位似图形专题练习

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图形的位似--巩固练习

图形的位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015•营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C （2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.'''''，已知OA=10cm，OA′10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.（2015•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n= ．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？　(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】设点B 的坐标为（x ，y ），∵△ABE 和△CDE 是以点E 为位似中心的位似图形，∴=，=，解得x=5，y=2，所以，点B 的坐标为（5，2）．故选C ．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC ，∴AC 是较长的线段，AB AC AC≈0.618AB．故选D ．7.【答案】B.二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个；全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm ，OA′=20cm， ∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA ：OA′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC∥DE 可得△ADE∽△ABC，所以，故.13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D 点是AC 的黄金分割点，三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是： DE∥BC，所以∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以. 又因为点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形. (2)DE∥BC.理由是：因为△ADE 和△ABC 是位似图形，所以△ADE∽△ABC 所以∠ADE=∠B 所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．。

位似(5个考点)(题型专练+易错精练)(教师版) 2024-2025学年九年级数学下册(人教版)

专题27.3 位似（5个考点）【考点1 位似图形的识别】【考点2 位似图形性质】【考点3 位似图形的点坐标】【考点4 判定位似中心】【考点5 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】【考点1 位似图形的识别】1．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；B、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；C、△ABC与△A′B′C′是位似关系，故此选项不合题意；D、△ABC与△A′B′C′对应边BC和B′C′不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是（）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中与△AOB位似的三角形是（）．A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD【答案】D【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，判定即可．【详解】解：∵AB∥CD∴△AOB∽△DOC，∵AB∥EF∴△AOB∽△FOE，∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．故选：D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是（）A．△AMO与△ABC位似B．△AMN与△BCO位似C．△ABO与△CDO位似D．△AMN与△ABD位似【答案】B【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是线段AC、BD的中点，AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△ABO与△CDO位似，故C不符合题意；∵M是边AB的中点，∴OM是△ABC的中位线，∴OM∥BC，同理可得MN∥BD，ON∥AB，∴△AMO∽△ABC，△AMN∽△ABD，∴△AMO与△ABC位似，△AMN与△ABD位似，故A、D不符合题意；∵△AMN与△BCO每组对应点所在的直线没有相交于一点，∴△AMN与△BCO不位似，故B符合题意．故选B．5．下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．6．如图是与△ABC位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可．【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选：D．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．7．下列语句中，不正确的是（）A．位似的图形都是相似的图形B．相似的图形都是位似的图形C．位似图形的位似比等于相似比D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部【答案】B【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可．【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键．8．下列每组的两个图形，是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A. B.C. 三个图形中的两个图形都不是位似图形；而D.的对应顶点的连线能相交于一点，故是位似图形故选D.【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键.【考点2 位似图形性质】9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1【答案】B【分析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA:OD =1:2，∴△ABC 与△DEF 的位似比是1:2．∴△ABC 与△DEF 的相似比为1:2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1:4，故选：B ．10．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE EA =32，则S 四边形EFGH S 四边形ABCD 等于（）A ．94B ．925C ．32D ．3511．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4:9，则OA:OD 为（）A．4:9B．2:3C．2:1D．3:112．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，若OD:OA=2:3，则△DEF与△ABC的周长之比为（）．A．2:3B．4:9C．9:4D．3:2【答案】A【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关13．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若O B′:B′B=3:2，则△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（）A．3:5B．4:9C．4:25D．9:2514．如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是A．1:1B．1:2C．1:4D．1:915．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA:A A′=1:2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：9D．4：9【答案】C【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到△ABC和△A′B′C′的相似比是解题的关键．根据位似的性质得到△ABC∽△A′B′C′，相似比为OA:O A′=1:3,再根据相似三角形的性质得△ABC和△A′B′C′的面积之比即为相似比的平方．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA:A A′=1:2，∴OA:O A′=1:3，∴S△ABC :S△A′B′C′=12:32=1:9，故选：C．16．如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若OA′OA =OB′OB=OC′OC=OD′OD=14，则四边形A′B′C′D′的面积与四边形ABCD的面积比为（）A．1:2B．1:4C．1:8D．1:1617．如图，△ABC和△DEF是位似图形，位似中心是O，若OA:OD=1:2，S△ABC =3，那么S△DEF=（）A．6B．9C．12D．18【答案】C18．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，AC:DF=2:3，若OC=8，则CF的长为（）A．12B．8C．6D．419．如图，点O是两个位似图形的位似中心，若O A′=A′A，则△ABC与△A′B′C′的周长之比等于．20．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:AD=3:2，则△ABC与△DEF的面积比为．【答案】9:25【分析】本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可．【详解】解：∵OA:AD=3:2，∴OA:OD=3:5，∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的位似比为3:5，∴△ABC与△DEF的相似比为3:5，∴△ABC与△DEF的面积比为9:25，故答案为：9:25．【考点3 位似图形的点坐标】21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,3)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2:1的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．(2,4)B．(6,8)C．(4,2)D．(6,6)【答案】D【分析】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC的位似比为2:1的位似图形是△A′B′C′，且C(3,3)，∴C′(2×3,2×3)，即C′(6,6)，故选：D．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A′上，A A′=2OA．若点B的坐标为(2,1)，则点B′的坐标为（）A．(4,2)B．(6,3)C．(8,4)D．(1,0.5)【答案】B【分析】本题考查的是位似变换．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，再根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点为位似中心的位似图形，A A′=2OA，∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:3，∵点B的坐标为(2,1)，∴点B′的横坐标为2×3=6，点B′的纵坐标为1×3=3，∴点B′的坐标为(6,3)，故选：B．23．如图，△AOB与△A1O B1是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为12，若点B的坐标为(−1，3)，则点B1的坐标为（）A．(2，−6)B．(1，−6)C．(−1，6)D．(−6，2)24．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1:2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是（）A．(3,3)B．(4,4)C．(5,5)D．(6,6)25．如图，在直角坐标系中，先以原点为位似中心，将△ABC在第一象限内放大2倍得到△AB1C1，再将1△AB1C1绕着原点逆时针旋转90°，得到的△A2B2C2，若点C、C1、C2是对应点，则C2的坐标是（）1A ．(−5,2)B ．(−6,3)C ．(6,−4)D ．(−6,4)【答案】D 【分析】本题考查位似，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．根据位似，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A 2B 2C 2即为所求．观察图象可知：C 2(−6,4)故选D ．26．已知关于原点位似的两个图形中，一组对应点的坐标为(2,4)和(−1,x )，则x 的值为（）A ．－2B ．2C ．12D ．−12【答案】A【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．27．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1:3，则点D的坐标为（）A．(−1,−2)B．−2,−2C．(−2,−1)D．−2,−328．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(−3,−1)，(−1,−2)．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段A′B′，点A的对应点A′的坐标是(6,2)，则点B′的坐标是．【答案】(2,4)【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为−2，根据位似图形的性质即29．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为．【答案】(−2,2)或(2,−2)/(2,−2)或(−2,2)【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．【详解】解：由题意得：A的坐标为(−1×2,1×2)或(−1×(−2),1×(−2))，∴A的坐标为(−2,2)或(2,−2)，故答案为：(−2,2)或(2,−2)．30．如图，△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点A′的坐标为(5,−2)，则点A的坐标为．【答案】(−10,4)【分析】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可．【详解】解：由题意得：△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，又∵A′(5,−2)，且原图形与位似图形是异侧，∴点A的坐标是(5×(−2),−2×(−2))，即点A的坐标是(−10,4)．故答案为：(−10,4)．31．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【答案】(2，1)【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．故答案为：(2，1)．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【考点4 判定位似中心】32．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形OEFG和矩形ABCD是位似图形，对应点C和F的坐标分别为(−4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标是（）A．(0,2)B．(0,2.5)C．(0,3)D．(0,4)∵∴GF//CD，CD=4，GF=∴∠PCD=∠PFG，∠DPC=∴△PFG∽△PCD，∴CD=PD，33．把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（）A．D点B．E点C．F点D．G点【答案】C【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可．【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，故选：C34．如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C′是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【答案】A【分析】连接A A′,C C′交于点O，即可．【详解】解：如图，连接A A′,C C′交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．35．已知△ABC与△DEF是一对位似三角形，则位似中心最有可能的是（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【分析】根据位似中心的定义判断即可．【详解】∵△ABC与△DEF是一对位似三角形，∴对应顶点的连线相交于一点，如图，位似中心是O1．故选：A．【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．36．下列图形中位似中心在图形上的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．37．如图，在方格图中，△ABC的顶点与线段A′C′的端点都在小正方形的顶点上，且△A′B′C′与△ABC是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点A′，C′．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．(1)请在方格图中画出位似中心O；(2)请在方格图中将△A′B′C′补画完整．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心．（1）连接对应点并延长，交点即为位似中心；（2）由（1）可知，OC:O C′=1:2，则连接OB并延长，使O B′=2OB，再连接A B′、B′C即可．【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心；（2）解：补全△A′B′C′如图所示：38．如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O．(1)请在图中画出点O的位置；(2)若AB=2DE=36，BC=20，求EF的长．【答案】(1)作图见解析(2)10【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键．（1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；（2）根据位似性质即可求得答案．【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示．经过位似变换得到的，【考点6 画已知图形放大或缩小n 倍后的位似图形】39．如图，△ABC 在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)画出△ABC 绕O 点逆时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(2)以A 为位似中心，在网格中画出△ADE ，使△ADE 与△ABC 位似且面积比为4:1．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．（1）根据旋转的性质作出点A 、B 、C 的对称点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接即可；（2）以A 为位似中心，作出点A 、B 、C 的位似点，然后顺次连接即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求作的三角形．；（2）解：如图，△A DE1与△A D2E2即为所求作的三角形．140．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，；41．如图，△ABC 在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为A (−1,2)，B (−3,3)，C (−3,1)．(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似且相似比为3:1；(2)点A 1的坐标为______，点C 1的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)(3,0)，(−3,−3)【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．（1）在网格中作出A 1、C 1，连接A 1C 1、BC 1、BA 1即可得到△A 1B 1C 1；（2）根据点的位置写出A 1、A 1、C 1的坐标即可．【详解】（1）△A 1B 1C 1即为所作；（2）点A 1的坐标为(3,0)，点C 1的坐标为(−3,−3)，故答案为：(3,0)，(−3,−3)．42．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4,−4)．(1)请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图即可．【详解】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求．B2C2即为所求．2【点睛】本题考查作图−平移变换、位似变换，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键．。

