九年级数学上册：位似图形练习
北师大版九年级上数学《第四章图形的相似》专题练习（含答案）
图形的相似专题练习1．已知△ABC∽△DEF，AB＝1，BC＝3，EF＝5，则△ABC与△DEF的面积比是()A．1∶9 B．1∶25C．9∶25 D．3∶52．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()图2A．4∶9 B．2∶5C．2∶3 D．2∶ 33．如果3A＝2B(AB≠0)，那么下列比例式中正确的是()A．ab＝32B．ba＝23C．a2＝b3D．a3＝b24．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥B C．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为()图4A．3 B．6C．9 D．125．在下面的图形中，相似的一组是(),A) ,B),C) ,D)图56．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(),A) ,B),C) ,D)图67．为测量某河的宽度，小在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于()图7A．120 m B．67.5 mC．40 m D．30 m8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(),A) ,B),C) ,D)图89．如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥B C ．如果ADDB ＝32，AC ＝10，那么EC ＝________．图910．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．图1011．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上，若CD ＝3.2 cm ，则AB 的长为_________ cm.图1112．如图，已知矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，剪去正方形ABEF ，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为__________．图1213．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．图1314．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．图1415．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC ＝90°.(1)求证：△ADE∽△BEC；(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．图1516．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.(1)求证：△ABF∽△BGC；(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．图1617．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：(1)DG2＝BG·CG；(2)BG·CG＝GF·GH.图1718．如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．图1819．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．图1920．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC 相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__(直接填在横线上)；(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．,图1),图2),图3)图20参考答案【过关训练】1．C2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．D 9．__4__10．__10__11．_9.6__12．_1＋52__13．(－2，0)_14．解：(1)如答图，△OA1B1为所作，点A1，B1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)；(2)如答图，△O2A2B2为所作，点A2，B2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)；(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形，如答图，点M为所，位似中心M的坐标为(－4，2)．15．[解：(1)证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BE C．(2)∵△ADE∽△BEC，∴BEAD＝BCAE，即BE1＝32，∴BE＝3 2，∴AB＝AE＋BE＝7 2.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCG＝90°.∵BF⊥AE，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠CBG＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，∴△ABF∽△GB C．(2)∵△ABF∽△BG C．∴ABBG＝AFBC.∵AB＝2，G是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴BC＝2，CG＝1，∴BG＝BC2＋CG2＝5，∴25＝AF2，解得AF＝45 5.17．证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，∴∠BDC＝∠DGC＝90°，∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，∴∠GDC＝∠DBC，∴△BDG∽△DCG，∴BG∶DG＝DG∶CG，即DG2＝BG·CG.(2)同(1)中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，∴BG∶GF＝GH∶CG，∴BG·CG＝GF·GH.18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC＝ADAB，即AE1.5＝1.22，解得AE＝0.9 m，∴EC＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 19．解：设AH＝x，BH＝y，由题意知，△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，∴BFHF＝CBAH，DGHG＝DEAH，∴3x＝1.5×(y＋3)，5x＝1.5×(y＋30＋5)，解得x＝24.