计算机辅助分析CAE

1 x A1 2 A1 N1 ( x, y ) 1 x2 A 2A 1 x3
y y2 y3
1 x1 1 x2 1 x3
y1 y2 y3
(3.1.10-1)
1 x A2 2 A2 N 2 ( x, y ) 1 x3 A 2A 1 x1
y y3 y1
1 x1 1 x2 1 x3
Hale Waihona Puke y1 y2 y3§3.1 有限元法概述
3.1.1区域的离散化
将区域 Ω 近似地离散成有限数量的，基本形状有一定限制的，尺寸远小于 Ω 和 Γ 的子区域集
Elems ， Elems 称为有限单元（Element）集，它的元素称单元，记为 e 或 ei ，对每个单元给予编号，
即
Ω Elems {ei | i 1, 2,, M e }
kij R(D, T, N, N' )dΩ
e
(3.1.15)
而 P 矢量的分量由单元的体力与形函数组合代数式的积分， 应力边界上面力与形函数组合在单元面上的 积分所合成，即
pi

e
S (f , N)dΩ Q(p, N)dΓ
ef
(3.1.16)
具体如何获得，每个量代表什么物理意义将在下章讨论。虽然形函数为一般的多项式，但是由于形函数 形式很多，对不同的类型、不同的结构和材料（3.1.12）和（3.1.13）表达形式都有所不同，所以对它们 的单元积分也是采用数值积分方法，并以高斯积分方法为多数。详细刚度矩阵、力矢量、高斯积分、位 移与约束条件的解除、方程的求解等内容将在后面章节中讨论。
ET (Ni e )F(uie (x))dΓ 0

i (1, 2,...., n)
(3.1.12)
同理，对于最小势能原理(2.3.12)变成
p (ui )


Ω
(W fi ui )dΩ
Γf
pi ui dΓ
M fe

j 1
Me
ej
(W f i ui )dΩ
(3.1.4)
虽然 U 还不能完全等同近似解的待定参数集，但如果试探函数看成是对 U 插值函数，从矢量运算角度 考虑，(3.2.3)可以改写成和
(x) NU u ( x) u
(3.1.5)
其中试探函数（插值函数）在有限元中称为形函数（shape function） ，所以在得到 U 后，就获得了问题 的近似解，只是选定合适的形函数。 例如，图 1.4 由四个四边形单元组成固体力学平面应力应变问题，则 U 由所有单元节点位移矢量 所组成，简称位移矢量。所以问题的单元集、节点集和位移矢量分别为
单元边界
(3.1.1)
Γ
1
节点
e1
单元 e
2
e2
1
ei
Ω
e3
Γ
2
e4
图 1.1 区域离散成单元
图 1.2 单元位置与形状由结点控 制
图 1.3 单元协调性
单元的基本形状可根据 Ω 的几何维数选择，例如一维几何区域为线单元；二维区域可选择三角形或四 边形单元；而三维区域选择四面体、五面体和六面体单元等。图 1.1 的平面区域被离散成有限个三角形 单元，详细的单元分类和性质请见 3.3 的讨论。控制单元形状和位置的点称为单元节点（element node, 也有称结点或接点） ，简称节点（Node） ，例如图 1.2。节点的集合记为 Nodes ，称节点集，并给予编号， 即
3
显然它们都是坐标 ( x, y) 的线性插值函数。
3.1.4 建立待定参数计算方程
因为有限元法中单元内的问题解近似值只取决所在单元节点的问题解值，与其他节点的解值无关， 所以对于迦辽金法，其区域 Ω 和边界的等效积分(1.4.6)可以变成