《位似图形》练习及标准答案

《位似图形》配套练习一、选择题：１.用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ) A.只能选在原图形的外部; Ｂ.只能选在原图形的内部;C.只能选在原图形的边上;D.可以选择任意位置。

２.已知:E （-４,2),Ｆ（－1，－1），以O 为位似中心，按比例尺１∶２，把△ＥＯF 缩小,则点Ｅ的对应点E′ 的坐标为( ）A ．（2,-1)或(－2，1） B.(8,－4）或(-8，4）C ．（2，-1） ﻩD ．(8，－4)3．如图，△ＤＥＦ是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心,D ，E,F 分别是OA ，ＯB,O Ｃ的中点，则△DEF 与△AB Ｃ的面积比是( ）A.1︰2B.1︰4C.1︰5D.1︰64.如图，五边形ＡＢＣDE 与五边形A ′B ′Ｃ′D ′Ｅ′是位似图形,O 为位似中心,O Ｄ=12OD ′，则A ′B ′：AB 为（）A ．2:３ B.3:２Ｃ.1:２ D.2:1(第３题图） (第４题图)5．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．ＰＢ.O C.M D ．Ｎ6. 如图，以某点为位似中心，将△AO Ｂ进行位似变换得到△CDE,记△AO Ｂ与△ＣDE 对应边的比为k,则位似中心的坐标和k 的值分别为( )A ． (00)，，2 B. (22)，，12C ． (22)，，2 Ｄ. (22)，，37. 如图，△ＡＢＣ中，Ａ,B 两个顶点在x 轴的上方,点C 的坐标是(－1，0)。