则旗杆AH的高度为24 m.20．__△APD∽△CDQ__解：(2)成立，如答图．理由如下：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BC A．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ. (3)△APD∽△DPQ.理由如下：∵△APD∽△CDQ，∴APCD＝DPDQ.∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，∴APAD＝DPDQ，即APDP＝ADDQ.又∵∠P AD＝∠PDQ＝30°，∴△APD∽△DPQ.(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可．理由：∵∠ABC＝180°－2α，∴∠A＝∠C＝α.∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，∴∠APD＝∠CDQ.又∵∠A＝∠C，∴△APD∽△CDQ.。
九年级数学上册 1.4 图形的位似 如何画位似图形素材 (新版)青岛版
如何画位似图形位似变换是新课程标准中涉及的一个重要知识点，它是图形变换的一种，实际上它是相似变换的一种特殊情形，存在位似中心———即对应顶点连线的交点．其位似比就是相似比．作为一个新的知识点，越来越受到中考命题者的青睐．图形放大、缩小通常用位似变换的思想作图，位似中心的位置可在图形顶点处、图形边上、图形内部、图形外部．本文以一道中考题为例介绍几种常见画法，供同学们参考．（锦州）如图1，己知四边形ABCD ，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1:2．画法一：延长AD 到1D ，使1DD AD =，延长AC 到点1C ，使1CC AC =，延长AB 到点1B ，使1BB AB =，连接11D C ，11C B ，则四边形1111A B C D 即为所求（如图2）． 说明：延长AD 得到1D 后，也可以过点1D 作11D C DC ∥，交AC 的延长线于1C ，再过点1C 作11B C BC ∥，交AC 的延长线于1B ，得到四边形1111A B C D ．画法二：延长DA 到点1D ，使12AD AD =，延长CA 到点1C ，使12AC AC =，延长BA 到点1B ，使12AB AB =连接11B C ，11C D ，则四边形1111A B C D 即为所求（如图3）．画法三：任取一点O ，连接OA 并延长到点1A ，使1AA OA =，连接OB 并延长到点1B ，使1BB OB =、连接OC 并延长到点1C ，使1CC OC =，连接OD 并延长到点1D ，使1DD OD =，顺次连接11A B ，11B C ，11C D ，11D A ，则四边形1111A B C D 即为所求（如图4）． 运用这些作图方法可以解决不少数学问题．现举例说明：例 如图5，在给定的锐角ABC △中，求作一个正方形DEFG ，使D E ，落在BC 上，F G ，分别落在AC AB ，边上，要求写出画法． 画法：第一步：画一个有三个顶点落在ABC △两边上的正方形D E F G ''''（如图5）；第二步：连接BF '并延长交AC 于点F ；第三步：过F 点作FE BC ⊥，垂足为点E ；第四步：过F 作FG BC ∥交AB 于点G ；第五步：过G 作GD BC ⊥，垂足为点D ．四边形DEFG 即为所求的正方形．（如图5）想一想：为什么四边形DEFG 是正方形？请读者思考．。
2019年秋九年级数学上册3.6位似第1课时位似图形的概念及画法分层作业
3.6 位似第1课时 位似图形的概念及画法1．如图366所示是△ABC 的位似图形的几种画法，其中画法正确的个数为( )图366A ．1B ．2 C.3D ．42．如图367，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB ＝( )图367A ．2∶3B ．3∶2 C.1∶2D ．2∶13．如图368，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ′B ′C ′，已知OB ＝3OB ′，则△A ′B ′C ′与△ABC 的周长比为( )图368A ．1∶3B ．1∶4C.1∶5 D ．1∶94．[2018·青海]如图369，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且OE EA ＝43，则FGBC＝________.图3695．如图3610，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且位似比是1∶2.若AB ＝2 cm ，则A ′B ′＝________ cm ，请在图中画出位似中心O .图36106．[2018春·邕宁区校级期中]如图3611，以点O 为位似中心，将四边形ABCD 放大为原来的2倍(只需画出一种情况即可)．图36117．图3612中小方格是边长为1的正方形，△ABC 与△A ′B ′C ′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心O ；(2)求△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比．图36128．[2018·安徽]如图3613，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是________个平方单位．图3613 参考答案1．D 2.D 3.A 4.47 5.46．略 7.(1)略 (2)1∶2 8．(1)略 (2)略 (3)20。
(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF 与DAF △的面积之比为（ ）A ．2:5B ．3:5C ．4:25D ．9:25 2．如图，////AB CD EF ，若3BF DF =，则AC CE 的值是（ ）A ．2B ．12C ．13D ．33．点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB AB AC =＝k ，那么k 的值为（ ） A ．512+ B ．51- C ．5＋1 D ．5－1 4．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足512MG GN MN MG -==，后人把512-这个数称为“黄金分割数”，把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”，则△ADC 的面积为（ ）A ．55B ．355C ．205-D ．1045-5．若2x ＝5y ，则x y的值是（ ） A ．25 B ．52 C ．45 D ．546．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是（ ）A ．∠C ＝∠AEDB ．∠B ＝∠DC ．AB BC AD DE = D ．AB AC AD AE = 7．若275x y z ==，则2x y z x z +-+的值是（ ） A ．67 B ．13C ．49D ．