机械波的驻波
机械波的驻波与共振
机械波的驻波与共振机械波是一种传递能量的波动现象，广泛应用于机械、声学等领域。
其中，驻波和共振是机械波研究中的两个重要概念。
本文将探讨机械波的驻波与共振的原理和应用。
一、驻波的概念及特点驻波是一种在空间中呈现固定形态的波动现象。
它是由相同频率、相同振幅的两个波在相同介质中相互干涉形成的。
在驻波中，存在着一些特点：1. 节点和腹点：两波叠加后，在某些位置上会形成振幅为零的节点，而在其他位置上形成振幅最大的腹点。
2. 振幅不变：整个驻波系统中，波的振幅保持恒定，不随时间和空间的变化而变化。
3. 波动不传播：驻波中的能量不传递，而是呈现固定形态，并在介质中来回反射。
二、驻波的形成条件驻波的形成需要满足一定的条件：1. 两个相同频率的波在相同介质中传播，并沿相反方向传播。
2. 波的振幅和频率相同。
3. 波的传播速度相同。
三、驻波的应用驻波在实际应用中有着广泛的用途，以下是其中几个例子：1. 物理教学实验：驻波实验是许多物理实验中常见的一种，通过声波或水波在实验装置中形成驻波，直观地展示波动的特性和干涉现象。
2. 乐器制作：驻波的概念也可以应用于乐器的制作和改良中。
比如，弦乐器中的驻波现象决定了乐器的音调和音质。
3. 通信技术：驻波的特性在微波通信中有着重要的应用。
例如，微波天线中的驻波比可以用来描述天线的工作状态和匹配程度。
四、共振的概念及特点共振是指当外界激励频率与系统的固有频率相同时，系统会发生共振现象。
在机械波中，也存在共振现象，并具有以下特点：1. 能量传递：共振现象下，能量会从外界传递到系统中，使系统的振幅不断增大。
2. 振幅最大化：共振频率下，系统的振幅会不断增大，直到达到最大值。
3. 导致破坏：如果外界激励持续存在，振幅可能超过系统的承受范围，导致系统的破坏。
五、共振的应用共振在实际应用中也有着重要的作用：1. 振动工程：共振现象的控制和利用在振动工程中具有重要意义。
例如，振动台可以通过调整频率和振幅，实现对被测物体的共振激励。
普通物理学-机械波-2-6-驻波
2– 6 驻 波
第2章 机械波
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射
到波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此处的 相位时时相同，即反射波在分界处不产生相机械波
四、驻波的能量
位移最大时
波 节
x
dWp
(y )2 x
波
腹
x
A B C 平衡位置时
第2章 机械波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 。
（与行波不同，无相位的传播）。
y 2Acos2π x cos2π t
例 x 为波节
4
y
2
2
o
x
cos2π x 0, x ,
44
y 2Acos 2π x cos 2π t
（4）驻波中驻波中各质点同时达到各自的最大位移，同时经 过各自的平衡位置，因此我们称驻波各质点作同步振动。
（5）没有振动状态或相位的逐点传播，即没有“跑动”的波 形，也没有能量的传播。
2– 6 驻 波
驻波的形成
第2章 机械波
2– 6 驻 波
第2章 机械波
二、驻波方程
正向
y1
A c os2π
(t
x
)
负向
y2
A c os2π
(t
x)
y y1 y2
Acos2π (t x ) Acos2π (t x )
2 Acos2π x cos2π t
驻波的振幅 与位置有关
各质点都在作同 频率的简谐运动
2– 6 驻 波
第2章 机械波
讨论 ➢ 1）振幅
驻波方程 y
7-06 驻波
因为x = 0处为波节
1 π π ( ) 2 3 2
4π 3
y2 2.0 10
2
t x 4π cos[2π( ) ] 0.02 20 3
例2、如图：A、B两点是处于同一介质中相距为 20m的两个波源，它们作同方向、同频率的振动 （=100HZ）设它们激起的是相向前进的两平面 波，振幅均为5cm。波速为200 m/s，且A为波峰 时，B为波谷。求A、B线上因干涉而静止的各质 点位置。
SA 已知：AB=20m
1 2
=100HZ
SB A=5cm u=200m/s
求：振幅=0的点的位置
A
Y
B
X
SB SA 解：1）建立坐标AXY，选取A点位移最大时为计 时起点，则：y A = Acos ωt
x 2）波动方程： y A = A cos ω( t - ) u