以点C 为位似中心,在x 轴的下方作△ＡBC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′Ｂ′C 。

设点B 的对应点B ′的横坐标是a,则点B 的横坐标是（） A.12a -ﻩﻩ B.1(1)2a -+ C ．1(1)2a --ﻩ D ．1(3)2a -+O P M NA B C E D O B / A /C /D /E /（第５题图） (第６题图) (第７题图）二、填空题:1.关于对位似图形的表述,下列命题正确的是。

图形的相似与位似试题及答案

图形的相似与位似一、选择题1．（2016·湖北十堰）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 【考点】位似变换．【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：∵OB=3OB′， ∴，∵以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴=．∴=，故选D【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．2. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①BC DE =21； ②S S COBDOE △△=21； ③AB AD=OB OE ； ④S S ADE ODE △△=31.其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个（第2题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=21BC ，即BC DE=21；故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB∴S S COBDOE△△=（BC DE ）2=(21）2=41,故②错误； ③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD=BC DE△DOE ∽△COB ∴OB OE=BC DE∴AB AD=OB OE，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。

2024中考数学专题过关检测专题19 图形的相似与位似过关检测(解析版)

专题19 图形的相似与位似过关检测（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵，∴设x＝10k，y＝7k，∴＝＝＝，故选：C．2．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则＝（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝2，AB＝6，∴DB＝AB﹣AD＝4，∴＝＝，故选：C．3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵DF∥AC，∴＝，所以A选项错误；∵DE∥BC，∴＝，所以C选项错误；而＝，∴＝，∵DE∥CF，DF∥CE，∴四边形DECF为平行四边形，∴CF＝DE，∴＝，即＝，所以B选项错误；∵DE∥BC，∴＝，即＝，所以D选项正确．故选：D．4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3B．2：3C．4：5D．1：9【答案】D【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：D．5．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，∴△DEC∽△ABC，故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，∵，，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC，故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，故D符合题意，故选：D．6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【答案】C【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m，根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∴△ACB∽△ECD，∴，即，∴ED＝9.6（m），故选：C．7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，则点A的对称点A′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣6，3），∴点A的对称点A′的坐标为（﹣6×，3×）或（6×，﹣3×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：D．8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P 两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（）A．4B．C．D．5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°，∵∠DPE＝60°，∴∠BPD+∠CPE＝120°，∴∠BDP＝∠CPE，∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDP∽△CPE；∴，∴，∴BP2﹣6BP+2a＝0，∵满足条件的点P有且只有一个，∴方程BP2﹣6BP+2a＝0有两个相等的实数根，∴△＝62﹣4×2a＝0，∴a＝．故选：C．9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）1C．+1D．+11B．﹣A．﹣【答案】C【解答】解：设HG＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四边形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四边形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，1或x＝﹣﹣1，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，经检验：x＝﹣∵GH＞0，1，∴GH＝﹣∴DC＝2+x＝+1，故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①②B．②③④C．①③④D．①③【答案】D【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG为公共边，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值为，故②错误；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE•AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE•AE，故③正确；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④错误；综上，正确的是：①③，故选：D．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。

《位似》习题

《位似》习题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列每组的两个图形不是位似图形的是()A．B．C．D．2．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点O B．点P C．点M D．点N第2题图第3题图3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( )A．(2，0) B．(0，2) C．(2，2) D．(2，2)4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．125．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是( )①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．A．①②B．①④C．②③D ．③④二、填空题(每小题5分，共25分)6．下列四幅图中的两个图形属于位似图形的是__________．(将序号填入横线上)B DCAEB①②③④7．如图所示，DC∥AB，OA=2OC，则OCD△与OAB△的位似比是__________．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A′B ′=_________cm．第7题图第8题图第10题图9．在平面直角坐标系中，已知点E(﹣4，2)，F(﹣2，﹣2)，以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是__________．10．如图，将△DE F缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，则下列说法正确的有________ __个．①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比是1：2；④△ABC与△DEF的面积比是1：2．三、解答题(共50分)11．(10分)如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出位似中心．12．(10分)如图，在方格纸上，与是关于点O为位似中心的位似图形，他ABC∆111CBA∆们的顶点都在格点上．(1)画出位似中心O；(2)求出与的位似比；ABC∆111CBA∆CABD E(2)(1)O(4)(5)(3)以O 点为位似中心，再画一个使它与的位似比等于3222C B A∆13．(10分)如图，△ABC 在方格纸中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出B 点坐标；(2)以原点O 为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的位似图形；A B C '''△(3)计算的面积S ．A B C '''△14．(10分)如图，已知矩形ABCD 与矩形AB C D '''是位似图形，A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，4,2BB DD ''==．求AB 与AD 的长．15．(10分)如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A (2，1)、O (0，0)、B (1，－2)．(1)P (a ，b )是△AOB 的边AB 上一点，△AOB 经平移后点P 的对应点为P 1(a －3，b +1)，请画出上述平移后的△A 1O 1B 1，并写出点A 1的坐标；DB 'C 'D(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；(3)判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．参考答案1．B【解析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选B．2．B．【解析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．点P在对应点M和点N所在直线上，故选B．3．C【解析】由题意可得OA：OD=1：2，又由点A的坐标为(1，0)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴OA：OD=1：2，∵点A的坐标为(1，0)，即OA=1，∴OD=2，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=2．∴E点的坐标为：(2，2)．故选C．4．D．【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．5．C【解析】如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；④位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误．故选C．6．①②③【解析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，①②③三个图形中的两个图形都是位似图形；④中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形．故填①②③．7．1︰2【解析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OC D与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．解：∵DC∥AB∴△OAB∽△OCD∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O∴△OCD与△OAB的位似∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．8．4．【解析】根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm．解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形∴△ABC ∽△A ′B ′C ′∵位似比是1：2∴AB ：A ′B ′=1：2∵AB =2cm ∴A ′B ′=4cm ．9．(﹣2，1)或(2，﹣1)【解析】根据题意得：则点E 的对应点E ′的坐标是(﹣2，1)或(2，﹣1)．10．3【解析】位似图形同时也是相似图形，位似比等于其相似比，等于其对应边的比，对应周长的比，面积比等于位似比的平方．解：由于△ABC 是由△DEF 缩小一半得到，所以△ABC 与△DEF 是位似图形，①正确；位似图形也是相似图形，②正确；将△DEF 缩小为原来的一半，得到△ABC ，所以△ABC 与△DEF 的位似比为1：2，所以其周长比也为1：2，③正确；所以其面积比为1：4，④错误．题中共有3个结论正确．11．答案见解析【解析】根据位似图形的定义及位似中心分析各图，即可得出答案．解:图(1)(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点P ，图(2)中的点A ，图(4)中的点O ．12．答案见解析【解析】(1)如下图所示；(2)与的位似比是2；ABC ∆111C B A ∆(3)如下图所示．e 【解析】(1)根据A (2，3)，C (6，2)，找出原点，求出点B 的坐标即可；(2)根据位似比为2，得出三角形各顶点坐标即可得出答案；(3)利用所画图形得出三角形的底与高求出即可．解：(1)B 点：(2，1)(2)(3)的面积S =16A B C '''△14．答案见解析【解析】解:∵矩形ABCD 的周长为24∴12AB AD +=设,12AB x AD x==-则 ∴4,14AB AB BB x AD AD DD x ''''=+=+=+=- ∵矩形ABCD 与矩形AB C D '''是位似图形 ∴AB ADAB AD ='' 即12414x x x x-=+- 解得8x =∴8,4AB AD ==15．(1)作图见解析，A 1(﹣1，2)；(2)作图见解析，A 2(4，2)，P 2 (2a ，2b )；(3)是，Q (﹣6，2)．【解析】(1)如图所示，画出平移后的△A1O1B1，找出A1的坐标即可；(2)如图所示，画出位似图形△A2OB2，求出A2、P2的坐标即可；(3)根据题意得到△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可．解：(1)如图所示，A1(﹣1，2)；(2)如图所示，A2(4，2)，P2 (2a，2b)；(3)如图所示，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形．此时Q(﹣6，2)．。