4 8．若34,x y =则x y=（ ） A ．34 B ．74 C ．43D ．73 9．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），2AB =，那么AP 的长约为（ ）A ．0.618B ．1.382C ．1.236D ．0.764 10．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记PA x =，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，E 是平行四边形ABCD 的BA 边的延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．下列各式：①AE AB ＝AF BC ；②AE AB ＝AF DF ；③AE AB ＝FE FC；④AE BE ＝AF BC ．其中成立的是（ ）A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④ 12．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DC AB AC= D ．2AC BC CD =⋅ 二、填空题13．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．14．如图，已知在Rt ABC 中，C 90∠=︒，AC 3=，BC 4=，分别将Rt ABC 的三边向外平移2个单位并适当延长，得到111A B C △，则111A B C △的面积为______．15．如图，直线122y x =-+与坐标轴分别交于点,A B ，与直线12y x =交于点,C Q 是线段OA 上的动点，连接CQ ，若OQ CQ =，则点Q 的坐标为___________．16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,6)A ，(8,0)B ，点C 是线段AB 的中点，过点C 的直线l 将AOB 截成两部分，直线l 交折线A O B --于点P ．当截成两部分中有三角形与AOB 相似时，则点P 的坐标为__________．17．在Rt △ABC 中，AB =6，AC =5，点D 在边AB 上，且AD =2，点E 在边AC 上，当△ADE ∽△ABC 时，AE =____．18．已知点P 在线段AB 上，且AP ∶PB =2∶3，则PB ∶AB =____．19．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．20．如图所示，在矩形ABCD 中，3AB =6BC =E 在对角线BD 上，且1.8BE =，连结AE 并延长交DC 于点F ，则CF CD=________．三、解答题21．如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =．将ADE 沿AE 翻折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．（1）求证：BG GC =；（2）求CFG △的面积．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AC 上一点，射线BE 与CD 的延长线交于点P ，与边AD 交于点F ，连接FC ．（1）若∠ABF ＝∠ACF ，求证：CE 2＝EF •EP ；（2）若点D 是CP 中点，BE ＝23，求EF 的长．23．体验：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点M 在BC 边上，当∠AMD ＝90°时，可知△ABM △MCD （不要求证明）．探究：如图2，在四边形ABCD 中，点M 在BC 上，当∠B ＝∠C ＝∠AMD 时，求证：△ABM ∽△MCD ．拓展：如图3，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠B ＝∠C ＝∠DME ＝45°，BC ＝2CE ＝6，求DE 的长．24．如图，Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，P 为ABC 内部一点，且135APB BPC ∠=∠=︒．（1）求证：PAB PBC △∽△；（2）若2PA =，求PB ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为123,,h h h ，请直接写出123,,h h h 之间满足关系．25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,3),(2,1)A B C ----．（1）画出ABC 关于原点O 成中心对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在x 轴上方画出ABC 放大2倍后的222A B C △，并直接写出点2C 的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点为()()()2,1,1,3,4,1A B C ，若111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，且1A 的坐标为()4,2，请画出111A B C △，并给出顶点11,B C 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，进而得出△DEF ∽△BAF ，再利用相似三角形的性质可得35EF DE AF BA ==，然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠EDF=∠ABF ，∠DEF=∠BAF ，∴△DEF ∽△BAF ．∵DE ：EC=3：2， ∴33325DE BA ==+， ∴35EF DE AF BA ==， 设点D 到AE 的距离为h ， ∴D 132152DEF AF EF h S S AF AF E h F ⋅===⋅． 故选择：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比．2．A解析：A【分析】由BF=3DF ，得BD=2DF ，使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】∵BF=3DF ，∴BD=2DF ，∵////AB CD EF ， ∴AC CE =BD DF ， ∴AC CE =2DF DF=2， 故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是定理的对应关系是解题的关键.3．B解析：B【分析】设AC=1，由题意得AB=k ，BC=2k ，由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程，解方程即可．【详解】设AC=1， ∵BC AB AB AC==k ，且0k >， ∴AB=k ，BC=2k ，∵AC=AB+ BC=1，∴21k k +=，即210k k +-=，∵1a =，1b =，1c =-，()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>，∴12k -±=(负值舍去)，∴k = 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键．