以()min |2||1|3t t ++-=因为0m >时，()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩， 函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-，单调递减区间为(,)2m -+∞ ∴当2m x =-时，()max 322m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 332m ∴<，又0m >，解得：02m << ∴实数m 的取值范围()0,2【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用、解含参数的绝对值不等式的问题，关键是能够将已知中的恒成立问题转化为最大值与最小值之间的关系，从而利用绝对值不等式部分的知识来进行求解.。