专题22.5图形的位似变换【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反[含答案]

专题22.5图形的位似变换【十大题型】【沪科版】【题型1辨别位似图形】【题型2确定位似中心】【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【题型4求位似图形的相似比】【题型5画位似图形】【题型6求位似图形的线段长度】【题型7求位似图形的周长】【题型8求位似图形的面积】【题型9求位似图形的坐标】【题型10 与位似图形相关的规律】知识点：图形的位似变换1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k．注意：a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；b．两个位似图形的位似中心只有一个；c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比．位似多边形的对应边平行或共线．位似可以将一个图形放大或缩小．位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变．f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称．【题型1辨别位似图形】【例1】（2024·河北廊坊·三模）1．在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．嘉嘉对，淇淇不对D．嘉嘉不对，淇淇对【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）2．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）3．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．②和④【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）4．已知：ABC A B C ¢¢¢∽△△，下列图形中，ABC V 与A B C ¢¢¢V 不存在位似关系的是（）A ．B ．C ．D ．【题型2 确定位似中心】【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）5．如图，正方形网格图中的ABC V 与A B C ¢¢¢V 位似，则位似中心是（）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）6．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A ．原图形的外部B ．原图形的内部C ．原图形的边上D ．任意位置【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）7．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）8．下列图形中位似中心在图形上的是（）A．B．C．D．【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【例3】（2024·浙江金华·一模）9．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC与△DEF是位似图形B．△ABC与△DEF是相似图形C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）10．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（）A．②③B．③④C．②③⑤D．②③④【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）11．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．AE︰AD是位似比D．点B与点E、点C与点D是对应位似点【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）12．如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC 扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是()A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)【题型4求位似图形的相似比】【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）13．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，¢¢¢¢与正方形ABCD是以AC的中点O¢为中心的位似图形，已知AC=正方形A B C D¢¢¢¢与正方形ABCD的相似比是（）点A¢的坐标为(1,2)，则正方形A B C DA ．16B ．13C ．12D ．23【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）14．如图，在正方形网格中，以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是（用图中字母表示），ABC V 与该三角形的位似比为．【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）15．ABC V 三个顶点(3,6)A 、(6,2)B 、(2,1)C -，以原点为位似中心，得到的位似图形A B C ¢¢¢V 三个顶点分别为(1,2)A ¢，22,3B æö¢ç÷èø，21,33C æö¢-ç÷èø，则A B C ¢¢¢V 与ABC V 的位似比是．【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）16．如图，点O 是等边三角形PQR 的中心，P Q R ¢¢¢，，分别是OP ，OQ ，OR 的中点，则P Q R ¢¢¢△与PQR V 是位似三角形．此时，P Q R ¢¢¢△与PQR V 的位似比为．【题型5 画位似图形】【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）17．如图，在平面直角坐标系中，ABC D 的顶点坐标分别为(2,2)A -，(4,0)B -，(4,4)C --，在y 轴右侧，以原点O 为位似中心画一个A B C ¢¢¢V ，使它与ABC V 位似，且相似比是1:2．(1)请画出A B C ¢¢¢V ；(2)请直接写出A B C ¢¢¢V 各顶点的坐标；(3)若ABC V 内部一点M 的坐标为,a b （），则点M 的对应点M ¢的坐标是___________．【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）18．如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）(1)在图1中，以C 为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的111A B C △．(2)在图2中，线段AB 上作点M ，利用格点作图使得32AM BM =．(3)在图3中，利用格点在AC 边上作－个点D ，使得ABD ACB V ∽．【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）19．如图，在1010´的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O 和点1A 在格点上，ABC V 是格点三角形（顶点在网格线交点上）．(1)画出ABC V 以点O 为位似中心的位似图形111A B C △，点、、A B C 的对应点分别为点1A 、1B 和1C ；(2)111A B C △与ABC V 的周长之比为______．【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）20．如图是由小正方形组成的88´网格，每个小正方形的顶点叫做格点．,,A B C 都是格点，点P 在BC 上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，将线段AB 沿BC 的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段CD ，再将PC 绕AC 的中点顺时针旋转180°，得到GA ，画出线段GA ；(2)在图2中，将APC △以点C 为位似中心缩小为原来的12得到EFC V ，画出EFC V ；(3)在图3中，在AC 上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得PM MN +最小．【题型6 求位似图形的线段长度】【例6】（2024·浙江温州·三模）21．如图，矩形ABCD 与矩形EFGH 位似，点O 是位似中心，已知:1:2OH HD =，2EH =，则AD 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）22．如图，以点O 为位似中心，把ABC V 放大为原图形的2倍得到A B C ¢¢¢V ，则:AO AA ¢的值为（）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．3:2【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）23．如图，DE 是ABC V 的中位线，D E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的中位线，连接AA ¢、BB ¢、CC ¢．已知4BC =，2OA OA ¢=，2OB OB ¢=，2OC OC ¢=．则D E ¢¢的长度为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）24．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =．若矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，则点C 、F 之间的距离为．【题型7 求位似图形的周长】【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）25．如图，以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ．若AD OA =，则ABC V 与DEF V 的周长之比为（）A ．1:6B ．1:5C ．1:4D ．1:2【变式7-1】（2024·重庆·三模）26．如图，ABC V 与DEF V 位似，点O 为位似中心，若2OC OF=，ABC V 的周长为8，则DEF V 的周长为（）A ．1.5B ．2C ．3D ．4【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）27．