4．A解析：A【分析】作AF ⊥BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度，利用三角形面积公式即可解题．【详解】解：过点A 作AF ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BF=12BC=2， 在Rt ABF ，AF=2222325AB BF -=-=，∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴51CD BC -=即514CD -=， 解得CD=252-，∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()125252⨯-⨯=55-， 故选：A ．【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DC 和AF 的长是解题的关键．5．B解析：B【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．【详解】解：∵2x ＝5y ，∴52x y =． 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质）．6．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．7．C解析：C【分析】 根据275x y z k ===，则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ，代入2x y z x z+-+进行计算即可． 【详解】 解：275x y z k ===（k≠0）， 则x ＝2k ，y ＝7k ，z ＝5k ， ∴2x y z x z+-+＝2754495k k k k k +-+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．8．C解析：C【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．9．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义，由题意知AP 是较长线段；则AP=15-+AB ，代入数据即可． 【详解】解：∵线段AB=2，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >）， ∴AP=15-+AB=15-+≈1.236 故选：C 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．10．A解析：A【分析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD ，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式，从而得解．【详解】解：①当点P 在AB 上运动时，D 到PA 的距离8y AD ==，∴当06x ≤≤时，8y =，②当P 在BC 上运动时，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD ，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴AB AP DE AD=，即：68x y =， ∴当610x <≤时，48y x =，∴()()80648610x y x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩， 即当06x ≤≤时，函数图象为平行于x 轴的线段，且8y =；当610x <≤时，函数图象为反比例函数，故选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点Ｐ的位置分情况讨论．11．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，AB=CD ，由△AEF ∽△DCF 得到AE AF EF CD DF FC ==，用AB 等量代换CD ，得到AE AF EF AB DF FC==；再利用AF ∥BC ，由△AEF ∽△BEC 得AE AF BE BC=，由此可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB=CD ；∴△AEF ∽△DCF ， ∴AE AF EF CD DF FC ==，而AB=CD ， ∴AE AF EF AB DF FC== ∴②③正确；又∵AF ∥BC ，∴△AEF ∽△BEC ， ∴AE AF BE BC=， ∴④正确，①不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②AD DC AB AC=； 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m ）BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP ，根据相似三角形的性质求出AP ，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ，∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =， 解得，AP=1.2（m ）， 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．54【分析】作于点D 作于点E 作于点F 分别证明△和△求出和再根据三角形面积公式求解即可【详解】解：作于点D 作于点E 作于点F ∵三边向外平移个单位∴∵∴∠且∠∴△∴又∵∠且∠∴△∴∴∴又∵△∴∴∴【点睛】 解析：54【分析】作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，分别证明△ACB BFG ∆∽和△1GHB ACB ∆∽，求出11A C 和11B C ，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，∵Rt ABC ∆三边向外平移个单位，∴1=22,2,C D CD BE GH BF ====，∵11//AB A B∴∠ABC AGC =∠且∠90ACB BFG =∠=︒∴△ACB BFG ∆∽ ∴103BG = 又∵∠11B A GC ABC =∠=∠，且∠190GHB ACB =∠=︒∴△1GHB ACB ∆∽ ∴1AC GH BC B H= ∴183B H = ∴1111C B CD DE EH HB =+++1082433=+++12=又∵△111ABC A B C ∆∽ ∴1111AC B C AC BC= ∴119A C = ∴111111112A B C S AC B C ∆=⨯⨯ 11292=⨯⨯ 54=【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，能正确作出辅助线证明三角形是解答此题的关键．