(新课程)高中数学 3.3《幂函数》学案2 新人教b版必修1

幂函数中的三类讨论题在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，下面我们将一起来学习幂函数中的三类讨论题．类型一：求参数的取值范围． 例1 已知函数223()m m f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，且f （3）<f （5），求m 的值，并确定f （x ）的解析式． 分析：函数223()mm f x x -++=（m ∈Z ）为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，又m ∈Z ，f （3）<f （5），只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定f （x ）的解析式．解：∵f （x ）是偶函数，∴223m m -++应为偶数． 又∵f （3）<f （5），即22232335m m m m -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭．∴2230m m -++>，解得312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴m =0或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当m =1时，2232m m -++=为偶数． 故m 的值为１，2()f x x =． 类型二：求解存在性问题．例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数q （q <0），使得g （x ）在区间（－∞，－4］上是减函数，且在区间（－4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间． 解：∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+． 假设存在实数q （q <0），使得g （x ）满足题设条件，设任意12x x ，且12x x <，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+-- 22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若12x x ，∈（－∞，－４]，易知122100x x x x +<->，，要使()g x 在（－∞，－4］上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵1244x x <--，≤，∴221232x x +>．而0q <，∴2212()32q x x q +<．从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12x x ，∈（－4，0），易知1221()()0x x x x +-<，要使f （x ）在（－4，0）上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵124040x x -<<-<<，， ∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在（－∞，－4］上是减函数，且在（－4，0）上是增函数．类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况. 例3 讨论函数2221()kk y k k x --=+在0x >时，随着x 的增大其函数值的变化情况．分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．解：（１）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（２）当2210k k --=，即1k =1k =（３）当220210k k k k ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩，，即01k <<+x 的增大而减小；（４）当220210k k k k ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩，，即1k <-或1k >x 的增大而增大；（５）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨--<⎪⎩，，即10k <时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（６）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨-->⎪⎩，，即11k -<<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小．借幂函数比较大小比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考． 一、直接法当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较． 例１ 比较下列各组中两个值的大小：（1） 1.5 1.50.70.6，； （2）232.2-，231.8-．解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．（1）∵幂函数 1.5y x =在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6， ∴ 1.51.50.70.6>；（2）∵幂函数23y x -=在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，∴232.2->231.8-．例2 函数3()()3a f x a b x b =-+-是幂函数，比较()f a 与()f b 的大小． 解析：∵()f x 是幂函数，∴301b a b -=⎧⎨-=⎩，，解得43.a b =⎧⎨=⎩，∴43()f x x =．∵函数43()f x x =在（0，＋∞）上是增函数，且a ＞b ＞0， ∴()()f a f b >．二、转化法当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小． 例３比较224333((0.7) 1.1---，，的大小．解析：22223333((0.7)0.72---⎛=-= ⎝⎭，，42331.1 1.21--=．∵幂函数23y x-=在（０，＋∞）上单调递减，且0.71.21，∴2223330.71.212---⎛>> ⎝⎭．∴224333(0.7)( 1.1--->>．三、中间值法当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的． 例４ 比较0.812与0.913的大小．解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.913或0.812．∵12＞0，∴幂函数12y x =在（０，＋∞）上是增函数． 又0.8＜0.9，∴0.812＜0.912．又0＜0.9＜1，指数函数0.9xy =在（0，＋∞）上是减函数，且12＞13，∴0.912＜0.913．综上可得0.812＜0.913． 