如图，已知△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，OA ：OD ＝1：3，且△ABC 的周长为2，则△DEF 的周长为（）A ．4B ．6C ．8D ．18【变式7-3】（2024·四川成都·二模）28．如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A B C D ¢¢¢¢，已知25OA A A =¢，若四边形ABCD 的周长为8，则四边形A B C D ¢¢¢¢的周长为．【题型8 求位似图形的面积】【例8】（23-24九年级·浙江·期末）29．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 是位似图形，点O 是位似中心．若23OE EA =，四边形ABCD 的面积是25，则四边形EFGH 的面积是（）A ．4B ．10C ．1009D ．503【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）30．如图，在平行四边形ABCD 中，以C 为位似中心，作平行四边形ABCD 的位似平行四边形PECF ，且与原图形的位似比为2∶3，连接,BP DP ，若平行四边形PECF 的面积为20，则PBE △与PDF △的面积之和为．【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）31．如图，V ABC 与V DEF 位似，点O 为位似中心，已知OA ：AD ＝1：2，则V ABC 与V DEF 的面积比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：9【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）32．如图1，正方形ABCD 绕中心O 逆时针旋转45°得到正方形A B C D ¢¢¢¢，现将整个图形的外围以O 为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（）A ．2B ．4+C ．6+D ．8+【题型9 求位似图形的坐标】【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）33．如图， Rt ABC △与Rt EFG △是关于y 轴上一点的位似图形，若()4,4B -，()2,1F 则位似中心的坐标为（）A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．30,2æöç÷èø【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）34．如图，在直角坐标系中，点 E (-4, 2), F (-2, -2 )，以 O 为位似中心，按 2：1 的相似比把D EFO 缩小为D E ¢F ¢O ，则点 E 的对应点 E ¢ 的坐标为 .【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）35．如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点B 的坐标为()23，，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为．【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）36．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的顶点()0,0O ，()2,0B ，已知OA B ¢¢△与OAB △位似，位似中心是原点O ，且OA B ¢¢△的面积是OAB △面积的4倍，则点A 对应点A ¢的坐标为（）A ．12æççèB ．()2或()2--C ．(4,D ．(2,或(2,--【题型10 与位似图形相关的规律】【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）37．如图，在平面直角标系xOy 中，以O 为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB 作n 次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA 1B 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变换后得到等边三角形OA 2B 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变换后得到等边三角形OA 3B 3，其边长OA 3缩小为OA 2的12，…按此规律，经第n 次变换后，所得等边出角形OA n B n ．的顶点A n 的坐标为（812，0），则n 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【变式10-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）38．如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456PA A A ……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为()3,0P -，()12,1A -，()21,0A -，()32,1A --，则顶点2024A 的坐标为（）A ．()1347,0B ．()672,675-C ．()672,675D ．()1350,0【变式10-2】（23-24九年级·山东青岛·课后作业）39．如图，正方形1111A B C D 可看成是分别以A 、B 、C 、D 为位似中心将正方形ABCD 放大一倍得到的图形（正方形ABCD 的边长放大到原来的3倍），由正方形ABCD 到正方形1111A B C D ，我们称之作了一次变换，再将正方形1111A B C D 作一次变换就得到正方形2222A B C D ，…，依此下去，作了2005次变换后得到正方形2005200520052005A B C D ，若正方形ABCD 的面积是1，那么正方形2005200520052005A B C D 的面积是多少（）A ．20053B ．20043C ．40103D ．40093【变式10-3】（23-24九年级·湖南永州·期末）40．如图，在平面直角坐标系中，正方形1112A B C A 与正方形2223A B C A 是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，点1A ，2A ，3A 在x 轴上，延长32A C 交射线1OB 与点3B ，以33A B 为边作正方形3334A B C A ；延长43A C ，交射线1OB 与点4B ，以44A B 为边作正方形4445A B C A ；…按照这样的规律继续作下去，若11OA =，则正方形2022202220222023A B C A 的面积为．1．A【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．1，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．故两人说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．D【分析】根据位似的定义，即可解决问题．【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．故选：D ．【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．3．B【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．【详解】解：A 、①和②是位似图形，则此项不符合题意；B 、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；C 、①和④是位似图形，则此项不符合题意；D 、②和④是位似图形，则此项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．4．D【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A 、ABC V 与'''A B C V 是位似关系，故此选项不合题意；B 、ABC V 与'''A B C V 是位似关系，故此选项不合题意；C 、ABC V 与'''A B C V 是位似关系，故此选项不合题意；D 、ABC V 与'''A B C V 对应边BC 和''B C 不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．5．A【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．【详解】根据题意，得位似中心为点D ，故选A ．6．D【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.7．()21，【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P ，则P 点为位似中心，然后写出P 点坐标即可．【详解】解：如图，点P 为位似中心，()21P ，．故答案为：()21，．【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．8．B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A 、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．9．D【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；∵将△ABC的三边缩小到原来的12，∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；∵面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．10．A【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．故选：A．11．C【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，故选C．12．C【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，△ABC的周长为于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+B正确；C. S△ABC=1111=22´´,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的9倍，即19=4.52´，故C错误；D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.13．B【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．【详解】解：延长A′B′交BC于点E，如图．