y B = Acos(ωt + π)
解 : 取S1 S 2 连线为X轴，
x
4.5
P
S2
X
在连线上S1以及S2外侧各点，两波的 波程差均为9 ，即半波长的整数倍， 2 两波互相抵消，不存在加强点。
在连线上S1与S2之间取一点P，其坐标为x。 9 9 r2 r1 x x 2 x 2 2
求（ 1 ）两列波分别在 P点 的 振 动 方 程 （ 设 振 不 幅变 ） （ 2 ）P点 的 合 振 动
解: （ 1 ）A波在m 点， 入射波y1λ O1 m = A cos(πt 2π) λ
M1
m
M2
反射波y1 A cos(t
O1 m
A O1 B O2
P
2 )
机械波的干涉和驻波现象
机械波的干涉和驻波现象机械波是一种传播能量的波动现象，其在传播过程中会出现干涉和驻波现象。
干涉是指两个或多个波在空间中相遇后，相互叠加形成新的波纹图案的现象。
驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象。
一、干涉现象干涉现象是指两个或多个波在空间中相互叠加形成新的波纹图案的现象。
干涉可以分为两种类型：同相干和异相干。
同相干是指波峰和波峰、波谷和波谷相遇时叠加，形成增强效应；异相干是指波峰和波谷相遇时叠加，形成消减效应。
干涉现象的产生需要满足两个条件：一是两个或多个波源的波长要相近，二是两个或多个波源之间的相位差要满足特定条件。
根据波源的数量和位置不同，干涉现象可以分为以下几种情况：1. 双缝干涉：当光波通过两个狭缝时，会形成一系列明暗相间的干涉条纹。
这是因为入射光经过两个缝洞后形成的两个次波在空间中相互干涉。
2. 单缝干涉：当光波通过一个狭缝时，由于狭缝的宽度很窄，波的传播方向发生偏折，形成一系列干涉条纹。
3. 平行板干涉：当光波通过两块平行而透明的玻璃板时，由于玻璃板的折射作用，光波发生了相位差，形成干涉条纹。
干涉现象的应用非常广泛。
例如在光学实验中，利用干涉现象可以测量波长、厚度等物理量；在工程中，干涉仪常被用于光学薄膜的检测和表面形貌的测量。
二、驻波现象驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象，这是波的反射和干涉相互作用的结果。
驻波现象发生需要满足以下两个条件：波源的频率必须恰好满足空间限制所形成的驻波条件，同时波在空间中的传播方向相反。
驻波现象可以在各种波动现象中观察到，如声波、水波和电磁波等。
在声学中，我们常常能够观察到管道中的驻波现象。
当在一根管子中引入声波后，它会来回在管道内反射，当波的频率满足特定条件时，波的幅度呈现出固定的分布规律，形成驻波。
这种现象被广泛应用于乐器制作中，使得乐器能够产生特定的音调。
除了声波，驻波现象在电磁波中也很常见。
例如，在一个封闭的金属盒中，微波在盒子内反射，形成驻波现象，这是微波炉的工作原理之一。
机械波的驻波现象
机械波的驻波现象机械波的驻波现象是波动现象中的一种重要现象，指的是在特定条件下，波动传播中的两个波峰或两个波谷出现在同一位置并保持不动的状态。
在这篇文章中，我们将探讨机械波的驻波现象，包括形成原理、性质以及应用等方面。
一、驻波的形成原理驻波现象是由波动的超前波和滞后波在特定位置上叠加干涉而形成的。
当一条波沿着介质传播时，反射波与入射波相遇并发生干涉，若波长为λ，当两个波谷或波峰相遇时，它们叠加在一起形成驻波。
这种驻波的形成需要满足以下几个条件：1. 波长λ要适合介质长度，即介质的长度必须是波长的整数倍。
2. 波的传播方向与波的反射方向重合。
二、驻波的性质1. 节点和腹点：在驻波的情况下，波动的两端保持固定，而在介质内部形成了一系列节点和腹点。
节点是波振幅为零的位置，反映了波动的固定点，而腹点是波振幅达到最大值的位置。
2. 自由端和固定端：对于一条固定在一端的弦，当波动传播到另一端时，反射波会返回，并与传播波发生干涉。
此时，固定端处形成节点，而自由端形成腹点。
相比之下，在两端均固定的情况下，两端均形成节点。
3. 驻波的波长和频率：驻波的波长是从一个节点到相邻节点的距离，而频率与波动的能量有关。
三、驻波的应用机械波的驻波现象在日常生活中有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 乐器演奏：乐器如弦乐器、管乐器等的演奏依赖于驻波现象。
在弦乐器中，演奏者通过改变弦长来调音，而不同的音高对应着不同的驻波。