15．【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为（21）从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最 解析：5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】122y x =-+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为（2，1）从而可判断点C 是AB 的中点，所以OC=AC ，从而得到∠AOC=∠OAC ，又因为OQ CQ =，所以∠AOC=∠OCQ ，从而可判断△OCQ ∽△OAC ，再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA =，最后把数值代入求出OQ 的长，从而得到Q 点的坐标．【详解】解：如图所示，依题意得：12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（2，1） 对于直线122y x =-+，令x=0，解得y=2， 令y=0，解得x=4．∴点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，2）．∴点C 是AB 的中点．∵△OAB 为直角三角形，∴OC=AC ，∴∠AOC=∠OAC ，∵OQ CQ =，∴∠AOC=∠OCQ ，∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC ，∴△OCQ ∽△OAC ， ∴OQ OC OC OA = 又∵△OAB 为直角三角形，OA=4，OB=2，∴222224AB OB OA =+=+=25 ∴OC=AC=12AB =5 ∴55=， 解得：OQ=54， ∴点Q 的坐标为（54，0）．故答案为：（54，0）． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．16．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形 解析：(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论，当PC OA ⊥时，则//,PC OB 则APC AOB ∽，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△，当CP OB ⊥时，则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可．【详解】解：()()06,8,0,A B ， 点C 是线段AB 的中点， 226,8,6810,OA OB AB ∴===+= 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时，则//,PC OB ∴ APC AOB ∽，,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=， ()3,0,3,AP P ∴=如图，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△，,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图，当CP OB ⊥时，则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上：()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为：()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 17．【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【详解】解：∵△ADE ∽△ABC ∴即解得：AE ＝；故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的性质掌握相似三角形的性质是解题的关键 解析：53【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解，即可求得答案．【详解】解： ∵△ADE ∽△ABC ， ∴AD AE AB AC=，即265AE =， 解得：AE ＝53； 故答案为：53． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的性质是解题的关键．18．3∶5（或）【分析】根据比例的性质直接求解即可【详解】解：由题意AP:PB=2:3∴PB:AB=PB:(AP+PB)=3:(2+3)=3:5；故答案是：3:5（或）【点睛】本题主要考查比例问题关键是解析：3∶5（或35） 【分析】根据比例的性质直接求解即可．【详解】解：由题意AP:PB=2:3，∴PB :AB = PB :(AP+PB)=3:(2+3)=3:5；故答案是：3:5（或35）． 【点睛】本题主要考查比例问题，关键是根据比例的性质解答． 19．【分析】设正方形网格的边长为1根据勾股定理求出△EFD △ABC 的边长运用三边对应成比例则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC 即可解决问题【详解】解：设正方形网格的边长为1由勾股定理得：D【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC ，即可解决问题．【详解】解：设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∴DE＝EF ＝同理可求：AC ，BC∵DF ＝2，AB ＝2，∴1EF DE DF BC AB AC ===∴△EDF ∽△BAC ，∴DEF 与ABC，．【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得：则∴ 解析：13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度，得到DE 的长，根据相似三角形的性质得到对应线段成比例，计算可求出DF 的长，求出CF ，计算得出CF 与CD 的比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒， ∵AB ==BC ∴3BD ==．∵ 1.8BE =，∴3 1.8 1.2DE =-=．∵//AB CD ，∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==，解得：DF =，则CF CD DF =-=∴13CF CD ==． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）18 5【分析】（1）由条件可以求出ED的值，设FG=x，则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理可以求出x的值，从而可以求出BG和CG的值，得出结论．