苏教版必修4 3.2 二倍角的三角函数
2
解法1:由倍角公式 cos 2a 1 - 2sin a ，得
1 - cos 2a sin a . 2
2
于是原式
1 - cos(2a - ) 1 - cos(2a + ) 1 - cos 2a 3 3 + 2 2 2 1 1 - cos(2a - ) + cos(2a + ) - cos 2a 2 2 3 3 1 1 1 - (2cos 2a cos - cos 2a ) . 2 2 3 2
sin
2
a
2
1 - cos 2a sin a ; 2 1 + cos 2a 2 cos a ; 2 1 - cos 2a 2 tan a . 1 + cos 2a
半角公式： a 1 - cosa
2 2
;
1 + cosa cos ; 2 2 1 - cosa tan . 2 1 + cosa
必修4 第三章 三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
一、复习回顾，引入课题
两角和与差的正弦和余弦公式:
cos(a - b ) = cos a cos b + sin a sin b ; cos(a + b ) = cos a cos b - sin a sin b ;
sin(a - b ) = sin a cos b - cos a sin b ;
2 4
a
是 的二倍 …… 3 6
a
2
等都是适用的，要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关 系，才能熟练地应用好二倍角公式.
(3)公式 T 2α 成立的条件是
k a k + , 且 a + , k Z. 2 4 2
（4）注意公式的正用、逆用、变形用，熟悉倍角与
二次的关系：扩角----降幂，缩角----升幂. 1 + cos 2a 2 cos a , 注意角和幂指 2
12 2 119 cos 2a 1 - 2sin a 1 - 2 ( ) , 13 169
2
把 不 同 的 角 化 为 相 同 的 角
例2 求证：
分析：等式左边较繁，故对左边化简，并注意将 2 的三角函数化成 的三角函数.
2 1 + 2sin cos (1 2sin ) 证明： 左边＝ 1 + 2sin cos + (2cos 2 - 1) 2sin (cos + sin ) tan 右边. 2cos (cos + sin )
2 + 2tan a - 2tan 2a 2 - 4 - 2 4 ＝ ＝ ＝ - 2. 2 1 + tan a 1+ 4
练习： 2 2 cos - sin - 1 3 2 已知 sin 2 ，且 0 2 ，求 的值. 5 2
解法一 ：0 2
2
, 所以0
a
【总结提升】 1.对公式的四点说明 (1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
a (2)半角公式给出了求 的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只 2 a a a 需知道cos α 的值及相应α 的条件，sin ,cos , tan 便可求出. 2 2 2
a sin a (3)由于 tan 及 tan a 1 - cos a 不含被开方数，且不涉 2 1 + cos a 2 sin a
练习：若点P(cos α ，sin α )在直线y＝-2x上，则sin 2α ＋
2cos 2α ＝______.
【解析】因为P(cos α，sin α)在y＝－2x上，
所以sin α＝-2cos α，即tan α＝－2. 所以sin 2α＋2cos 2α＝
2tana 1 - tan 2a ＋2 2 1 + tan a 1 + tan 2a
及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公
式成立的条件.
a (4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用 sin 2
2
1 - cos a 1 + cos a 2 a ，cos . 2 2 2
例1 化简 sin (a 2
) + sin (a + ) - sin a . 6 6
1 3.已知 sin a + cos a , a ( , ), 分别求 sin 2a , cos 2a的值. 5 2
24 7 sin 2a - , cos 2a - . 25 25
【练习】
1 + 2 cos (sin - cos ) 2 2 2 1 1.证明： sin a - cosa
4
2 sin( + ) 4
, 得 cos sin .
1 + cos - sin - 1 cos - sin cos - sin 2 ( ) 原式 cos + sin cos + sin 2 sin( + ) 4 3 11 - 2 cos sin 1 - sin 2 1 5 . 3 2 1 + 2 cos sin 1 + sin 2 1+ 5
解法二 ：
3 因为sin 2 , 0 2 , 所以0 , 5 2 4 2sin cos 2 tan 3 sin 2 2sin cos , 2 2 2 sin + cos tan + 1 5 1 所以 tan 或tan =3 （舍）， 3
a
a
（a （2k + 1) (k Z )）
半角公式：
tan
a
2
sin
a a
2 2
2 sin
cos
2 sin a （ （2k + 1) (k Z )） ; a cos a + 1 2 a 2 cos 2 2
a
cos
a
1 - cos a tan （a （2k + 1)，且a 2k (k Z )） 2 sin a
提升总结：解法1利用降幂扩角公式，使得问题转化为
和与差的余弦公式；解法2直接利用两角和与差的正弦 公式；两种方法都达到了化简的目的.