同样，在管乐器中，演奏者通过改变管道长度或气流速度来产生不同的音高。
2. 声学工程：在声学工程领域，驻波现象被广泛应用于声音的衰减和消除。
通过设置反射板或吸音板来改变声波的传播路径，以减少或消除驻波而降低噪音。
3. 医学成像：驻波的原理在医学成像中也得到了应用，如超声波成像。
超声波在人体组织中传播时，会产生驻波现象，医生通过观察驻波分布来诊断病情。
4. 工程震动：在工程建设中，驻波现象可以用来分析建筑物或结构的强度和稳定性。
机械波的驻波问题
机械波的驻波问题引言：机械波是一种在介质中传播的能量和信息的形式。
驻波是机械波在传播过程中出现的一种特殊现象，它是由于波的传播过程中发生的干涉造成的。
驻波在许多领域中有着广泛的应用，如声波、横波、纵波等。
本文将从驻波的定义、特征和应用等方面进行探讨。
一、驻波的定义和特征1.1 定义驻波是指波的前进和反射波之间的干涉效应形成的一种特殊波动形式。
当两个具有相同频率、方向、幅度但传播方向相反的波沿同一介质传播时，则它们之间会发生干涉，形成驻波。
1.2 特征1）驻波的节点和腹部：在驻波中，波峰和波谷位置保持不变，形成一系列不动的节点和腹部。
节点是波动方向振动幅度的最小值，而腹部则是振动幅度的最大值。
2）驻波的波长和频率：在驻波中，波动方向中的振动模式是由两波相互叠加形成的。
波长是两个传播波的波长之比。
3）驻波的单一模式：驻波只能形成某种特定的波动模式，而不会形成多种波动模式。
4）驻波的能量传递：在驻波中，能量在波峰和波谷之间来回传递，而不会在波动方向上传播。
二、驻波的数学描述和实验现象2.1 数学描述驻波的数学描述是通过波函数来进行的。
设波函数为y(x,t)，驻波的数学描述可以表示为y(x,t) = A*sin(kx)*cos(ωt)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率。
2.2 实验现象通过实验可以观察到驻波的形成和特征。
一种常见的实验是通过绳子来观察驻波现象。
将一根绳子固定在一端，然后在另一端通过振动源产生波动，当波动传播到固定端时，会发生反射并与传入的波动叠加形成驻波。
在绳子上可以观察到波节和波腹的形成，波节为绳子不振动的位置，波腹为绳子振动幅度最大的位置。
三、驻波的应用驻波在许多领域中有着广泛的应用。
3.1 声波的驻波在乐器中，驻波是产生声音的基本原理之一。
当乐器振动时，空气中的声波在乐器内传播并与传入的声波叠加形成驻波，产生特定的音调。
不同的乐器具有特定的驻波形式，因此可以通过驻波来区分不同乐器的声音。
机械波的驻波与共振
机械波的驻波与共振机械波是一种能够传播能量和信息的波动现象，它在物质媒介中通过粒子间的相互作用传播。
而驻波和共振则是机械波的两个重要现象，它们在多个领域具有广泛的应用和重要的理论意义。
一、机械波的驻波驻波是指由两个相同频率、相同振幅、反向传播的波叠加形成的波动现象。
在驻波中，波的振幅在空间中不随时间变化，而是呈现出一定模式的分布。
驻波的形成需要满足一定条件，其中最重要的就是两个波在某一位置上具有相同的频率和振幅，并且相向传播。
这种情况下，波与波相遇后会发生干涉现象，使得部分波的振幅增大，部分波的振幅减小，进而形成几个固定位置处振幅为零的节点以及夹在节点之间的振幅最大的波腹。
驻波的节点和波腹分布着波动的能量，这些节点和波腹的位置是固定的，并且它们之间的间隔是波长的整数倍。
例如，对于一维驻波，波腹和节点之间的距离为半个波长。
驻波在许多领域都有着广泛的应用。
例如，管道中的声波传播就可以形成驻波，这也是乐队乐器中管乐器的共鸣原理。
此外，在光学实验中，通过反射和干涉也可以形成驻波，如光学干涉仪中的Fabry-Perot干涉仪等。
二、机械波的共振共振是指在一定条件下，外界周期性激励与系统的固有频率相匹配时，系统会出现剧烈的振动现象。
共振的产生是由于外界激励的频率接近或等于系统的固有频率，使得系统受力增大，能量得到积累和放大，从而引发强烈的共振现象。
共振现象在自然界和工程领域得到了广泛的应用。
在车辆行驶中，桥梁和建筑物的共振会引发严重的振动甚至倒塌。
此外，乐器演奏中，共振的原理也被广泛应用，如弦乐器中的共鸣现象。
共振的频率由系统的固有频率决定，而共振的振幅则由外界刺激的强度和持续时间决定。
如果外界刺激的频率和系统的固有频率相差较大，共振现象则会减弱或消失。
三、驻波和共振的联系驻波和共振都是机械波的重要特性，二者之间存在紧密的联系。