（2）过点F作FN⊥CG于点N，可以得出∠FNG=∠DCG=90°，通过证明△GFN∽△GEC，得出GF FNGE EC=，可以求出FN的值，最后利用三角形的面积公式可以求出其面积．【详解】解：（1）证明：∵AB=6，CD=3DE，∴DC=6，∴DE=2，CE=4，∴EF=DE=2，设FG=x，则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得，42+（6-x）2=（x+2）2，解得x=3，∴BG=FG=3，CG=6-x=3，∴BG=CG．（2）过点F作FN⊥CG于点N，则∠FNG=∠DCG=90°，又∵∠EGC=∠EGC，∴△GFN∽△GEC，∴GF FN GE EC=，∴354FN =，∴FN=125，∴S△CGF=12CG•FN＝112325⨯⨯=185．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及三角形面积公式的运用．在解答中注意相似三角形的对应顶点在对应的位置．22．（1）见解析；（2）EF=【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF BPC =∠，又∠ABF ＝∠ACF ，可得ACF BPC ∠=∠，又FEC PEC ∠=∠可证△FEC CEP ∆∽，从而可得结论；（2）证明△PFD PBC ∆∽得1122DF BC AD ==，由∠,AEB PEC ABE BPC =∠∠=∠可证明△ABE CPE ∆∽可求得PE =EF EP PF =-可得结论．【详解】解：（1）由题可知，∠ABF ＝∠ACF ，又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD∴∠ABF BPC =∠∴∠ABF ACF BPC =∠=∠∴∠,ACF BPC FEC PEC =∠∠=∠∴△FEC CEP ∆∽ ∴CE EP EF CE= 即CE 2＝EF •EP ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC∴△PFD PBC ∆∽ ∴FD PD BC PC= ∵D 是CP 的中点， ∴PD=12PC ∴12FD BC = ∴1122DF BC AD == 即F 为AD 的中点，F 为BP 的中点∵∠,AEB PEC ABE BPC =∠∠=∠∴△ABE CPE ∆∽ ∴12BE AB PE CP ==∴22PE BE ==⨯=∴12EF EP PF BP =-= 1()2BE EP =+==故EF =【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想．23．体验：∽；探究：△ABM ∽△MCD ；拓展：DE ＝103 【分析】体验：根据同角的余角相等得到∠BAM=∠DMC ，根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°，根据两角相等的两个三角形相似证明结论；探究：根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明；拓展：根据相似三角形的性质求出BD ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：体验：∵∠AMD ＝90°，∴∠AMB +∠DMC ＝90°，∵∠B ＝90°，∴∠AMB +∠BAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DMC ，∵AB ∥CD ，∠B ＝90°，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴△ABM ∽△MCD ，故答案为：∽；探究：∵∠AMC ＝∠BAM +∠B ，∠AMC ＝∠AMD +∠CMD ，∴∠BAM +∠B ＝∠AMD +∠CMD ．∵∠B ＝∠AMD ，∴∠BAM ＝∠CMD ，∵∠B ＝∠C ，∴△ABM ∽△MCD ；拓展：同探究的方法得出，△BDM ∽△CME ， ∴BD CM ＝BM CE，∵点M 是边BC 的中点，∴BM ＝CM ＝，∵CE ＝6，∴＝6， 解得，BD ＝163， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，∴AC ＝AB ＝2BC ＝8， ∴AD ＝AB ﹣BD ＝8﹣163＝83，AE ＝AC ﹣CE ＝2，在Rt △ADE 中，DE 103． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解本题的关键是判断出△ABM ∽△MCD ．24．（1）见解析；（23）2123h h h =⋅【分析】（1）根据45PBA PBC PAB PBA ∠+∠=∠+∠=︒，利用两角分别相等的两个三角形相似即可证得结果；（2）由题意可得AB BC =1）的结论可得，AB PA BC PB=，从而即可求得PB ； （3）根据两角分别相等的两个三角形相似，可证得Rt AEP Rt CDP △△∽，求得322h h =，由PAB PBC △∽△可得32h ，从而得出结论．【详解】（1）∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴45ABC PBA PBC ∠=︒=∠+∠，又∵135APB ∠=︒，∴45PAB PBA ∠+∠=︒，∴PBC PAB ∠=∠，又∵135APB BPC ∠=∠=︒，∴PAB PBC △∽△；（2）由题可知，△ABC 为等腰直角三角形，∴AB BC=由（1）可知，AB PA BC PB =， ∴222BC PB PA AB ==⨯=； （3）如图，过点P 作PD BC ⊥，PE AC ⊥，PF BA ⊥，∴1PF h =，2PD h =，3PE h =，∵135135270CPB APB ∠+∠=︒+︒=︒，∴90APC ∠=︒，∴90EAP ACP ∠+∠=︒，又∵90ACB ACP PCD ∠=∠+∠=︒，∴EAP PCD ∠=∠，∴Rt Rt AEP CDP △∽△，由（1）可进一步得出，2PA PB =，2PB PC =， ∴2PA PC =，∴2PE AP DP PC==，即322h h =， ∴322h h =，∵PAB PBC △∽△，∴122h AB h BC== ∴122h h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=，即：2123h h h =⋅．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．25．（1）画图见解析；1(2,1)C -；（2）画图见解析；2(4,2)C -．【分析】（1）根据题意得到A ，B ，C 关于原点O 的对称点连接即可；（2）根据位似图形的作图方法作图即可；【详解】解：（1）根据题意可得()11,3A -，()12,3B ，()12,1C -，如图，1(2,1)C -， （2）根据题意可得，()22,6A -，()24,6B ，()24,2C -连接即可，如图，2(4,2)C -．【点睛】本题主要考查了旋转变换和位似变换，准确作图是解题的关键．26．见解析，11(),(2,6)8,2B C【分析】根据点A 、1A 的坐标求出位似比为2：1，再利用位似图形的性质得出对应点的位置即可得出答案．【详解】111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形，点A 坐标为()2,1，点1A 的坐标为()4,2∴111A B C △与ABC 的位似比为2：1∴如图所示：111A B C △即为所求；11(),(2,6)8,2B C .【点睛】本题考查了位似三角形的性质，在直角坐标系中作位似图形，解题关键是熟练掌握位似的性质．。