∵在正方形ABCD 中，AC ＝，∴BC ＝AB ＝3，∵点A ′的坐标为（1，2），∴OE ＝1，EC ＝A ′E ＝3﹣1＝2，∴CE ：BC ＝2：3，∵A ′E ∥AB ，∴△A ′CE ∽△ACB ，∴CA ′：AC ＝2：3，∵正方形A B C D ¢¢¢¢与正方形ABCD 是以AC 的中点O ¢为中心的位似图形，∴AA ′＝CC ′，∴AA ′＝CC ′＝A ′C ′，∴A ′C ′：AC ＝1：3，∴正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是13．故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．14． GEH △ 12##0.5【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断ABC V 的位似图形是GEH △，然后计算OB 与OE 的比得到位似比．【详解】解：以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是GEH △，ABC V 与GEH △的位似比为12OB OE =．故答案为：GEH △，12．【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．15．13：##13【分析】本题考查了位似图形的性质．由ABC V 三个顶点(3,6)A 、(6,2)B 、(2,1)C -，以原点为位似中心，得到的位似图形A B C ¢¢¢V 三个顶点分别为(1,2)A ¢，22,3B æö¢ç÷èø，21,33C æö¢-ç÷èø，根据位似图形的性质，即可求得A B C ¢¢¢V 与ABC V 的位似比．【详解】解：∵ABC V 三个顶点(3,6)A 、(6,2)B 、(2,1)C -，以原点为位似中心，得到的位似图形A B C ¢¢¢V 三个顶点分别为(1,2)A ¢，22,3B æö¢ç÷，21,33C æö¢-ç÷ø，∴5,AB ==5,BC ==AC ==53A B ¢¢==，53B C ¢¢==，A C ¢¢=∴13A B B C A C AB BC AC ¢¢¢¢¢¢===，∴A B C ABC ¢¢¢△△∽，∴A B C ¢¢¢V 与ABC V 的位似比是：13：．故答案为：13：．16．1:2##12【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得P Q PQ ¢¢∥，P R PR ¢¢∥，Q R QR ¢¢∥，12P Q P R Q R PQ PR QR ¢¢¢¢¢¢===，得出P Q R PQR ¢¢¢V V ∽，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解．【详解】解：∵P Q R ¢¢¢，，分别是OP ，OQ ，OR 的中点，∴P Q PQ ¢¢∥，P R PR ¢¢∥，Q R QR ¢¢∥，12P Q P R Q R PQ PR QR ¢¢¢¢¢¢===，∴P Q R PQR ¢¢¢V V ∽，又∵P Q R ¢¢¢，，分别是OP ，OQ ，OR 的中点，∴点P ¢与点P ，点Q ¢与点Q ，点R ¢与点R 的连线都经过点O ，∴P Q R ¢¢¢△与PQR V 是位似三角形，其位似中心是点O ，∵12P Q P R Q R PQ PR QR ¢¢¢¢¢¢===，∴P Q R ¢¢¢△与PQR V 的位似比为1:2，故答案为：1:2．17．(1)见解析(2)1()1,A ¢-，(2,0)B ¢，(2,2)C ¢(3)(,22a b --【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）根据位似的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）由位似变换可得，点M 的横纵坐标分别除以2-，即可得点M ¢的横纵坐标．【详解】（1）解：如图，A B C ¢¢¢V 即为所求．（2）解：由图可得，1()1,A ¢-，(2,0)B ¢，(2,2)C ¢．（3）解：由题意可得，点M ¢的坐标为(,22a b --．故答案为：(,)22a b --．18．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据位似图形的定义，延长CA 到点1A ，使得12CA CA =，延长CB 到点1B ，使得12CB CB =，连结11A B ，可证明ABC V 与111A B C △位似，位似比为1:2，所以111A B C △即为所求；（2）在点C 的左侧作水平线段=5BC 个单位长度，连结AC ，在BC 上取点N ，使2BN =个单位长度，过点N 沿格点线作NM AC ∥，交AB 于点M ，根据平行线分线段成比例定理，可得32AM BM =，所以点M 就是所求的点；（3）过点A 作AE AC ^，使得AE AC =，点E 恰为格点，过点B 作BF AE ∥，使得BF AE =，点F 恰为格点，BF 与AC 交于点D ，则AC BF ^，同时可证得90ABC Ð=°，由此即可证明ABD ACB ∽△△，所以点D 就是所求的点．【详解】（1）如图，111A B C △即为所求作的三角形；（2）如图，点M 就是所求的点；（3）如图，点D 就是所求的点．19．(1)作图见解析；(2)31∶【分析】（1）由点1A A 、可得ABC V 与111A B C △的位似比为13∶，再根据位似图形的性质作图即可；（2）根据位似图形的性质即可求解；本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求；（2）解：∵131OA OA =∶∶，∴111A B C △与ABC V 的位似比为31∶，∴111A B C △与ABC V 的周长之比为31∶，故答案为：31∶．20．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用平移性质可画出CD ，利用平行四边形的性质，连接P 和AC 的中点并延长交AD 于点G ，即可得到答案；（2）根据位似图形的性质得到12CE AC =，12CF CP =，取AC 中点E 和AP 上一点G ，连接EG 并确定其中点Q ，取AP 上一点H ，连接HQ 并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形EHGM ，连接EM 并延长交BC 于点F ，根据平行线分线段成比例得到点F 为CP 的中点，则EFC V 即为所求作；（3）首先确定点P 关于AC 的对称点P ¢：取格点B ¢，连接CB ¢，B P ¢，B P ¢交AC 于点K ，连接BK 并延长交CB ¢于点P ¢，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点P P ¢、关于AC 对称；过点P ¢作AB 的垂线，确定点M N 、：取格点C ¢，使得B CC ¢¢V 为等腰三角形，连接C P ¢¢确定点J ，连接CJ 并延长确定点T ，连接P T ¢并延长，交AC 于点M ，交AB 于点N ，连接PM ，即可获得答案．【详解】（1）（2）（3）【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．21．C【分析】先由:1:2OH HD =可得:1:2OH HD =，再由矩形ABCD 与矩形EFGH 位似可得13EH OH AD OD ==，最后代入计算即可．【详解】解：∵:1:2OH HD =，∴13OH OD =，∵矩形ABCD 与矩形EFGH 位似，∴13EH OH AD OD ==∵2EH =，∴6AD =．故选C ．【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到13EH OH AD OD ==是解答本题的关键．22．B【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：以点O 为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴ABC A B C ¢¢¢∽△△，点C 、点O 、点C ¢三点在同一直线上， :1:2AO OA ¢=，∴:1:3AO AA ¢=，故选：B ．23．B【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形中位线的性质证明12D E B C ¢¢¢¢=，再推导ABC A B C ¢¢¢∽△△，且相似比为12，进而可得28B C BC ¢¢==，然后计算D E ¢¢的长度即可．【详解】解：∵DE 是ABC V 的中位线，D E ¢¢是A B C ¢¢¢V 的中位线，∴12DE BC =，12D E B C ¢¢¢¢=，∵2OA OA ¢=，2OB OB ¢=，2OC OC ¢=，∴ABC A B C ¢¢¢∽△△，且相似比为12，∴12BC B C ¢¢=，∴2248B C BC ¢¢==´=，∴142D E B C ¢¢¢¢==．故选：B ．24【分析】连接AC ，先由勾股定理求得AC =4，再根据矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，得34AF AC =，即可求出AF 长，然后由CF =AC -A 即可求解．【详解】解：如图，连接AC ，∵矩形ABCD ，∴∠B =90°∴AC ==∵矩形AEFG 与矩形ABCD 位似，点F 在矩形ABCD 的内部，且相似比为3:4，∴点F 在AC 上，∴34AF AC =34=，∴AF ，∴CF =AC -AF ，．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．25．D【分析】根据题意求出ABC V 与DEF V 的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．【详解】解：以点O 为位似中心，将ABC V 放大得到DEF V ，∴AB DE ∥，∵AD OA =，∴::1:2AB DE OA OD ==，∴ABC V 与DEF V 的位似比为1:2，∴ABC V 与的周长之比为1:2．故选：D ．【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．26．D【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得ABC DEF ∽△△，2AC OC DF OF==，然后根据相似三角形的性质解决问题，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．【详解】解：ABC QV 与DEF V 位似，点O 为位似中心．ABC DEF \V V ∽，2AC OC DF OF\==，ABC \V 的周长:DEF △的周长2:1=，ABC QV 的周长为8DEF \V 的周长为4．故选：D ．27．B【分析】由ABC V 与DEF V 是位似图形，且:1:3OA OD =知ABC V 与DEF V 的位似比是1:3，从而得出ABC V 周长：DEF V 周长1:3=，由此即可解答．【详解】解：∵ABC V 与DEF V 是位似图形，且:1:3OA OD =，ABC \V 与DEF V 的位似比是1:3．则ABC V 周长：DEF V 周长1:3=，。

