第三章 不等式 教案(学生)

一对一辅导教案学生姓名 性别 年级 学科授课教师 上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 1课时教学课题不等式教学目标1、掌握不等关系和基本不等关系的判断2、掌握不等式的性质3、掌握一元二次不等式的解法4、掌握含参的一元二次不等式相关的讨论5、掌握一元二次不等式的相关应用； 教学重点与难点1、不等关系与不等式2、不等式的关系证明和不等式的性质3、一元二次不等式的解法4、含参数一元二次不等式的解法及参数讨论5、恒成立问题6、一元二次不等式的实际应用教学过程一、基础知识点梳理 （一）、不等关系与不等式1、不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2、比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b＜1⇔a ＜b . 3、不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．例题1、已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．例题2、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．习题1、若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．（二）、一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aR ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅例题1、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.例题2、求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．习题1、已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．（三）、二元一次不等式组与线性规划问题 1、二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l 上的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；②直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＞0； ③直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c ＜0.所以，只需在直线l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x 0，y 0)，从ax 0＋by 0＋c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．2、线性规划相关概念名 称 意 义目标函数 欲求最大值或最小值的函数约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题例题1、直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个例题2、已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝O M →·O A →的最大值为( )． A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2例题3、变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝y x，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．习题1、某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) A 产品 3 9 4 B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？（四）、基本不等式1 基本不等式的概念一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。

如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。

其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。

若0,0>>b a ，则有2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，2ba ab +=。

其中，“当且仅当a=b 时，等号成立”的含义是：当a=b 时，取等号，即2ba ab b a +=⇒=；仅当a=b时，取等号，即b a ba ab =⇒+=2。

2 探究基本不等式证明方法方法一：作差比较或由0)(2≥-b a 展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）要证abba ≥+2 ①只要证≥+b a ② 要证②,只要证-+b a 0≥ ③ 要证③,只要证)(2≥-④显然, ④是成立的。

当且仅当a=b 时, ④中的等号成立 。

3 探究基本不等式的几何意义借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式)0,(2>+≤b a ba ab 的几何解释，通过数形结合，赋予不等式)0,(2>+≤b a ba ab 几何直观。

进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a,CB=b ，ab CD=几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦；或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

总结：若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值；若两正数的和为定值，则当且仅当ab2b a +abCOABD两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

例题1、求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x例题2、 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

例题3:当时，求(82)y x x =-的最大值。

习题1、求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

习题2、已知f(x)＝12x＋4x.(1)当x ＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x ＜0 时，求f(x)的最大值．习题3：函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3课后作业1．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的( )． A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )． A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a3．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )． A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 34．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0.那么下列选项中一定成立的是( )． A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＜0 C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＞05．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x＜a 等价于( )．A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a6.不等式201x x -≤+的解集是 （ ） A .(,1)(1,2]-∞-- B .(1,2]- C. (,1)[2,)-∞-+∞ D.[1,2]-7.不等式()532x x x --+≥0的解集为 （ ）A .()3,+∞；B .[)3,+∞； C.(]2,5-； D.[]3,58.不等式2601x x x ---＞的解集为 （ ） （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜ （C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜9.不等式xx 1log 2-≥1的解集为 （ ） A .(]1,-∞- B .[)∞+-,1 C.[)0,1- D.(]()∞+-∞-,01,10.若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ ）A .90B .80 C.70 D.4011.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：0,0,0)2(;0,00)1(>->->>->->ad bc bda c ab b d dc ad bc ab 则若则，若其中正确命题的个数是则若,0,,0)3(>>->-ab b da c ad bc （ ） A . 0 B . 1 C. 2 D. 312.已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是 （ ）A .a 2>b 2B .（21） a <（21）bC.lg （a －b ）>0D.ba>1 13. 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by （a >0，b >0）的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为（ ）A .256B .83 C.113D.414.已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值是 .15.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 . 16. 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．17. 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.18. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．19.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=)0()0()0(2)(22x bx x x ax x x x f 为奇函数. （1）求b a ,并写出函数的单调区间；（2）解不等式)2()(->f x f20.记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q . （Ⅰ）若3a =，求P ；（Ⅱ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围.21.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.922.已知函数2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-且对于任意x R ∈， 恒有()2f x x ≥成立.（1） 求实数b ,a 的值；（2） 解不等式()5f x x <+.。