2022版高考数学一轮复习第3章第8讲函数与方程训练含解析

第三章 第8讲[A 级 基础达标]1．已知函数f (x )，g (x )由下表给出：x 0 1 2 3 f (x )2 03 1x 0 1 2 3 g (x )213则函数y ＝f (g (x ))A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B2．(2020年重庆一中期中)函数f (x )＝e x ＋x －3在区间(0,1)上的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B3．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ． x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 2【答案】A4．(2019年江西三校联考)设函数y ＝log 2x －1与y ＝22－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C5．(2020年福州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】根据题意，令x 2－2x ＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，即当x ≤0时函数有两个零点．又当x ＞0时，1＋1x＋3x ＝0无解，故函数只有两个零点．6．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x ＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋1【答案】ABD 【解析】对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合；对于B ，设g (x )＝e x －1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由零点存在性定理可得e x ＝1x 有唯一解，符合；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由零点存在性定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又H (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合；对于D ，因为cos x ∈[－1,1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时cos x ＝|x |＋1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合．7．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 【答案】3 【解析】由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2 (k ∈Z )时，f (x )＝0.因为x ∈[0，π]，所以3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6，所以当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．【答案】2 【解析】函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．9．(2020年沈阳模拟)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为________．【答案】5或－2 【解析】将函数f (x )＝log 2(x ＋a )的零点x ＝1－a ，代入x 2－(a ＋1)x－4(a ＋5)＝0，得到(1－a )2－(a ＋1)(1－a )－4(a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题“对于任意的a ∈R ，关于x 的方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪12<a <34. [B 级 能力提升]11．(多选)函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x |，0<x ≤2，log 12⎝⎛⎭⎫x －32，x >2，若实数a ，b ，c 满足0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )．下列结论恒成立的是( )A ．ab ＝1B ．c －a ＝32C ．b 2－4ac＜0D ．a ＋c ＜2b【答案】ABC 【解析】画出y ＝f (x )的图象如图，由图可知－log 2a ＝log 2b ＝log 12 ⎝⎛⎭⎫c －32，即a ＝1b ＝c －32，12＜a ＜1，则选项A ，B 恒成立；又b 2－4ac ＝1a 2－4a ⎝⎛⎭⎫a ＋32＝3⎝⎛⎭⎫12－a a 2⎝⎛⎭⎫a ＋32＜0，即选项C 恒成立；又a ＋c －2b ＝4a 2＋3a －42a ，当12＜a ＜1时，a ＋c －2b 的符号不确定，即选项D 不恒成立．12．设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＜33，则这样的零点有( ) A ．61个 B ．63个 C ．65个D ．67个【答案】C 【解析】依题意得sin πx 0＝0，所以πx 0＝k π(k ∈Z )，即x 0＝k ，f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0＋12π＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π2＝cos πx 0＝cos k π，所以|x 0|＋f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＜33，即|k |＜33－cos k π.当k 为偶数时，|k |＜32，则零点有31个．当k 为奇数时，|k |＜34，则零点有34个．所以共有31＋34＝65个零点．13．(2020年绵阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当－1≤x ≤1时，f (x )＝|x |.若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为( )A ．(4,5)B ．(4,6)C ．{5}D ．{6}【答案】C 【解析】因为f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )的周期为2.当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |.在同一直角坐标系下作出函数f (x )与g (x )＝log a x 的图象，如图所示．