练习：
a 4 a 化简、求值：1.cos －sin =_______. 2 2
4
提示:利用平方差降幂，再利用二倍角公式求值. sin 2a 3 . 2.已知 cos(a＋ )＝ ， 求 4 5 sin( －a ) 4 提示：利用“互余”两角的三角函数关系求解.
由繁 到简
所以原式成立.
提升总结：证明或化简恒等式，要从角、函数名称及结构形式 等方面入手，寻找突破口,复角化单角，异名化同名，变量集中.
【题型探究】
cos 10＋ 3sin 10 1.计算： ＝_______. 1－cos 80
2.(2015·淮阴高一检测)已知向量a=2cos 12°， b=4cos 24°cos 48°,a,b的夹角为96°，则 a·b=__________.
可变形为 cos 2a 2cos 2 a - 1或 cos 2a 1 - 2sin 2 a .
公式的作用与说明： （1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达 二倍角的三角函数. （2）二倍角公式不仅限于 2a是 a 的二倍形式，例如
4a 是2a的二倍, a 是 a 的二倍, 3a 是 3a 的二倍,
sin(a + b ) = sin a cos b + cos a sin b .
以上公式中α 和β可以取任意角.
两角和与差的正切公式:
α, β kπ + kπ +
π 且α β 2
π (k Z) 2
sin 15 ? cos 15 ?
tan15 ?
二、自主探究
cos10 cos10
1
右边, 所以原式成立.
【知识拓展】万能公式
cos 2 a - sin 2a 1 - tan 2a . (1)cos 2α = cos a - sin a 2 2 2 cos a + sin a 1 + tan a
2 2
2sin acos a 2tan a (2)sin 2α = 2sin acos a 2 . 2 2 sin a + cos a 1 + tan a 2tan a . (3)tan 2α = 2 1 - tan a
1 - cos 2a sin a . 2
2
数的变化
三、及时反馈、巩固新知
12 解： 因为sin a , a ( , ), 13 2
角的范围 对符号的 影响
12 2 5 所以cos a - 1 - sin a - 1 - ( ) - ， 13 13
2
12 5 120 于是 sin 2a 2sin a cos a 2 ( - ) , 13 13 169
解法2:
sin (a - ) + sin (a + ) - sin a 6 6
2 2 2
3 1 3 1 2 ( sin a - cos a ) + ( sin a + cos a ) 2 - sin 2 a 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 sin a + cos a - sin a . 2 2 2
【解析】
a a a a a a 1. cos 4 －sin 4 (cos 2 + sin 2 )(cos 2 －sin 2 ) cos a. 2 2 2 2 2 2
苏教数学必修四课件：第3章 3.2 二倍角的三角函数
[解] 由π4＜α＜π2，得π2＜2α＜π. 又因为 sin 2α＝153， 所以 cos 2α＝－ 1－sin22α ＝－ 1－1532＝－1123. 于是 sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×153×－1123＝－112609；
cos 4α＝1－2sin22α
＝1－2×1532＝111699； tan 4α＝csoins 44αα＝－111192609＝－111290.
第3章 三角恒等变换
3.2 二倍角的三角函数
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公
式导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式．(重点)
通过学习本节内容，提升学生的数
2.能熟练运用二倍角的公式进行简 学运算、逻辑推理核心素养.
单的恒等变换，并能灵活地将公式变
形运用．(难点)
自主预习 探新知
169
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是23α 的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是 α6的二倍角；…，又如 α＝2·α2，α2＝2·α4，….
1．求下列各式的值． (1)sinπ8sin38π；(2)cos215°－cos275°； (3)2cos2152π－1；(4)1－tatnan3203°0°.
1．若 sin α＝15，则 cos 2α＝ ________.
23 25
[∵cos 2α＝1－2sin2α，sin α
＝15，
∴cos 2α＝1－2×215＝2235.]