九年级数学上册第四章图形的相似8图形的位似位似图形及其画法1
12/11/2021
第二十三页，共二十三页。
第十五页，共二十三页。
解：(1)BC∥DE.理由：∵△ACB 与△ AED 是位 似图形，∴△ACB∽△AED，∴∠B＝∠D，∴ BC∥DE (2)△ ACB 与△ AED 的相似比为34 ， AC＝281
第十六页，共二十三页。
13．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位
A．12
B．13
C．2 D．3
第2题图
第四页，共二十三页。
3．图中两个四边形是位似图形(túxíng)，它们的位似中心是( )D A．点M B．点N C．点O D．点P
第3题图
第五页，共二十三页。
4．如图，点O是等边△PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与
似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个(yī ɡè)△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于2.5∶1.
解：(1)略 (2)相似(xiānɡ sì)比为1∶2 (3)略
第十七页，共二十三页。
14．在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们(rén men)欣
则CADB
＝_2___． 5
第7题图
第九页，共二十三页。
8．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在( )
A．原D图形的外部 B．原图形的内部(nèibù) C．原图形的边上 D．任意位置
第十页，共二十三页。
9．如图所示的是△ ABC 位似图形的几种画法， 其中正确的画法有( D )
青岛版2020九年级数学上册第一章图形的相似单元综合基础过关练习题(附答案详解)
22．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
27．在如图所示的两个相似的四边形中，求x，y，∠α的值．
28．如图所示，两个四边形相似，求未知数x，y和角度α的大小．
29． 中， ， ， ， 、 分别为 ， 上的两动点， 从点 开始以 的速度向点 运动， 从点 开始以 的速度向点 运动，当一点到达终点时， 、 两点就同时停止运动．设运动时间为 ．
4．如图1，在三角形纸片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
5．若一对相似三角形的相似比为 ，则这对三角形的面积比为（）
A．1:3B．3:1C．1:9D．1:
6．如图，在 中，点D为AC边上一点， 则CD的长为（）
解得：r＝5．
答：小桥所在圆的半径为5米．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，勾股定理以及垂径定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
4．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
17．两角分别相等的两个三角形___________．
九年级数学图形的相似(带标准答案)
第3章图形的相似【经典例题】1.（2014湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A ．(2，0)B ．(23，23)C ．(2，2)D ．(2，2)【解析】由已知得，E 点的坐标就是点A 坐标的2倍．【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．2.(2014山东日照，8，3分)在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FDBF的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 解析：如图，由菱形ABCD 得AD ∥BE,，所以△BEF ∽△ADF, 又由EC =2BE ,得AD=BC=3BE ,故FD BF =AD BE =31. 解答：选B ．点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.3.（2014·湖南省张家界市·10题·3分）已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为 ．【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根.【解答】ABC △与DEF △的相似比为254=52. 【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.4.（2014山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE ∽△CDF 。
由于∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF ∽△ACE 。
解：（1）在△BDE 和△CDF 中∠BDE=∠CDF ∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE ∽△CDF ． （2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A=∠A ，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF ∽△ACE ． 【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACEA B CDF E（第6题）y xAOCBD EF【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA ，AAS 、ASA 、SAS 等．5.(2014贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD=1，BC=3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为___________．【解析】由题意知AD ∥BC ，所以∠OAD=∠OCB ，∠ODA=∠OBC ，所以△OAD ∽△OCB ．又AD=1，BC=3，所以△OAD 与△OCB 的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD 的面积为3，所以△BOC 的面积为27． 【答案】27．【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．