大学生数学竞赛习题精选pdf
全国大学生数学竞赛试题和资料
1 2 2.求 n 0
sin x
e
tan x sin x
1
x sin x
lim
tan x sin x 3 x 0 x sin x
x dx 。 1 x 1 1 xn n xn n 1 dx dx lim 0 解： 0, 使得 2 ， lim 2 0 1 x n 0 1 x n 2 1 2 1 2 2 2 1 e x y cos x y dxdy =___________. 例 3.设 Dr : x2 y 2 r 2 ，则 lim 2 r 0 r Dr lim
方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛比达法则
e e tan x sin x ，其中 在 sin x 与 tan x 之间，当 x 0 时 0, e 1
解：方法一：由拉格朗日中值定理得 e
tan x sin x
e e tan x esin x lim lim x0 x sin x x 0
①
lim 1 x x e ；等价替换
x 0
1
⑦1 型，常用方法：取对数化为 0 型；利用重要极限 lim 1 x e
x 0
1 x
9）. 无穷小得比较 设 lim
x x
0
x 0, x 0 ，则 x , x 即为无穷小量， x 0, xlim x x 0 ，则称当 x x0 时 x 是比 x 高阶的无穷 （1）若 lim x x x 小，记为 x o x ，或者说当 x x0 时 x 是比 x 低阶的无穷小； x C C 0 ，则称当 x x0 时 x 是与 x 同 （2）若 lim x x x 阶的无穷小。特别的，当 C=1 时，称当 x x0 时 x 与 x 是等价无穷小，记为 x x x x0 ； x C C 0 ，则称当 x x0 时 x 是与 x （3）若 lim。所以，判断可导性就是判断极限 x x0
大学生数学竞赛极限练习题
xn lim xn n lim ln xn n
由（ 1）可证 即lim ln n x1 x2 n
lim n
ln x1 +lnx2 + n xn lim ln xn n
+lnxn
◎基础数学协会◎3
西南交通大学数学学院
（3）设 lim n
xn xn n 存在(xn >0)，则 lim x lim n n n xn -1 xn -1 xn xn -1 xn -2 xn -1 xn -2 xn -3 x1 xn lim n 1 xn -1
1 x2 t 2 n 1dt 2 (2n 1)! 2 3 3 x x ( 1 x e )
n n
50.已知曲线 y= f ( x) 在 x=1 处的切线方程为 y x 1 ， 求 lim
x 0
x2 2 1 et f 1 e x et dt 2 x ln cos x 0
0
t n1 f x n t n dt ，求 lim
1 1 cos 2t dt 1 2 n 0 n n 4t
n 1 n
F x 。 x 0 x 2 n
1 n! n n
1 n
43. 求 lim
44. （1）设 f ( x) 对于 x 1 为一非负的增函数，证明 f (k ) f ( x)dx f (k ) ；
lim
k 1
n
en 。
n 1 k
k
1 2 n ln 1 ln 1 ln 1 n n n 36. 求极限 lim ... n 1 1 n1 n n 1 2 n
大学生数学知识竞赛试题及答案【最新】
趣味数学知识竞赛复习题一、填空题1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。
2、（华罗庚）是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。
3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角”且自称为“三书子”的是（李锐夫）。
4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）。
5、（姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。
6. 设有n个实数,满足|xi|<1(I=1,2,3,…,n), |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90° ___8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024______把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____.10. 若实数x满足x4+36<13x2,则f(x)=x3-3x的最大值为______18_____11 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。
这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。
" 厨师买了＿18只鸡蛋?12.已知f(x)∈[0,1],则y=f(x)+1的取值范围为 ___[7/9,7/8]____13. 已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1） _____ 14．已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______ 1949 ___.15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…nn的约数为最大的整数k,则E(150)=__ 2975_________16. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有_2500________种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保留,划完后剩下的数依次构成一个新的序列:A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,则A2003的值为____3338 _____.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中任意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的则n的最小值是＿419. 已知x0=2003,xn=xn-1+ (n>1,n∈N),则x2003的整数部分为_______2003___21. 已知ak≥0,k=1,2,…,2003,且a1+a2+…+a2003=1,则S=max{a1+a2+a3,a2+a3+a4,…, a2001+a2002+a2003}的最小值为________3/2007 _.22. 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内容纳9个等球,八个角各放一个,则这些等球最大半径是____. (√3-3/2)a ___24.已知a,b,c都不为0,并且有sinx=asin(y-z),siny=bsin(z-x),sinz=csin(x-y).则有ab+bc+ca=__-1 _____.二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是（1、C ）。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)
Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en
由
（*）
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) ， 有 ， 即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ，
地， Wm 在 g 下是不变的. 下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η
全国大学生数学竞赛试题
全国大学生数学竞赛试题第一题：简答题（30分）（1）证明：如果一个函数具有一阶连续偏导数，则它在定义域内一定是连续的。
（2）确定下列二阶微分方程所满足的条件，使其有且仅有全空间的解：y'' + a^2y = 0。
第二题：计算题（40分）已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像过点(1, 2)，且在x = 2处有极值，极值为6。
求a，b，c的值。
第三题：证明题（30分）证明极限lim(n趋于正无穷)[(n+1)^(1/n) - n^(1/n)] = 1/e，其中e为自然对数的底数。
第四题：应用题（50分）一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶。
车内装有一个定时器，每5分钟一响。
在第一次响铃时，汽车刚行驶出来。
请问当响到第5次时，汽车已经行驶了多远？并给出计算过程。
第五题：证明题（40分）设函数f(x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内可导。
如果存在x1，x2满足a < x1 < x2 < b，使得f(a) ≠ f(b) = f(x1) = f(x2)。
证明：存在ξ属于(a，b)，使得f'(ξ) = 0。
第六题：计算题（50分）一圆筒形容器，底面半径为5cm，高为20cm。
将其倒放在水中，使得溢出的水全部被接住，接住溢出水的底面为一个圆锥。
求该圆锥的底面半径和高。
第七题：证明题（60分）若数列{a_n}满足a_1 = 1，a_2 = 2，a_n = 2a_{n-1} + a_{n-2}（n≥3），证明：an^2 - a_{n+1}a_{n-1} = (-1)^n。
第八题：简答题（30分）（1）什么是多元函数的偏导数？（2）如何通过偏导数判断多元函数是否取得极值？（3）什么是拉格朗日乘子法？第九题：计算题（50分）已知函数f(x) = ln(x^2 - x + 1)，计算极限lim(n趋于正无穷)[f(n+1) + f(n+2) + ... + f(n+n) - n^2ln(n)]。
大学生数学竞赛习题及详细解答
一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→x t x x t t f 2)11(lim )(，则=')(t f ．解：)(t f tx x x t 2)11(lim ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∞→tte 2=，t t t e t te e t f 222)21(2)(+=+='∴．2. 设曲线L 的方程为te x 2=，te t y --=，则L 的拐点个数为 ．解：)(21213-22t ttt t t e e e e x y dx dy +=+=''=--， )32(412/)32(215-423-222tt t t t t t e e e e e x dx dy dxy d +-=--=''⎪⎭⎫ ⎝⎛=--． 022<dxyd ，∴无拐点，即L 的拐点个数为0．3. 设2)1()(x e x x f +=，则=)0()2009(f．解：n n xx n e ∑∞==0!1 ，n n x x n e 20!12∑∞==∴，12020!1!1)1()(2+∞=∞=∑∑+=+=∴n n n n x x n x n e x x f ．令200912=+n ，则20082=n ，1004=n ，∴2009次幂项的系数!100412009=a ． 又!2009)0()2009(2009f a =，!1004!2009)0()2009(=∴f ． 另解：利用2009阶Peano 型余项（或者拉格朗日型余项）的麦克劳林公式，或者高阶导数的乘法法则．4. 设x e f xsin 1)(+='，则=)(x f ．解：x e f xsin 1)(+=' ，⎰⎰-+=+=∴x d e e x de x e f x x x x sin )sin 1()sin 1()(⎰-+=xdx e e x x x cos )sin 1(．而⎰xdx e xcos ⎰=x d e x sin ⎰-=xdx e x e x xsin sin ⎰+=x d e x e xxcos sin)cos cos (sin ⎰-+=xdx e x e x e x x x ⎰-+=xdx e x x e x x cos )cos (sin ，⎰∴xdx e x cos C x x e x ++=)cos (sin 21．)(x e f ∴x e x )sin 1(+=C x x e x ++-)cos (sin 21C x x e x +-+=)cos sin 2(21．C x x x x f +-+=∴)]cos(ln )sin(ln 2[21)(．另解：x e f xsin 1)(+=' ，令xe t =，则t x ln =，)sin(ln 1)(t tf +='∴，dxxx x x x dx x x f ⎰⎰⋅⋅-+=+=∴1)cos(ln )]sin(ln 1[])sin(ln 1[)(dx x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln 1[．而dx x ⎰)cos(ln dx xx x x x ⎰⋅⋅+=1)sin(ln )cos(ln dx x x x ⎰+=)sin(ln )cos(lndxxx x x x x x 1)cos(ln )sin(ln )cos(ln ⋅⋅-+=⎰dx x x x x ⎰-+=)cos(ln )]sin(ln )[cos(ln ．