2．若 tan α＝3，则 tan 2α＝ ________.
高中数学 3.2二倍角的三角函数课件 苏教版必修4
接
A．－43
B.45
C．－23
D．4
答案(dáàn)：A
第六页，共30页。
7．函数 y＝sin 2xcos 2x 的最小正周期是( )
π
π
A．π B．2π
C. 2
D. 4
答案(dáàn)：C
栏 目
链
8．若 cosπ2 ＋α＝45，则 cos 2α＝__－_2_75____.
接
9．sin2π8 －cos2π8 的值是__－_2_2____．
链 接
第十三页，共30页。
知识点2 二倍角公式的逆用、变形(biàn xíng)应用
1．特别是对二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证
明中有广泛的应用．
栏
2．注意右边化为左边的应用，如 sin
3αcos
3α＝12sin
6α，
目 链 接
4sin
α4 cos
α4 ＝2sin
α 2tan 40° 2 ，1－tan240°＝tan
系式，通过缩小角的范围就可以解决．
解析：∵0<sin θ＋cos θ＝ 22<1，且 0<θ<34π，
栏 目
链
∴π2 <θ<34π，2θ∈π，32π，
接
将 sin θ＋cos θ＝ 22，两边平方得 sin 2θ＝－12，
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
第十九页，共30页。
方法指导：本题还可以通过判断π2 <θ<3π4 ，利用已知条
链 接
∴cos 2α＝sin π2 －2α
＝2sinπ4 －αcosπ4 －α
第二十一页，共30页。
(教师参考)高中数学 3.2 二倍角的三角函数课件1 苏教版必修4
精选ppt
2
引入课题
精选ppt
3
想一想
我们已经学习了两角和的正弦、余弦公式，若α ＝β时，你能得出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式 吗？
精选ppt
4
想一想
1．二倍角的正弦、余弦、
正切公式
记 法
公式
2sinαcosα
S2α sin2α＝cos_2α_－__si_n_2α_1_－_2_s_in_2α cos22coαs＝2α－_1___________
D.±0.96 .
∵sinα=0.6.∴cosα=0.8.由cos（α+β）=－0.8＜0得sin
（α+β）=±0.6.
∴sinβ=sin［（α+β）－α］=sin（α+β）·cosα－cos
（α+β）·sinα
＝±0.6·0.8－（－0.8）·0.6精=选p0pt或0.96.
13
课堂小结
1.二倍角公式．(重点) 2.二倍角公式与两角的和与差的正弦、余弦、 正切公式的记忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形公式的应用．(难点)
cos A cos（ - 2B） -cos2B=-(cos 2 B sin 2 B) 7 25
sin A 24 25
C tan A sin A 24 cos A 7
精选ppt
11
典型例题
已x为 知第三 co象 s-3x， 限ta则 角 2xn_， _.___ 5
解析： x为第三象限角， cosx - 3 5
精选ppt
14
co2s2co 2s1
co2s12si2n
精选ppt
7
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
苏教版高中数学(必修4)3.2《二倍角的三角函数》ppt课件3
α 1 cos α tan 2 1 cos α
2
π α kπ ，k Z 2 2
α 1 cos α tan 2 sin α
α sin α tan 2 1 cos α
课堂讲练互动 中小学课件
例1.化简
(2)当M (a) 2时, 解得a
10 3
或a 6
课堂讲练互动 中小学课件
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
a 2 2
a 4
2
1 2
a 4
0 x 2 0 x 1
课堂讲练互动 中小学课件
当0 1即0 a 2时
a 2
f ( x) 大
a 2
a2 4
1 2
a 4
当 1即a 2时 当sin x 1时 f ( x) 大 a
1 2
(2)增区间为 :
[2k 34 , 2k 54 )k z
课堂讲练互动 中小学课件
（3）f(x)定义域不关于原点对称。 即不是奇函数，也不是偶函数。
(4) f ( x 2 ) log1 [sin(x 2 ) cos(x 2 )]
课堂讲练互动 中小学课件
解法4：
1 原式 (sin α sin β cos α cos β ) 2sin α sin β cos α cos β cos 2α cos 2 β 2
2
1 1 cos ( ) sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 2
1 cos sin cos 2 cos 2 cos 2 2
高中数学3_2二倍角的三角函数教材梳理素材苏教版必修4