在驻波中，波的振幅沿空间分布呈现规律性的变化，而共振则是波的振幅在时间上发生剧烈变化。
机械波的驻波现象与节点位置分析
机械波的驻波现象与节点位置分析引言：机械波是一种在介质中传播的能量传递现象。
当波的传播方向与波的反射方向相遇时，就会产生驻波现象。
本文将探讨机械波的驻波现象以及节点位置的分析。
一、驻波现象的产生当一条波沿介质传播时，若遇到受限边界或者其他干扰，会发生反射。
当传播方向与反射方向相遇时，波的振幅叠加会产生驻波现象。
这种现象可以在各种波动中观察到，比如声波、水波和弦波等。
二、节点与波腹的位置在驻波现象中，存在两种位置：节点和波腹。
节点是波在振幅叠加后几乎没有振动的位置，振幅为零；而波腹则是振幅最大的位置。
具体的节点与波腹位置与波的性质有关。
1. 绳上的驻波现象在一根悬挂较长的绳子两侧固定并传递波动，当波的反射达到一定条件时，便会形成驻波。
在该驻波中，绳子的两端为波腹位置，即振幅达到最大值的位置；而绳子中间则是节点位置，振幅接近于零。
此时绳子上的波形看起来像是一系列的山峰和谷底。
2. 空气中的声波驻波当声波在空气中传播时，也会发生驻波现象。
在一端开放的管道内，声波的传播受到管道壁的限制，当波的反射达到特定条件时，会形成驻波。
在该驻波中，管道两端处于声压最大值的位置，为波腹，而管道中间则是声压最小值的位置，为节点。
3. 弦上的驻波现象当一根弦的两端固定并以一定频率振动时，也会形成驻波现象。
弦的两端为波腹位置，而弦上的一些特定点处于节点位置。
这些节点具有特定的位置关系，可以通过简单的数学方法计算得出。
结论：机械波的驻波现象与节点位置是波动学中的重要概念。
通过对不同介质中的驻波现象以及节点位置的分析，可以更深入地理解波动的特性。
者有助于应用于各个领域，如音乐乐器的共鸣效应、电磁波的传输等。
通过进一步研究和实验，我们可以更好地探索和利用驻波现象和节点位置特性，为科学研究和应用发展做出更多贡献。
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§10．5 机械波的驻波两列相干波，如果振幅相等，传播方向相反，它们的合成波将不是行波而是驻波。
驻波的特性下文将加以说明，首先注意到形成驻波共有5个条件，即相干波源3个条件加上振幅相等、传播方向相反两个条件。
（一）驻波的数学表式在[例题10．4C]已提到驻波与行波的数学表式有明显的不同。
现在用一个较简单的例子全面分析驻波与行波的不同特点。
设有两列相干波（都是一维余弦行波）分别沿x 轴正负方向传播，其表式可按（10．1．18）与（10．1．19）式表示如下：[两相干行波叠加成驻波的例子，]（10．5．1） 沿x 轴正向传播的行波（10．5．2） 沿x 轴负向传播的行波为简单起见，上式选取x 轴原点的初相。
上述两相干波的叠加结果，按余弦函数的化和为积方法可得：（10．5．3）合振幅（10．5．4） 从此式可知驻波表式由一个含x 的简谐函数和一个含 t 的简谐函数的乘积组成。
这与行波的表式不同，如（10．5．1）及（10．5．2）行波式所示，行波式由一个含x 与t 的简谐函数表示。
（二）驻波有波腹，行波无波腹为了形象化地认识驻波的特点，先看一看驻波的波形图。
将相角代入驻波表式（10．5．3）便可得到，。
这就是时刻各质点位置坐标x 与它的振动位移y 的关系式。
此余弦函数式的曲线图在（图10．5a ）中已画出，的最大值为2A 1，出现在，与等位置。
这就是此驻波在时刻的波形曲线。
将相角代入（10．5．3）式得，。
这就是此驻波在时刻的波形曲线表式。
此波形曲线已描绘在（图10．5a ）中，其最大位移位置仍然在 与等处。
12A A =012==ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπωx t A y 2cos 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λπωx t A y 2cos 22012==ϕϕt x A y y y ωλπcos 2cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A A 2cos 210=t ω1cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 210=t ωy 0=x 2λ=x λ=x 0=t ω3πω=t 21cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 13πω=t 0=x 2λ=x 驻波的例子 节 腹 节 腹 节 腹 （图10．5a ）驻波的例子将相角代入（10．5．3）式得，。