人教版九年级数学下册位似图形的概念及画法)同步练习题

27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法1.下列说法正确的是（）A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形不一定是位似图形C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2.下列说法正确的是（）A. 分别在∆ABC 的边AB.AC 的反向延长线上取点D.E.使DE ∥BC,则∆ADE 是∆ABC 放大后的图形 B.两位似图形的面积之比等于位似比 C. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D. 位似图形的周长之比等于位似比的平方3.如图，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，点A 和点A 1是一对对应点，P 是位似中心，且2 P A ＝3 P A 1，则五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比等于 ( ) A 、32． B 、23． C 、53． D 、35．4.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm.且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为5.已知∆ABC.以点A 为位似中心.作出∆ADE.使∆ADE 是∆ABC 放大2倍的图形.这样的图形可以作出个。

他们之间的关系是6.如左下图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，点O 是位似中心，位似比为2：1. 若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2，周长为20 cm ，那么五边形A ′B ′C ′D ′E ′的面积为______，周长为______.第6题图第7题图7.如图，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，则△ABC 与_______是位似图形，位似比为______；△OAB 与________是位似图形，位似比为______. 8.如图, ∆OAB 与∆ODC 是位似图形。

试问:(1) AB 与CD 平行吗？请说明理由。

(2) 如果OB=3,OC=4,OD=3.5.试求∆OAB 与∆ODC 的相似比及OA 的长。

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《位似图形》专题练习一、选择题：1．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（）A．只能选在原图形的外部； B．只能选在原图形的内部；C．只能选在原图形的边上； D．可以选择任意位置。

2．已知：E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，－1）或（－2，1） B．（8，－4）或（－8，4）C．（2，－1） D．（8，－4）3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF 与△ABC的面积比是（）A．1︰2 B．1︰4 C．1︰5 D．1︰64．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝12OD′，则A′B′:AB为（）A.2:3B.3:2C.1:2D.2:1（第3题图）（第4题图）5．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．P B．O C．M D．N6. 如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE 对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A. (00)，，2 B. (22)，，12C. (22)，，2 D. (22)，，37. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)。