高中数学 3.2 二倍角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修4知识·巧学 1.二倍角公式在两角和三角公式中，令α=β就可以得到下面的结论： sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos 2α-sin 2α, tan2α=αα2tan 1tan 2-,由于sin 2α+cos 2α=1，所以公式cos2α=cos 2α-sin 2α还可以变形为cos2α=2cos 2α-1,cos2α=1-2sin 2α.上面的几个等式称为倍角公式.倍角公式是和角公式的特例.记忆要诀 在两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式的推导的基础上进行记忆. 深化升华 倍角公式的推导，是化一般为特殊的化归思想的具体运用. 对于倍角公式应注意以下几点： (1)在二倍角的正、余弦公式中，角α的取值范围可以是全体实数，在二倍角的正切公式中，α≠2πk +4π,α≠kπ+2π(k ∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，显然tanα的值不存在，但tan 2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.公式中的角可以是具体的数，也可以是字母和代数式.(2)二倍角只是一个相对的概念，如：4α是8α的倍角，α±β是2βα±的倍角，在公式中角α可以是数、字母或代数式,是一个不可分割的整体.在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例sin 3α=2sin 6αcos 6α，cos3α=cos26α-sin26α=2cos26α-1=1-2sin 26α；sin3α·cos3α=21(2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；21sin 63αcos 63α=41sin3α；tan3x=23tan123tan22x x -；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等.应熟悉倍角公式的结构特点，加强训练.(3)二倍角公式的几种变形形式：(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 其中升幂换半角公式是1+cosα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α，利用该公式能消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；降幂换倍角公式是cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式. 深化升华 由二倍角公式及同角三角函数的基本关系式，可得sin2α=αα2tan 1tan 2+、cos2α=αα22tan 1tan 1+-，利用这两个公式我们可以用单角的正切表示二倍角的三角函数. 2.二倍角公式的应用利用倍角公式可以求值、证明三角恒等式和化简三角函数式.在运用公式时，要注意审查公式成立的条件，要做到三会：会正用；会逆用；会变形应用.公式的正用是常见的，但逆用和变形使用往往容易被忽视，而公式的逆用和变形使用更能开拓思路.只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才真正掌握了公式的应用.学法一得 运用二倍角公式的先决条件是认识它的本质，要善于避开表面的东西，正确捕捉公式的原形，更好地运用公式. 典题·热题知识点1 二倍角公式 例1 已知sinα=135,α∈(2π,π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值. 思路分析：本题是倍角公式、同角三角函数基本关系的应用及已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法.思路一：可根据已知条件求出cosα，再利用倍角公式求出sin2α，cos2α，进而利用同角三角函数基本关系求出tan2α.此外，也可以求出tanα的值利用倍角公式求tan2α.思路二：也可以只求出sin2α，cos2α，tan2α中的一个,其余的利用同角三角函数基本关系求解.解：方法一∵sinα=135,α∈(2π,π), ∴cosα=-α2sin 1-=-1312.∴sin2α=2sinαcosα=-169120,cos2α=1-2sin 2α=169119,tan2α=-119120. 方法二∵sinα=135,∴cos2α=1-2sin 2α=169119.又∵α∈(2π,π)，∴2α∈(π,2π).∴sin2α=-α2cos 12-=-169120，tan2α=-119120.方法归纳 在三角部分经常用到“凑公式”的方法解题，但要注意已知条件和所求式子中角之间的关系.当已知一个三角函数值而求其他的三角函数值时，一定要注意角的范围，若角的范围没给，这就需要分类讨论. 例2 求证：θθθtan 24cos 4sin 1-+=θθθ2tan 14cos 4sin 1-++.思路分析：可将等式进行等价变形，再利用倍角公式进行证明.证明：原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 44cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+=tan2θ, 左边=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22θθθθθθθθθθθθθθθθ++=++=++-+ =tan2θ=右边.方法归纳 在三角恒等式的证明中，如果原等式不易证明时，可将等式进行适当的等价变形，转化为较易证明的等式. 例3 若23π＜x ＜2π，化简x 2cos 21212121++. 