这时刻驻波中所有质点都经过各自的平衡位置。
此时刻的波形曲线成为一条直线——就是x 轴。
诸时刻的波形曲线，请同学们作为习题自己描绘出来。
从上述波形曲线可看出，任一时刻振动位移最大的位置，总是在与等处。
这些位置称为此驻波的波腹。
从合振幅A 的表式（10．5．4）亦可求得此驻波的波腹位置。
，,，（10.5.5）（10.5.6）此式表明，相邻波腹之间的距离都等于。
一个行波也有波峰位置，如（图10．1a ）所示，但行波的波峰不断向前移动，不象驻波波腹固定在一些位置上。
因此行波无波腹。
以（10．5．1）式所示行波为例，它的波峰条件是相角。
∴，。
这表明行波波峰位置坐标x 随时间t 而变，波峰的移动速度等于波速u 。
（三）驻波有波节，行波无波节从（图10．5a ）可看出驻波中有些质点不发生振动，任何时刻它都静止在自己的平衡位置。
这些点称为驻波的波节。
以（10．5．4）式为例，可从合振幅A=0求出该驻波的波节位置：， ，（10．5．7） （10．5．8）比式表明，相邻波节之间的距离都等于。
与（10．5．6）式比较可知相邻波节与波腹之间距离都等于。
只要得知一个波节或波腹的位置，即可确定全部波节与波腹的位置，如（图10．5a ）所示。
一个行波也有y=0的位置，但如（图10．1a ）所示，行波中的y=0位置不断向前移动，不象驻波的波节固定在一些位置上。
因此，行波无波节。
2πω=t 0cos =t ω0=y 23,34,,32ππππω=t y 0=x 2λ=x 12cos ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 12A A =t A y ωcos 21±=πλπk x =2 ,2,1,0±±=k,,2,02λλλ±±==k x 2λk x t πλπω22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπλωk ut k t x -=-=2u dt dx =dt dx02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=A 0=y πλπk x '=2 ,5.1,5.0±±='k ,43,42λλλ±±='=k x 2λ4λ驻波的波腹位置x 的举例 驻波的波节位置x 的举例（四）驻波中各质点作同步振动，行波中各质点作波浪式的振动。
如（图10．5a ）所示，驻波中各质点同时达到各自的最大位移，同时经过各自的平衡位置。
因此，我们称驻波各质点作同步振动。
驻波各质点同时达到各自最大位移y 的时刻t ，可按驻波表式求得。
以（10．5．3）式为例计算如下：，（10．5．9） ， （10．5．10） 此驻波各质点同时经过各自平衡点的时刻t ，亦可按（10．5．3）式求得：， （10．5．11） ，（10．5．12）*（五）驻波能量的分析在[附录10E]中，以细长杆中形成（10．5．3）式所示驻波为例，求得此驻波的动能密度与弹性势能密度，其结论如下：（10．5．13）（10．5．14）将（10．5．7）式所示驻波波节条件代入上式即得： [驻波波节无动能] ，（10．5．15） 此结论与波节不运动，其动能为零的实际情况一致。
将（10．5．5）式所示驻波波腹条件代入（10．5．14）式即得：[驻波波腹无弹性势能] ，（10．5．16）如（图10．5a ）所示，波腹处质点与相邻质点的距离，在振动过程几乎保持不变。
因此，波腹处无弹性形变，没有弹性势能。
这与（10．5．16）式的结论一致。
将（10．5．11）式所示驻波各质点同时经过平衡点的时刻t ，代入（10．5．14）式可知，此时刻驻波各质点的弹性势能都等于零，驻波只有动能。