以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C。

设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．12a- B．1(1)2a-+ C．1(1)2a-- D．1(3)2a-+（第5题图）（第6题图）（第7题图）二、填空题：1．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是。

（只填序号）A//①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。

3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A （2，2），B （4，2），C （6，4），以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小，使变换后得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应的点的坐标为：。

4．如图，已知△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P （x ，y ）与5．如图，△AOB 以O 位似中心，扩大到△COD ，各点坐标分别为：A （1，2）、B （3，0）、D （4，0）则点C 坐标为。

6．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

若ABC △与A B C '''△（第4题图）（第5题图）（第6题图）8．如图1，正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是。

（第7题图）（第8题图）三、解答下列各题：1．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画出．．．．．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1。

2．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1︰2，若AB ＝2cm ，则A′B′是 cm ，并在图中画出位似中心O 。

3．已知△ABC 在坐标平面内三顶点的坐标分别为A(0，2)、B(3，3)、C(2，1)。

以B 为位似中心，画出与△ABC 相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是。

4．已知五边形ABCDE 和点O ，请你以O 为位似中心画五边形ABCDE 的位的图形A ′B ′C ′D ′E ′，使得相似比＝21，即21=''B A AB5．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标为)3,2(-A 、)2,3(-B 、)1,1(-C 。

（1）若将ABC ∆向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的111C B A ∆；（2）画出111C B A ∆绕原点旋转︒180后得到的222C B A ∆；（3）'''C B A ∆与ABC ∆是位似图形，请写出位似中心的坐标：；′A B C A BC′′（4）顺次连结C 、1C 、'C 、C6．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)，C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶点的坐标。

(不要求写出作法)（1）以O 为位似中心，在第三象限内作出△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比为1∶2；（2）以O 为旋转中心，将△ABC 沿顺时针方向旋转90°得到△A 2B 2C 2。

7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 就是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(11)--，。

(1)把△ABC 向左平移8格后得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1的图形并写出点B 1的坐标；(2)把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C ，画出△A 2B 2C 的图形并写出点B 2的坐标； (3)把△ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB 3C 3 。

8．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB 的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）。

（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（T A′∶TA）3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△T A′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′。

画出△T A′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标。

9．在边长为1的正方形网格中，有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P。

（1）将图案①进行平移，使A点平移到点E，画出平移后的图案；（2）以点M为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD；（3）在（2）所画的图案中，线段CD被⊙P所截得的弦长为___ ___。

（结果保留根号）10（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E 、F 在边AB 上，顶点N 在边AC 上，在正三角形ABC 及其内部，以点A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形////N P F E ，且使正方形////N P F E 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形////N P F E 的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPN ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由。

《位似图形》专题练习答案一、选择题：1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．A ； 6．C ； 7．D 。

二、填空题：3．），，（22)22(--，；4．（－2x ，－2y ）；5．)8,4(；设AG 所在直线的解析式为b kxy +=（0≠k ），∴⎩⎨⎧-==+123b b k ，解得⎩⎨⎧-==11bk∴此函数的解析式为1-=x y ，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为b kx y +=（0≠k ），⎩⎨⎧=+-=+023b k b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==b k ⎩⎨⎧-==+105b b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==151b k ， ② 联立①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=1512121x y x y 解得⎩⎨⎧-=-=25y x ，故AE 与CG 的交点坐标是（－5，－2）。

综上所述：位似中心的坐标是：（1，0）或（－5，－2）。

或经过画图探索。

解：易知位似中心应有两个，如图1、图2所示，且两位似图形的位似比即相似比为1∶2。

图1中，由△MQG ∽△MCD ，知12OG OM CD MC ==，而OC ＝3，所以OM ＝1，即M(1，0)。

图2中，由△MEO ∽△MAD ，知12OM OE MD AD ==，即M 为MD 中点，所以M 、D 两点关于原点中心对称，又D 点坐标为(－5，－2)，故M 点坐标为(－5，－2)。

故这两个正方形的位似中心的坐标是(1，0)或(－5，－2)。

图1 图2三、解答下列各题：1．解：分别延长AO、BO到A′、B′，使OA′︰OA＝OB′︰OB＝2︰1。

2．解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形∴△ABC∽△A′B′C′∵位似比是1︰2∴AB︰A′B′＝1︰2∵AB＝2cm∴A′B′＝4cm。

位似中心如图，点O即为所求。

3．解：所画图形如下所示。

它的三个对应顶点的坐标分别是：（－6，0）、（3，3）、（0，－3）。

4．解：画出图形如下：五边形A′B′C′D′E′为所求的五边形。

5.（1）如图；（2）如图；（3）(0, 0)；（4）轴对称图形。

6．7．解：（1）画出的△A 1B 1C 1如图所示，点B 1的坐标为（－9，－1）；（2）画出的△A 2B 2C 的图形如图所示，点B 2的坐标为（5，5）；（3）画出的△AB 3C 3的图形如图所示。

（注：其余位似图形画正确者相应给分。

）8．（1）如图，A′的坐标为（4，7），B′的坐标为（10，4）；（2）C ′的坐标为（3a －2，3b －2）。

9．解：⑴平移后的图案，如图所示；⑵放大后的图案，如图所示；⑶线段CD 被⊙P 所截得的弦长为32。

10．解：（1）如图①，正方形////N P F E 即为所求。

（2）设正方形////N P F E 的边长为x 。

∵△ABC 为正三角形， ∴x BF AE 33==。

∴33332+=+x x 。

∴333332339-=++=x （没有分母有理化也对， 2.20x ≈也正确）（3）如图②，连接NE ，EP ，PN ，则︒=∠90NEP 。

设正方形DEMN 、正方形EFPH 的边长分别为m 、n ）（n m ≥，它们的面积和为S ，则m NE 2=，n PE 2=。

∴ )(2222222222n m n m PE NE PN+=+=+=。