思路分析：本题的关键是将根号下的式子化为完全平方式以便于去掉根号.根据本题的式子特点，可重复利用二倍角余弦公式的变形. 解：由于23π＜x ＜2π，则43π＜2x ＜π. 所以原式=2cos 2cos cos 212122cos 121212xx x x -==+=++. 方法归纳 解答这类题，在实施脱根号的过程中要注意对符号的选取.深化升华 对于三角函数式的化简，要明确化简的目标和标准.化简的最后结果，三角函数的个数应最少，次数应尽可能地低，能化为常数的一定要化为常数，能不用分式就尽可能地不用分式.例4 求sin6°cos24°sin78°cos48°的值.思路分析：将78°的正弦值化为12°的余弦值，重复利用二倍角公式化简求值. 解：由于sin78°=cos12°，所以原式=sin6°cos12°cos24°cos48°=︒︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 6cos 6sin=21·︒︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 12cos 12sin =41·︒︒︒︒6cos 48cos 24cos 24sin =161·︒︒6cos 96sin =161. 方法归纳 形如cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)或能够化为cos αcos2αcos4α…cos2n-1α(n ∈N 且n ＞1)的三角函数式，由于它们的角是2倍关系，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简. 例5 求(tan10°-3)sin40°的值.思路分析：利用切割化弦，再逆用差角公式和倍角公式. 解法一：(tan10°-3)sin40°=(︒︒-︒10cos 10cos 310sin )sin40°=︒︒-=︒︒︒-=︒︒︒︒-︒︒10cos 80sin 10cos 40sin 50sin 210cos 40sin )60sin 10cos 60cos 10(sin 2=-1.解法二：(tan10°-3)sin40°=(tan10°-tan60°)sin40°=(︒︒-︒︒60cos 60sin 10cos 10sin )sin40°=︒︒︒︒-︒︒60cos 10cos 60sin 10cos 60cos 10sin ·sin40° =︒︒-=︒︒︒-10cos 80sin 10cos 2140sin 50sin =-1. 方法归纳 (1)根据本题的特点，采用切割化弦是解答本题的关键一步，它为逆用差角公式和倍角公式铺平了道路.(2)在三角函数式的化简或求值的过程中，还要注意利用和、差的三角函数公式，它可将三角函数式化为一个角的三角函数式，为化简或求值提供方便. 例6 已知tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角，求α+2β的值. 思路分析：根据已知条件选择正切函数，先求出α+2β的正切值，再根据题设条件求出α+2β的范围，并使正切函数在此范围内只有一个值，然后即可求α+2β的值.解：∵tanα=71，tanβ=31，α、β均为锐角， ∴0＜α,β＜4π.∴0＜α+2β＜43π.又∵tan2β=ββ2tan 1tan 2-=43，∴tan(α+2β)=βαβα2tan tan 12tan tan -+=437114371⨯-+=1.∴α+2β=4π. 方法归纳 在给值求角时，一般是选择一个适当的三角函数，根据题设确定角的范围，利用三角函数的值求出角的大小，其中确定角的范围是一个关键，一定要使角在此范围内和三角函数值是一一对应的.此外也可根据角的范围来选择三角函数的名称. 问题·探究 交流讨论探究问题 是否存在三个内角都适合方程cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形？ 探究过程：师：这是一个探索性问题，解决这类题时可先假设结论存在，然后再利用所学知识进行推理，探求结论.如果能求出，则结论存在，否则不存在.对于这个问题考查的知识是什么？ 学生甲：由于所给的等式中既有单角又有倍角，则用到了二倍角公式.处理这个问题可先从已知条件cos2x+2sinxsin2x=2cosx 入手，将二倍角的正弦展开建立关于x 的三角方程，再结合三角形三个内角和是π这一性质即可. 师：处理这个问题的具体操作步骤是怎样的？学生乙：我知道，显然方程可化为cos2x+4sin 2xcosx=2cosx, 即cos2x(2cosx-1)=0，解得cos2x=0或cosx=21. 但接下来怎样求x 的值我还不清楚.学生丙：可以三角形这一前提条件，在这一前提下可得x 的取值只能是4π，43π，3π.而在这些值中只有3π+3π+3π=π，所以存在三个内角都适合cos2x+2sinxsin2x=2cosx 的三角形，它是一个正三角形.探究结论:存在，它是一个正三角形. 思维陷阱探究问题 在处理问题“已知cos(x+4π)=53,2π≤x＜23π,求cos(2x+4π)的值”时，一个同学给出了下面的解题过程： 因为cos(x+4π)=53，所以cos(2x+4π)=2cos 2(2x+4π)-1=2×259-1=-257.上述解法是否正确？探究过程:二倍角只是一个相对的概念，在公式中角α可以是数、字母或代数式，是一个不可分割的整体.在上面的解题过程中以为2x 是x 的二倍，则2x+4π也是x+4π的两倍了，说明片面地理解了二倍角的概念.而事实上x+4π的二倍应是2x+2π. 探究结论:上面的解法不正确，正确的解法如下： cos(2x+4π)=cos2xcos 4π-sin2xsin 4π=22(cos2x-sin2x). 因为2π≤x＜2π,则43π≤x+4π＜47π,又cos(x+4π)=53＞0，则sin(x+4π)=-54,则cos2x=sin(2x+2π)=2sin(x+4π)cos(x+4π)=-2524， sin2x=-cos(2x+2π)=2cos 2(x+4π)-1=257,所以cos(2x+4π)=22(cos2x-sin2x)=-50231.。