若函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象有且仅有4个交点，则a ＞1且函数g (x )＝log a x 的图象过点(5,1)，即a ＝5.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】(3，＋∞) 【解析】在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.15．(2020年银川期中)已知奇函数f (x )＝a ·3x －13x ＋1的定义域为[a －2,3b ]．(1)求实数a ，b 的值；(2)若x ∈[a －2,3b ]，关于x 的方程2[f (x )]2＋f (x )－m ＝0恰有两个不相等的解，求m 的取值范围．解：(1)由函数为奇函数可得定义域关于原点对称，即a －2＋3b ＝0，可得a ＝－3b ＋2 ①. 由f (0)＝0，可得a ·30－130＋1＝0 ，解得a ＝1.将a ＝1代入①，可得b ＝13.所以a ＝1，b ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝3x －13x ＋1，x ∈[－1,1]．因为f (x )＝3x －13x ＋1＝3x ＋1－23x ＋1＝1－23x ＋1 在[－1,1]上单调递增，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 设t ＝f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12， 由2[f (x )]2＋f (x )－m ＝0有两个不相等的解，令g (t )＝2t 2＋t －m ，t ∈⎣⎡⎦⎤－12，12 ，则问题转化为g (t )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有两个零点．所以⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫－12≥0，g ⎝⎛⎭⎫12≥0，Δ>0，解得－18＜m ≤0.所以m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－18，0 . [C 级 创新突破]16．(一题两空)(2020年齐齐哈尔期末)已知函数f (x )＝(e x －1＋x )(x －a e x －1)－e 2(x－1)，若a＝－1，则函数f (x )有________个零点；若函数f (x )有3个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】2 ⎝⎛⎭⎫－1，12 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝(e x －1＋x )2－e 2(x －1)＝2x e x －1＋x 2＝x (2e x －1＋x )，显然x ＝0是f (x )的一个零点，令g (x )＝2e x －1＋x ，则g ′(x )＝2e x －1＋1>0，故y ＝g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝2e >0，g (－1)＝2e 2－1<0，所以y ＝g (x )在(－1,0)上有1个零点，故y ＝f (x )有2个零点．(2)令f (x )＝0可得a ＝x e x －1－e x －1ex －1＋x＝x ex －1－11＋xe x＋1，令g (x )＝x e x －1，则g ′(x )＝e x －1－x e x －1e 2(x －1)＝1－xe x －1，所以当x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以当x ＝1时，g (x )取得最大值g (1)＝1，又当x ＜0时，g (x )＝x e x －1＜0，当x ＞1时，g (x )＝xe x －1＞0，令g (x )＝m ，则当m ≤0或m ＝1时，关于x 的方程g (x )＝m 只有1解，当0＜m ＜1时，关于x 的方程g (x )＝m 有2解，当m ＞1时，关于x 的方程g (x )＝m 无解．令h (m )＝m －11＋m (m ≤1且m ≠－1)，则h (m )在(－∞，－1)和(－1,1]上单调递增，因为f (x )有3个零点，所以关于m 的方程h (m )＝a 在(－∞，0)和(0,1]上各有1解，又h (1)＝12，h (0)＝－1，所以－1＜a ＜12.17．(2020年邵阳期末)设a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |. (1)若函数f (x )在[0，＋∞)上为单调函数，求a 的取值范围；(2)根据a 的不同取值情况，确定函数F (x )＝f (x )－x 在定义域内零点的个数． 解：(1)显然x ≥0.当a <0时，f (x )＝x |x －a |＝x (x －a )＝x 32 －ax 12 . 因为y ＝x 32 ，y ＝－ax 12 在[0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 当a ＝0时，f (x )＝x 32 .显然f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 当a >0时，此时x ＝a 为f (x )的零点． 又因为x ＝0是f (x )的零点，所以f (x )不单调． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)F (x )＝f (x )－x ＝x |x －a |－x .由F (x )＝0，可得x ＝0或|x －a |＝x .显然F (x )有一个零点x ＝0，下面讨论F (x )在(0，＋∞)上零点个数的情况． 令|x －a |－x ＝0，即x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0，Δ＝(2a ＋1)2－4a 2＝1＋4a .①当Δ＝1＋4a ＞0，即a ＞－14时，对称轴x ＝a ＋12＞0，又g (0)＝a 2.若a ≠0，则g (0)＞0，此时方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0有两正解，即F (x )有3个零点．若a ＝0，此时方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0在(0，＋∞)上仅有一个解，即F (x )有2个零点． ②当Δ＝1＋4a ＝0，即a ＝－14时，方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0在(0，＋∞)上仅有一个解，即F (x )有2个零点．③当Δ＝1＋4a <0，即a <－14时，方程x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＝0在(0，＋∞)上无解，即F (x )有1个零点．综上，当a ＞－14且a ≠0时，F (x )有3个零点；当a ＝－14或a ＝0时，F (x )有2个零点；当a <－14时，F (x )有1个零点．。