而dx x ⎰∴)cos(ln C x x x ++=)]sin(ln )[cos(ln 21． -+=∴x x x f )]sin(ln 1[)(Cx x x ++)]sin(ln )[cos(ln 21C x x x ++-=)]sin(ln )cos(ln 2[21．5. 设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且⎰-+=-02)1()(xx x e x dt t x f ，则=)1(f ．解：⎰--02)(xx dt t x f⎰-=-=x xtx u du u f 2))((⎰=2)(x xdu u f ，⎰+=∴2)1()(x xx e x du u f ．对方程两边求导，有xxxe e x f x x f ++=-⋅1)(2)(2． 令1=x ，有e e f f ++=-1)1()1(2，e f 21)1(+=∴． 6. =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-∞→2222241241141lim n n n n n ． 解：原式n nk kn nk n nk n 1)(41lim 41lim 12122⋅-=-=∑∑=∞→=∞→621arcsin 2arcsin 4110102π===-=⎰x dx x ．7. 设曲线)(x f y =在原点处有拐点及切线x y 2=，且满足微分方程0='-'''y y ，则曲线的方程为 ．解：)(x f 为0='-'''y y 满足00==x y ，20='=x y ，00=''=x y 的特解．由特征方程03=-r r ，得特征根01=r ，12-=r ，13=r ， 得微分方程的通解为xx e C e C C y 321++=-．由初始条件，有0)0(321=++=C C C y ， 2)0(32=+-='C C y ，0)0(32=+=''C C y ，解得01=C ，12-=C ，13=C ．∴曲线方程为x x e e y --=．8. 设yxxy z )(=（0>x ，0>y ），则=∂∂==12y x xz ．解：由)ln (ln ln y x yxz +=，有)1ln (ln 11)ln (ln 11++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅++='y x y x x y x y z z x， )1ln (ln 1)(++⋅='∴y x yxy z yx x．)12(ln 4)12(ln 2212+=+⋅='∴==y x x z ．.9. 已知{}n a 为等差数列，01≠=-+d a a n n ，0≠n a （ ,2,1=n ），且∞=∞→n n a lim ，则级数∑∞=+111n n n a a 的和是 ． 解：)111(lim 11322111+∞→∞=++++=∑n n n n n n a a a a a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++-+-=++∞→)(1lim 1132232112n n n n n a a a a a a a a a a a a d )111111(lim 113221+∞→-++-+-=n n n a a a a a a d 1111)11(lim 1da a a d n n =-=+∞→． 10. 设L 为圆周122=+y x ，则{}=++⎰ds y x y x yL2222sin )cos(π ．解：原式L ds y x ds x ds y ds y L Lyx L L 21)(21cos 22222L -=+-=-=-==⎰⎰⎰⎰↔方程对称性的方程πππ-=⋅-=221．二、 计算题（10分）设0)1(=f ， 2)1(='f ，求xe x xf x x cos )cos (sin lim220-+→．解：原式[]xe x x x xf x x f x x x cos 1cos sin lim 1cos sin )1(1)1cos (sin lim 2202200--+⋅-+-+-+=→→∴；变形；连续乘法))(21())(1(1))(21())((lim )1(22222220)1(x o xx o x x o x x o x f x f +--++-+-++⋅'=→'存在；泰勒公式 )(23)(2)(lim222222202)1(x o x x o x x o x x f ++-+=→=' 32)1(23)1(21lim 20=++=→o o x ．三、 计算题（10分）设可导函数)(x f y =由方程3223323=+-y xy x 所确定，求)(x f 的极值点与极值． 解：视)(x f y =，对方程两边求导，得06)2(33222=⋅+⋅+-dxdyy dx dy xy y x ， 即 0)(222=---dxdy y x y y x ．由原方程知，有 x y ≠， 02=-+∴dxdyy y x ．……………………………………①令0=dxdy，得x y -=，代入原方程，有3223333=--x x x ， 解得唯一驻点2-=x ，此时2)2(=-=f y ．再对①式两边求导，得0)(21222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+dx y d y dxdy dx dy ．………………………………………②在驻点2-=x 处，有0202012222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-=x dx yd ，041222>=∴-=x dx yd ， 2-=∴x 为)(x f 的极小值点，)(x f 有极小值2)2(=-f ．四、 证明题（10分）试证：当0≠x 时，有不等式21)4(arctan 10<-<πx e x 成立． 证明：令te tf arctan )(=，t tg =)(，则对0≠x ，在0与x 构成的闭区间上)(t f 与)(t g 满足柯西中值TH 条件，所以存在介于0与x 之间的ξ，使得)()()0()()0()(ξξg f g x g f x f ''=--，即22)(11104arctan ξξξξπe e e e x e x +=⋅+=--． 由212)(102=<+<ξξξξe e e e ，即得21)4(arctan 10<-<πxe x ，证毕． 另证：利用拉格朗日中值定理，或者泰勒中值定理．五、 计算题（10分）计算二次积分dy e x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+-+=--．