高中数学苏教版必修四《3.2二倍角的三角函数》课件
解 由 tan α＋tan1 α＝52得，
sin cos
αα＋csoins
αα＝52，则sin22α＝52
∴sin 2α＝45，又 α∈π4，π2
∴2α∈2π，π
∴cos 2α＝－35
∴sin2α＋π4＝sin
2α·cosπ4＋cos
π 2α·sin4
＝45×
22＋－35×
22＝
2 10
.
题型二 化简求值
解 (1)∵f(x)＝sin24π＋x＋cos2 x＋12 ＝1－cos22π＋2x＋1＋c2os 2x＋12 ＝12sin 2x＋12cos 2x＋32 ＝ 22sin2x＋4π＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32， 最小值为－ 22＋32；最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由(1)知要使 f(x)≥32，只需 22sin2x＋4π≥0， 即 sin2x＋4π≥0， 由 2kπ≤2x＋4π≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π(k∈Z)， 又 x∈[0，π]， ∴0≤x≤38π或78π≤x≤π.
＝
1－sin 2α＝
17 3.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α
＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)
＝13×－
317＝－
17 9.
tan 2α＝csoins 22αα＝81717.
法二 ∵sin α＋cos α＝13， 平方得 sin αcos α＝－49， ∴sin α、cos α 可看成方程 x2－13x－49＝0 的两根， 解方程 x2－13x－49＝0，得 x1＝1＋6 17，x2＝1－6 17， ∵α∈(0，π)， ∴sin α＞0，
[思路探索] 属于倍角公式的直接应用．
苏教版必修4高中数学3.2《二倍角的三角函数》ppt课件1
2019/8/27
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15
谢谢欣赏！
2019/8/27
最新中小学教学课件
16
k ，Z
：
知识点2：
对于 C2能否有其它表示形式？
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2sin2
注意
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。 ②二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角 相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
C2α ＝___________ ＝____2_ta_nα____
1－tan2α
T2α
知识点1：
二 sin 2 2sin cos
α R
倍
角 cos 2 cos2 sin2
α R
公 式
tan
2
2 1
tan tan2
k 24
,且
k 2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
2tanx 1- tan知0＜α＜＜β＜π，又sinα=0.6，cos（α+β）=－0.8
，则sinβ等于（ ）
解A.析0 ：∵0＜Bα2 .＜0或 0＜.9β6＜2 π，∴C32π.＜0.9α6+β＜
苏教版高中数学必修4课件 3.2 二倍角的三角函数课件4
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
SJ·数学 必修4
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
当
学 方
1.能用二倍角公式导出半角公式．
堂 双
案 设
2.能运用所学三角函数的公式进行简单的恒等变
基 达
计 课标解读 换．(重点)
标
课
前 自
3.会用三角函数解决一些简单的实际问题．(难点)
课 时
主
作
教 学
线 PT，且 PT＝1，∠PAB＝α，问 α 为何值时，四边形 ABTP
当 堂
方
双
案 设
的面积最大？
基 达
计
标
【思路探究】 首先根据题意画出图形，然后根据圆的
课
前 自
几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角
课 时
主
作
导 学
函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．
业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
30°＋
3 2 cos
2θ
教
堂
师
互 动 探 究
＝1－
3 2 cos
2θ＋
3 2 cos
2θ＝1.