四、模型函数法若函数()y f x =满足性质：()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ⎛⎫==⎪⎝⎭，等，则可以认为其模型函数为幂函数()af x x =．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．例５ 已知函数()f x 满足()()x f x f y f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f （8）=4，则f ⎝⎭_________f ⎛ ⎝⎭（填 “＞、=、＜”）．解析：()f x 的原型函数是()f x x α=（α为常数），又f （8）=4，∴48α=，∴23α=． 于是23()f x x =，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，332f f f ⎛⎛⎛-=<⎝⎭⎝⎭⎝⎭．幂函数解析式的求法对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下： 一、利用幂函数的定义例１ 已知函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求此函数的解析式．解：∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴y 可以写成如下形式y x α=（α是常数）． ∴211m m --=，解得1212m m =-=，．当1212m m =-=，时，有211212m m --=（2为常数），222211m m --=-（－1为常数）． ∴函数的解析式为1y x -=或2y x =．评注：幂函数y x α=（x 为自变量，α是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m 后要注意检验幂指数是否为常数． 二、利用幂函数的图象例２ 若函数29()(919)a f x a a x -=-+是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式． 分析：对于幂函数y x α=（α是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数α≤0． 解：∵函数29()(919)a f x a a x-=-+是幂函数，且图象不经过原点，∴29191a a -+=，且90a -≤． ∴3a =或6．∴函数解析式为6()f x x -=或3()f x x -=． 例３ 已知幂函数21()m f x x -=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称．求函数21()mf x x -=的解析式．解：∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴210m -≤，解得11m -≤≤． 又图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0． ∴1()f x x -=．评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题．三、利用幂函数的性质例４ 已知幂函数21(14)32()(1)t t f x t t x --=-+（t ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．解：∵()f x 是幂函数，∴311t t -+=，解得t ＝－1，t ＝0或t ＝1，∴当t ＝０时，12()f x x =，是非奇非偶函数，不满足条件．当t ＝1时，2()f x x -=是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当1t =-时，满足题设． 综上所述，实数t 的值为－1，所求解析式为2()f x x =．评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．幂的十位数“求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？”“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道．“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．”“一个自然数，若它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．”博士说道，“这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．”布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字．“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数……你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数．幂函数图象=（α为常数）性质，可结合幂函数的图象，而幂函数的图象，要了解和掌握幂函数y xα只要看其第一象限内的函数图象即可．这是因为：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．如果幂函数是奇函数，在第三象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第二象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．=（α为常数）在第一象限内的函数图象呢？下面结合下图加以那么如何来看幂函数y xα分析：=（α为常数）的图象均过定点（1，1）（我们称其为“束点”），即所有1．幂函数y xα幂函数的图象都经过束点．x=（y＞0）和y=1（x＞0）把第一象限分成四个区域：左上区、2．两条相交于束点的直线1左下区、右上区、右下区．那么，幂函数的图象的所属区域由幂指数α确定：（１）当α＞0时，幂函数的图象在左下右上区；此时函数图象呈上升趋势，在第一象限内为增函数；（２）当α＜0时，幂函数的图象在左上右下区；此时函数图象呈下降趋势，在第一象限内为减函数；（３）当α=0时，幂函数的图象为直线y=1（x＞0）；此时函数图象为上下区域的分界线，与x轴平行．3．当α＞0时，幂函数的图象除过束点（１，１）外，还过定点（０，０）（即坐标原点）．此时除α＝１时幂函数的图象为直线外，其他情况下所对应的幂函数的图象都属于“抛物线型”图象：（１）当α＞1时，幂函数的图象呈下凸形状，与x轴相切；（２）当0＜α＜1时，幂函数的图象呈上凸形状，与y轴相切．4．当α＜0时，幂函数的图象只过束点（１，１），不过定点（０，０）．此时所对应的幂函数的图象属于“双曲线型”图象，即前面所熟悉的反比例函数类型：向左上、右下分别逼近于两坐标轴，并无限接近．5．幂函数的图象与幂指数α大小变化的关系：在右区（直线x=1的右边），不同的幂函数的图象随幂指数α的增加而变高；那么对应的，在左区（直线x=1的左边与y轴之间的部分），不同的幂函数的图象随幂指数α的增加而变矮．可见，两个不同的幂函数的图象，以束点为变化点，在束点左边方位高的曲线，对应地在束点右边就变成了方位低的曲线，反之亦然．=在第一象限内的函数图象的变化，结合幂函数本身的奇偶性，同学们可通过幂函数y xα补全函数图象，从而全面了解幂函数图象的变化情况和幂函数的性质．。