[各质点同时经过平衡点的时刻t ，驻波无弹性势能，只有动能] ， （10．5．17）将（10．5．9）式所示驻波各质点同时达到最大位移的时刻t ，代入（10．5．13）式可1cos ±=t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛±=λπx A y 2cos 21ππωk T t t ==2 ,2,1,0±±=k ,,2,02T T T k t ±±==0cos =t ω0=y ππωk T t t '==2 ,5.1,5.0±±='k,43,42T T T k t ±±='=kw P w t x T A w k ωλππρ2221sin 2cos 8⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x T A w P ωλππρ2221cos 2sin 8⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=kw 12cos ±=⎪⎭⎫ ⎝⎛λπx 0=P w 0=P w 0cos =t ω0=P w 驻波各质点同时达到各自最大位称y 的时刻t驻波各质点同时经过各自平衡位置的时刻t 驻波的能量密度举例知，此时刻驻波无动能，只有弹性势能。
[各质点同时达到最大位移的时刻t ，驻波无动能，只有弹性势能] ，， （10．5．18）在[附录10F]中，计算驻波的一个波腹至相邻波节之间的动能与弹性势能总和△W ，为不随时间变化的常量。
其结论如下：[波腹至相邻波节间的机械能△W]（10．5．19）以上分析表明，在驻波内部不断进行动能与弹性势能之间的转化，然而其机械能的总量不变。
驻波是由传播方向相反、振幅相等的两个相干行波叠加而成，其中一个行波向x 轴正向传播机械能时，另一个行波就向x 轴负向传播等量的机械能。
因此，在此驻波中的机械能既不会增加，也不会减少。
驻波有固定的波腹和波节位置，驻波中各段的机械能总量不变，从上述特点，我们可以体会到为什么把它称为驻波。
*（六）反射波与入射波叠加形成的驻波有一个反射波与自己的入射波可满足相干三条件，即振动方向相同、频率相同、相角差恒定。
如果此反射波与入射波的传播方向相反、振幅相等，它们的叠加可形成驻波。
实际上，反射波的振幅会比入射波的小，如果差别不大，它们的合成波可近似看成是驻波。
本节讨论的就是这种情况。
实验表明，波的反射过程还可能引起相角的变化。
例如，入射波与反射波的传播方向都垂直于两个介质的分界面时，分界面上的反射振动与入射振动之间的相角差，决定于媒质的密度ρ与波速u 的乘积ρu 。
此ρu 值较大的媒质称为波密媒质，ρu 较小的媒质称为波疏媒质。
下面用实例说明这些关系。
如（图10．5b ），设两媒质的分界面垂直于x 轴并位于原点O 处。
入射波从x 轴正向射向分界面的O 点。
设此入射波为一维余弦行波，可参照（10．5．2）式写出入射波表式，为了简化令初相。
[入射波表式举例]， （10．5．20）上述入射波在分界面的O 点反射后，形成沿x 轴正向传播的反射波，参照（10．5．1）式可写出此反射波的表式。
[反射波表式举例]， （10．5．21）请特别注意此反射波从O 点发出的振动，与分界面的性质有关，因此，反射波表式的初相不可由我们选定，要按下列方法确定。
设入射波所在第一媒质的密度为ρ1，波速为u 1，分界面后面的第二媒质的密度为ρ2，波速为u 2。
实验表明，当，即第二媒质为波疏媒质时，上式的。
当，即第二媒质为波密媒质时，上式的。
[第二媒质为波疏媒质] ，（10．5．22）[第二媒质为波密媒质]，（10．5．23）1cos ±=t ω0sin =t ω0=k w 常量==∆+∆=∆4221λωρSA W W W P k k W∆P W ∆ϕ∆01=ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1112cos ϕλπωx t A y 0≥x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222cos ϕλπωx t A y 0≥x 2ϕ1122u u ρρ<12ϕϕ=1122u u ρρ>πϕϕ+=121122u u ρρ<12ϕϕ=1122u u ρρ>πϕϕ+=12入射波 反射波 （图10．5b ）反射波与入射波的叠加此式表明，入射波垂直射到波密媒质的分界面上时，在分界面上的反射振动与入射振动之间，有相角的突变。
形象化地说，在波密媒质分界面上，垂直地反射出来的反射波，好象有半个波长的损失，简称为半波损失现象。
如（图10．5b）所示，在第一媒质中，反射波与入射波叠加而成驻波。
其表式可由（10．5．20）与（10．5．21）式求得。
，，（10．5．24）此式的与，其关系按（10．．22）式或（10．5．23）式确定。