Ω
e T e )dΩ NT B(u NiT A(u i )dΓ (Ni ) A(ui (x))dΩ Γ j 1 ej
3.1.2 确定待定参数集
(x) 是待定参数矢量集 {α } 的线性组合 在第一章中已经指出，边值问题的数值解 u i
(x) Nα u(x) u
设节点 ni 的问题解的值为 u i ， u i 组成的集合记为 U ，即
(3.1.3)
U {ui | i 1, 2,, M n }
Nodes {ni | i 1, 2,, M n }
(3.1.2)
1
围成单元的几何元素称为单元边界，例如图 1.2 中四边形单元的四条边（edge） 、四个顶点节点和四个 中间节点都属于单元边界。单元边界比之单元在几何维数上要低，根据几何维数不同，单元边界又可以 分单元面、单元边、单元节点。在离散区域时，为了保证问题解的唯一性和连续性，两相邻单元的边界 必须保持完全重合， 即单元边界的节点被相邻单元完全共享。 例如图 1.3 中的节点 1 被单元 e2 与 e4 共享， 而节点 2 被 e1、 e2、 e3 与 e4 四个单元共享。如何保证单元之间的问题解的连续性将在 3.3、3.4 节中讨论。
第3章 有限元基本理论
摘要：从一般的边值问题数值解理论出发，讲解了有限元法的基本过程和基本理论。有限元法基本 过程包括问题几何区域的离散、近似解待定参数的确定、方程的建立等；基本理论包括单元的分类、单 元形函数的性质、等参单元、单元积分和节点等。本章讲述的内容不受应用领域的限制。 有限元法是为了解决结构分析而发展起来的一种新的数值方法。经过近 50 年发展，它不但是结构 分析强有力的工具，而且，在结构分析获得重大成功后，其理论也已日趋成熟，商务化软件系统也已有 一定规模和数量，在其它领域边值问题的数值计算方面同样获得巨大成功。 设由边界 Γ 围成区域 Ω ，其基本解为未知函数 u 的某一连续介质边值问题。在第一章中我们将此 问题转化成等效积分形式，并用加权残数法进行数值解；第二章中对具有泛函极值形式的问题采用 Litz 进行数值解。但是以上两章并没有解决数值解中的试探函数（有限元中称形函数）的选取问题。 有限元方法的关键是待定参数和形函数的选取及计算， 那么采用有限元数值解法， 需要经过哪些基 本理论和过程呢？
5 5 9 6 1 13 2 20 17 18 16 4 10 14 12 8 19 7 11 15 3
1 Ne j ( xi ) ij 0
i j i j
(3.1.7)
2）连续性：单元边界 F （或是单元面，或是单元边，或是单元节点） 上的形函数值，除了此边界上节点的形函数外， 其他节点的形函数必须为 0， 即
me me
u e ( x)
e
e Ne j ( x)u j j 1
uie ( x)
e
N
j 1
e j
e ( x)uij
(3.1.6)
e
其中 ui (x) 为单元 e 内问题解 u(x) 的第 i 个分量，N j (x) 为单元 e 的第 j 个节点的形函数，uij 是第 j 个
2
节点的 u 的第 i 个分量。 以上插值显然是 Langrange 插值法，只保证了近似解的 C0 阶连续。如果要提高问题解连续性阶数， 则需采用 Hermite 插值法，这时以上第一条假定得取消。 为了保证问题解的唯一性和单元之间问题解的 C0 连续， （3.1.6）式形函数必须满足以下性质： 1）唯一性：在每个节点上插值函数的值有
4
由度的子集。例如平面应力应变结构为 {u, v} ；平板结构为 {w, x , y } ；三维实体结构为 {u, v, w} ；平 而导致对应单元的计算方法不同，例如梁单元、平面应力单元、三维实体单元等等。 节点在有限元法中承载许多模型方面信息：1）表达位置的坐标；2）连接单元；3）在它之上施加 边界条件；4）放置数值分析的计算结果。前两点表达了节点组成有限元网格的几何信息，而后两点表 达了节点模型中的物理信息。
§3.2 节点
与节点密切相关的一个重要的概念是自由度， 所谓自由度是问题解 u 的维数。 自由度的多少也同时 决定了边界条件维数。在固体力学中，最多自由度可达 6 个，三个线位移 {u, v, w} 和三个角位移
{ x , y , z } ，对应的应力边界条件是线力 { X , Y , Z} 和力矩 {M x , M y , M z } ，一般结构是以上 6 这个自
图 1.5 六面体 20 结点单元
3
Ne ( x) 0 j
x F, ne F j
(3.1.8)
A2
p A1 (x,y) A3 2
1
图 1.6 三 角 形 单 元
单元边界 F 可以是。例如图 1.5 三维 20 节点的六面体单元，节点 1、2、6 和 5 围成一个单元面，此面上的形函数值除了 1、2、5、6、9、10、13 和 17 节点的形函数外，其他节点的形函数必须等于 0；节点 1、2 组成的单元边， 此边上的形函数值除了 1、2 和 13 节点外，其他节点的形函数必须等于 0。 把此原则推广到单元的节点上便得到以上第一条性质。满足(3.1.8)式也就满 足了单元与单元的交接边界上，问题解的插值是连续的。 3） 常数性：如果单元上每个节点的问题解值相同，则此单元内每个坐 标的问题解值也相同，即：
j 1
ef j
pi ui dΓ
(3.1.13)
其他几种变分也可以化成对区域单元的积分和对边界上单元边界面的积分之和。 对于导数不超过两阶的物理问题，不管采用哪种形式建立的数值计算方程，最终可以得到
KU P
(3.1.14)
这样形式的方程。如果是对于固体力学问题， K 为刚度矩阵，其中的系数由单元的材料参数 D （例如 弹性力学中的 E 与 ） 、物理参数 T （例如板结构中的板厚度） 、形函数和形函数导数组合而成的代数 式对单元的积分，而且是若干单元的积分和，即