解：⎰dy e y 2积不出来，∴考虑交换积分次序．dye x dx dy e x dx I y xy x2210130113}1){sin(}1){sin(⎰⎰⎰⎰+++=∴<--交换上下限下限，上限第二个积分的内积分有 ．相应二重积分区域D 如图所示．⎰⎰⎰⎰⎰⎰-==+=1yx )sin(32232)1)(sin(yyy Dy D x Dy dx dy edxdy edxdye x I 后先左右对称为奇函数121011222-====⎰⎰e ededy ye y y y ．六、 计算题（10分）求幂级数∑∞=-+11213n n n x n 的收敛半径、收敛域及和函数．解：21211221333)1(lim )()(lim x x n x n x u x u n n n n n nn n =+=-+++∞→+∞→ ，∴收敛区间为31<x ，收敛半径为31． 当31±=x 时，级数为∑∑∞=∞=+±=±11133)3(313n n nn n n ，发散．∴收敛域为)31,31(-． ∑∑∑∞=∞=++∞=-++=+=0201221121)3)(1(93)1(3n n n n n n n n x n x xn xn)(9)(9)1(9010132'='=+=∑∑∑∞=+∞=+∞==n n n n n nx y y x yx y n x 令2222)31(9)1(19)1()1()1(9)1(9x x y x y y y x y y x -=-⋅=--⋅--⋅='-=．七、 计算题（10分）求曲面积分⎰⎰∑++++=23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑是球面4)1()1()1(222=-+-+-z y x的内侧． 解：（ 直接计算困难，∴考虑借助高斯公式）．记222z y x r ++=，则3r x P =，3r yQ =，3rz R =． 522623333)(r x r r r xr x r r xx x P -=⋅⋅-=∂∂=∂∂，有对称性可知，5223r y r y Q -=∂∂，5223rz r z R -=∂∂， 有033522=-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z R y Q x P ，)0,0,0(),,(≠∀z y x ．∴可以改变积分闭曲面． 记22221:ε=++∑z y x （320-<<ε），取内侧，则⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=++++=1113232221)(zdxdy ydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz Iε方程改变积分闭曲面ππεεεεε4343131)3(13313:322221-=⋅⋅-=Ω⋅-=-=⎰⎰⎰≤++Ωz y x Gauss dV 方程。
大学生数学竞赛(非数)试题及答案
大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.一、填空（每小题5分，共20分）.计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= .(2)设()f x 在2x =连续，且2()3lim2x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f .(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .（1）21. (2) 3 . (3)te t 2)12(+ . (4)C x x +-2ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy xy D⎰⎰-2，其中1010≤≤≤≤y x D ，：.解：dxdy x y D⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2210-⎰⎰+dy x y dx x)(12102⎰⎰- -------------4分姓名：身份证号所在院校：年级专业线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.=3011-------------5分.三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求22dxyd .解：)],(cos[)(222x f x f x dxdy'=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dxy d '-''+'=-----7分=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.四、（15分）已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，求a 的值. 解：)23(232123ln 0ln 0xa x ax x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分 令t e x =-23，所以dt t dx e e aax x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ，-----------9分 由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31，-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以23=a -------------15分.五、（10分）求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解：原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x e e y dxx xdx x 11----------4分=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x +=.----------8分再由条件e yx ==1，有C e e +=，即0=C ，-----------9分因此，所求的特解是xe y x=.----------10分.六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。
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大学生数学竞赛习题精选pdf
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