6.（2014贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，=，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）A ． 9B ． 10C ． 12D ． 13解析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S 四边形BCFE =8代入求出即可．解：∵=， ∴==，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∴==，∴9S △AEF =S △ABC ， ∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ， 解得：S △ABC =9． 故选A ．答案： A点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．7.（2014南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10厘米，CD=6厘米，E 为AD 上一点，且BE=BC,CE=CD ，则DE= 厘米.CAE解析：△BCE 与△CDE 均为等腰三角形，且两个底角∠DEC=∠BCE ，∴△BCE ∽△CDE ，∴CD BC =DECE,∴610=DE6,∴DE=3.6厘米. 答案：3.6.点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.8.(2014山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点,连结AE ，作BF ⊥AE ，垂足为H ,交CD 于F ,作CG ∥AE ,交BF 于G .(1)求证CG =BH ; (2)FC 2=BF·GF ;(3) 22AB FC =GBGF .解析：(1)可证△ABH ≌△BCG ；(2)证△CFG ∽△BFC 可得；(3)先证△B CG ∽△BFC 得BC 2=BF·BG ,结合AB=BC 可得. 证明： （1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE , CG ⊥BF , ∴ CG ⊥BF .∵在正方形ABCD 中，∠ABH+∠CBG =90o, ∠CBG+∠BCG =90o,∠BAH+∠ABH =90o,∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG,AB=BC,∴△ABH ≌△BCG , ∴CG=BH ;(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o,∴△CFG ∽△BFC , ∴FCGFBF FC =, 即FC 2=BF ·GF ;(3) 由（2）可知，BC 2=BG ·BF , ∵AB=BC ,∴AB 2=BG ·BF ,∴22BC FC =BF BG BF FG ••=BGFGAF即22AB FC =GBGF 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.9.(2014海南省，12，3分）12、如图3，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB ，于点D ，则图中相似三角形共有（ ）CDBAA 、1对B 、2对C 、3对D 、4对【解题思路】由射影定理可知图中相似三角形共有三对：△BDC ～△BCA ～△CDA 【答案】C ．【点评】本题主要考查相似三角形基本图形中的一种，也是很重要的一种：射影定理。
北师大版数学九年级上册图形的位似(共28张)
E
B
· CC′、DD′ 、EE′是否也都经 O
过点O？
C
D
D
C
OA , OB , OC , OD , OE 有什么关系？ A
OA OB OC OD OEOA Oຫໍສະໝຸດ OC ODA EB
E
B
· OA OB OC OD O OE AB
C
D
D
C
k.
OE AB
合作探究
A
位似图形的概念
一般地，如果两个类
突破重难点
1.对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经 过某种变换得到新图形上的对应点P′， Q′，保持PQ=P′Q′，我们把这种变换称 为“等距变换”，下列变换中不一定是等 距变换的是（ D ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
2.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方 形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且类 似比为 1 ，点A，B，E在x轴上，若正方形
3
BEFG的边长为6，则C点坐标为（ A ） A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
3.已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的顶点E、F在 边AB上，顶点N在边AC上． （1）如图，在正三角形ABC及其内部，以点A为位 似中心，画出正方形EFPN的位似正方形 E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积 最大（不写画法，但要保留画图痕迹）； （2）若正三角形ABC的边长为 3+2 3 ，则（1）中 画出的正方形E′F′P′N′的边长为______3__.
2．选取一个图形，在图形外取一点．
3．将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把 一只铅笔固定在橡皮筋的另一端．
4．拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形 的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈 时，铅笔就画出了一个新的图形．
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九年级数学上册：位似图形练习
1 .下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
其中正确命题的序号是是（）
A．②③B．①②C．③④D．②③④
=2,四边形A′B′C′D′和四边形2．如图,四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似,位似比k
1
=1．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比A″B″C″D″位似,位似比k
2
是多少？
3．如图,五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形,且位似比为,若五边形ABCDE 的面积为18cm2,周长为21cm,那么五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2,周长为cm．。