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SJ·数学 必修4
教
易
学
错
教 法
利用和、差、倍角公式研究函数的性质
易
误
分
辨
析
求函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x，x∈ 析
苏教版数学高一-必修4课件 3.2 二倍角的三角函数
＝2sinπ4c＋osx4πc＋osxπ4＋x＝2sinπ4＋x.
∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153，且 0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123.
∴原式＝2×1123＝2143.
规律方法 在解题过程中要注意抓住角的特点解题，同 时要注意挖掘题目中的隐含条件：π4＋x 与π4－x 存在互余 关系.特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的 符号.
跟踪演练 2 已知 cosα＋π4＝35，π2≤α<32π，求 cos2α＋4π的
值.
解 ∵π2≤α<32π，∴34π≤α＋π4<74π，
于是可由 cosα＋π4＝53得到 sinα＋4π＝－54.
即
2 2 cos
α－
2 2 sin
α＝53，
2 2 sin
α＋
2 2 cos
α＝－54.
两式相加得 cos α＝－102，
解 ∵tan α＝71<1，且 α 为锐角，∴0<α<4π，
又∵sin
β＝
10 10 <
22，且
β
为锐角，
∴0<β<4π，
∴0<α＋2β<34π. 由 sin β＝ 1100，β 为锐角，得 cos β＝31010， ∴tan β＝13，∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝12， ∴tan(α＋2β)＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannββ＝1－12＋12×13 13＝1， 故 α＋2β＝π4.
跟踪演练 1 求下列各式的值.
(1)sin π8sin38π； 解 ∵sin38π＝sin(2π－8π)＝cos8π， ∴sinπ8sin38π＝sinπ8cos8π＝21·2sinπ8cosπ8
苏教版数学高一苏教版必修43.2二倍角的三角函数
3.2 二倍角的三角函数一览众山小诱学导入材料：为了美化环境，某房地产公司打算在所管辖的一个居民小区内的一块半圆形空地上，划出一个内接矩形辟为绿地，且使矩形的一边落在半圆的直径上，而另外两个顶点在半圆的圆周上，已知半圆的半径为30米.为了使绿地的面积最大，该公司请了本公司的一位设计师，设计出了这个半圆内接矩形的长与宽的关系.该设计师的计算过程如下：如图3-2-1，设CD=x，则OD=2230x-，矩形的面积设为S，则图3-2-1S=2x·2230x-=22222450)450(2)900(2+--=-xxx.所以当x2=450，即x=215时，S有最大值，即此时矩形的面积最大.问题:现在我们已经学习了三角函数的有关知识，利用三角函数的知识该如何解决这一问题？导入：若用三角函数的有关知识解决这一问题，可设∠COD=α，则CD=30sinα，OD=30cosα，矩形的面积为S=2CD·OD=900×2sinαcosα=900sin2α，根据正弦函数值域即可求出长、宽各为多少时矩形的面积最大.温故知新1.两角和与差的三角公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.tan(α+β)=βαβαtantan1tantan-+；tan(α-β)=βαβαtantan1tantan+-.2.应用两角和与差的正切公式应注意什么？答:由于正切函数的定义域不是全体实数，所以在应用两角和与差的正切公式时要特别注意：必须在定义域范围内使用上述公式.即：tanα，tanβ，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能(也只需)用诱导公式来解.此外还要注意公式的结构，尤其是符号.3.两角和与差的三角公式间有何联系？答:两角和与差的三角公式是以两角差公式为基础，利用代换、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识推得的，具体步骤如下：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ⎪⎩⎪⎨⎧-=-−−−→−-=+−−−→−-.sincoscossin)sin(,sinsincoscos)cos(βαβαβαβαβαβαββ用诱导公式换以sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ−−−→−-ββ换以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.利用两角和的正弦与余弦公式两式相除可得两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+, tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+−−−→−-ββ换以tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.。